《電子設(shè)備可靠性工程》課件第5章

第5章可維修系統(tǒng)的可靠性5.1維修性的確定及指標(biāo)的確定5.2馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程5.3維修系統(tǒng)的可靠性計(jì)算5.1維修性的確定及指標(biāo)的確定5.1.1維修性要求

對(duì)產(chǎn)品維修性的基本要求應(yīng)包括維修性定性要求和維修性定量要求。維修性定性要求是描述定量指標(biāo)的必要條件，而定量指標(biāo)是在定性要求的約束下實(shí)現(xiàn)的。通常在設(shè)計(jì)之前就應(yīng)明確定性和定量要求，將定性要求轉(zhuǎn)化為設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，按定量要求確定選用參數(shù)和指標(biāo)。1.維修性要求

維修性定性要求一般包括以下內(nèi)容：

（1）具有良好的可達(dá)性；

（2）達(dá)到較高的標(biāo)準(zhǔn)化水平和互換性要求；

（3）確保系統(tǒng)安全；

（4）具有完善的防差錯(cuò)措施和識(shí)別標(biāo)志；

（5）良好的可測(cè)試性；

（6）盡量減少維修項(xiàng)目，降低維修技能要求；

（7）對(duì)貴重件應(yīng)有可修復(fù)性要求；

（8）符合維修的人機(jī)工程要求。

為了確定維修性要求，首先應(yīng)全面了解以往類似產(chǎn)品在維修性方面存在的不足和缺陷，并針對(duì)本產(chǎn)品的特殊性，有的放矢地提出該產(chǎn)品在維修方面的要求。例如某產(chǎn)品中設(shè)計(jì)中有結(jié)構(gòu)復(fù)雜的高性質(zhì)火控系統(tǒng)，則維修性要求的重點(diǎn)是該產(chǎn)品的電子部分應(yīng)實(shí)現(xiàn)模塊化和自動(dòng)檢測(cè)。2.維修性定量要求

對(duì)產(chǎn)品維修性的定量描述，是對(duì)維修性優(yōu)劣的度量。描述維修性的量稱為維修性參數(shù)，或維修性指標(biāo)。

1）維修度

維修主要反映在產(chǎn)品由故障狀態(tài)到正常狀態(tài)的維修時(shí)間上，顯然，維修時(shí)間是非負(fù)的隨機(jī)變量，記為

。

設(shè)產(chǎn)品的維修時(shí)間

的分布函數(shù)為

，稱此為產(chǎn)品的維修度，即式中：

t為規(guī)定的維修時(shí)間。

上式表明，維修度表示產(chǎn)品在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，按照規(guī)定的程序和方法進(jìn)行維修時(shí)，保持或恢復(fù)到規(guī)定狀態(tài)的概率。

在工程實(shí)踐中，維修度用試驗(yàn)或統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來(lái)求得，

為有限個(gè)產(chǎn)品總數(shù)，G(t)的估計(jì)量

為(5-3)

2）維修時(shí)間密度函數(shù)

與失效概率密度相似，有維修時(shí)間密度函數(shù)

（或稱維修密度函數(shù)），表示為

3）修復(fù)率

產(chǎn)品的瞬時(shí)修復(fù)率

是指修理時(shí)間已達(dá)到某個(gè)時(shí)刻但尚未修復(fù)的產(chǎn)品，在該時(shí)刻后的某單位時(shí)間內(nèi)完成修復(fù)的概率，因此有：

（5-6）于是有（5-7）表5-1可靠度與維修度的比較5.1.2維修性參數(shù)的選擇

在我國(guó)國(guó)家軍用標(biāo)準(zhǔn)GJB451A-2005《可靠性維修性保障性術(shù)語(yǔ)》中規(guī)定產(chǎn)品十余項(xiàng)維修性參數(shù)供選用。維修性參數(shù)應(yīng)能反映維修性的本質(zhì)特性并應(yīng)與維修性工作的目標(biāo)緊密相關(guān)。維修性參數(shù)是度量維修性的尺度，必須能夠進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和計(jì)算，通常采用維修時(shí)間（均值、中值、最大值）、工時(shí)、維修費(fèi)用等參數(shù)表示，也可以根據(jù)產(chǎn)品的特點(diǎn)和用戶要求另行確定。下面討論常用的維修性參數(shù)。1.維修性時(shí)間參數(shù)選擇

1）平均修復(fù)時(shí)間（meantimetorepair)MTTR或

這是產(chǎn)品維修性的一種基本參數(shù)，是指排除故障所需實(shí)際時(shí)間的平均值，即產(chǎn)品修復(fù)一次平均需要的時(shí)間。其度量方法是：修復(fù)時(shí)間的觀測(cè)值等于在給定時(shí)間內(nèi)修復(fù)時(shí)間的總和與修復(fù)次數(shù)之比。排除故障的實(shí)際時(shí)間包括準(zhǔn)備、檢測(cè)診斷、換件、調(diào)校、檢驗(yàn)及原件修復(fù)等時(shí)間，不包括管理和后勤供應(yīng)延誤的時(shí)間。當(dāng)設(shè)備由

個(gè)可修復(fù)項(xiàng)目（分系統(tǒng)、組件或元器件等）組成時(shí)，平均修復(fù)時(shí)間為（5-10）式中：

修復(fù)率，與平均修復(fù)時(shí)間互為倒數(shù)。對(duì)于維修時(shí)間為對(duì)數(shù)正態(tài)分布的情況，則有（5-13）式中：

維修時(shí)間

的對(duì)數(shù)均值；

維修時(shí)間

的對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差。2)最大修復(fù)時(shí)間

產(chǎn)品達(dá)到規(guī)定維修度所需的修復(fù)時(shí)間，即完成給定維修度或某個(gè)規(guī)定百分度（通常為90%或95%）所需的時(shí)間稱為最大維修時(shí)間。它通常是平均修復(fù)時(shí)間的2~3倍（對(duì)指數(shù)分布來(lái)說(shuō)），具體取值取決于維修時(shí)間按的分布和方差及所規(guī)定的百分?jǐn)?shù)。

最大修復(fù)時(shí)間不計(jì)行政管理和供應(yīng)延誤的時(shí)間。同時(shí)也應(yīng)指明維修級(jí)別。

若維修時(shí)間為指數(shù)分布時(shí)，則有（5-14）（5-15）4）恢復(fù)功能用時(shí)間MTTRF或Mmct

恢復(fù)功能用時(shí)間是指任務(wù)剖面中，排除產(chǎn)品致命性故障所需實(shí)際時(shí)間的平均值。它是與任務(wù)有關(guān)的一種維修性參數(shù)，也可用產(chǎn)品致命性故障的總維修時(shí)間與致命性故障總數(shù)之比來(lái)度量。致命性故障是指那些使產(chǎn)品不能完成規(guī)定任務(wù)的或可能導(dǎo)致人、物重大損失的故障。和都表示維修時(shí)間的平均值，但兩者又有所區(qū)別。是在壽命剖面內(nèi)排除所有故障時(shí)間的平均值，屬基本維修性參數(shù)，反映產(chǎn)品完好性及對(duì)維修人力費(fèi)用的要求；而則是在任務(wù)剖面內(nèi)排除致命性故障時(shí)間的平均值，是任務(wù)維修性參數(shù)，反映對(duì)任務(wù)成功性的要求。但他們的統(tǒng)計(jì)計(jì)算方法是相同的。（5-16）式中：fpj第j項(xiàng)預(yù)防維修的頻率，通常以產(chǎn)品每工作小時(shí)分擔(dān)的j項(xiàng)維修作業(yè)數(shù)計(jì)算；

第j項(xiàng)預(yù)防維修的平均時(shí)間；

m為預(yù)防維修的項(xiàng)目數(shù)。

按需要也可以用日維修時(shí)間、周維修時(shí)間或年維修時(shí)間作為維修性參數(shù)。

預(yù)防維修時(shí)間不包括設(shè)備在工作的同時(shí)進(jìn)行維修的作業(yè)時(shí)間，也不包括供應(yīng)和行政管理延誤時(shí)間。

6）平均維修時(shí)間

平均維修時(shí)間

是產(chǎn)品每次維修所需實(shí)際時(shí)間的平均值，它包括修復(fù)性維修（排除故障）和預(yù)防維修。其度量方法為：在規(guī)定的期間內(nèi)和規(guī)定的條件下產(chǎn)品維修的總時(shí)間與該產(chǎn)品計(jì)劃維修和非計(jì)劃維修事件總數(shù)之比，表達(dá)式為（5-17）

7)維修停機(jī)時(shí)間率

它表示產(chǎn)品每工作小時(shí)維修停機(jī)時(shí)數(shù)的平均值，包括排除故障維修和預(yù)防維修。計(jì)算式為（5-18）

該參數(shù)是反映產(chǎn)品可靠性和維修性的綜合參數(shù)，其實(shí)質(zhì)是反映可用性要求的參數(shù)。

2.維修工時(shí)指標(biāo)

最常用的工時(shí)指標(biāo)是維修性指數(shù)MI，表示每個(gè)工作小時(shí)的平均維修工時(shí)，又稱維修工時(shí)率，表示為

（5-19）式中：MMH——產(chǎn)品在規(guī)定的使用期間內(nèi)的維修工時(shí)數(shù)；OH——產(chǎn)品在規(guī)定的使用期間的工作小時(shí)數(shù)。

因?yàn)榫S修分為排除故障維修和預(yù)防維修，故維修性指標(biāo)MI也由相應(yīng)的兩個(gè)維修性指數(shù)組成，即

3.維修性參數(shù)的選擇原則

1）使用參數(shù)與合同參數(shù)

按我國(guó)國(guó)家軍用標(biāo)準(zhǔn)GJB1909A-2009《裝備可靠性維修性保障性要求論證》將可靠性、維修性參數(shù)分為兩類，即使用參數(shù)與合同參數(shù)。

使用參數(shù)是反映產(chǎn)品使用需要的維修性參數(shù)。對(duì)使用參數(shù)的量值，稱為使用指標(biāo)。使用參數(shù)中包含有承制方無(wú)法控制的在使用中出現(xiàn)的那些隨機(jī)因素，所以使用參數(shù)和使用指標(biāo)不一定能直接進(jìn)入合同。

合同參數(shù)表示在合同或研制任務(wù)書(shū)中說(shuō)明使用方對(duì)產(chǎn)品維修性要求，并且是承制方在研制和生產(chǎn)中能控制和驗(yàn)證的維修性參數(shù)。其要求的量值稱為合同指標(biāo)。

使用參數(shù)與指標(biāo)是使用方在方案論證中使用的，而合同參數(shù)與指標(biāo)是經(jīng)過(guò)雙方（使用與承制）協(xié)商后寫(xiě)入合同與任務(wù)書(shū)中的。

2）維修性參數(shù)選擇的依據(jù)

選擇維修性參數(shù)的首要因素是產(chǎn)品的使用要求。同時(shí)應(yīng)考慮產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，比如對(duì)電子設(shè)備注重選擇測(cè)試參數(shù)，對(duì)機(jī)械設(shè)備往往注重預(yù)防性維修和拆卸、更換的時(shí)間參數(shù)。選擇維修性參數(shù)還需和預(yù)期維修方案相結(jié)合。選擇的維修性參數(shù)必須經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換能夠成為可考核和驗(yàn)證的參數(shù)才能作為合同參數(shù)。

對(duì)各種裝備，選擇的維修性參數(shù)可參見(jiàn)GJB1909A-2009《裝備可靠性維修性保障性要求論證》。表5-2是火炮可靠性、維修性參數(shù)選擇的示例。表5-2火炮可靠性、維修性參數(shù)選擇示例5.1.3確定維修性指標(biāo)

1.確定維修性指標(biāo)主要考慮的問(wèn)題

確定維修性指標(biāo)的主要依據(jù)是使用要求，其次要綜合考慮當(dāng)前國(guó)內(nèi)外同類裝備的維修性水平和本設(shè)備預(yù)期采用的技術(shù)可能，使產(chǎn)品達(dá)到合理的維修性水平，最后還根據(jù)現(xiàn)行的維修保障體制、各級(jí)維修時(shí)間的限制等綜合考慮。

2.使用指標(biāo)與合同指標(biāo)的轉(zhuǎn)換

確定維修性使用指標(biāo)后，還應(yīng)轉(zhuǎn)換為合同指標(biāo)。通常利用回歸模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換（有線性與非線性模型）。

線性模型為非線性模型為（5-21）5.1.4維修分布

常見(jiàn)的維修分布有指數(shù)分布、正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、定長(zhǎng)分布等，前面已陸續(xù)介紹過(guò)指數(shù)分布和正態(tài)分布，在此將討論對(duì)數(shù)正態(tài)分布的MTTR與定長(zhǎng)分布作為補(bǔ)充。

維修分布為對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其維修密度函數(shù)為其平均修理時(shí)間MTTR為(5-22)維修分布為定長(zhǎng)分布，即(5-23)表明產(chǎn)品只在時(shí)刻

被修復(fù)，其均值為5.1.5可用度

可用度是產(chǎn)品可靠性與維修性的綜合指標(biāo)，是指在規(guī)定的條件下，當(dāng)任務(wù)需要時(shí)，產(chǎn)品處于可使用狀態(tài)的概率。

可用度又分為瞬時(shí)可用度、平均可用度與穩(wěn)態(tài)可用度等。它們都是描述可用性的特征量。

隨著時(shí)間的進(jìn)程，可維修產(chǎn)品總是在正常與故障狀態(tài)交替，如圖5-1。為研究t時(shí)刻

產(chǎn)品處于的狀態(tài)，引入X(t)表示產(chǎn)品在時(shí)刻

的狀態(tài)，定義為對(duì)于固定的t，

X(t)是隨機(jī)變量；當(dāng)t變動(dòng)時(shí)，X(t)是隨機(jī)過(guò)程。圖5-1產(chǎn)品的進(jìn)程（5-27）產(chǎn)品的瞬時(shí)不可用度為（5-28）產(chǎn)品的平均可用度為（5-29）在瞬時(shí)可用度的表達(dá)式中，令

，得穩(wěn)態(tài)可用度A為：(5-30)穩(wěn)態(tài)可用度又稱為固有可用度，它表示在規(guī)定條件下，不考慮供應(yīng)和行政延誤時(shí)間及預(yù)防維修時(shí)間的可用度。(5-31)式中：MTBM——平均維修間隔時(shí)間。

同樣，穩(wěn)態(tài)不可用度表示為(5-32)

若把MTBF+MTTR理解為產(chǎn)品的總時(shí)間，則A是工作時(shí)間與總時(shí)間之比。穩(wěn)態(tài)可用度的計(jì)算式適用于各種分布。 5.2馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程5.2.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念

自然界中事物變化的過(guò)程，可以用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間t的確定函數(shù)來(lái)描述的過(guò)程稱為確定性過(guò)程。如真空中的自由落體運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體在任意時(shí)間t；離開(kāi)初始點(diǎn)的位置x（t）為則物體在進(jìn)行自由落體運(yùn)動(dòng)，離開(kāi)初始點(diǎn)的距離的變化過(guò)程是確定性的。另一類事物的變化過(guò)程不能用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間t的確定函數(shù)來(lái)描繪，這一類過(guò)程沒(méi)有確定的變化形式，也沒(méi)有必然的變化規(guī)律。對(duì)事物變化的全過(guò)程進(jìn)行一次觀測(cè)，得到的結(jié)果是一個(gè)時(shí)間t的函數(shù)，但對(duì)同一事物的變化過(guò)程獨(dú)立地、重復(fù)地進(jìn)行多次觀測(cè)，所得的結(jié)果又不相同。例如，在同樣條件下，重復(fù)測(cè)得n個(gè)風(fēng)速v（t）隨時(shí)間t的變化曲線，每測(cè)試一次，便得到一個(gè)風(fēng)速—時(shí)間函數(shù)，如圖5-2所示。我們把風(fēng)速變化過(guò)程的觀測(cè)視為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，只是每次試驗(yàn)結(jié)果需在某個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)持續(xù)進(jìn)行，其相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果是一個(gè)時(shí)間t的函數(shù)。隨著多次獨(dú)立試驗(yàn)，可以得到一族風(fēng)速—時(shí)間的函數(shù)，用此函數(shù)來(lái)描述變化過(guò)程。圖5-2風(fēng)速—時(shí)間函數(shù)

隨機(jī)過(guò)程有連續(xù)時(shí)間、連續(xù)狀態(tài)的隨機(jī)過(guò)程，也有離散時(shí)間、離散狀態(tài)的隨機(jī)過(guò)程以及連續(xù)時(shí)間、有限或無(wú)限狀態(tài)的隨機(jī)過(guò)程等。（5-34）

設(shè)系統(tǒng)如圖5-3所示只有兩種狀態(tài)，即正常S與故障F。系統(tǒng)由正常狀態(tài)S因出故障而轉(zhuǎn)移到故障狀態(tài)F；故障狀態(tài)經(jīng)修理恢復(fù)到正常狀態(tài)。這種狀態(tài)的轉(zhuǎn)移完全是隨機(jī)的。即對(duì)于每個(gè)固定的時(shí)刻

，系統(tǒng)所處的狀態(tài)X(t1)是隨機(jī)變量，則X(t)是隨機(jī)過(guò)程。對(duì)這種狀態(tài)轉(zhuǎn)移起作用的只是現(xiàn)在所處的狀態(tài)，與以前的狀態(tài)轉(zhuǎn)移無(wú)關(guān)，即系統(tǒng)狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移僅由前一時(shí)刻狀態(tài)決定，與將來(lái)時(shí)刻、過(guò)去時(shí)刻的狀態(tài)均無(wú)關(guān)，故此系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程是馬爾可夫過(guò)程。圖5-3兩狀態(tài)圖若對(duì)于任意時(shí)刻的t，

t≥0，及對(duì)于任意的i，j

E，均有（5-35）該式表示馬爾可夫過(guò)程的轉(zhuǎn)移概率僅與時(shí)間差

t有關(guān)，與起始時(shí)刻的位置t無(wú)關(guān)，則稱這種過(guò)程為齊次馬爾可夫過(guò)程。對(duì)于固定的i，j

E，函數(shù)Pij（t）表示從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率函數(shù)。對(duì)齊次馬爾可夫過(guò)程，若令則系統(tǒng)在時(shí)刻t處于狀態(tài)j的概率，與系統(tǒng)在時(shí)刻0處于狀態(tài)k的關(guān)系式為（5-36）5.3維修系統(tǒng)的可靠性計(jì)算5.3.1單部件維修系統(tǒng)

由一個(gè)部件組成的維修系統(tǒng)是最簡(jiǎn)單的維修系統(tǒng)。當(dāng)部件工作時(shí)，系統(tǒng)處于工作狀態(tài)；部件出故障時(shí)，系統(tǒng)處于故障狀態(tài)。系統(tǒng)從時(shí)刻t=0開(kāi)始工作，工作一段時(shí)間發(fā)生故障，修理工馬上進(jìn)行修理，修復(fù)后（與原來(lái)新的一樣）又立即投入正常工作，如此下去，形成故障與工作狀態(tài)不斷交替的過(guò)程。

設(shè)X(t)表示時(shí)刻t系統(tǒng)所處的狀態(tài)，則

顯然{X(t)，t≥0}是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，是連續(xù)時(shí)間、有限狀態(tài)空間E={0,1}上的馬爾可夫過(guò)程。又由于指數(shù)分布的無(wú)記憶性，所以{X(t)，t≥0}是一個(gè)齊次馬爾可夫過(guò)程。

若已知X(t)=0或X(t)=1，因?yàn)閴勖c維修時(shí)間均為指數(shù)分布，因此，時(shí)刻t以后系統(tǒng)發(fā)展的概率規(guī)律由時(shí)刻t系統(tǒng)是工作狀態(tài)好還是故障狀態(tài)完全決定了，而與該部件在時(shí)刻t已工作了多長(zhǎng)時(shí)間或已修理了多長(zhǎng)時(shí)間無(wú)關(guān)，即時(shí)刻t以后系統(tǒng)的發(fā)展概率規(guī)律由X(t)=0還是X(t)=1所完全決定，與時(shí)刻t以前的歷史無(wú)關(guān)。類似地，也能說(shuō)明該過(guò)程具有齊次性。

1.轉(zhuǎn)移概率

設(shè)系統(tǒng)壽命

呈參數(shù)

的指數(shù)分布：維修時(shí)間呈參數(shù)為

的指數(shù)分布：修復(fù)后部件的壽命分布與新部件一樣，且假定部件壽命

與修復(fù)時(shí)間

相互獨(dú)立。

圖5-4所示為單部件系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系。圖中“0”表示系統(tǒng)處于正常狀態(tài)，“1”表示系統(tǒng)處于故障狀態(tài)，P00表示系統(tǒng)保持狀態(tài)“0”的概率，P01表示由狀態(tài)“0”向“1”轉(zhuǎn)移的概率，P11表示系統(tǒng)保持狀態(tài)“1”的概率，P10表示由狀態(tài)“1”向“0”轉(zhuǎn)移的概率?，F(xiàn)討論系統(tǒng)從任意時(shí)刻t開(kāi)始處于工作狀態(tài)，經(jīng)過(guò)

t時(shí)間后，系統(tǒng)發(fā)生故障（故障概率為

），且在

t內(nèi)只有一次故障的情況。這時(shí)系統(tǒng)在

t內(nèi)由狀態(tài)“0”轉(zhuǎn)移到狀態(tài)“1”的轉(zhuǎn)移概率為（5-37）圖5-4單部件系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移

系統(tǒng)在任意時(shí)刻t開(kāi)始處于工作狀態(tài)，經(jīng)過(guò)

t時(shí)間后，系統(tǒng)仍繼續(xù)正常工作，則系統(tǒng)在時(shí)間間隔

t內(nèi)由狀態(tài)“0”轉(zhuǎn)移到狀態(tài)“0”的概率為（5-38）

系統(tǒng)在時(shí)刻t處于故障狀態(tài)，在

t時(shí)間間隔內(nèi)系統(tǒng)被修復(fù)的修復(fù)率為

，即經(jīng)過(guò)

t時(shí)間由狀態(tài)“1”轉(zhuǎn)移到狀態(tài)“0”，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率為（5-39）

系統(tǒng)在時(shí)刻t處于故障狀態(tài)，在

t內(nèi)沒(méi)有修復(fù)，仍處在故障狀態(tài)，即保持狀態(tài)“1”，其轉(zhuǎn)移概率為（5-40）

2.系統(tǒng)的可用度

有了上述的在狀態(tài)轉(zhuǎn)移的條件概率，則可以求出系統(tǒng)的可用度A（t）?？捎枚仁侵赶到y(tǒng)在時(shí)刻t處于正常工作在狀態(tài)的概率。

設(shè)P0{t}，P1{t}分別表示系統(tǒng)在時(shí)刻t處于狀態(tài)“0”和狀態(tài)“1”的概率，即（5-41）由全概率公式可得對(duì)以上兩式求導(dǎo)，可得關(guān)于P0{t}和P1{t}的微分方程組（5-42）根據(jù)初始（邊界）條件（5-43）則式（5-42）是常系數(shù)微分方程組，其對(duì)應(yīng)的二階常系數(shù)線性微分方程為解二階方程得式中：C1，C2——常數(shù)。代入式（5-43）的初始條件，得到微分方程的解（5-44）此時(shí)系統(tǒng)的可用度為（5-45）若在時(shí)刻t=0，系統(tǒng)處于故障狀態(tài)，則初始條件方程是由類似推導(dǎo)可得（5-45）（5-46）則系統(tǒng)的可用度為（5-47）

求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度，只需在是式（5-45）與（5-47）中令

，得該式說(shuō)明A與系統(tǒng)所處的初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。

對(duì)單部件系統(tǒng)的其它特征量，也可類似推出。設(shè)時(shí)刻t=0時(shí)是好的，對(duì)單一部件系統(tǒng)，系統(tǒng)首次故障前的壽命分布就是此部件的壽命分布，所以單部件可修系統(tǒng)的可靠度為系統(tǒng)首次故障前的平均時(shí)間是5.3.2串聯(lián)維修系統(tǒng)

1.兩個(gè)不同部件的串聯(lián)系統(tǒng)

系統(tǒng)由兩個(gè)不同的部件組成。當(dāng)兩個(gè)部件正常工作時(shí)，系統(tǒng)處于工作狀態(tài)，若其中任一部件發(fā)生故障，則系統(tǒng)處于故障狀態(tài)。類似于單部件系統(tǒng)，可寫(xiě)出以下轉(zhuǎn)移概率：(5-48)

用圖5-5說(shuō)明這一組計(jì)算式的意義，圖中省略了系統(tǒng)停留在原狀態(tài)的概率。最后一式是說(shuō)明從狀態(tài)“1”必須經(jīng)過(guò)狀態(tài)“0”才能轉(zhuǎn)換到狀態(tài)“2”，同樣，從狀態(tài)“2”也必須經(jīng)過(guò)狀態(tài)“0”才能轉(zhuǎn)到狀態(tài)“1”。又根據(jù)假設(shè)，在時(shí)間

內(nèi)發(fā)生兩次或兩次以上不同狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率一定為

。

令利用全概率公式有圖5-5兩部件串聯(lián)系狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

(5-49)初始條件為利用拉普拉斯變換解微分方程，并代入初始值，得到（5-51）經(jīng)類似推導(dǎo)，可得串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度：（5-52）首次故障前的平均時(shí)間為(5-53)

2.n個(gè)相同部件的串聯(lián)系統(tǒng)

有由n個(gè)相同部件組成的串聯(lián)系統(tǒng)，設(shè)每個(gè)部件的壽命

的分布函數(shù)為

，故障維修時(shí)間

的分布函數(shù)為

，故障部件修理后的壽命分布與

相同，并假設(shè)所有隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的。令同樣有：式中：

在時(shí)刻t有一個(gè)部件故障的條件下，于時(shí)間間隔

內(nèi)部件沒(méi)有被修好的概率。

又設(shè)于是微分方程組（5-54）或改寫(xiě)為（5-55）（5-56）（5-57）（5-58）設(shè)在時(shí)間

內(nèi)不同狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率為圖5-6轉(zhuǎn)移狀態(tài)圖轉(zhuǎn)移概率矩陣為式中，可通過(guò)解下列微分方程求系統(tǒng)可用度：得式中：

是拉普拉斯變換的算子。系統(tǒng)的可靠度為且5.3.3

并聯(lián)維修系統(tǒng)

1.兩個(gè)相同部件，一個(gè)人維修的并聯(lián)系統(tǒng)

假設(shè)兩部件的壽命分布均為

，故障后的修理時(shí)間呈參數(shù)

的指數(shù)分布，兩部件的壽命、維修時(shí)間等隨機(jī)變量相互獨(dú)立，故障修復(fù)后的壽命分布仍為參數(shù)為

的指數(shù)分布。以為只有一個(gè)修理工，當(dāng)修理工正在修理一個(gè)故障部件時(shí)，另一個(gè)故障部件必須等待修理，這時(shí)系統(tǒng)處于故障狀態(tài)。故系統(tǒng)共有三種狀態(tài)：兩個(gè)部件都正常，則系統(tǒng)正常；一個(gè)部件正常，另一個(gè)部件故障，系統(tǒng)仍正常；兩個(gè)部件均故障，系統(tǒng)故障。兩部件故障時(shí)，修理工修好其中一個(gè)，系統(tǒng)立即進(jìn)入正常狀態(tài)。令可以證明

是連續(xù)時(shí)間，有限狀態(tài)空間

上的齊次馬爾可夫過(guò)程，其轉(zhuǎn)移概率分別為圖5-7兩相同部件，一個(gè)修理工的并聯(lián)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖（5-