中考數學二輪復習核心專題復習攻略（講+練）專題04 分式、分式方程及一元二次方程（解析版）

專題04分式、分式方程及一元二次方程復習考點攻略考點01分式相關概念1、分式的定義一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子SKIPIF1<0叫做分式?！咀⒁狻緼、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。2、分式的基本性質分式的分子與分母乘(或除以)同一個不等于0的整式，分式的值不變。SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（C≠0）。3、分式的約分和通分（1）約分：根據分式的基本性質，把一個分式的分子與分母的公因式約去叫做分式的約分。（2）通分：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。（3）最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式。（4）最簡公分母：各分母的所有因式的最高次冪的積叫做最簡公分母。【注意1】約分的根據是分式的基本性質．約分的關鍵是找出分子和分母的公因式。【注意2】通分的根據是分式的基本性質．通分的關鍵是確定幾個分式的最簡公分母。4、分式的乘除①乘法法則：SKIPIF1<0。分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。②除法法則：SKIPIF1<0。分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。③分式的乘方：SKIPIF1<0。分式乘方要把分子、分母分別乘方。④整數負指數冪：SKIPIF1<0。5、分式的加減同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減。①同分母分式的加減：SKIPIF1<0；②異分母分式的加法：SKIPIF1<0?！咀⒁狻坎徽撌欠质降哪姆N運算，都要先進行因式分解。6、分式的混合運算（1）含有分式的乘方、乘除、加減的多種運算叫做分式的混合運算．（2）混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號的，先算括號里的．【例1】若分式SKIPIF1<0在實數范圍內無意義，則x的取值范圍是（）A．x≠1 B．x=1C．x=0 D．x＞1【答案】B【解析】∵分式SKIPIF1<0在實數范圍內無意義，∴1﹣x=0，即x=1，故選：B．【例2】若分式SKIPIF1<0的值不存在，則SKIPIF1<0__________．【答案】-1【解析】∵分式SKIPIF1<0的值不存在，∴x+1=0，解得：x=-1，故答案為：-1．【例3】分式SKIPIF1<0的值是零，則x的值為（）A．5B．2C．－2D．－5【答案】D【解析】解：依題意，得x+5=0，且x-2≠0，解得，x=-5,且x≠2,即答案為x=-5．故選：D．【例4】下列變形正確的是（）A．SKIPIF1<0=SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0–1=SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0=SKIPIF1<0【答案】D【解析】A．SKIPIF1<0≠SKIPIF1<0，故A錯誤；B．SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故B錯誤；C．SKIPIF1<0-1=SKIPIF1<0，故C錯誤，故選D．考點02分式方程相關概念1．分式方程：分母中含有未知數的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母。（2）解分式方程的步驟：①找最簡公分母，當分母是多項式時，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗根．【注意】解分式方程過程中，易錯點有：①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項；②忘記驗根，最后的結果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程變形時，有時可能產生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根．由于可能產生增根，所以解分式方程要驗根，其方法是將根代入最簡公分母中，使最簡公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．4．分式方程的應用（1）分式方程的應用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題等．每個問題中涉及到三個量的關系，如：工作時間＝SKIPIF1<0，時間＝SKIPIF1<0等．（2）列分式方程解應用題的一般步驟：①設未知數；②找等量關系；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗（一驗分式方程，二驗實際問題）；⑥答．【例5】方程SKIPIF1<0的解為_______________．【答案】SKIPIF1<0

【例6】若關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有正數解，則（）A．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】將方程的兩邊同時乘以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，根據解為正數可得：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．故選B．【例7】已知關于x的分式方程SKIPIF1<0的解滿足SKIPIF1<0，且k為整數，則符合條件的所有k值的乘積為（）A．正數 B．負數 C．零 D．無法確定【答案】A【解析】關于x的分式方程SKIPIF1<0得x=SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0解得-7＜k＜14∴整數k為-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，又∵分式方程中x≠2且x≠-3∴k≠35且k≠0∴所有符合條件的k中，含負整數6個，正整數13個，∴k值的乘積為正數,故選A．【例8】數學家斐波那契編寫的《算經》中有如下問題：一組人平分10元錢，每人分得若干；若再加上6人，平分40元錢，則第二次每人所得與第一次相同，求第一次分錢的人數．設第一次分錢的人數為x人，則可列方程_____．【答案】SKIPIF1<0【解析】解：根據題意得，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0考點03一元二次方程相關概念1．一元二次方程：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為常數，SKIPIF1<0），其中SKIPIF1<0分別叫做二次項、一次項和常數項，SKIPIF1<0分別稱為二次項系數和一次項系數．【注意】在一元二次方程的一般形式中要注意SKIPIF1<0，因為當SKIPIF1<0時，不含有二次項，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必須具備三個條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個未知數；③所含未知數的最高次數是2．3.一元二次方程的解法（1）直接開平方法：適合于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0形式的方程．（2）配方法：①化二次項系數為1；②移項，使方程左邊只含有二次項和一次項，右邊為常數項；③方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；④把方程整理成SKIPIF1<0的形式；⑤運用直接開平方法解方程．公式法：①把方程化為一般形式，即SKIPIF1<0；②確定SKIPIF1<0的值；③求出SKIPIF1<0的值；④將SKIPIF1<0的值代入SKIPIF1<0即可．（4）因式分解法：把方程化成SKIPIF1<0的形式，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．4.一元二次方程根的判別式及根與系數關系（1）根的判別式：一元二次方程SKIPIF1<0是否有實數根，由SKIPIF1<0的符號來確定，我們把SKIPIF1<0叫做一元二次方程根的判別式．（2）一元二次方程根的情況與判別式的關系①當SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0有兩個不相等的實數根；②當SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0有1個（兩個相等的）實數根；③當SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0沒有實數根．（3）根與系數關系：對于一元二次方程SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為常數，SKIPIF1<0）有根時，設其兩根分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．5.利用一元二次方程解決實際問題列一元二次方程解應用題步驟和列一元一次方程(組)解應用題步驟一樣，即審、設、列、解、驗、答六步．列一元二次方程解應用題，經濟類和面積類問題是?？純热荩?）增長率等量關系①增長率=增長量÷基礎量．②設SKIPIF1<0為原來量，SKIPIF1<0為平均增長率，SKIPIF1<0為增長次數，SKIPIF1<0為增長后的量，則SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0為平均下降率時，則有SKIPIF1<0．（2）利潤等量關系：①利潤=售價－成本．②利潤率=SKIPIF1<0×100％．（3）面積問題①類型1：如圖1所示的矩形SKIPIF1<0長為SKIPIF1<0，寬為SKIPIF1<0，空白“回形”道路的寬為SKIPIF1<0，則陰影部分的面積為SKIPIF1<0．②類型2：如圖2所示的矩形SKIPIF1<0長為SKIPIF1<0，寬為SKIPIF1<0，陰影道路的寬為SKIPIF1<0，則空白部分的面積為SKIPIF1<0．③類型3：如圖3所示的矩形SKIPIF1<0長為SKIPIF1<0，寬為SKIPIF1<0，陰影道路的寬為SKIPIF1<0，則4塊空白部分的面積之和可轉化為SKIPIF1<0．圖1圖2圖3（4）碰面問題（循環(huán)問題）①重疊類型（雙循環(huán)）：n支球隊互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為m。∵1支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，∴1支球隊需要比（n－1）場∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場∵A與B比賽和B與A比賽是同一場比賽，∴上述求法有重疊部分.∴m=1②不重疊類型（單循環(huán)）：n支球隊，每支球隊要在主場與所有球隊各打一場，總共比賽場次為m?！?支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，∴1支球隊需要比（n－1）場∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場.∵A與B比賽在A的主場，B與A比賽在B的主場，不是同一場比賽，∴上述求法無重疊.∴m=n【例9】若方程SKIPIF1<0是關于SKIPIF1<0的一元二次方程，則SKIPIF1<0的取值范圍是A．m≠?1 B．m=?1C．m≥?1 D．m≠0【答案】A【解析】根據一元二次方程的定義可得：m+1≠0，解得：m≠?1.故選A．【例10】已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0的值是_________．【答案】4或-1【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0將SKIPIF1<0兩邊同除以SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0令SKIPIF1<0則SKIPIF1<0因式分解得：SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0即SKIPIF1<0的值是4或SKIPIF1<0故答案為：4或SKIPIF1<0．【例11】關于x的一元二次方程SKIPIF1<0有兩個實數根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則k的值（）A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2【答案】D【解析】解：由韋達定理，得：SKIPIF1<0＝k－1，SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0,化簡，得：SKIPIF1<0，解得：k＝±2，因為關于x的一元二次方程SKIPIF1<0有兩個實數根，所以，△＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0〉0，k＝－2不符合，所以，k＝2故選D.【例12】某中學組織初三學生籃球比賽，以班為單位，每兩班之間都比賽一場，計劃安排15場比賽，則共有多少個班級參賽？A．4 B．5C．6 D．7【答案】C【解析】設共有x個班級參賽，根據題意得：SKIPIF1<0=15，解得：x1=6，x2=﹣5（不合題意，舍去），則共有6個班級參賽，故選C．【例13】如圖，要在長、寬分別為50米、40米的矩形草坪內建一個正方形的觀賞亭．為方便行人，分別從東、南、西、北四個方向修四條寬度相同的矩形小路與亭子相連，若小路的寬是正方形觀賞亭邊長的，小路與觀賞亭的面積之和占草坪面積的，求小路的寬．【答案】小路的寬為2米．【解析】設小路的寬為x米，由題意得，（5x）2+（40+50）x﹣2×x×5x=SKIPIF1<0×40×50，解得x=2或x=﹣8（不合題意，舍去）答：小路的寬為2米．第一部分選擇題一、選擇題（本題有10小題，每題4分，共40分）一、選擇題（本題有10小題，每題4分，共40分）1.使得式子SKIPIF1<0有意義的x的取值范圍是（）A．x≥4 B．x>4 C．x≤4 D．x<4【答案】D【解析】使得式子SKIPIF1<0有意義，則：4-x>0，解得：x<4，即x的取值范圍是：x<4，故選D．2.要使分式有意義，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B．【解析】根據題意可知，，即．故選：B．3.下列分式中，是最簡分式的是A． B． C． D．【答案】D【解析】A、=，錯誤；B、=，錯誤；C、=，錯誤；D、是最簡分式，正確．故選D．4.分式方程的根為（）A．或 B．C． D．或【答案】C【解析】去分母得，解得或，經檢驗是增根，所以分式方程的根為.故選C．八年級學生去距學校10千米的博物館參觀，一部分學生騎自行車先走，過了20分鐘后，其余學生乘汽車出發(fā)，結果他們同時到達，已知汽車的速度是騎車學生速度的2倍．設騎車學生的速度為x千米/小時，則所列方程正確的是（）A．-=20 B．-=20 C．-= D．=【答案】C【解析】根據八年級學生去距學校10千米的博物館參觀，一部分學生騎自行車先走，過了20分鐘后，其余學生乘汽車出發(fā)，結果他們同時到達，可以列出相應的方程，從而可以得到，-=，故選：C．6.已知關于的一元二次方程有兩個實數根，，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．且【答案】B【解析】解：關于的一元二次方程有兩個實數根，，故選B．7.定義新運算，對于任意實數a，b滿足，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運算，例如，若（k為實數）是關于x的方程，則它的根的情況是（）A．有一個實根 B．有兩個不相等的實數根C．有兩個相等的實數根D．沒有實數根【答案】B【解析】解：根據新運算法則可得：，則即為，整理得：，則，可得：，；，方程有兩個不相等的實數根；故答案選：B.同學聚會，每兩人都握手一次，共握手45次，設x人參加聚會，列方程為（）x（x–1）=45 B．x（x–1）=

C．x（x–1）=45 D．x（x+1）=45【答案】C【解析】由題意列方程得：x（x﹣1）=45．故選C9.若菱形ABCD的一條對角線長為8，邊CD的長是方程x2﹣10x+24＝0的一個根，則該菱形ABCD的周長為（）A．16 B．24 C．16或24 D．48【答案】B【解析】解：如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵x2﹣10x+24＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，解得：x＝4或x＝6，分兩種情況：①當AB＝AD＝4時，4+4＝8，不能構成三角形；②當AB＝AD＝6時，6+6＞8，∴菱形ABCD的周長＝4AB＝24．故選：B．10.某?！把袑W”活動小組在一次野外實踐時，發(fā)現一種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是，則這種植物每個支干長出的小分支個數是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設這種植物每個支干長出個小分支，依題意，得：，解得：（舍去），．故選C．填空題填空題（本題有6小題，每題4分，共24分）11.方程的解為__________．【答案】x=-2【解析】解：則：，解得x=-2．故答案為x=-2．若關于的分式方程QUOTEk?1x+1=2的解為負數，則QUOTEk的取值范圍為_______________．【答案】且【解析】分式方程去分母轉化為整式方程，去分母得，解得，由分式方程的解為負數，可得且，即，解得且．若關于x的分式方程有增根，則_________．【答案】．【分析】先把分式方程去分母轉化為整式方程，然后由分式方程有增根求出的值，代入到轉化以后的整式方程中計算即可求出的值．【解析】解：去分母得：，整理得：，∵關于的分式方程有增根，即，∴，把代入到中得：，解得：，故答案為：．某物流倉儲公司用A，B兩種型號的機器人搬運物品，已知A型機器人比B型機器人每小時多搬運20kg，A型機器人搬運1000kg所用時間與B型機器人搬運800kg所用時間相等，設B型機器人每小時搬運xkg物品，列出關于x的方程為_______________．【答案】【解析】設B型機器人每小時搬運x

kg物品，則A型機器人每小時搬運（x+20）kg物品，根據題意可得，故答案為：．15.若是關于的一元二次方程的一個根，則的值為_______________．【答案】或

【解析】因為是關于的一元二次方程的一個根，所以，即，整理得，解得，．故的值是或．16.一元二次方程的兩根為，則_____【答案】【解析】∵，∴，，，∴，，∴，=，=．故答案為第三部分解答題三、解答題（本題有6小題，共56分）17..先化簡，再求值：，其中x=4【答案】【解析】===SKIPIF1<0，當x=4時，原式=先化簡，再求值：，其中，．【答案】a+b,2【解析】，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，原式=SKIPIF1<0．解不等式組，并求出它的整數解