《電路與信號分析》課件第9章

9.1離散時間信號的概念9.2離散時間信號的基本運算9.3離散時間系統(tǒng)及其數(shù)學模型9.4離散時間系統(tǒng)的響應9.5離散系統(tǒng)的單位函數(shù)響應9.6離散卷積和習題9第9章離散信號與系統(tǒng)的時域分析9.1離散時間信號的概念

9.1.1離散時間信號的定義

如果信號只在某些離散時刻上有定義，其幅值可取連續(xù)區(qū)域內(nèi)的任何值，這種信號就稱為離散時間信號。如圖9-1所示，離散時間信號f(tk)只在一些離散時刻tk(k=0，±1，±2，±3，…)上取值，而在任意兩個時刻之間的時間間隔上無定義。通常設時刻tk和tk+1之間的時間間隔為Tk=tk+1－tk，若Tk隨k的不同而變化，則稱為非均勻離散時間信號，若Tk=T為常數(shù)，則稱為均勻離散時間信號。記f(tk)=f(kT)，為了方便通常簡寫為f(k)。本書只討論均勻離散時間信號，簡稱離散信號。圖9-1離散時間信號根據(jù)離散變量k取非零值的范圍，序列可分為以下三種情況：

若序列f(k)對所有的整數(shù)k都存在確定的非零值，則稱這類序列為雙邊序列。

若f(k)=0，k≤k1，則f(k)稱為有始序列或右邊序列；反之若f(k)=0，k≥k2，則f(k)稱為有終序列或左邊序列。其中k1≥0的有始序列稱為因果序列，k2≤0的有終序列稱為反因果序列。上述序列通稱為單邊序列。

若f(k)僅在k1≤k≤k2(k2≥k1)區(qū)間有非零確定值，則稱這類序列為有限序列。

若序列滿足性質(zhì)f(k)=f(k+)mN，其中N為正整數(shù)，m為任意整數(shù)，則稱該序列是周期為N的離散時間周期信號或周期序列，如圖9-2所示。圖9-2

N=3的周期序列9.1.2離散時間信號的表示

離散時間信號可以用三種形式表示。第一種是用解析式表示，即用數(shù)學函數(shù)表達式的形式表示出離散時間信號與時間變量之間的關(guān)系，例如

f(k)=(－1)k，k=0，±1，±2，…

第二種是用序列形式表示，序列中的每一個數(shù)字稱為離散信號的樣值。例如上式的序列形式為

f(k)={…，1，－1，1，－1，1，－1…}

式中“1”的下劃線表示序號k＝0時的數(shù)值。第三種是用圖形形式表示，即將離散時間信號用一條條不同高度的帶圓點的垂線表示，每條垂線的端點即是實際的函數(shù)值。例如上式的f(k)又可以用圖9-3表示。

上述三種表示方法可互相轉(zhuǎn)換，各有特點，序列形式和圖形形式的優(yōu)點是直觀，常用表示有限序列，但缺點是不易得出解析表達式。圖9-3序列f(k)的圖形表示9.1.3典型的離散時間信號

1.單位函數(shù)信號(UnitFunctionSignal)

單位函數(shù)信號表示為(9-1)該信號也稱為單位樣值序列或單位脈沖信號，如圖9-4(a)所示。它在離散信號與系統(tǒng)分析中所起的作用類似于單位沖激信號δ(t)在連續(xù)信號與系統(tǒng)分析中所起的作用，不同之處在于δ(t)是一個廣義函數(shù)，在t=0時，幅度為無限大；而δ(k)是一般函數(shù)，即在k=0時函數(shù)值為1。δ(k－n)是移位或移序單位函數(shù)信號，其函數(shù)表示為

圖9-4(b)所示為n＝2時的移位單位函數(shù)信號。(9-2)圖9-4單位函數(shù)信號及移位單位函數(shù)信號(a)單位函數(shù)信號；(b)n=2時的移位單位函數(shù)信號

2.單位階躍序列(UnitStepSequence)

單位階躍序列表示為

(9-3)單位階躍序列的圖形如圖9-5(a)所示。離散信號ε(k)類似于連續(xù)信號ε(t)，但應注意ε(k)在k=0時取確定值1。ε(k－n)是移位或移序單位階躍序列，其函數(shù)表示為

(9-4)

圖9-5(b)為n＝3時的移位階躍序列。圖9-5單位階躍序列及移位單位階躍序列(a)單位階躍序列；(b)n=3時的移位單位階躍序列

3.單邊指數(shù)序列

單邊指數(shù)序列表示為

(9-5)

當|a|>1時，該序列是增長的；|a|<1時，該序列是衰減的；|a|=1時，該序列是等幅振蕩或恒定的。圖9-6分別給出了在a>1和0<a<1兩種情況下單邊指數(shù)序列的圖形。圖9-6單邊指數(shù)序列akε(k)(a)a>1；(b)0<a<1

4.單邊正弦序列

單邊正弦序列表示為

(9-6)

其中，常數(shù)A和ω0分別稱為正弦序列的最大樣值和角頻率。正弦序列的圖形與A和ω0有關(guān)。圖9-7所示是當A=1，時的單邊正弦序列圖形。圖9-7單邊正弦序列除以上四種典型的離散信號外，常用的離散信號還有斜變序列、單邊余弦序列，虛指數(shù)序列和矩形序列，其解析式分別如下：

斜變序列：f(k)=Akε(k)

單邊余弦序列：f(k)=Acosω0kε(k)

虛指數(shù)序列：

矩形序列：(9-7)

9.2離散時間信號的基本運算

9.2.1相加與相乘

1.序列的相加

序列f1(k)與f2(k)相加，是指兩個序列同序號的數(shù)值逐項相應地相加，而構(gòu)成一個新的序列f(k)，即

f(k)=f1(k)+f2(k)

(9-8)

2.序列的相乘

序列f1(k)與f2(k)相乘，是指兩個序列同序號的數(shù)值逐項相應地相乘，而構(gòu)成一個新的序列f(k)，即

f(k)=f1(k)·f2(k)(9-9)

例9-1已知序列f1(k)={2，1，0}，f2(k)={0，1，2}。試求f1(k)+f2(k)和f1(k)·f2(k)。

解兩個序列同序號的數(shù)值逐項相應的相加、相乘，則可得

f1(k)+f2(k)={2，2，2}

f1(k)·f2(k)={0，1，0}

其圖形如圖9-8所示。圖9-8離散時間信號的相加、相乘(a)f1(k)；(b)f2(k)；(c)f1(k)+f2(k)；(d)f1(k)·f2(k)9.2.2折疊與位移

1.序列的折疊

序列f(k)的自變量k如果用－k代替，即得到一個新的序列

f(－k)，表示f(k)以縱軸為中心進行翻轉(zhuǎn)，稱為序列的折疊。

2.序列的位移

序列向后(右)移位是指序列f(k)逐項依次后移(或右移)m位，而得到一個新的序列f(k－m)；序列向前(左)移位是指序列f(k)逐項依次前移(或左移)m位，而得到一個新的序列f(k+m)。

例9-2已知序列f1(k)={0，1，2，3，6}。試求f1(－k)和f1(k－2)。

解依據(jù)序列折疊可得f1(－k)={6，3，2，1，0}；k→

k－2，序列向后移2位f1(k－2)={0，1，2，3，6}。

其圖形分別如圖9-9所示。圖9-9離散時間信號的折疊、位移(a)f1(k)；(b)f1(－k)；(c)f1(k－2)9.2.3尺度變換

尺度變換是指將原離散序列樣本個數(shù)減少或增加的運算，有抽取和內(nèi)插兩種。

序列f(k)的M倍抽取定義為f(Mk)，其中M為正整數(shù)，表示在序列f(k)中每隔M－1點抽取一點；序列f(k)的L倍內(nèi)插定義為f(k/L)，其中L為正整數(shù)，表示在序列f(k)中每兩點之間插入

L－1個零值點。

例9-3已知序列f1(k)={1，2，3，3，2}，f2(k)={1，2，3}，如圖9-10(a)、(b)所示。試求f1(2k)和。圖9-10離散時間信號的尺度變換

(a)f1(k)；(b)f2(k)；(c)f1(2k)；(d)

解依據(jù)定義可知f1(2k)是f1(k)的抽取，即每隔2－1=1點抽取一點，則f1(2k)={1，3，2}，如圖9-10(c)所示。

是f2(k)的內(nèi)插，表示在序列f2(k)中每兩點之間插入2－1=1個零值點，則={1，0，2，0，3}，如圖9-10(d)所示。9.2.4求和

離散信號的求和與連續(xù)信號的積分相對應，是對其在

(－∞，k)區(qū)間上求和，可表示為

(9-10)

單位階躍序列也可用單位函數(shù)信號的序列求和表示：

(9-11)

例9-4已知序列f(k)={1，1，1}。試求。

解依據(jù)定義可知y(k)是f(k)的序列求和，則y(k)={1,2，3，3，3，…}，如圖9-11(b)所示。圖9-11離散時間信號的序列求和(a)f(k)；(b)y(k)9.2.5序列的差分

序列f(k)的一階前向差分Δf(k)定義為

Δf(k)=f(k+1)－f(k)

(9-12)

一階后向差分f(k)定義為

f(k)=f(k)－f(k－1)

(9-13)

同理可以定義二階前向差分為

(9-14)

定義二階后向差分為

(9-15)

9.3離散時間系統(tǒng)及其數(shù)學模型

9.3.1線性時不變離散時間系統(tǒng)及其特性

輸入和輸出都是離散信號的系統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)。設輸入信號為f(k)，輸出信號為y(k)，則離散時間系統(tǒng)可用圖9-12表示。

與連續(xù)時間系統(tǒng)類似，離散時間系統(tǒng)同樣可以分為線性和非線性系統(tǒng)、時變和時不變系統(tǒng)。本書只討論線性時不變離散系統(tǒng)。

線性時不變離散時間系統(tǒng)是指同時滿足線性和時不變性的離散時間系統(tǒng)。圖9-12離散時間系統(tǒng)

1.線性

設某離散時間系統(tǒng)在激勵f1(k)作用下產(chǎn)生響應y1(k)，在激勵f2(k)作用下產(chǎn)生響應y2(k)，若當激勵變?yōu)閏1f1(k)+c2f2(k)時

(c1、c2為任意常數(shù))，相應的響應成為c1y1(k)+c2y2(k)，則稱該系統(tǒng)為線性離散系統(tǒng)。

2.時不變性

設某離散時間系統(tǒng)在激勵f(k)作用下產(chǎn)生響應y(k)，若當激勵f(k)延遲為f(k－m)時(m為任意常數(shù))，響應y(k)同樣延時為

y(k－m)，則稱該系統(tǒng)為時不變離散系統(tǒng)。

判斷一個系統(tǒng)是否為線性時不變離散系統(tǒng)，只要依據(jù)定義判斷該系統(tǒng)是否滿足線性和時不變性即可。

例9-5判斷離散系統(tǒng)y(k)=F［f(k)］=3f(k)+5f(k－1)是否為線性時不變離散系統(tǒng)。

解設y1(k)=F［f1(k)］=3f1(k)+5f1(k－1)，y2(k)=F［f2(k)］=3f2(k)+5f2(k－1)，若f(k)=c1f1(k)+c2f2(k)，則有

y(k)=F［f(k)］=c1y1(k)+c2y2(k)

故該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。

若f(k)→f(k－m)，則

F［f(k－m)］=3f(k－m)+5f(k－m－1)=y(k－m)

故該系統(tǒng)又為時不變系統(tǒng)。9.3.2離散時間系統(tǒng)的數(shù)學模型

在連續(xù)時間系統(tǒng)中描述輸入和輸出關(guān)系的數(shù)學模型是微分方程。對于離散時間系統(tǒng)，由于變量k是離散的，所以采用差分方程來描述其輸入和輸出關(guān)系。

線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程由連續(xù)自變量t的函數(shù)f(t)、y(t)及各階導數(shù)等項線性組合構(gòu)成常系數(shù)線性微分方程。構(gòu)成線性時不變離散系統(tǒng)的描述方程則由離散自變量k的函數(shù)f(k)、y(k)及其位移函數(shù)

f(k+1)，f(k+2)，…，f(k－1)，f(k－2)，…；

y(k+1)，y(k+2)，…，y(k－1)，y(k－2)，…

項線性組合構(gòu)成常系數(shù)線性差分方程。差分方程具有兩種形式：右移序列形式和左移序列形式。

(1)右移序列差分方程也稱后向差分方程

a0y(k)+a1y(k－1)+a2y(k－2)+…+any(k－n)

=b0f(k)+b1f(k－1)+b2f(k－2)+…+bmf(k－m)

(9-16)

(2)左移序列差分方程也稱前向差分方程

any(k+n)+an-1y(k+n－1)+an－2y(k+n－2)+…+a0y(k)

=b0f(k)+b1f(k+1)+b2f(k+2)+…+bmf(k+m)

(9-17)在式(9-16)和式(9-17)中，f(k)是激勵(輸入)，y(k)是響應(輸出)，ai、bi為常系數(shù)。差分方程的階數(shù)為響應(輸出)序列中自變量的最高序號與最低序號之差。在描述因果離散系統(tǒng)的差分方程中，激勵的最高序號不能大于響應的最高序號，即m≤n。9.3.3離散時間系統(tǒng)的模擬

與連續(xù)系統(tǒng)的模擬圖類似，離散系統(tǒng)的模擬圖是數(shù)學意義的差分方程模擬，一般是由幾個基本運算單元組成?；具\算器及其運算關(guān)系如圖9-13所示。圖9-13基本運算器及其運算關(guān)系離散系統(tǒng)模擬的基本單元中的加法器和標量乘法器與連續(xù)系統(tǒng)模擬所用的相同，不同的單元是延時器(Delayer)。延時器是用來在時間上向后移序的器件，它能將輸入信號延遲一個時間間隔。模擬離散系統(tǒng)的延時器相當于模擬連續(xù)系統(tǒng)的積分器。在實際系統(tǒng)中，延時器可以用電荷耦合器或數(shù)字寄存器實現(xiàn)。正如積分器中的積分符號可以用復變量s－1來替代一樣，模擬離散系統(tǒng)的延時器中的延時符號也可以用Z變換中的復變量z－1來替代。關(guān)于Z變換將在第10章詳細討論。

成離散系統(tǒng)的模擬圖和信號流圖的方法與連續(xù)系統(tǒng)一樣，用相應的運算器連接起來加以模擬。

例9-6已知離散系統(tǒng)的差分方程為y(k+2)+a1y(k+1)+a0y(k)

=b1f(k+1)+b0f(k)。請畫出該離散系統(tǒng)的直接模擬圖及信號流圖。

解引入一個輔助函數(shù)q(k)，由差分方程得

q(k+2)+a1q(k+1)+a0q(k)=f(k)

y(k)=b1q(k+1)+b0q(k)

由此做出直接模擬圖如圖9-14(a)所示，信號流圖如圖

9-14(b)所示。圖9-14例9-6差分方程的直接模擬圖及信號流圖(a)直接模擬圖；(b)信號流圖

9.4離散時間系統(tǒng)的響應

從時域求解離散時間系統(tǒng)一般可以采用迭代法、經(jīng)典法、分別求零輸入響應和零狀態(tài)響應法。

9.4.1迭代法

描述離散時間系統(tǒng)的差分方程是具有遞推關(guān)系的代數(shù)方程，若已知初始狀態(tài)和輸入激勵，利用迭代法可求得差分方程的數(shù)值解。

例9-7一階線性常系數(shù)差分方程y(k)－0.5y(k－1)=ε(k)，k≥0；已知初始狀態(tài)y(－1)=1。試用迭代法求解差分方程。

解將差分方程可寫成y(k)=0.5y(k－1)+ε(k)

代入初始狀態(tài)，可得

y(0)=0.5y(－1)+ε(0)=0.5×1+1=1.5

依此迭代可得

y(1)=0.5y(0)+ε(1)=0.5×1.5+1=1.75

y(2)=0.5y(1)+ε(2)=0.5×1.75+1=1.875

…

y(k)={1.5，1.75，1.875，…}對于如式(9-16)后向差分方程描述的n階離散時間，當已知n個狀態(tài){y(－1)，y(－2)，y(－3)，…，y(－n)}和輸入時，就可由下式迭代計算出系統(tǒng)的響應。

(9-18)

用迭代法求解差分方程思路清晰，便于編寫計算程序，能得到方程的數(shù)值解，缺點是不易得到閉式解。9.4.2經(jīng)典法

與連續(xù)時間系統(tǒng)微分方程的時域經(jīng)典法類似，該方法首先分別求齊次解與特解，然后代入初始條件求待定系數(shù)。這種方法便于從物理概念表明各響應分量之間的相互關(guān)系。

1.齊次解

當式(9-16)中右邊激勵項f(k)及各移位項均為0時，便得到齊次方程。根據(jù)齊次方程相應的特征方程特征根的情況，確定齊次解的形式。

(1)在特征根為λ1，λ2，…，λN且沒有重根的情況下，齊次解便為

(9-19)

式中，c1，c2，…，cN是由初始條件確定的系數(shù)。

(2)在特征根存在重根且λ1是r重根的情況下，其余N－r個根是單根，齊次解便為

(9-20)

式中，ci，cj是由初始條件確定的系數(shù)。

例9-8已知齊次差分方程為y(k)+y(k－1)－6y(k－2)=0，初始狀態(tài)y(0)=3，y(1)=1。試求解該差分方程的齊次解。

解首先求特征根。該差分方程的特征方程為

λ2+λ－6=0

解方程可得特征根為λ1=2，λ2=－3，均為單根。故差分方程的齊次解為

λh(k)=c1(2)k+c2(－3)k,

k≥0

然后根據(jù)初始條件確定待定系數(shù)的值。將y(0)=3，y(1)=1代入齊次解，則得

解得c1=2，c2=1。從而，該差分方程的齊次解為

yh(k)=2(2)k+(－3)k,

k≥0

2.特解

離散時間系統(tǒng)差分方程特解的形式也與輸入激勵函數(shù)的形式有關(guān)。表9-1列出幾種典型的輸入激勵函數(shù)所對應的特解。選定特解形式后，代入到原差分方程，求出待定系數(shù)，便可得出差分方程的特解。表9-1特解的函數(shù)形式

例9-9已知某離散時間系統(tǒng)的差分方程為y(k)－2y(k－1)

=2x(k)－3x(k－1)，激勵x(k)=k2。試求解該差分方程的特解。

解根據(jù)激勵的形式，查表9-1，可知該差分方程的特解形式為

yc(k)=p2k2+p1k+p0

將yc(k)、yc(k－1)、x(k)和x(k－1)代入差分方程，得

［p2k2+p1k+p0］－2［p2(k－1)2+p1(k－1)+p0］=2k2－3(k－1)2

整理后得

－p2k2+(4p2－p1)k+(－2p2+2p1－p0)=－k2+6k－3上式對任意k值均應相等，因此等號兩端k的同次冪系數(shù)應相等，可得

解得p2=1，p1=－2，p0=－3。從而得該離散系統(tǒng)差分方程的特解為

yc(k)=k2－2k－3

3.完全解

離散時間系統(tǒng)差分方程完全解是齊次解與特解的和，即

y(k)=yh(k)+yc(k)

(1)如果特征方程的根均為單根，則差分方程的完全解為

(9-21)

式中，c1，c2，…，cN是由初始條件確定的系數(shù)。

(2)在特征根存在重根且λ1是r重根的情況下，其余N－r個根是單根，則差分方程的完全解為

(9-22)

式中，ci、cj是由初始條件確定的系數(shù)。

離散時間系統(tǒng)差分方程的齊次解也稱為系統(tǒng)的自由響應，特解也稱為系統(tǒng)的強制響應。9.4.3分別求零輸入響應和零狀態(tài)響應法

在離散系統(tǒng)中用時域分析法對差分方程求解時，也可以求解相應的齊次差分方程。這時可先求出僅由初始儲能引起的零輸入響應yzi(k)，然后再對非齊次差分方程求出僅由激勵引起的零狀態(tài)響應yzs(k)，最后將兩者疊加求出全響應，即全響應

y(k)=yzi(k)+yzs(k)。必須注意，離散系統(tǒng)初始條件的描述與連續(xù)系統(tǒng)初始條件的描述略有不同，在計算差分方程的零輸入響應時，必須判別已知初始條件中哪些是僅由初始儲能引起的，并遞推出所需的零輸入初始條件。全響應的初始條件可分解為零輸入初始條件和零狀態(tài)初始條件兩部分。零輸入響應的初始條件表明了系統(tǒng)的初始儲能情況，與輸入激勵無關(guān)；零狀態(tài)響應的初始條件僅由輸入信號作用而產(chǎn)生，而與系統(tǒng)初始儲能狀態(tài)無關(guān)。

1.零輸入響應

輸入激勵為零時，僅由系統(tǒng)初始儲能狀態(tài)引起的響應為零輸入響應。

例9-10已知某離散時間系統(tǒng)的差分方程為y(k+3)+6y(k+2)+12y(k+1)+8y(k)=x(k)，激勵x(k)=ε(k)，初始條件是y(1)=1，y(2)=2，y(3)=－23。試求零輸入響應。

解該差分方程的特征方程為

λ3+6λ2+12λ+8=0

解得特征根為λ=－2，是三重根，則零輸入響應表達式為

yzi(k)=(c2k2+c1k+c0)(－2)k

(1)

求零輸入響應初始條件。

在差分方程中，令k=－1，得

y(2)+6y(1)+12y(0)+8y(－1)=x(－1)

(2)

在差分方程中，令k=0，得

y(3)+6y(2)+12y(－1)+8y(0)=x(0)(3)

由(2)式可知，y(2)、y(1)、y(0)、y(－1)與輸入激勵無關(guān)，僅由初始儲能引起，即yzi(1)=y(1)=1，yzi(2)=y(2)=2，yzi(0)=y(0)。

由(3)式可知，y(3)與激勵有關(guān)，將已知初始條件代入(3)式，得

y(0)=0=yzi(0)將零輸入響應初始條件代入(1)式，可得

解得c0=0，c1=，c2=，代入(1)式得

2.零狀態(tài)響應

離散系統(tǒng)求解零狀態(tài)響應，可直接求解非齊次差分方程。求解方法和經(jīng)典計算連續(xù)時間系統(tǒng)零狀態(tài)響應相似。先求齊次解和特解，然后代入僅由輸入激勵引起的初始條件確定待定系數(shù)。若激勵在k=0時接入系統(tǒng)，根據(jù)因果性，零狀態(tài)條件為

y(－1)=y(－2)=y(－n)=0。但當激勵信號較復雜，且差分方程階數(shù)較高時，上述求解非齊次差分方程的過程也很復雜。所以，與連續(xù)時間系統(tǒng)時域分析相同，離散時間系統(tǒng)求解零狀態(tài)響應時，也常采用卷積分析法，又稱為“卷積和”法?；仡欉B續(xù)系統(tǒng)求零狀態(tài)響應的過程，通過平行相似可以得到求取離散系統(tǒng)零狀態(tài)響應的方法，具體步驟如下：

(1)將激勵分解。連續(xù)系統(tǒng)激勵

離散系統(tǒng)激勵

(9-23)

(2)求出每一個激勵分量加于系統(tǒng)引起的響應。連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應為h(t)，離散系統(tǒng)的單位函數(shù)響應為h(k)。

(3)將所有分量響應疊加。連續(xù)系統(tǒng)零狀態(tài)響應為

即卷積積分。離散系統(tǒng)零狀態(tài)響應為

(9-24)

式(9-24)即稱為卷積和，表示離散系統(tǒng)零狀態(tài)響應為激勵序列x(k)與單位函數(shù)響應序列h(k)的卷積和?？梢姡@得零狀態(tài)響應的關(guān)鍵是求出單位函數(shù)響應序列h(k)。

9.5離散系統(tǒng)的單位函數(shù)響應

9.5.1單位函數(shù)響應的定義

離散系統(tǒng)在單位函數(shù)信號δ(k)作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應稱為單位函數(shù)響應，記作h(k)，也可表示為δ(k)→h(k)。

依據(jù)單位函數(shù)信號的定義可知，單位函數(shù)響應是具有零輸入響應形式的特殊零狀態(tài)響應。9.5.2

n階離散系統(tǒng)單位函數(shù)響應的求取

(1)前向差分方程為

y(k+n)+an－1y(k+n－1)+…+a0y(k)=x(k)

(9-25)

單位函數(shù)激勵δ(k)對應單位函數(shù)響應的差分方程表示為

h(k+n)+an－1h(k+n－1)+…+a0h(k)=δ(k)

(9-26)

此時，系統(tǒng)初始狀態(tài)為h(－1)=h(－2)=…=h(－n)=0，由此可得系統(tǒng)初值為

(9-27)當k>0時，由于δ(k)=0，故差分方程可寫為

h(k+n)+an－1h(k+n－1)+…+a0h(k)=0

(9-28)

由式(9-28)可知，求單位函數(shù)響應實際是求式(9-28)齊次差分方程的解，待定系數(shù)由式(9-27)確定。

(2)后向差分方程為

y(k)+a1y(k－1)+…+any(k－n)=x(k)

(9-29)

單位函數(shù)激勵δ(k)對應單位函數(shù)響應的差分方程表示為

h(k)+a1h(k－1)+…+anh(k－n)=δ(k)

(9-30)

此時，系統(tǒng)初始狀態(tài)為h(－1)=h(－2)=…=h(－n)=0，由此可得系統(tǒng)初值為當k>0時，由于δ(k)=0，故差分方程可寫為

h(k)+a1h(k－1)+…+anh(k－n)=0

(9-32)

由式(9-32)可知，求單位函數(shù)響應實際是求式(9-32)齊次差分方程的解，待定系數(shù)由式(9-31)確定。

例9-11已知某離散時間系統(tǒng)的差分方程為y(k+2)+3y(k+1)

+2y(k)=x(k+2)，試求該系統(tǒng)單位函數(shù)響應h(k)。

解解法一(間接法)：當激勵x(k)=δ(k)時，系統(tǒng)的響應y(k)=h(k)，則有

h(k+2)+3h(k+1)+2h(k)=δ(k+2)

設h1(k)滿足方程

h1(k+2)+3h1(k+1)+2h1(k)=δ(k)

單位函數(shù)響應形式為

h1(k)=c1(－1)k+c2(－2)k

根據(jù)式(9-27)，有h1(0)=h1(1)=0，h1(2)=1，代入上式得

注意：由于初始值h1(0)=h1(1)=0，所以h1(k)的表達式應當從k≥2的范圍成立，故根據(jù)線性時不變性，對h(k+2)+3h(k+1)+2h(k)=δ(k+2)，有

解法二(直接法)：當激勵x(k)=δ(k)時，系統(tǒng)的響應y(k)=h(k)，則有

h(k+2)+3h(k+1)+2h(k)=δ(k+2)

(1)

設單位函數(shù)響應形式為

h(k)=［B1(－1)k+B2(－2)k］ε(k)

(2)令k=－2并代入(１)式，則有

h(0)+3h(－1)+2h(－2)=δ(0)=1

又系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，有h(－2)=h(－1)=0，故可推出h(0)=1；再令k=－1，代入(1)式，則有

h(1)+3h(0)+2h(－1)=δ(1)=0

又系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，有h(－1)=0，故可推出h(1)=－3。將h(0)=1，h(1)=－3代入(2)式得

系統(tǒng)單位函數(shù)響應為

h(k)=［－(－1)k+2(－2)k］ε(k)

9.6離散卷積和

在線性時不變連續(xù)系統(tǒng)時域分析中，可以利用卷積積分求系統(tǒng)零狀態(tài)響應；相應地，在線性時不變離散系統(tǒng)時域分析中，可以利用卷積和求系統(tǒng)零狀態(tài)響應，即

(9-33)

式中，e(k)表示激勵；h(k)表示系統(tǒng)單位函數(shù)響應；yzs(k)表示系統(tǒng)零狀態(tài)響應。

下面介紹幾種常用的求解卷積和的方法。9.6.1公式法求卷積和

1.卷積和的定義

已知離散信號f1(k)、f2(k)，離散卷積和為

(9-34)

卷積和實質(zhì)上是一種求和運算。在求和過程中n為求和變量，k為參變量，卷積和的結(jié)果是k的函數(shù)。運算中上下限的選取與兩個信號的取值范圍有關(guān)，應以具體情況確定。

2.公式法求卷積和

離散卷積的公式法也稱解析法，是直接應用卷積和公式求離散卷積和的方法。表9-2給出了幾種卷積求和常用的公式。表9-2卷積求和常用公式

例9-12已知離散信號

試求f1(k)和f2(k)的離散卷積和。

解根據(jù)卷積和定義，可得

例9-13已知離散信號x(k)=akε(k－1)，h(k)=bkε(k－2)。試求x(k)和h(k)的離散卷積和。

解根據(jù)卷積和定義，可得由表9-2可得9.6.2圖解法求卷積和

圖解法求卷積和的運算過程與卷積積分的過程相似。設兩個離散函數(shù)序列分別為f(k)、h(k)，圖解法計算卷積和的步驟如下：

(1)換元：將f(k)、h(k)的變量k換成n；

(2)折疊：作出h(n)相對于縱軸的鏡像h(－n)；

(3)位移：將折疊后的h(－n)沿n軸平移一個k值，得

h(k－n)；

(4)相乘：將移位后的序列h(k－n)乘以f(n)；

(5)求和：把h(k－n)乘以f(n)所得的序列相加，即為k值下卷積值。

例9-14已知離散信號f(k)={1，2，1，2，1，…}，h(k)={1，2，1}。試利用圖解法求y(k)=f(k)*h(k)。

解

(1)將f(k)、h(k)的變量k換成n，分別如圖9-15(a)、(b)所示。

(2)作出h(n)相對于縱軸的鏡像h(－n)，如圖9-15(c)所示。

(3)計算不同給定k值下的y(k)。由于f(k)、h(k)在k<0時取值均為0，根據(jù)卷積和定義可知，當k<0時，f(k)＝0；當k≥0時，有圖9-15例9-14卷積和的圖解說明將h(－n)沿n軸平移1個單位，得h(1－n)如圖9-15(d)所示。將f(n)和h(1－n)相乘得到如圖9-15(e)所示序列，求序列之和，得將h(－n)沿n軸平移2個單位，得h(2－n)。將f(n)和h(2－n)相乘得到如圖9-15(f)所示序列，求序列之和，得

依此類推，可得

y(k)={1，4，6，6，…}

如圖9-15(g)所示。9.6.3不進位乘法求卷積和

對于有限長序列求卷積和，不進位乘法是一種簡便實用的方法：首先把兩個序列排成行，然后進行普通乘法，將同一列數(shù)值相加，不進位。

例9-15已知離散信號f(k)={2，1，5}，h(k)={3，1，4，2}。試利用不進位乘法求y(k)=f(k)*h(k)。

解不進位乘法的特點。設fc(k)=fa(k)*fb(k)，fa(k)和fb(k)的非零項數(shù)分別為na和nb項，且其相應的序號分別為［a1，a2］和［b1，b2］，則有：

(1)fc(k)的非零項數(shù)為nc=na+nb－1項；

(2)fc(k)相應的序號為［a1+b1，a2+b2］；

(3)序列fa(k)所有項之和與序列fb(k)所有項之和的乘積恰好等于序列fc(k)所有項的和。9.6.4序列卷積的性質(zhì)

(1)交換律:

f(k)*h(k)=h(k)*f(k)

(9-35)

說明兩信號的卷積和與次序無關(guān)。

(2)結(jié)合律:

f(k)*［h1(k)*h2(k)］=［f(k)*h1(k)］*h2(k)

(9-36)

(3)分配律:

f(k)*［h1(k)+h2(k)］=f(k)*h1(k)+f(k)*h2(k)

(9-37)

(4)位移特性：

f(k)*δ(k－n)=f(k－n)(9-38)

說明任意信號與位移單位函數(shù)信號的離散卷積結(jié)果等于信號本身的位移。

(5)差分與求和特性:若y(k)=f(k)*h(k)，則

(9-39)

(9-40)

(9-41)

習題