2024-2025學(xué)年福建省福州市高二上冊(cè)第一學(xué)段考試數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省福州市高二上學(xué)期第一學(xué)段考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線的斜率為,在軸上的截距為,則直線的方程為（

）A． B．C． D．2．若是空間的一個(gè)基底，且向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則（

）A． B． C． D．03．已知四點(diǎn)共圓，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)，直線l過點(diǎn)且與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍（

）A． B．C． D．5．已知點(diǎn)，平面，其中，則點(diǎn)到平面的距離是（

）A． B． C．2 D．36．若直線與圓O：相切，則圓與圓O（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切7．已知，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，過引的外角平分線的垂線，垂足為，則與短軸端點(diǎn)的最近距離為（

）A．6 B．5 C．2 D．18．已知橢圓的一條弦所在的直線方程是弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是則橢圓的離心率是A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知空間中三個(gè)向量，，，則下列說法正確的是（

）A．與是共線向量B．與同向的單位向量是C．在方向上的投影向量是D．與的夾角為10．下列關(guān)于直線與圓的說法正確的是（

）A．若直線與圓相切，則為定值B．若，則直線被圓截得的弦長為定值C．若，則圓上僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離相等D．當(dāng)時(shí)，直線與圓相交11．已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)P是雙曲線上位于第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，的平分線交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)作垂直于PM于點(diǎn)E．則下列說法正確的是（

）A．若點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，則雙曲線的離心率為2B．當(dāng)時(shí)，面積為C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為D．若，則三、填空題（本大題共3小題）12．若直線l的一個(gè)方向向量是，則直線l的傾斜角是．13．若雙曲線與有共同漸近線，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則該雙曲線的方程為.14．設(shè)為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，分別為左?右焦點(diǎn)，與在第一象限的交點(diǎn)為．若是以線段為底邊的等腰三角形，且雙曲線的離心率，則橢圓離心率的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)若直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，求．16．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側(cè)棱的長為，且與、的夾角都等于，在棱上，，設(shè)，，．

(1)試用，，表示出向量；(2)求與所成的角的余弦值．17．已知圓，圓：，圓：，這三個(gè)圓有一條公共弦.(1)當(dāng)圓的面積最小時(shí)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)在（1）的條件下，直線同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：（i）與直線垂直；（ii）與圓相切；（iii）在軸上的截距大于0，若直線與圓交于，兩點(diǎn)，求.18．如圖，在四棱錐中，平面平面，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？說明理由.19．已知橢圓過點(diǎn)，其左右焦點(diǎn)分別為，且焦距為4．直線過交橢圓于兩點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)當(dāng)時(shí)，在軸上方時(shí)，求的坐標(biāo)；(3)若直線交軸于，直線交軸于，是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

答案1．【正確答案】B【詳解】直線在軸上的截距為，點(diǎn)在直線上，又直線的斜率為,根據(jù)點(diǎn)斜式方程得即.故選：B.2．【正確答案】A【詳解】由題意，是空間的一個(gè)基底，，所以不共線，因?yàn)椴荒軜?gòu)成空間的一個(gè)基底，則共面，所以存在使得，即所以，解得．故選：A．3．【正確答案】D【詳解】設(shè)過四點(diǎn)的圓的方程為，將代入可得：，解得，所以圓的方程為，將代入圓的方程得，解得，故選：D4．【正確答案】D【詳解】點(diǎn)，直線的斜率，直線的斜率，直線l過點(diǎn)且與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率滿足或，即或，所以直線l的斜率的取值范圍為.故選：D.5．【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，求得和平面的法向量，結(jié)合向量的距離公式，即可求解.【詳解】由點(diǎn)，可得，又由，可得向量為平面的法向量，且，則，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選C.6．【正確答案】A【詳解】若直線與圓O：相切，則圓心O0,0到直線的距離等于圓O的半徑，即，得，圓圓心，半徑為，兩圓圓心距，大于兩圓半徑之和，所以兩圓相離.故選：A7．【正確答案】D【詳解】因?yàn)槭墙裹c(diǎn)為，的橢圓上的一點(diǎn)，為的外角平分線，，設(shè)的延長線交的延長線于點(diǎn)，，所以，所以，，，，由于是線段的中點(diǎn)，所以是△的中位線，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以6為半徑的圓，所以當(dāng)點(diǎn)與軸重合時(shí)，與短軸端點(diǎn)取最近距離．故選：D8．【正確答案】C【詳解】設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)為，分別代入橢圓方程，由點(diǎn)差法可知代入k=1,M(-4,1),解得，選C.9．【正確答案】BC【詳解】已知空間中三個(gè)向量，，，對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，故、不共線，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，與同向的單位向量是，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，在方向上的投影向量是，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，則、不垂直，D錯(cuò).故選：BC．10．【正確答案】ABD【詳解】圓的圓心為，半徑為1，對(duì)于A選項(xiàng)，若與圓相切，則，可得，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若，圓心到直線的距離為，此時(shí)直線被圓截得的弦長為，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，圓心到直線的距離為，此時(shí)圓上有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離相等，C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即直線過定點(diǎn)，又因?yàn)?，可得點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓相交，D正確．故選：ABD．11．【正確答案】AC【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合題意求出a，b，c，即可判斷A；由雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理計(jì)算和三角形的面積公式，即可判斷B；根據(jù)角平分線定理，結(jié)合求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可判斷C；作輔助線，構(gòu)造全等三角形求出OE，根據(jù)OE與漸近線之間的關(guān)系建立不等式，解之即可判斷D.【詳解】A：易知，又雙曲線的一條漸近線方程為，則到該漸近線的距離為，又，所以，所以，得雙曲線的離心率為，故A正確；B：在中，，得，由余弦定理得，即，得，所以的面積為，又，所以，故B錯(cuò)誤；C：因?yàn)?，，所以，由角平分線定理可得，得，又，所以，又，所以，故C正確；D：延長交于點(diǎn)，連接，如圖，易知，即，所以，又分別是的中點(diǎn)，所以，所以，又點(diǎn)P在第一象限，故直線的斜率必小于漸近線的斜率，設(shè)漸近線的傾斜角為，由，得，則，即，整理得，又，所以，解得，故D錯(cuò)誤.故選AC.

【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查雙曲線離心率、焦點(diǎn)三角形面積和雙曲線中參數(shù)范圍的求解；其中選項(xiàng)D，充分挖掘集合關(guān)系，建立a，b的不等式，是解題的關(guān)鍵．12．【正確答案】【詳解】因?yàn)橹本€l的方向向量為，所以直線的斜率為，即直線的傾斜角的大小是.故答案為.13．【正確答案】【詳解】由方程，則其漸近線方程為，由橢圓，則其焦點(diǎn)為，由題意可知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)為，則，解得，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為.14．【正確答案】【詳解】如圖所示，設(shè)橢圓的方程為，雙曲線的方程為，橢圓和雙曲線的半焦距為，設(shè)，由題意可得，由橢圓的定義，可得，由雙曲線的定義，可得，解得，設(shè)橢圓的離心率為，由，所以，兩邊同除以,得，即有，由，則，可得，則.故．15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由橢圓的定義知，P點(diǎn)的軌跡為橢圓，其中，所以所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為．（2）設(shè)Ax聯(lián)立直線與橢圓的方程,消y整理得：，所以，，，∴.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，則，因?yàn)锳BCD是邊長為1的正方形，則，且，可得，又因?yàn)椋?，，所?（2）由題意可知：，，與、的夾角均為60°，與的夾角為90°，則，可得，又因?yàn)?，設(shè)與所成的角為，所以．17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）依題意，由，解得或，因此圓與圓的公共弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，當(dāng)圓的面積最小時(shí)，是圓的直徑，則圓的圓心為，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）因?yàn)橹本€與直線垂直，則設(shè)直線的方程為，而直線與圓相切，則有，解得或，又因?yàn)樵谳S上的截距大于0，即，所以，即直線的方程為，而圓的圓心，半徑，點(diǎn)到直線：的距離為，于是得.

18．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)不存在，理由見解析【詳解】（1）在中，所以，即.又因?yàn)椋谄矫嬷?，，所以平?（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，由平面，?由（2）知，且已知，故以A為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，.

所以因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.由知，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則.于是.由（1）知平面，所以平面的法向量為.所以，由題知，二面角為銳角，所以其余弦值為；（3）設(shè)是線段上一點(diǎn)，則存在使得.因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫?，所以平面，?dāng)且僅當(dāng)，即.即.解得.