第五章相似原理與量綱分析電子教案

第五章

相似原理與量綱分析

流體力學汽車學院同濟大學

TongjiUniversity上海地面交通工具風洞中心

ShanghaiAutomotiveWindTunnelCenter目錄

緒論第一章流體及其主要物理性質第二章流體靜力學第三章流體運動學基礎第四章流體動力學基礎第五章相似原理和量綱分析第六章理想流體不可壓縮流體的定常流動第七章粘性流體流動第八章定常一元可壓縮氣流第九章實驗流體力學5-1，5-2，5-3，5-4，5-6，5-11，5-17第五章作業(yè)第五章相似原理和量綱分析§5.1相似概念§5.2相似定理§5.3相似準則§5.4

模型試驗方法§5.5量綱分析第五章相似原理和量綱分析

模型實驗方法起始于19世紀末。如今，隨著工業(yè)技術的高速發(fā)展，應用模型實驗方法進行科學研究和產(chǎn)品開發(fā)就更為普遍。例如用風洞模型實驗研究航空航天飛行器的性能；用船模在水池或水洞中研究船只的航行性能；用氣候風洞研究汽車在各種氣候條件下的駕駛性能；用建筑物模型在風洞內(nèi)進行風載實驗；用環(huán)境風洞進行大氣污染實驗等等。§5.1流動現(xiàn)象的相似一）相似的定義

如果描述一個系統(tǒng)中發(fā)生的全部物理量（線性尺寸、速度、力、時間間隔等）可以從另一個系統(tǒng)的同類量乘以相應的常數(shù)得到，則這兩個系統(tǒng)中發(fā)生的現(xiàn)象稱為相似。二）相似現(xiàn)象的分類

根據(jù)現(xiàn)象的性質和特點，相似現(xiàn)象可分為力學相似、熱力學相似、電學相似等。三）相似理論的研究對象

相似理論主要研究的對象是發(fā)生在其和相似系統(tǒng)中的同一性質的物理現(xiàn)象之間的相似問題，即首先是兩個系統(tǒng)確保幾何相似，其次兩個系統(tǒng)中的物理現(xiàn)象變化過程可以用同一個關系方程來描述。一、幾何相似

若兩個物體對應的角度相同（包括方位或姿態(tài)角）、而且對應的全部線性長度的比例相等，則稱這兩個物體幾何相似。由于幾何相似，模型和原型對應的面積、體積也必然程一定的比例。流體力學中，兩個現(xiàn)象相似必須滿足以下條件：1、幾何相似2、運動相似3、動力相似§5.1流動現(xiàn)象的相似二、運動相似

在幾何相似的兩個流場中，所有對應點、對應時刻的流速方向相同，而流速大小成比例，則對應的速度場相似。（流場的幾何相似是運動相似的前提）。速度比例時間比例加速度比例體積流量比例運動粘度比例角速度比例§5.1流動現(xiàn)象的相似三、動力相似

在幾何、運動相似的流場中，對應瞬間、在對應點上作用著同樣性質的力，而且由各種力組成的力多邊形幾何相似，則稱這兩個流場動力相似。在動力相似條件下，模型與原型的流場所對應點作用在流體微團上的各種力彼此方向相同，大小成比例?！?.1流動現(xiàn)象的相似§5.2相似定理1、相似第一定理（相似性質）“彼此相似的現(xiàn)象必定具有數(shù)值相同的相似準則”2、相似第二定理（相似充要條件）“凡同一種類現(xiàn)象，當單值條件相似而且單值條件中的物理量所組成的相似準則在數(shù)值上相等時，則這些現(xiàn)象必定相似

”3、相似第三定理“描述某現(xiàn)象的各種量之間的關系可表示成相似準則之間的函數(shù)關系這種關系式稱為準則關系方程式，這種準則關系方程可推廣到與其相似的現(xiàn)象中”

§5.2相似定理1、相似第一定理（相似性質）“彼此相似的現(xiàn)象必定具有數(shù)值相同的相似準則”由于相似的現(xiàn)象都屬同一種類的現(xiàn)象，因此，它們都應為同一的微分方程組所描述，現(xiàn)象的幾何條件（形狀與大小）、物性條件（密度，粘度等）、邊界條件（進口與出口的流速分布、壁面上流速的大小等），對于非定常的流動還有初始條件（初瞬的流速分布特性等）都必定是相似的。這些條件又統(tǒng)稱為單值條件。相似現(xiàn)象的一切物理量在對應的空間點和對應的瞬時各自互成一定的比例，而這些物理量又必須滿足同一的微分方程組，因此各量的比值，即相似倍數(shù)不能是任意的，而是彼此相約束的。

描述現(xiàn)象的微分方程組必須相同是現(xiàn)象相似的第一必要條件。

§5.2相似定理

2、相似第二定理（相似充要條件）“現(xiàn)象相似的必要和充分條件是單值條件相似，并且由單值條件中的物理量所組成的相似準則在數(shù)值上相等”服從同一方程組的同類現(xiàn)象可以有許許多多，如何把所要研究的具體現(xiàn)象從這無數(shù)現(xiàn)象中單一地劃分出來，便耍靠它的單值條件。若兩種流動狀態(tài)的單值條件相同，則由上述方程組得到的解是一個，即這兩種流動狀態(tài)是完全相同的一種流動，若兩種流動的單值條件相似，則得到的解是相似的，即這兩種流動相似，若它們的單值條件既不相同也不相似，則得到的僅是服從同一自然規(guī)律的兩個互不相同又不相似的流動。因此，單值條件相似是現(xiàn)象相似的第二個必要條件。由單值條件中的物理量所組成的相似準則數(shù)相等是現(xiàn)象相似的充分條件。這是顯而易見的，兩現(xiàn)象相似，它們的相似準則數(shù)必相等，反之，同樣可以證明，相似準則數(shù)相等的兩個現(xiàn)象必定相似?！?.2相似定理3、相似第三定理“描述某現(xiàn)象的各種量之間的關系可表示成相似準則之間的函數(shù)關系，。這種關系式稱為準則關系方程式，可以推廣到與其相似的現(xiàn)象中?！?/p>

因為對于所有彼此相似的現(xiàn)象，相似準則都保持同樣的數(shù)值，所以他們的準則方程式也應相同。由此，如果按相似第二定理的規(guī)定把模型試驗的結果整理成準則方程式，則該方程可以應用到實物中去。通過試驗得到的準則方程式就是描述流動現(xiàn)象的微分方程組的解。也就是說，對于復雜的流動現(xiàn)象，當靠數(shù)學分析無法求解時，相似原理提供了通過試驗求解的可能。因此，相似原理是模型試驗研究的理論基礎?！?.2相似定理1、要進行模型試驗，首先會遇到如何設計模型，如何選擇模型中的流動介質，才能保證與原型中的流動相似？

相似第二定理表明，凡同類現(xiàn)象，當單值條件相似，而且由單值條件的物理量所組成的相似準則在數(shù)值上相等時，則這些現(xiàn)象必定相似。這就是說，設計模型和選擇介質必須使單值條件相似，而且由單值條件的物理量所組成的定性相似準則在數(shù)值上要相等。

2、試驗過程中需要測定哪些物理量、試驗數(shù)據(jù)如何整理、才能找到規(guī)律性？

相似第一定理表明，彼此相似的現(xiàn)象必定具有數(shù)值相同的相似準則。這就是說，試驗中應測定各相似準則中所包含的一切物理量，并把它們整理成相似準則。相似三定理解決了模型試驗中必須解決的一系列問題，歸納起來可概述如下：§5.2相似定理3、模型試驗所得的結果如何整理，才能推廣應用到原型（實物）中去？

相似第三定理表明，描述某現(xiàn)象的各種量之間的關系可表達成準則方程的形式，而且彼此相似的現(xiàn)象，它們的準則方程也是相同的。這就是說，把試驗結果整理成相似準則之間的關系式，便可推廣應用到原型中去。按上述原則去安排試驗、進行試驗和整理試驗結果，則所得到流動規(guī)律可推廣應用于與之相似的任何流動過程中去?！?.3相似準則

根據(jù)相似三定理可知：判斷原型與模型流場相似，沒有必要用一一檢查各物理量的比例尺的方法去判斷兩個流動是否力學相似，這樣做是極不合適的。在進行模型設計或組織模型試驗前應該首先找出研究對象的全部相似準則即可（因為判斷相似的標準是相似準則）。相似準則的推導方法有兩種:

1）微分方程法

2）量綱分析法§5.3相似準則1）相似準則的導出對應點上的無量綱量速度對應點上的無量綱坐標對應點上的其他無量綱量速度特征量的概念——用來形成各物理量之無量綱量的參考量稱之為特征量§5.3相似準則§5.3相似準則無量綱量系數(shù)關系式

雷諾數(shù)是慣性力與粘性力的比值。兩流動的粘滯力作用相似，它們的雷諾數(shù)必定相等，反之亦然。這便是粘滯力相似準則。

弗勞德數(shù)是慣性力與重力的比值。兩流動的重力作用相似，它們的弗勞德數(shù)必定相等，反之亦然。這便是重力相似準則。

斯特勞哈爾數(shù)是當?shù)貞T性力與遷移慣性力的比值。兩非定常流動相似，它們的斯特勞哈爾數(shù)必定相等，反之亦然。這便是非定常流動相似準則。

§5.3相似準則3）相似準則數(shù)的物理意義

歐拉數(shù)是總壓力與慣性力的比值。兩流動的壓力作用相似，它們的歐拉數(shù)必定相等，反之亦然。這便是壓力相似準則。

馬赫數(shù)反映流體的壓縮性大小。兩流動的氣動彈性力作用相似，它們的馬赫數(shù)必定相等，反之亦然。這便是壓縮性相似準則?！?.3相似準則4）決定性相似準則數(shù)

以上得到的相似準則數(shù)，是任意兩個力學相似的流動應當滿足的條件，即滿足以上相似準則數(shù)全部相等的兩個流動稱為完全相似流動。

由于實際流動是非常復雜的，要同時滿足所有相似準則數(shù)相等時十分困難的，而且有些相似準則要同時滿足相等也是不可能的。由試驗分析知道，在流體流動的力學現(xiàn)象中，通常只有一到二種力起著主要作用，決定力學相似的本質，因此，在流體力學試驗中往往只需滿足主要作用力的力學相似即可，其它對流動現(xiàn)象不起主要作用的力則可忽略不計，這種相似流動成為近似相似或部分相似。滿足主要作用力相似的相似準則數(shù)成為決定性相似準則數(shù)。§5.3相似準則5）自?；院头€(wěn)定性

在穩(wěn)定有壓流動情況下，不可壓縮粘性流體通常還具有“自模性”和“穩(wěn)定性”兩種特性，在這兩種特性下的流動?；瘲l件還可進一步簡化。

對于有壓流動，決定性相似準則為雷諾數(shù)。流動分層流，過渡和紊流三種狀態(tài)，由臨界雷諾數(shù)決定。（第一臨界雷諾數(shù)）流動處于層流狀態(tài)，這時模型與實物管路中的斷面上的速度分布彼此相似，流動不再與有關；當（大于第二臨界值），紊流狀態(tài)的速度分布不隨雷諾數(shù)增加而變化，這時的流動又進入自動?；癄顟B(tài)。當實物與模型都處于同一種自?；瘏^(qū)，模型試驗的數(shù)可不必與在實物的數(shù)相等。自?；浴?.3相似準則穩(wěn)定性粘性流體在管道中流動時，不管入口處的速度分布如何，必須經(jīng)一定的入口長度后，流速分布才能固定下來。粘性流動的這種特性稱為穩(wěn)定性。由于穩(wěn)定性的存在，?；瘯r只要在模型入口有一段幾何相似的穩(wěn)定段，就能保證進口速度分布相似。同樣，出口速度分布的相似，也只要保證出口通道幾何相似即可?！?.4模型試驗方法

模型試驗（又稱模化試驗）是指，把通常比較大型（或小型）的原型工程設備按一定比例縮?。ɑ蚍糯螅┏赏ǖ纼?nèi)部幾何相似的模型試驗臺，利用試驗臺進行流動規(guī)律的測試和研究。這樣做的原因是，由于在許多原型設備上利用試驗手段去測試和研究流體的流動規(guī)律，常常是很不方便的，甚至是很難辦到的。設計一種新設備，事先進行模型試驗，探索內(nèi)部的流動規(guī)律，然后根據(jù)相似原理推廣應用于原型設計，便可為設計提供依據(jù)，少走彎路，節(jié)省時間和經(jīng)費器材?！?.4模型試驗方法

在進行流體動力的模型試驗時，為保證模型與原型中的現(xiàn)象相似，應按相似原理規(guī)定的條件去設計模型和安排試驗。這些條件是：（1）模型與原型流體通道的內(nèi)廓幾何相似；（2）在模型與原型設備對應截面或對應點上流體的物性，即流體的密度與粘度具有固定的比值；（3）模型與原型進口截面的速度分布相似，（4）對于粘性不可壓縮流體的定常流動，模型與原型進口處按平均流速計算的Re數(shù)、Fr數(shù)相等。滿足以上條件的流動為完全相似流動。實踐表明，盡管粘性不可壓縮流體的定常流動只有兩個定性準則，要同時相等常常也是很困難的，決定性準則數(shù)越多，模型設計越困難。因此，需要考慮采用近似模型試驗方法。

B、如果模型與原型流場中雷諾數(shù)相等，則

§5.4模型試驗方法一、為什么要采用近似的模型試驗法在設計模型試驗時，如果所選的三個比例尺能滿足相似準則的制約，則兩流動為完全相似。但是這是非常困難的。以不可壓縮粘性流體的定常流動的相似為例：A、在重力場中模型與原型流場的弗勞德數(shù)相等，則

C、如果模型與原型流場中采用相同的工質，則速度比例尺為

則運動粘性的比例尺為：

模型與原型的線性尺寸比例§5.4模型試驗方法二、近似的模型試驗的實際意義近似模型法的試驗是有科學根據(jù)，弗勞德數(shù)代表慣性力與重力之比，雷諾數(shù)代表慣性力與粘性力之比，這三種力在一個具體問題上不一定具有同等的重要性，只要我們能夠針對所要研究的具體問題，保證它在主要方面不致失真，而有意識地摒棄與問題本質無關的次要因素，采取近似相似的方法來設計模型試驗不僅無礙于實際問題的研究，而且從突出主要矛盾來說是有益的。§5.4模型試驗方法三、近似模型試驗的三種方法

1．弗勞德模型法在水利工程及明渠無壓流動中．處于主要地位的力是重力。用水位落差形式表現(xiàn)的重力是支配流動的原因，用靜水壓力表現(xiàn)的重力是水工結構中的主要矛盾。粘性力有時不起作用，有時作用不甚顯著，因此弗勞德模型法的主要相似準則是弗勞德數(shù)弗勞德模型法在水利工程，船模水洞試驗等領域應用甚廣，大型水利工程設計，船舶設計等必須首先經(jīng)過模型實驗的論證而后方能投入施工?！?.4模型試驗方法

2．雷諾模型法

管中有壓流動是在壓差作用下克服管道摩擦而產(chǎn)生的流動，粘性力決定壓差的大小，粘性力決定管內(nèi)流動的性質，此時重力是無足輕重的次要因因此雷諾模型法的主要相似準則是雷諾數(shù)雷諾模型法的應用范圍也很廣泛，管道流動、液壓技術、水力機械等方面的模型實驗多數(shù)采用雷諾模型法?！?.4模型試驗方法3．歐拉模型法

隨著管道流動的雷諾數(shù)的增大，（即慣性力與粘性力之比增大），粘性力的影響會逐漸減弱，當達到一定數(shù)值后，繼續(xù)提高雷諾數(shù)，再也不會對流動現(xiàn)象和流動性能發(fā)生質和量的影響，（即此時盡管雷諾數(shù)不同，但粘性效果卻是一樣的）。這種現(xiàn)象叫作自動?；?，產(chǎn)生這種現(xiàn)象的雷諾數(shù)范圍叫作自動?；瘏^(qū)，雷諾數(shù)處在自動?；瘏^(qū)時，雷諾準則失去判別相似的作用。研究雷諾數(shù)處于自動?；瘏^(qū)時的粘性流動，流動阻力主要是紊流阻力而不是粘性阻力。因此，在設計模型時，粘性力的影響不必考慮了；如果是管內(nèi)氣體流動，其重力的影響也不必考慮；這樣我們只需考慮代表壓力和慣性力之比的歐拉數(shù)。歐拉模型法用于自動?；瘏^(qū)的管中流動、風洞實驗及氣體繞流等情況。弗勞德模型法

弧形閘門放水時的情景如圖所示，已知水深。模型閘門是按長度比例尺制作的，試驗時的開度與原型的相同。試求流動相似時模型閘門前的水深。在模型上測得收縮截面的平均流速，流量，水作用在閘門上力，繞閘門軸的力矩。試求原型上收縮截面的平均流速、流量以及作用在閘門上的力和力矩。解：1、模型閘門前的水深水在重力作用下流過閘門，要使流動相似，弗勞德數(shù)必須相等。2、原型收縮截面上的流速3、原型上的流量4、作用在原型閘門上的力5、作用在原型閘門軸上的力矩雷諾模型法為了探索用輸油管上的一段彎管的壓強降來計量油的流量，進行水模擬試驗。選取的長度比例尺。已知輸油管內(nèi)徑，油的流量運動粘度，密度，水的運動粘度，密度。為了保證流動相似，試求水的流量。如果測得在該流量下模型彎管的壓強降，試求原型彎管在對應流量下的壓強降。解：粘性有壓管流，要使流動相似，雷諾數(shù)必須相等。歐拉數(shù)相等歐拉模型法（1）輸水管道的內(nèi)徑，內(nèi)裝蝶閥。當?shù)y開度為、輸送流量時，流動已進入自動?；瘏^(qū)。利用空氣進行模擬試驗，選用的長度比例尺。為了保證模型內(nèi)的流動也進入自動?；瘏^(qū)，模型蝶閥在相同開度下的輸送流量。試驗時測得經(jīng)過蝶閥的壓強降，氣流作用在蝶閥上的力，繞蝶閥軸的力矩。試求原型對應的壓強降、作用力和力矩。已知時水的密度，粘度，時空氣的密度，粘度，聲速

解：1、求原型中的雷諾數(shù)2、求模型中的雷諾數(shù)3、求模型中的馬赫數(shù)歐拉模型法（2）

根據(jù)以上計算，原型和模型中流動均進入自動?；瘏^(qū)，且馬赫數(shù)小于0.3屬不可壓縮流動范圍。在流動進入自動模化區(qū)后，雷諾數(shù)不相等也能保持兩流動相似。此時只要保證兩流動的歐拉準則相等即可。根據(jù)歐拉準則根據(jù)力的比例關系根據(jù)力矩的比例關系§5.5量綱分析

量綱分析法是依據(jù)物理方程量綱一致性原則(量綱齊次性原理）對一些機理尚不清楚地物理現(xiàn)象從量綱分析入手，找出流動過程的相似準則數(shù)，并借助試驗找出這些相似準則數(shù)之間的函數(shù)關系，即準則方程。準則方程就是無量綱的物理方程，是用相似準則數(shù)表示的物理方程。根據(jù)相似原理，可以將準則方程式直接應用到原型及其它相似流動中去。用量綱分析法，結合試驗研究，不僅可以找出尚無物理方程表示的復雜流動的流動規(guī)律，而且找出的流動規(guī)律還是同一類相似流動的普遍規(guī)律。因此，量綱分析法是與相似原理密切相關的另一種通過實驗探索流動規(guī)律的重要方法。

常用的量綱分析法有瑞利法和定理。

基本量和導出量

——

對應于基本單位和導出單位的物理量，分別稱為基本量和導出量（速度、力等物理量）?；締挝?/p>

——

相互獨立的單位稱為基本單位。力學中通常用長度、時間、質量作為基本單位。

§5.5量綱分析物理量——物理現(xiàn)象中有關的各種變量稱為物理量。物理量是用數(shù)值和單位表示的。

1、物理量綱和量綱導出單位

——

由基本單位組成的單位稱為導出單位?；玖窟x取不是固定的，只要三個物理量的單位相互獨立即可基本量綱

——

通常取表示長度、表示時間和表示質量的量綱為基本量綱。

§5.5量綱分析

量綱——不考慮物理量單位中的基本單位的大小，而只用其單位的種類性質的符號及其組成方式的表達式，稱為量綱或量綱式，也可稱為因次。即量綱不是物理量的單位，只是物理單位組成規(guī)律的抽象表示

導出量綱——任意物理量的量綱可由基本量綱導出量綱相同的物理量具有相同單位的關系，并不代表它們的物理意義和數(shù)值相同無量綱量——任意物理量與量綱相同的基本量組合之比稱為該物理量的無量綱兩或無量綱數(shù)，用表示?！?.5量綱分析由于基本量選取是隨意性的，故物理量的無量綱形式隨基本量的選取而不同§5.5量綱分析2、物理方程量綱一致性原則

一切