河北省滄州市滄衡名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試 數(shù)學(xué)（含答案）

1PAGE第1頁滄衡名校聯(lián)盟高二年級2024—2025學(xué)年上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.2已知直線與.若，則（）A. B.1 C. D.23.已知雙曲線的焦距為，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.4.如圖，在直三棱柱中，，分別為棱AB，的中點(diǎn).設(shè)，，，則（）A. B. C. D.5.已知向量，若共面，則（）A. B. C. D.6.已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)坐標(biāo)為，且，，三點(diǎn)不共線，則周長的最小值為（）A. B. C. D.87.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過作傾斜角為的直線交拋物線于，兩點(diǎn).若，則（）A.6 B.3 C.32 D.8.當(dāng)變動(dòng)時(shí)，動(dòng)直線與定圓相切，則圓的面積為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線過定點(diǎn)則下列結(jié)論正確的是（）A.P的坐標(biāo)為B.當(dāng)時(shí)，l在y軸上的截距為C.若l與直線垂直，則D.點(diǎn)P在圓的外部10.如圖，已知正方體的棱長為2，點(diǎn)為正方體的中心，點(diǎn)滿足，則（）A.平面B.平面C.在上的投影向量為D.平面與平面夾角余弦值為11.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過作圓的切線，切線與交于，兩點(diǎn).若，則的離心率可能為（）A. B. C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓，則的取值范圍為______.13.已知橢圓：（）的離心率為，左焦點(diǎn)為，過且垂直于軸的直線被橢圓所截得的線段長為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．14.已知，，是球上三點(diǎn)，球心的坐標(biāo)為，是球上一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積的最大值為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓，直線過點(diǎn).（1）若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的方程；（2）若與圓相交于，兩點(diǎn)，且（為圓圓心）為直角三角形，求的方程.16.已知，點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，點(diǎn)在直線上，且.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若，求的最小值.17.已知雙曲線的實(shí)軸長為，且過點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）過雙曲線的右焦點(diǎn)作斜率為1的直線，與雙曲線交于，兩點(diǎn)，求；（3）若，是雙曲線上不同的兩點(diǎn)，且直線的斜率為2，線段的中點(diǎn)為，證明：點(diǎn)在直線上.18.如圖，在四棱臺(tái)中，平面，底面為正方形，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).（1）證明：.（2）求異面直線與所成角的余弦值.（3）求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.19.若將任意平面向量繞起點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，得到向量，則稱點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn).在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線是橢圓繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓.（1）求橢圓方程.（2）已知，是橢圓長軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，，為橢圓上異于，的兩點(diǎn)，且關(guān)于軸對稱，若直線與直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在某定曲線上，并求出該曲線的方程.（3）已知，不過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與的斜率之積恒為，證明直線過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).

滄衡名校聯(lián)盟高二年級2024—2025學(xué)年上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.【答案】ABD10.【答案】AD11.【答案】BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【答案】13.【答案】14.【答案】四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.【解】分析】（1）按直線截距相等且不等零和截距均等于零兩種情況分類討論求解直線方程即可；（2）由題意可得圓心到直線的距離為，設(shè)線的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離即可求解.【小問1詳解】若直線的截距相等且不為零，則設(shè)直線方程為.由于直線過點(diǎn)，代入可得：，解得：，即得直線；若直線的截距相等且等于零，則假設(shè)直線方程為，由于直線過點(diǎn)，代入可得：，解得：，即得直線.綜上所述：的方程為或；【小問2詳解】由，可得圓心，半徑為，（為圓的圓心）為直角三角形，可得且，所以可得圓心到直線的距離為，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過圓心，顯然不符合題意，設(shè)直線的方程為，即，所以，解得，所以的方程為或.16.【解】【分析】（1）設(shè)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列出方程，化簡即得.（2）由（1）的信息，利用兩點(diǎn)間距離公式列式求出最小值.【小問1詳解】設(shè)，則，而，則，由，得，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程是.【小問2詳解】點(diǎn)，由（1）知，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.17.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，即可求解.（2）由（1）得，進(jìn)而得直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理即可求解.（3）利用點(diǎn)差法即可證明.【小問1詳解】根據(jù)題意可得，則，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，故雙曲線的方程為；【小問2詳解】由（1）得，則，則直線的方程為，設(shè)，由，得，，，所以；【小問3詳解】設(shè)，則，兩式相減得，設(shè)，則，所以，即，所以，即，所以在直線上.18.【解析】【分析】（1）以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，由數(shù)量積可證；（2）求出兩直線的方向向量，利用向量夾角公式計(jì)算可得；（3）設(shè)，求出平面法向量，根據(jù)線面角的向量夾角公式，將用表示，利用換元和二次函數(shù)性質(zhì)求解可得.【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又為正方形，所以兩兩垂直，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，則，所以【小問2詳解】解：由（1）可得，所以，故異面直線與所成角的余弦值為【小問3詳解】解：設(shè).因?yàn)?，所以，則由（1）可得.設(shè)平面的法向量為，則取設(shè)直線與平面所成角為，則.令，則，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為1；當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，最小值為.故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為19.【解析】【分析】（1）本小題可以考慮利用題目已知條件將原橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成題目中橢圓，求出原橢圓方程，也可以利用已知條件原橢圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了，則旋轉(zhuǎn)后橢圓的對稱軸為和，求出橢圓的長軸長和短軸長，并進(jìn)一步得到橢圓的方程.（2）可以利用和點(diǎn)的坐標(biāo)作為參數(shù)寫出直線方程，用參數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)和點(diǎn)在橢圓上消去參數(shù)；（3）設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，利用題目給出的關(guān)系求出直線過的定點(diǎn).【詳解】（1）解：（方法一）設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，則即斜橢圓上一點(diǎn)，則，化簡得，故橢圓的方程為．（方法二）由得或由得或所以橢圓的長軸長為，得，橢圓的短軸長為，得，故橢圓的方程為（2）證明：根據(jù)橢圓的對稱性，不妨令．設(shè)，則.，由P，M，T三點(diǎn)