2024-2025學年福建省廈門市高二上冊期中考試數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年福建省廈門市高二上學期期中考試數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．圓的圓心坐標是（

）A． B．C． D．2．已知直線l經(jīng)過點，則直線l的傾斜角為（

）A． B． C． D．3．設(shè)x、，向量，，且，，則（）A． B． C．3 D．44．如圖，三棱柱中，G為棱AD的中點，若，，，則（

）

A． B．C． D．5．若圓，圓，則，的公切線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．設(shè)為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點在上，，則（

）A． B． C．2 D．7．當點到直線的距離最大時，直線的一般式方程是（

）A． B．C． D．8．已知圓：，直線：，為上的動點，過點作圓的切線，，切點分別為，，當四邊形面積最小時，的值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)是空間的一個基底，則下列說法正確的是（）A．，，兩兩共面，但，，不可能共面B．若，，則C．對空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，使D．，，不一定能構(gòu)成空間的一個基底10．下列命題中，正確的是（）A．如果且，那么直線不經(jīng)過第三象限B．若直線：與：平行，則與的距離為C．圓C：關(guān)于直線對稱的圓方程為D．點為圓上任意一點，則的最大值為11．如圖，在棱長為2的正方體中，均為所在棱的中點，動點P在正方體表面運動，則下列結(jié)論中正確的為（

）

A．在中點時，平面平面B．異面直線所成角的余弦值為C．在同一個球面上D．，則點軌跡長度為三、填空題（本大題共3小題）12．如圖，在平行六面體中，四邊形是邊長為1的正方形，，則.13．如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方形構(gòu)成．已知隧道總寬度AD為m，行車道總寬度BC為m，側(cè)墻EA、FD高為2m，弧頂高MN為5m．為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5m．請計算車輛通過隧道的限制高度是．14．若直線l：與曲線C：只有一個公共點，則實數(shù)m的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知三角形的頂點坐標為，，.(1)求過點C且與邊平行的直線；(2)求邊上的高所在的直線方程.16．如圖，在四棱錐中，底面為正方形、平面分別為棱的中點(1)證明：平面;(2)若，求直線與平面所成角的正弦值17．已知橢圓C：（）的中心為原點O，左頂點為A，上頂點為B，右焦點為F.(1)若，，求橢圓的標準方程；(2)若，求橢圓的離心率.18．如圖，在三棱柱中，底面是邊長為4的等邊三角形，，D，E分別是線段AC，的中點，在平面ABC內(nèi)的射影為D.(1)求證：平面BDE；(2)若點F為棱的中點，求點F到平面BDE的距離；(3)若點F為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍.19．已知圓過點，圓心在直線上，截軸弦長為．(1)求圓的方程；(2)若圓半徑小于，點在該圓上運動，點，記為過、兩點的弦的中點，求的軌跡方程；(3)在（2）的條件下，若直線與直線交于點，證明：恒為定值．

答案1．【正確答案】D【分析】將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標.【詳解】圓，即，所以圓心為.故選：D2．【正確答案】B【詳解】直線l經(jīng)過點，所以直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，即，所以.故選：B.3．【正確答案】B【詳解】向量，，，且，，則，，解得，于是，所以.故選：B4．【正確答案】A【詳解】，，，則．故選：A．5．【正確答案】B先得圓的方程的標準形式，得到圓心和半徑，得到兩圓的位置關(guān)系即可得公切線的條數(shù).【詳解】依題意，圓，圓心為，半徑為3；圓，圓心為，半徑為6；因為，故圓，相交，有2條公切線，故選：B.6．【正確答案】A【分析】由橢圓的定義可得,再結(jié)合余弦定理可得，然后由向量數(shù)量積定義得解.【詳解】由橢圓的定義可得,在中，由余弦定理，又,可得：，即,即，即，則，故選：A.7．【正確答案】A【詳解】可化為，令，解得，即直線過定點，則當時，點到直線的距離最大，即有，解得，此時直線為，化簡得.故選：A.8．【正確答案】C【分析】根據(jù)圓的方程求出圓心和半徑，然后得到四邊形面積為，利用切線長公式可知，當最短時，四邊形面積最小，求解即可得到答案.【詳解】

將化為標準方程為：，所以圓的圓心為，半徑為2，由題意，四邊形面積為，又因為，所以當最短時，四邊形面積最小，此時.故選：C9．【正確答案】AC【詳解】A選項，由基底的定義可知，，，不能共面，，，兩兩共面，A正確；B選項，，，但，不一定垂直，B錯誤；C選項，由基底的概念可知，對空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，使，C正確；D選項，設(shè)，故，無解，故，，一定不共面，所以一定能構(gòu)成空間的一個基底，D錯誤.故選：AC10．【正確答案】ABC【詳解】對于A，由且，得直線的斜率，縱截距，該直線不過第三象限，A正確；對于B，直線：，當時，，它們的距離為，B正確；對于C，令圓：的圓心關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所求圓的方程為，C正確；對于D，圓的圓心，半徑，令原點為，則，當且僅當三點共線時取等號，D錯誤.故選：ABC11．【正確答案】ACD【分析】根據(jù)正方體圖象特征證明面，結(jié)合面面垂直的判定定理判斷A；根據(jù)異面直線所成的角判斷B錯誤；根據(jù)五點共圓得到C；分析可知點軌跡是過點與平行的線段，根據(jù)軌跡求出長度得到D.【詳解】對于選項A：取的中點，連接，

在棱長為2的正方體中，均為所在棱的中點，易知，因為，所以平面，在平面內(nèi)，所以，平面，平面，，所以平面，平面，所以，連接，是正方形，，因為平面，平面，所以，因為平面，平面，，所以平面，因為平面，所以，綜上，平面，平面，又，所以平面，平面，故平面平面，故A正確；對于選項B：取的中點，連接，則，所以是異面直線所成的角，又，則，故B錯誤；對于選項C：記正方體的中心為點，則，所以在以為球心，以為半徑的球面上，故C正確；對于選項D：因為，且為的中點，所以，故，所以點軌跡是過點與平行的線段，且，所以，故D正確；故選ACD.12．【正確答案】【詳解】,所以,所以.故13．【正確答案】【分析】通過已知數(shù)據(jù)求出圓弧的半徑，再通過由半徑算弦心距的方法求出最大高度，最后減去安全高度差即可.【詳解】如下圖，圓弧的圓心O在直線MN上，過B作，交圓弧于點G，作于點H，連接OE、OG.由題可知，，，設(shè)，則在中，有即，解得故車輛通過隧道的限制高度是.故14．【正確答案】【詳解】由曲線，整理可得，則曲線為圓心、半徑的圓的上半部分，如下圖：

由圖可得直線與圓相切，則，解得，由圖可得直線的方程為；由圖可得直線過，可得方程；由圖可得直線過，可得方程.由圖可得.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由，則直線AB的斜率，可設(shè)與直線AB平行的直線斜率為，由該平行線過，則方程為，整理可得.（2）由（1）可得與直線AB垂直的直線斜率為，邊AB上的高所在的直線斜率為，且過，所以直線方程為，整理可得.16．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）分別為的中點，為正方形，,平面平面，平面.（2）由題知平面建立如圖所示的空間直角坐標系，，則，，，，設(shè)平面的一個法向量為n=則，令則，設(shè)直線與平面所成的角為，，所以直線與平面所成角的正弦值為.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由，則，由，則，可得，解得，所以方程為.（2）由，則，所以直線AB的斜率，直線的斜率，由，則，即，由，則，由，則，解得.18．【正確答案】(1)證明見解析；(2)(3)【詳解】（1）連接，由為等邊三角形，為中點，得，由平面平面，平面平面，平面，得平面，而平面，則，由四邊形為菱形，得，又分別為中點，則，于是，且，平面，所以平面.（2）由在平面內(nèi)的射影為線段的中點，得平面，由平面，平面，得，，由四邊形為菱形，得為正三角形，在正中，，則以為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以點到平面的距離為.（3）由（2）知，，，由點F為線段上的動點，令，則，平面的法向量，設(shè)平面的法向量n=a,b,c，則，令，得，設(shè)銳二面角的大小為，則，令，則，，由，得，則，所以銳二面角的余弦值的取值范圍為.19．【正確答案】(1)或(2)(3)證明見解析