2024-2025學(xué)年福建省福州市高二上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省福州市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．如果，，三點(diǎn)共線，那么（

）A．1 B．2 C．3 D．42．“”是“直線與直線垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知直線過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距為軸上的截距的兩倍，則直線的方程是（

）A． B．C．或 D．或4．在空間四邊形中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，則向量等于（

）A． B．C． D．5．已知直線：恒過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．2 C．4 D．6．已知橢圓C：（），過(guò)點(diǎn)且方向向量為的光線，經(jīng)直線反射后過(guò)C的右焦點(diǎn)，則C的離心率為（

）A． B． C． D．7．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，過(guò)總能作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，且恒成立，則的取值范圍是（）A． B．C． D．8．已知梯形中，，，，，.如圖，將沿對(duì)角線翻折至，使得，則異面直線，所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）A．若三個(gè)非零空間向量滿足，則有B．若空間中任意一點(diǎn)，則P，A，B，C四點(diǎn)共面C．已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底D．已知向量，若，則為鈍角10．已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，記的軌跡為.過(guò)A的直線與交于P，Q兩點(diǎn)，直線BP與的另一個(gè)交點(diǎn)為，則（）A．的面積的最大值為B．當(dāng)時(shí)，C．Q，M關(guān)于軸對(duì)稱D．在上存在點(diǎn)，使得11．如圖，造型為“”的曲線稱為雙紐線，其對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且上的點(diǎn)滿足到點(diǎn)和的距離之積為定值，則（）A． B．點(diǎn)在上C．上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為 D．若點(diǎn)在上，則三、填空題（本大題共3小題）12．若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.13．如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分.過(guò)對(duì)稱軸的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，片門(mén)位于另一個(gè)焦點(diǎn)上.由橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn).已知，.若透明窗DE所在的直線與截口所在的橢圓交于一點(diǎn)，且，則的面積為.14．已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知的頂點(diǎn)，邊上的高線所在的直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求直線的方程．16．如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)在AB上，且.(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)若點(diǎn)在側(cè)面上，且點(diǎn)到直線和CD的距離相等，求點(diǎn)到直線距離的最小值.17．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，是正三角形，.平面平面ABCD，點(diǎn)在棱PC上.(1)若平面ADE與棱PB交于點(diǎn)，求證：平面ABCD；(2)若二面角E-AD-B的余弦值為，求點(diǎn)到平面ABCD的距離.18．已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡是曲線C，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是.(1)求曲線C的方程；(2)已知斜率為k的直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)E，F(xiàn)（異于原點(diǎn)O），直線OE，OF的斜率分別為，且，①證明：直線l過(guò)定點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②若，D為垂足，證明：存在定點(diǎn)Q，使得為定值.19．“曼哈頓距離”是一種度量距離的方式，定義如下：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，任意兩點(diǎn)，的曼哈頓距離為.對(duì)于動(dòng)點(diǎn)，若存在定點(diǎn)使得（為大于的常數(shù)），則稱動(dòng)點(diǎn)的軌跡為“”曲線.(1)已知，若，求；(2)已知曲線是“”曲線（是原點(diǎn)），，點(diǎn)是上一點(diǎn)，（i）寫(xiě)出曲線的方程并畫(huà)出圖形，求的最大值；（ii）已知點(diǎn)在直線上，求的最小值.

答案1．【正確答案】D【詳解】即，，，，三點(diǎn)共線，故，即，解得，，，故.故選：D2．【正確答案】A【詳解】若直線與直線垂直，等價(jià)于，解得或，顯然是真子集，所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選：A.3．【正確答案】C設(shè)直線在軸上的截距為，則直線在軸上的截距為，分類討論，利用直線方程的截距式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)直線在軸上的截距為，則直線在軸上的截距為，當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，其方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以直線的方程為，即.所以直線的方程為或.故選：C易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：容易漏掉截距為0的情況.4．【正確答案】A【分析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算法則，以為基底，不斷向其轉(zhuǎn)化即可得到答案.【詳解】故選：A.5．【正確答案】A【分析】寫(xiě)出直線的定點(diǎn)坐標(biāo)并判斷與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而確定最小時(shí)直線與直線的位置關(guān)系，即可得結(jié)果.【詳解】由恒過(guò)，又，即在圓C內(nèi)，要使最小，只需圓心與的連線與該直線垂直，所得弦長(zhǎng)最短，由，圓的半徑為5，所以.故選：A6．【正確答案】A【詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)且方向向量為的光線，經(jīng)直線的點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為C.因?yàn)榉较蛳蛄康闹本€斜率為，則，，又由反射光的性質(zhì)可得，故，所以為等腰直角三角形，且到的距離為，又，故，，則，故，離心率.故選：A7．【正確答案】D【詳解】設(shè)，則,恒成立，即，則恒成立，最短即為點(diǎn)到直線的距離，則，解得或.故選D.8．【正確答案】C【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)樗?所以即所以異面直線與CD所成角的余弦值為.故選：C.9．【正確答案】BC【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),在空間向量中，時(shí)，與不一定平行.例如墻角處的三條相交直線對(duì)應(yīng)的向量，兩兩垂直，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng),對(duì)于空間中任意一點(diǎn)O，若，且，則P，A，B，C四點(diǎn)共面.因?yàn)椋訮，A，B，C四點(diǎn)共面，B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng),已知是空間的一組基底，則不共面.假設(shè)共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，可得，這與是基底矛盾，所以也是空間的一組基底，C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng),若為鈍角，則且與不反向.，令，即，解得.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與反向，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.10．【正確答案】BCD【詳解】

設(shè)，則，整理得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓心為，半徑為4的圓，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)的面積最大，所以，故A錯(cuò)；連接，，當(dāng)時(shí)，，則為等腰直角三角形，，故B正確；由題易知，又由正弦定理可得，，且，所以，所以，又軌跡關(guān)于軸對(duì)稱，所以關(guān)于軸對(duì)稱，故C正確；設(shè)，，則，整理得，，故D正確.故選：BCD.11．【正確答案】ABC【詳解】對(duì)于A,由原點(diǎn)在曲線上得，選項(xiàng)A正確.對(duì)于B,設(shè)曲線與x軸正半軸相交于，則，解得，故B正確.對(duì)于C，設(shè)曲線C上任一點(diǎn)坐標(biāo)為，則，得，則，所以，由，得，由，得，所以，則，故C正確．對(duì)于D，由，得，故點(diǎn)在C上時(shí)有成立，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.12．【正確答案】【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓的外部，所以，解得，故答案為.13．【正確答案】【詳解】由，，，得，則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，由點(diǎn)在橢圓上，得，又，則，因此，所以的面積為.故14．【正確答案】【詳解】設(shè)Px,y為圓上一點(diǎn)，直線為，過(guò)點(diǎn)作，連接，作出如下示意圖：

則Px,y到直線的距離，所以，又，所以，所以只需求出取值范圍即可，設(shè)直線與圓相切，所以，解得，所以兩條切線方程為和，設(shè)兩切點(diǎn)分別為，，分別過(guò)作，垂足為，過(guò)作，垂足為，所以，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，則，所以，，又因?yàn)榍芯€方程為，所以，則，所以，，所以，所以，所以.故答案為.15．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）由垂直關(guān)系求出直線的方程，再求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即得.（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式求出直線方程.【詳解】（1）由邊上的高線所在的直線方程為，得直線的斜率為1，直線方程為，即，由，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.（2）由點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)，于是邊的中點(diǎn)在直線上，因此，解得，即得點(diǎn)，直線的斜率，所以直線的方程為，即.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：,則,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以，即，令，則，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.（2）設(shè)，根據(jù)題意有，即，，則點(diǎn)到的距離，當(dāng)時(shí)，取得最小值.所以點(diǎn)到的距離最小值為.17．【正確答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以，又平面，平面，則平面．點(diǎn)在線段上，平面與線段交于點(diǎn)，所以平面平面，而平面，所以．又平面，平面，所以平面．（2）取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示，由條件，是正三角形，，則，，，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，則，而，得．在中，，結(jié)合勾股定理易得．以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則O0,0,0，A1,0,0，，，，，設(shè)，，則，所以點(diǎn)，，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z由取，則，，平面的法向量為，而平面的法向量為，故，解得（舍負(fù)），所以．設(shè)直線E與平面所成角為，．18．【正確答案】(1)(2)①證明見(jiàn)解析；定點(diǎn)②詳見(jiàn)解析.【詳解】（1）設(shè)，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，由題意可知，，所以，整理得到曲線的方程為；（2）①設(shè)直線的方程為，，，，聯(lián)立，得，所以，即，所以，，所以，，所以且，所以直線的方程為，即直線過(guò)定點(diǎn)；②如圖所示：因?yàn)闉槎ㄖ担矣邳c(diǎn)，所以為直角三角形，為斜邊，所以當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)為定值，因?yàn)?，，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，所以存在定點(diǎn)，使得為定值.19．【正確答案】(1)或(2)（i），圖象見(jiàn)解析，最大值為；（ii）【詳解】（1）因?yàn)?，則，解得或.（2）（i）因?yàn)榍€是“”曲線（是原點(diǎn)），設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，則，所以曲線的方程為，當(dāng)時(shí)，由，得到，當(dāng)時(shí)，由，得到，當(dāng)時(shí)，由，得到，當(dāng)時(shí)，由，得到，所以圖象如圖1，因?yàn)椋忠字?，所以，令，則，由圖1易知的最小值為，所以的最大值為.（ii）如圖2，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，設(shè)，，則，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以，易知，，不妨把看成一個(gè)常量，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由一次函數(shù)的性質(zhì)知