第八講　一元二次方程

第八講一元二次方程1.已知關于x的一元二次方程x2+5x-m=0的一個根是2,則另一個根是(A)A.-7 B.7 C.3 D.-32.關于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情況是(C)A.沒有實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.有兩個不相等的實數(shù)根D.實數(shù)根的個數(shù)與實數(shù)a的取值有關3.用配方法解方程x2-2x=2時,配方后正確的是(C)A.(x+1)2=3 B.(x+1)2=6C.(x-1)2=3 D.(x-1)2=64.(2024·內(nèi)江)某市2021年底森林覆蓋率為64%,為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念,該市大力發(fā)展植樹造林活動,2023年底森林覆蓋率已達到69%.如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為x,則符合題意的方程是(B)A.0.64(1+x)=0.69B.0.64(1+x)2=0.69C.0.64(1+2x)=0.69D.0.64(1+2x)2=0.695.若關于x的方程x2+6x+c=0有兩個相等的實數(shù)根,則c的值是(C)A.36 B.-36C.9 D.-96.若x1,x2是方程x2-6x-7=0的兩個根,則(A)A.x1+x2=6 B.x1+x2=-6C.x1x2=76 D.x1x27.若x=1是方程x2-2x+a=0的根,則a=1.

8.若關于x的一元二次方程x2-2x+k=0有實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍是k≤1.

9.解方程:(1)2x2-5x+3=0.(2)x2+2x-2=0.(3)3x2=4-2x.【解析】(1)2x2-5x+3=0,(2x-3)(x-1)=0,∴2x-3=0或x-1=0,解得x1=32,x2=1(2)原方程化為:x2+2x=2,x2+2x+1=3,(x+1)2=3,x+1=±3,x1=-1+3,x2=-1-3.(3)方程化為3x2+2x-4=0,b2-4ac=22-4×3×(-4)=52,x=-2±x1=-1+133,x210.(2024·青海)(1)解一元二次方程:x2-4x+3=0;(2)若直角三角形的兩邊長分別是(1)中方程的根,求第三邊的長.【解析】(1)x2-4x+3=0,(x-1)(x-3)=0,x=1或x=3;(2)當兩條直角邊分別為3和1時,根據(jù)勾股定理得,第三邊的長為32+1當一條直角邊為1,斜邊為3時,根據(jù)勾股定理得,第三邊的長為32-1答:第三邊的長是10或22.11.若一元二次方程ax2+2x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是(D)A.a<1 B.a≤1C.a≤1且a≠0 D.a<1且a≠012.已知一元二次方程x2-3x+1=0的兩根為x1,x2,則x12-5x1-2x2的值為A.-7 B.-3 C.2 D.513.如圖,在長為100m,寬為50m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路,若余下的部分全部種上花卉,且花圃的面積是3600m2,則小路的寬是(A)A.5m B.70mC.5m或70m D.10m14.若實數(shù)a,b分別滿足a2-4a+3=0,b2-4b+3=0,且a≠b,則1a+1b的值為

415.已知m,n是一元二次方程x2-3x-2=0的兩個根,則1m+1n=-316.(2024·南充)已知x1,x2是關于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的兩個不相等的實數(shù)根.(1)求k的取值范圍.(2)若k<5,且k,x1,x2都是整數(shù),求k的值.【解析】(1)∵原方程有兩個不相等的實數(shù)根,∴b2-4ac>0,∴b2-4ac=(-2k)2-4×1×(k2-k+1)=4k2-4k2+4k-4=4k-4>0,解得k>1.(2)∵1<k<5,∴整數(shù)k的值為2,3,4,當k=2時,方程為x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,當k=3或4時,此時方程解不為整數(shù).綜上所述,k的值為2.17.(2024·涼山州)閱讀下面材料,并解決相關問題:如圖是一個三角點陣,從上向下數(shù)有無數(shù)多行,其中第一行有1個點,第二行有2個點,…,第n行有n個點…,容易發(fā)現(xiàn),三角點陣中前4行的點數(shù)之和為10.(1)探索:三角點陣中前8行的點數(shù)之和為,前15行的點數(shù)之和為,那么,前n行的點數(shù)之和為.

(2)體驗:三角點陣中前n行的點數(shù)之和(填“能”或“不能”)為500.

(3)運用:某廣場要擺放若干種造型的盆景,其中一種造型要用420盆同樣規(guī)格的花,按照第一排2盆,第二排4盆,第三排6盆,…,第n排2n盆的規(guī)律擺放而成,則一共能擺放多少排?【解析】(1)由題知,三角點陣中前1行的點數(shù)之和為1;三角點陣中前2行的點數(shù)之和為1+2;三角點陣中前3行的點數(shù)之和為1+2+3;三角點陣中前4行的點數(shù)之和為1+2+3+4;…,所以三角點陣中前n行的點數(shù)之和為1+2+3+…+n=n(當n=8時,n(即三角點陣中前8行的點數(shù)之和為36.當n=15時,n(即三角點陣中前15行的點數(shù)之和為120.答案:36120n(2)不能.令n(n+1解得n=-1±因