2025屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題5統(tǒng)計(jì)與概率專項(xiàng)突破5統(tǒng)計(jì)與概率解答題課件

專項(xiàng)突破五統(tǒng)計(jì)與概率解答題考點(diǎn)一相互獨(dú)立事件例1(2024山東煙臺(tái)一模)某大學(xué)舉行中文知識(shí)競(jìng)賽決賽,決賽分為必答、搶答兩個(gè)環(huán)節(jié),兩環(huán)節(jié)依次進(jìn)行.必答環(huán)節(jié)共2道題,答對(duì)分別記30分、40分,答錯(cuò)均記0分;搶答環(huán)節(jié)包括多道題,每道題進(jìn)行搶答,搶到并答對(duì)者得15分,若搶到后未答對(duì),則對(duì)方得15分;兩個(gè)環(huán)節(jié)總分先達(dá)到或超過(guò)100分者獲勝,比賽結(jié)束.已知甲、乙兩人參加決賽,且在必答環(huán)節(jié),甲答對(duì)這2道題的概率分別為,乙答對(duì)這2道題的概率分別為;在搶答環(huán)節(jié),任意一題甲、乙兩人搶到的概率均為,甲答對(duì)的概率均為,乙答對(duì)的概率均為.假定甲、乙兩人在各環(huán)節(jié)、各道題中答題相互獨(dú)立.(1)在必答環(huán)節(jié)中,求甲、乙兩人得分之和大于100分的概率;(2)在搶答環(huán)節(jié)中,求任意一題甲獲得15分的概率;(3)若在必答環(huán)節(jié)甲得分為70分,乙得分為40分,設(shè)搶答環(huán)節(jié)經(jīng)過(guò)X道題搶答后比賽結(jié)束,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.增分技巧求相互獨(dú)立事件概率的兩種方法[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](2024湖北武漢模擬)“中式八球”是受群眾歡迎的臺(tái)球運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目之一.在一場(chǎng)“中式八球”邀請(qǐng)賽中,甲、乙、丙、丁4人角逐最后的冠軍,本次邀請(qǐng)賽采取“雙敗淘汰制”.具體賽制如下:首先,4人通過(guò)抽簽兩兩對(duì)陣,勝者進(jìn)入“勝區(qū)”,敗者進(jìn)入“敗區(qū)”;接下來(lái),“勝區(qū)”的2人對(duì)陣,勝者進(jìn)入最后的決賽,“敗區(qū)”的2人對(duì)陣,敗者獲得第四名;緊接著,“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對(duì)陣,勝者晉級(jí)最后的決賽,敗者獲得第三名;最后,剩下的2人進(jìn)行最后的冠亞軍決賽,勝者獲得冠軍,敗者獲得第二名.現(xiàn)假定甲對(duì)陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p(0<p<1),且不同對(duì)陣的結(jié)果相互獨(dú)立.(1)經(jīng)抽簽,第一輪由甲對(duì)陣乙,丙對(duì)陣丁.若p=0.6,求:(ⅰ)甲連勝三場(chǎng)獲得冠軍的概率;(ⅱ)甲在“雙敗淘汰制”下獲得冠軍的概率.(2)除“雙敗淘汰制”外,“中式八球”也經(jīng)常采用傳統(tǒng)的“單敗淘汰制”,即抽簽決定兩兩對(duì)陣,勝者晉級(jí),敗者淘汰,直至決出最后的冠軍.當(dāng)p滿足什么條件時(shí),“雙敗淘汰制”比“單敗淘汰制”更利于甲在此次邀請(qǐng)賽中獲得冠軍?解

(1)記Ai=“甲在第i場(chǎng)比賽獲勝”(i=1,2,3,4),則P(Ai)=0.6,P()=0.4,且不同對(duì)陣的結(jié)果相互獨(dú)立.(ⅰ)事件“甲連勝三場(chǎng)獲得冠軍”可表示為B=A1A2A4,所以P(B)=P(A1A2A4)=P(A1)P(A2)·P(A4)=0.6×0.6×0.6=0.216.因此,甲連勝三場(chǎng)獲得冠軍的概率為0.216.(2)由(1)可得“雙敗淘汰制”下甲獲得冠軍的概率為P1=p3+2p3(1-p).易知“單敗淘汰制”下甲獲得冠軍的概率為P2=p2.令P1>P2,得p3+2p3(1-p)>p2,解得0.5<p<1,所以當(dāng)0.5<p<1時(shí),“雙敗淘汰制”比“單敗淘汰制”更利于甲在此次邀請(qǐng)賽中獲得冠軍.考點(diǎn)二超幾何分布例2(2024云南昆明診斷測(cè)試)某企業(yè)響應(yīng)國(guó)家“強(qiáng)芯固基”號(hào)召,為匯聚科研力量,準(zhǔn)備科學(xué)合理增加研發(fā)資金.為了解研發(fā)資金的投入額x(單位:千萬(wàn)元)對(duì)年收入的附加額y(單位:千萬(wàn)元)的影響,對(duì)2017年至2023年研發(fā)資金的投入額xi(i=1,2,…,7)和年收入的附加額yi進(jìn)行研究,得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示.年份代碼i1234567研發(fā)資金的投入額xi/千萬(wàn)元103040608090110年收入的附加額yi/千萬(wàn)元3.244.867.37.459.25(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(2)若年收入的附加額與研發(fā)資金的投入額的比值大于0.1,則稱對(duì)應(yīng)的年份為“優(yōu)”,從上面的7個(gè)年份中任意取3個(gè),記X表示這3個(gè)年份為“優(yōu)”的個(gè)數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.(2)由表格數(shù)據(jù)可得,7個(gè)年份中年收入的附加額與研發(fā)資金的投入額的比值大于0.1的有3個(gè),即“優(yōu)”的年份有3個(gè).由題可知,X服從超幾何分布,且N=7,M=3,n=3,則X的分布列為計(jì)算的具體結(jié)果如表所示.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](2024山東聊城二模)隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及、大數(shù)據(jù)的驅(qū)動(dòng),線上線下相結(jié)合的新零售時(shí)代已全面開(kāi)啟,新零售背景下,即時(shí)配送行業(yè)穩(wěn)定快速增長(zhǎng).某即時(shí)配送公司為更好地了解客戶需求,優(yōu)化自身服務(wù),提高客戶滿意度,在其A,B兩個(gè)分公司的客戶中各隨機(jī)抽取10位客戶進(jìn)行了滿意度評(píng)分調(diào)查(滿分100分),評(píng)分結(jié)果如下:分公司A:66,80,72,79,80,78,87,86,91,91.分公司B:62,77,82,70,73,86,85,94,92,89.(1)求抽取的這20位客戶評(píng)分的第一四分位數(shù);(2)規(guī)定評(píng)分在75分以下的為不滿意,從上述不滿意的客戶中隨機(jī)抽取3人繼續(xù)溝通不滿意的原因及改進(jìn)建議,設(shè)被抽到的3人中分公司B的客戶人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解

(1)將抽取的這20位客戶的評(píng)分從小到大排列為62,66,70,72,73,77,78,79,80,80,82,85,86,86,87,89,91,91,92,94.因?yàn)?0×25%=5,所以抽取的這20位客戶評(píng)分的第一四分位數(shù)為(2)分公司A的客戶中評(píng)分在75分以下的有2人;分公司B的客戶中評(píng)分在75分以下的有3人,所以不滿意的客戶共5人.由題可知,X服從超幾何分布,且N=5,M=3,n=3,則X的分布列為計(jì)算的具體結(jié)果如表所示.考點(diǎn)三二項(xiàng)分布例3(2024山東臨沂一模)某學(xué)校舉辦了精彩紛呈的數(shù)學(xué)文化節(jié)活動(dòng),其中有個(gè)“擲骰子贏獎(jiǎng)品”的登臺(tái)階游戲最受歡迎.游戲規(guī)則如下:拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次,出現(xiàn)3的倍數(shù),則一次上三級(jí)臺(tái)階,否則上二級(jí)臺(tái)階,再重復(fù)以上步驟,當(dāng)參加游戲的學(xué)生位于第8、第9或第10級(jí)臺(tái)階時(shí)游戲結(jié)束.規(guī)定:從平地開(kāi)始,結(jié)束時(shí)學(xué)生位于第8級(jí)臺(tái)階可獲得一本課外讀物,位于第9級(jí)臺(tái)階可獲得一套智力玩具,位于第10級(jí)臺(tái)階則認(rèn)定游戲失敗.(1)某學(xué)生拋擲三次骰子后,按游戲規(guī)則位于第X級(jí)臺(tái)階,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X);(2)甲、乙兩位學(xué)生參加游戲,求恰有一人獲得獎(jiǎng)品的概率.(2)由題可知,當(dāng)某位學(xué)生恰好位于第10級(jí)臺(tái)階,且未曾位于第8、第9級(jí)臺(tái)階時(shí),游戲失敗.又因?yàn)槊看紊隙?jí)或三級(jí)臺(tái)階,所以其上一次擲骰子時(shí)位于第7級(jí)臺(tái)階.因?yàn)閽仈S兩次骰子,至多上六級(jí)臺(tái)階;拋擲三次骰子,至少上六級(jí)臺(tái)階;拋擲四次骰子,至少上8級(jí)臺(tái)階,所以位于第7級(jí)臺(tái)階時(shí),恰好拋擲了三次骰子,位于第10級(jí)臺(tái)階時(shí),第四次拋擲骰子上三級(jí)臺(tái)階,所以某位學(xué)生不能獲得獎(jiǎng)品的概率為P=P(X=7)P(A)=.兩位同學(xué)參加游戲,用Z表示不能獲得獎(jiǎng)品的人數(shù),(1)若p=,求甲、乙兩隊(duì)共投中5次的概率;(2)以甲、乙兩隊(duì)投中次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù),若甲隊(duì)獲勝的期望更大,求p的取值范圍.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,乙隊(duì)所有隊(duì)員各投籃一次,共有8種可能的結(jié)果,它們兩兩互斥,每個(gè)結(jié)果都是3個(gè)相互獨(dú)立事件的積.用Y表示乙隊(duì)投中的次數(shù),則Y的可能結(jié)果為0,1,2,3.考點(diǎn)四正態(tài)分布例4(2024四川成都二模)某省舉辦了一次高三年級(jí)化學(xué)模擬考試(滿分100分),其中甲市有20000名學(xué)生參加.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),本次模擬考試該省總體成績(jī)及各市成績(jī)都近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2).(1)已知本次模擬考試甲市平均成績(jī)?yōu)?5分,87分以上共有455人.甲市學(xué)生A的成績(jī)?yōu)?6分,試估計(jì)學(xué)生A在甲市的大致名次;(2)在參加該省本次模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取40人,記Y表示在本次化學(xué)考試中成績(jī)?cè)赱μ-3σ,μ+3σ]之外的人數(shù),求P(Y≥1)及Y的數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù):0.997340≈0.8975.參考公式:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解

(1)用X表示本次模擬考試甲市成績(jī),由題可知X近似服從正態(tài)分布,即X~N(μ,σ2).因?yàn)榧资衅骄煽?jī)?yōu)?5分,所以N=65.因?yàn)榧资袑W(xué)生A在該次考試中成績(jī)?yōu)?6分,所以甲市成績(jī)高于學(xué)生A的學(xué)生人數(shù)約為20

000×P(X>76)=20

000×0.158

65=3

173,所以學(xué)生A在甲市的大致名次為3

174名.(2)由題可知該省成績(jī)近似服從正態(tài)分布,所以在參加該省本次模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,其成績(jī)?cè)赱μ-3σ,μ+3σ]之內(nèi)的概率約為0.997

3,所以其成績(jī)?cè)赱μ-3σ,μ+3σ]之外的概率約為0.002

7.由題可知隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布,即Y~B(40,0.002

7),所以P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-0.997

340≈1-0.897

5=0.102

5,E(Y)=40×0.002

7=0.108.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4](2024四川瀘州診斷測(cè)試)統(tǒng)計(jì)學(xué)中有如下結(jié)論:若X~N(μ,σ2),從X的取值中隨機(jī)抽取k(k∈N*,k≥2)個(gè)數(shù)據(jù),記這k個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為Y,則隨機(jī)變量Y:N(μ,).某人喜歡吃披薩,他每天都會(huì)到同一家披薩店購(gòu)買一份披薩,該披薩店的老板聲稱自己所出售的披薩的平均質(zhì)量是500g,上下浮動(dòng)不超過(guò)25g,這句話用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)就是:每份披薩的質(zhì)量服從期望為500,標(biāo)準(zhǔn)差為25的正態(tài)分布.(1)假設(shè)老板的說(shuō)法是真實(shí)的,若從該披薩店隨機(jī)購(gòu)買25份披薩,記這25份披薩的質(zhì)量的平均值為Y,利用上述結(jié)論求P(Y<490);(2)此人每天都會(huì)將買來(lái)的披薩稱重并記錄,25天后,得到的數(shù)據(jù)都落在(475,525)上,并經(jīng)計(jì)算得到25份披薩的質(zhì)量的平均值為488.72,通過(guò)分析他舉報(bào)了該老板.試從概率角度說(shuō)明他舉報(bào)該老板的理由.附:①若隨機(jī)變量η服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤η≤μ+σ)≈0.682