第十七講　三角形

第十七講三角形1.如圖,AB和CD相交于點O,則下列結(jié)論正確的是(A)A.∠1=∠2 B.∠2=∠3C.∠1>∠4+∠5 D.∠2<∠52.如圖,△ABC中,∠B=55°,∠C=40°,則△ABC的外角∠DAC等于(B)A.100° B.95° C.85° D.75°3.空調(diào)安裝在墻上時,一般都會采用如圖的方法固定,這種方法應(yīng)用的幾何原理是(C)A.兩點確定一條直線B.兩點之間線段最短C.三角形的穩(wěn)定性D.垂線段最短4.如圖,小英在池塘一側(cè)選取了點O,測得OA=8m,OB=5m,那么池塘兩岸A,B間的距離可能是(A)A.10m B.3m C.14m D.13m5.如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=50°,AD⊥BC,垂足為D,△ADB與△ADB'關(guān)于直線AD對稱,點B的對稱點是點B',則∠CAB'的度數(shù)為(A)A.10° B.20° C.30° D.40°6.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D為AC上一點,若BD是∠ABC的平分線,則AD=5.

7.下列說法正確的是(D)A.三角形的角平分線是射線B.連接三角形任意兩邊中點的線段是三角形的中線C.三角形的高都在三角形的內(nèi)部D.直角三角形的三條高線交于直角頂點處8.如圖,AB∥CD,AD,BC相交于點O,下列兩個三角形的面積不一定相等的是(D)A.△ABC和△ABD B.△ACD和△BCDC.△AOC和△BOD D.△AOB和△COD9.(2024·宿遷)如圖,在△ABC中,∠B=50°,∠C=30°,AD是高,以點A為圓心,AB長為半徑畫弧,交AC于點E,再分別以B,E為圓心,大于12BE的長為半徑畫弧,∠BAC的內(nèi)部交于點F,作射線AF,則∠DAF=10°.

10.在△ABC中,∠A=50°,∠B=30°,點D在AB邊上,連接CD,若△ACD為直角三角形,則∠BCD的度數(shù)為60°或10°.

11.如圖,在△ABC中,AB=42,∠B=45°,∠C=60°.(1)求BC邊上的高線長;(2)點E為線段AB的中點,點F在邊AC上,連接EF,沿EF將△AEF折疊得到△PEF.①如圖2,當(dāng)點P落在BC上時,求∠AEP的度數(shù);②如圖3,連接AP,當(dāng)PF⊥AC時,求AP的長.【解析】(1)如圖1中,過點A作AD⊥BC于D.在Rt△ABD中,AD=AB·sin45°=42×22=4(2)①如圖2中,∵△AEF≌△PEF,∴AE=EP,∵AE=EB,∴BE=EP,∴∠EPB=∠B=45°,∴∠PEB=90°,∴∠AEP=180°-90°=90°.②如圖3中,易得AC=ADsin60°=∵PF⊥AC,∴∠PFA=90°,∵△AEF≌△PEF,∴∠AFE=∠PFE=45°,∴∠AFE=∠B,∵∠EAF=∠CAB,∴△AEF∽△ACB,∴AFAB=AEAC,即AF4∴AF=23,在Rt△AFP中,AF=FP,∴AP=2AF=26.12.閱讀下列材料,回答問題.我們在小學(xué)就已經(jīng)知道,任意一個三角形的內(nèi)角和等于180°,我們是通過度量或剪拼得出這一結(jié)論的.但是,這種“驗證”不是“數(shù)學(xué)證明”;所以,需要通過推理的方法去證明:任意一個三角形的內(nèi)角和一定等于180°.探究:在紙上任意畫一個三角形,將它的內(nèi)角剪下拼合在一起,就得到一個平角.如圖兩種方法.欣欣同學(xué)受到圖1的啟發(fā),證明了三角形的內(nèi)角和等于180°.證明過程如下:已知:△ABC.求證:∠A+∠B+∠C=180°.證明:如圖3,過點A作DE∥BC,∵DE∥BC,∴∠B=∠BAD(),

同理∠C=∠CAE,∵∠BAC+∠BAD+∠CAE=180°(),

∴∠BAC+∠B+∠C=180°(),

(1)證明中的每一步推理都要有根據(jù),不能“想當(dāng)然”.這些根據(jù),可以是已知條件,也可以是學(xué)過的定義、基本事實、定理等,請你補全欣欣同學(xué)證明過程中所缺的根據(jù);(2)由圖2啟發(fā),可以得到證明三角形的內(nèi)角和等于180°的另一種證法,請你完成.【解析】(1)已知:△ABC.求證:∠A+∠B+∠C=180°.證明:如圖3,過點A作DE∥BC,∵DE∥BC,∴∠B=∠BAD(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),同理∠C=∠CAE,∵∠BAC+∠BAD+∠CAE=180°(平角的定義),∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代換).答案:兩直線平行,內(nèi)錯角相等平角的定義等量代換(2)延長BC到M,過點C作CN∥AB,如