《noip動態(tài)規(guī)劃》課件

NOIP動態(tài)規(guī)劃NOIP是全國青少年信息學(xué)奧林匹克聯(lián)賽，是信息學(xué)競賽的重要組成部分。動態(tài)規(guī)劃是信息學(xué)競賽中常用的算法之一。動態(tài)規(guī)劃簡介一種算法思想動態(tài)規(guī)劃是一種將復(fù)雜問題分解為更小、更容易解決的子問題，并存儲子問題的解決方案，以避免重復(fù)計(jì)算。解決優(yōu)化問題動態(tài)規(guī)劃常用于尋找最佳解決方案，例如最短路徑、最長公共子序列、背包問題等。動態(tài)規(guī)劃的基本思想將問題分解成子問題動態(tài)規(guī)劃的核心是將復(fù)雜問題分解成多個相互關(guān)聯(lián)的子問題，并存儲子問題的解，避免重復(fù)計(jì)算。利用子問題的解通過自底向上或自頂向下的方式，利用已解決的子問題的解來求解更大的子問題，最終得到整個問題的解。避免重復(fù)計(jì)算動態(tài)規(guī)劃的核心思想是將子問題的解存儲起來，避免重復(fù)計(jì)算，提高算法效率。動態(tài)規(guī)劃解決問題的步驟1定義狀態(tài)明確問題的子問題，并用狀態(tài)變量表示。2狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程根據(jù)子問題之間的關(guān)系，建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。3邊界條件確定初始狀態(tài)和邊界條件，用于初始化狀態(tài)。4計(jì)算結(jié)果根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和邊界條件，進(jìn)行遞推計(jì)算，得到最終結(jié)果。動態(tài)規(guī)劃是一種將復(fù)雜問題分解成子問題，并利用子問題的解逐步構(gòu)建最終解的方法。動態(tài)規(guī)劃的優(yōu)點(diǎn)效率高動態(tài)規(guī)劃可以有效地避免重復(fù)計(jì)算，提高效率。易于理解動態(tài)規(guī)劃的思路清晰，易于理解，便于調(diào)試。適用范圍廣動態(tài)規(guī)劃可以應(yīng)用于許多問題，如背包問題、最長公共子序列等。動態(tài)規(guī)劃的局限性時間復(fù)雜度動態(tài)規(guī)劃通常需要存儲中間結(jié)果，這可能會導(dǎo)致內(nèi)存使用增加。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程設(shè)計(jì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程有時很困難，需要對問題進(jìn)行深入分析。優(yōu)化動態(tài)規(guī)劃算法的優(yōu)化空間有限，可能無法達(dá)到最優(yōu)解。01背包問題01背包問題是一個經(jīng)典的動態(tài)規(guī)劃問題。給定一個背包，它有一個最大容量。給定一組物品，每個物品都有自己的重量和價值。目標(biāo)是選擇放入背包的物品，以使背包中物品的總價值最大化，同時確保物品的總重量不超過背包的容量。01背包問題分析11.狀態(tài)定義定義dp[i][j]表示從前i個物品中選取總重量不超過j的物品的最大價值。22.狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程對于第i個物品，可以選擇放入背包或不放入背包，兩種情況取最大值。33.初始化dp[0][j]=0，表示沒有物品時，背包價值為0。44.最終結(jié)果dp[n][W]表示從n個物品中選取總重量不超過W的物品的最大價值。01背包問題代碼實(shí)現(xiàn)定義狀態(tài)使用一個二維數(shù)組dp[i][j]來存儲當(dāng)前狀態(tài)下的最大價值。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])初始化將dp數(shù)組的第一行和第一列初始化為0，表示沒有選擇任何物品。遍歷從第二行第二列開始遍歷dp數(shù)組，根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程更新每個元素的值。返回結(jié)果最后返回dp數(shù)組中最后一個元素的值，即為背包能夠裝載的最大價值。完全背包問題完全背包問題是動態(tài)規(guī)劃中經(jīng)典問題之一。該問題可以描述為：給定背包容量和一系列物品，每個物品都有無限個，求背包能裝的最大價值。完全背包問題分析物品無限與01背包不同，完全背包中每種物品可以選擇無限次。容量限制背包容量有限，需要合理選擇物品組合以最大化總價值。遞推關(guān)系通過遞推關(guān)系，我們可以找到每種容量下最大價值的物品組合。完全背包問題代碼實(shí)現(xiàn)1初始化定義數(shù)組存儲狀態(tài)2循環(huán)遍歷物品和容量3轉(zhuǎn)移方程更新最大價值完全背包問題的代碼實(shí)現(xiàn)需要三個步驟。首先初始化一個二維數(shù)組，用于存儲每個容量下選擇不同物品組合的最大價值。然后，使用兩層循環(huán)，遍歷所有物品和容量，通過轉(zhuǎn)移方程更新最大價值。多重背包問題多重背包問題是背包問題的一種變體。與01背包問題相比，多重背包問題中每種物品有數(shù)量限制，不能無限取。例如，假設(shè)有三種物品，每種物品都有數(shù)量限制，每個物品有一個重量和價值，背包的容量有限，目標(biāo)是選擇物品放入背包，使背包中的物品總價值最大。多重背包問題分析問題描述每個物品有數(shù)量限制，需要決策每個物品選取多少個才能使總價值最大化。狀態(tài)定義dp[i][j]表示前i個物品，總重量不超過j的最大價值。狀態(tài)轉(zhuǎn)移dp[i][j]=max{dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]}，其中k是第i個物品的選擇數(shù)量。時間復(fù)雜度O(n*V)，n為物品數(shù)量，V為背包容量。多重背包問題代碼實(shí)現(xiàn)1初始化數(shù)組創(chuàng)建二維數(shù)組，用于存儲每個物品在不同數(shù)量下的最大價值。2循環(huán)遍歷物品遍歷每個物品，計(jì)算每個物品在不同數(shù)量下的最大價值。3更新最大價值利用動態(tài)規(guī)劃思想，更新每個物品在不同數(shù)量下的最大價值。LCS問題LCS問題是動態(tài)規(guī)劃的經(jīng)典應(yīng)用之一，它指的是求解兩個字符串的最長公共子序列問題。例如，字符串"abcdefg"和"acefg"的最長公共子序列是"acefg"，長度為5。LCS問題分析11.問題描述給定兩個字符串，找出它們的最長公共子序列。22.遞歸思想如果兩個字符串的最后一個字符相同，則LCS長度加一，否則比較刪除最后一個字符后的兩個字符串的LCS長度。33.狀態(tài)定義dp[i][j]表示字符串A的前i個字符和字符串B的前j個字符的最長公共子序列長度。44.狀態(tài)轉(zhuǎn)移如果A[i]==B[j]，則dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1；否則dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])。LCS問題代碼實(shí)現(xiàn)1初始化定義二維數(shù)組dp，用于存儲子序列長度2遍歷字符串使用雙重循環(huán)遍歷兩個字符串3比較字符如果字符相同，則dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+14返回結(jié)果返回dp[n][m]，即最長公共子序列長度最長上升子序列問題給定一個序列，求其最長上升子序列。子序列不要求連續(xù)，但必須保持原序列中元素的相對順序。最長上升子序列問題分析最長上升子序列問題是動態(tài)規(guī)劃算法中常見的經(jīng)典問題之一。該問題要求在給定一個數(shù)字序列中找到最長的上升子序列。例如，給定序列[1,3,2,4,5]，其最長上升子序列為[1,2,4,5]。解決此問題需要使用動態(tài)規(guī)劃的思想。我們定義一個數(shù)組dp[i]來存儲以數(shù)字a[i]結(jié)尾的最長上升子序列長度。通過遍歷整個序列，并利用之前計(jì)算過的dp[i]值，最終可以得到最長上升子序列的長度。最長上升子序列問題代碼實(shí)現(xiàn)動態(tài)規(guī)劃方法定義一個數(shù)組`dp`，其中`dp[i]`表示以第`i`個元素結(jié)尾的最長上升子序列長度。遍歷所有元素，對于每個元素`i`，尋找所有小于`i`的元素`j`，如果`nums[i]`大于`nums[j]`，則更新`dp[i]`為`dp[j]+1`。初始化初始化`dp`數(shù)組，每個元素都為1，因?yàn)槊總€元素都可以作為一個長度為1的上升子序列。尋找最長上升子序列遍歷`dp`數(shù)組，尋找最大值，該最大值即為最長上升子序列的長度。重建子序列通過回溯`dp`數(shù)組，重建最長上升子序列。編輯距離問題編輯距離問題是計(jì)算兩個字符串之間最少編輯操作次數(shù)的經(jīng)典問題。編輯操作包括插入、刪除和替換字符。編輯距離問題分析定義編輯距離指將一個字符串轉(zhuǎn)換為另一個字符串所需的最小操作次數(shù)。操作三種操作包括：插入、刪除和替換。算法動態(tài)規(guī)劃算法，利用遞推關(guān)系計(jì)算兩個字符串之間的編輯距離。矩陣使用二維矩陣存儲所有可能的子串之間的編輯距離。編輯距離問題代碼實(shí)現(xiàn)1動態(tài)規(guī)劃數(shù)組存儲子問題結(jié)果2迭代計(jì)算從子問題到問題3邊界條件初始狀態(tài)代碼實(shí)現(xiàn)關(guān)鍵點(diǎn)在于動態(tài)規(guī)劃數(shù)組，用于存儲子問題的結(jié)果。通過迭代計(jì)算，從子問題到問題逐步求解。邊界條件設(shè)置初始狀態(tài)，確保遞歸過程的正確性。區(qū)間DP問題區(qū)間DP是一種動態(tài)規(guī)劃的思想，它將一個問題分解成多個子問題，每個子問題對應(yīng)一個區(qū)間。通過遞歸地解決這些子問題，最終得到整個問題的解。區(qū)間DP問題分析區(qū)間DP定義區(qū)間DP是一種動態(tài)規(guī)劃算法，它通常用于解決與區(qū)間相關(guān)的優(yōu)化問題。通過將問題分解成子問題，并利用子問題的解來解決更大的問題。區(qū)間DP特點(diǎn)區(qū)間DP通常將一個問題劃分成多個子區(qū)間。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程通常需要枚舉子區(qū)間的位置，并考慮相鄰子區(qū)間的狀態(tài)。區(qū)間DP問題代碼實(shí)現(xiàn)1定義狀態(tài)定義dp數(shù)組，表示區(qū)間[i,j]的答案。例如，dp[i][j]表示字符串s從i到j(luò)的子字符串的最小編輯距離。2狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程根據(jù)題意，寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，即如何根據(jù)子問題的結(jié)果計(jì)算出當(dāng)前問題的答案。3邊界條件確定dp數(shù)組的初始值，例如，當(dāng)區(qū)間長度為0或1時，dp數(shù)組的值是多少。4遍歷順序根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，確定遍歷dp數(shù)組的順序，一般從長度最小的區(qū)間開始遍歷。5結(jié)果輸出最后，輸出dp數(shù)組中對應(yīng)最終問題的答案?？偨Y(jié)動態(tài)規(guī)劃核心動態(tài)規(guī)劃是一種