2024-2025學年江西省贛州市高二上冊期末數學檢測試題（含解析）

2024-2025學年江西省贛州市高二上學期期末數學檢測試題考試范圍：選擇性必修第一冊考試本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分第I卷（選擇題共58分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一個正確選項）1.已知變量與之間的一組數據如表：24568305070若與的線性回歸方程為，則的值為（）A.60 B.70 C.100 D.1102.如圖，四棱柱的底面為平行四邊形，為與的交點，若，則（）A. B.C. D.3.已知雙曲線的焦距為8，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.4.某學校有，兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐．如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.6；如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.4．計算王同學第2天去餐廳用餐的概率（）A0.24 B.0.36 C.0.5 D.0.525.在一個具有五個行政區(qū)域的地圖上（如圖），用5種顏色給這五個行政區(qū)著色，若相鄰的區(qū)域不能用同一顏色，則不同的著色方法共有（）A.420種 B.360種 C.540種 D.300種6.已知樣本9，，10，，11的平均數是10，標準差是2，則的值為（）A.96 B.97 C.91 D.877.已知直線：與圓：，過直線上的任意一點作圓的切線，，切點分別為A，，則的最大值為（）A. B. C. D.8.如圖所示，在頂角為圓錐內有一截面，在圓錐內放半徑分別為1，4的兩個球與圓錐的側面、截切，兩個球分別與截切于E，F(xiàn)，則截面所表示的橢圓的離心率為（）（注：在截口曲線上任取一點A，過A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于點B，C，由相切的幾何性質可知，，于是，為橢圓的幾何意義）A. B. C. D.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分）9.下列說法中正確的是（）A.樣本數據第80百分位數是7.5B.隨機變量，若，則C.已知隨機事件，且，若，則事件相互獨立D.若隨機變量服從正態(tài)分布，且，則10.如圖，正八面體棱長為1，M為線段上的動點（包括端點），則（）A. B.的最小值為C.當時，AM與BC的夾角為 D.11.已知直線與雙曲線交于兩點，為雙曲線的右焦點，且，若的面積為，則下列結論正確的有（）A.雙曲線的離心率為 B.雙曲線的離心率為C.雙曲線的漸近線方程為 D.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.直線傾斜角的取值范圍是_________．13.若，記，則的值為__________.14.一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球，60個白球．采取不放回摸球，從中隨機摸出22個球作為樣本，用X表示樣本中黃球的個數．當最大時，____________．四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算）15.已知圓．（1）求直線被圓截得弦長；（2）已知圓過點且與圓相切于原點，求圓的方程．16.在的展開式中，若第3項的二項式系數為28，求：（1）展開式中所有項的二項式系數之和；（2）展開式中有理項；（3）展開式中系數最大的項．17.某學校組織游戲活動，規(guī)則是學生從盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1個球，每次摸球結果相互獨立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率為，摸到2分球的概率為．（1）學生甲和乙各摸一次球，求兩人得分相等的概率；（2）若學生甲摸球2次，其總得分記為X，求隨機變量X的分布列與期望；（3）學生甲、乙各摸5次球，最終得分若相同，則都不獲得獎勵；若不同，則得分多者獲得獎勵．已知甲前3次摸球得了6分，求乙獲得獎勵的概率．18.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面與相交于點，點在上，．（1）證明：平面；（2）若與平面所成角為，平面與平面的夾角為，求．19.給出如下的定義和定理：定義：若直線l與拋物線有且僅有一個公共點P，且l與的對稱軸不平行，則稱直線l與拋物線相切，公共點P稱為切點.定理：過拋物線上一點處的切線方程為.完成下述問題：如圖所示，設E，F(xiàn)是拋物線上兩點.過點E，F(xiàn)分別作拋物線的兩條切線，，直線，交于點C，點A，B分別在線段，的延長線上，且滿足，其中.（1）若點E，F(xiàn)的縱坐標分別為，，用，和p表示點C的坐標.（2）證明：直線與拋物線相切；（3）設直線與拋物線相切于點G，求2024-2025學年江西省贛州市高二上學期期末數學檢測試題考試范圍：選擇性必修第一冊考試本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分第I卷（選擇題共58分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一個正確選項）1.已知變量與之間的一組數據如表：24568305070若與的線性回歸方程為，則的值為（）A.60 B.70 C.100 D.110【正確答案】C【分析】首先求出，根據回歸直線方程必過樣本中心點，即可求出，再由平均數公式計算可得.【詳解】因為，又與的線性回歸方程為，所以，即，解得.故選：C.2.如圖，四棱柱的底面為平行四邊形，為與的交點，若，則（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據空間向量的線性運算即可得到答案.【詳解】因為為與的交點，則故選：C.3.已知雙曲線的焦距為8，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】結合焦距定義與漸近線方程定義計算即可得.【詳解】由題意可得，解得（負值舍去），則該雙曲線的漸近線方程為.故選：C.4.某學校有，兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐．如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.6；如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.4．計算王同學第2天去餐廳用餐的概率（）A.0.24 B.0.36 C.0.5 D.0.52【正確答案】C【分析】根據題意結合全概率公式可直接求得.【詳解】設“第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，根據題意得，，，由全概率公式，得，因此，王同學第2天去餐廳用餐的概率為0.5.故選：C.5.在一個具有五個行政區(qū)域的地圖上（如圖），用5種顏色給這五個行政區(qū)著色，若相鄰的區(qū)域不能用同一顏色，則不同的著色方法共有（）A.420種 B.360種 C.540種 D.300種【正確答案】A【分析】先分類，再分步進行.先分顏色種類為3,4,5，再分步計算.【詳解】選用三種顏色時，必須1,5同色，2，4同色，此時有種；選用四種顏色時，必須1,5同色或2，4同色，此時有種；選用五種顏色時，有種，所以一共有種，故選：A.6.已知樣本9，，10，，11的平均數是10，標準差是2，則的值為（）A.96 B.97 C.91 D.87【正確答案】C【分析】由平均數得，由標準差得，聯(lián)立可得.【詳解】依題意得，則①.，則②.由①②得，所以.故選：C.7.已知直線：與圓：，過直線上的任意一點作圓的切線，，切點分別為A，，則的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由題意可得，可知當OP最小時，最大，結合點到直線的距離公式運算求解.【詳解】由題意可知：圓的圓心為O0,0，半徑為1，則圓心到直線的距離為，可知直線與圓相離，因，且，當OP最小時，則最大，可得最大，即最大，又因為OP的最小值即為圓心到直線的距離為，此時，所以取得最大值．故選：C．8.如圖所示，在頂角為圓錐內有一截面，在圓錐內放半徑分別為1，4的兩個球與圓錐的側面、截切，兩個球分別與截切于E，F(xiàn)，則截面所表示的橢圓的離心率為（）（注：在截口曲線上任取一點A，過A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于點B，C，由相切的幾何性質可知，，于是，為橢圓的幾何意義）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設兩球的球心分別為，設圓錐的頂點為S，取兩球與圓錐同一母線上的切點分別為G，H，連接，連接交于點K，則根據題意易得，，再由，可得，從而可得，從而可得，，再根據橢圓離心率的定義，即可求解．【詳解】如圖，設兩球的球心分別為，設圓錐的頂點為S，取兩球與圓錐同一母線上的切點分別為G，H，連接，連接交于點K，∵頂角為，，又兩球的半徑分別為1，4，，，，，，，又，∴，又，∴，∴，∴，∴，∴該橢圓的離心率為．故選：C．二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分）9.下列說法中正確的是（）A.樣本數據的第80百分位數是7.5B.隨機變量，若，則C已知隨機事件，且，若，則事件相互獨立D.若隨機變量服從正態(tài)分布，且，則【正確答案】BCD【分析】求出第80百分位數判斷A；利用二項分布的方差公式計算判斷B；利用條件概率化簡判斷C；利用正態(tài)分布對稱性求出概率判斷D.【詳解】對于A，由，所以數據的第80百分位數是8，A錯誤；對于B，由，，得，解得，因此，B正確；對于C，由，得，即，則事件相互獨立，C正確；對于D，由服從正態(tài)分布，，得，D正確.故選：BCD10.如圖，正八面體棱長為1，M為線段上的動點（包括端點），則（）A. B.的最小值為C.當時，AM與BC的夾角為 D.【正確答案】BC【分析】根據體積公式即可求解A，根據平面中兩點距離最小即可求解B，根據線線垂直可得線面垂直，進而求解C，根據數量積的運算律即可求解D.【詳解】對于A,連接相交于，故，，A錯誤；對于B，因與均是邊長為1的正三角形，故可將沿翻折，使其與共面，得到菱形，則，B正確；對于C，由且,平面,故平面，平面，，若，平面,則平面，故，知M與C重合，AM與BC的夾角為，C正確；對于D，，，由于平面，故平面，平面，故（與的夾角為鈍角），D錯誤．故選：BC.11.已知直線與雙曲線交于兩點，為雙曲線的右焦點，且，若的面積為，則下列結論正確的有（）A.雙曲線的離心率為 B.雙曲線的離心率為C.雙曲線的漸近線方程為 D.【正確答案】BCD【分析】先根據對稱性及得到；進而得到以為直徑的圓過點，列方程組求出的關系；對于A、B，求出離心率即可判斷；對于C，求出漸近線方程即可判斷；對于D，由對稱性及題意求出的坐標，進而解出斜率即可判斷.【詳解】由題意知：，不妨取，由，即，所以，所以，所以以為直徑的圓過點，所以圓的直徑，所以圓的方程為：，設，連接，則四邊形為矩形，則，則的面積為：，且，聯(lián)立，解得，再由，所以離心率，故A錯誤，B正確；對于C，雙曲線的漸近線方程為：，故選項C正確；對于D，不妨設點在第一象限，由對稱性可知，，代入中，得，所以，由對稱性知：當，，所以，故選項D正確.故選：BCD.關鍵點點睛：由圖象對稱性可知：點為雙曲線另一個焦點；由定義知，由題意解出關系，不妨設點在第一象限，且，進而求解出直線斜率即可判斷答案.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.直線的傾斜角的取值范圍是_________．【正確答案】【分析】借助傾斜角與斜率的關系及三角函數值域即可得.【詳解】，故.故答案為.13.若，記，則的值為__________.【正確答案】【分析】利用賦值法，分別取和，代入運算即可.【詳解】因為，令，則；令，則，即，所以.故答案為.14.一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球，60個白球．采取不放回摸球，從中隨機摸出22個球作為樣本，用X表示樣本中黃球的個數．當最大時，____________．【正確答案】17.8##【分析】首先分析超幾何分布最大項確定的值，再通過超幾何分布的期望公式求出的值，即可求出.【詳解】不放回的摸球，每次實驗結果不獨立，為超幾何分布，最大時，即最大，超幾何分布最大項問題，利用比值求最大項設則令故當時，嚴格增加，當時，嚴格下降，即時取最大值，此題中，根據超幾何分布的期望公式可得，故17.8四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算）15.已知圓．（1）求直線被圓截得弦長；（2）已知圓過點且與圓相切于原點，求圓的方程．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求出圓心和半徑，結合勾股定理可得答案；（2）利用待定系數法和相切可求圓的方程.【小問1詳解】由可得，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以直線被圓截得弦長為.【小問2詳解】設，則，解得，；因為圓與圓相切于原點，且圓過點，所以，，兩邊平方整理可得，平方可求，代入可得，所以圓的方程為.16.在展開式中，若第3項的二項式系數為28，求：（1）展開式中所有項的二項式系數之和；（2）展開式中的有理項；（3）展開式中系數最大的項．【正確答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用給定的二項式系數求出，再利用二項式系數的性質求得答案.（2）求出二項式的展開式的通項，由的冪指數為有理數求解即得.（3）由展開式通項的系數，列出不等式組并求解即得.【小問1詳解】依題意，，而，解得，所以展開式中所有項的二項式系數之和為.【小問2詳解】二項式展開式通項為，當為整數時，為有理項，則，因此當時，；當時，；當時，，所以展開式中的有理項為．【小問3詳解】設第項的系數最大，則，即，整理得，解得，由，得或，所以展開式中系數最大的項為．17.某學校組織游戲活動，規(guī)則是學生從盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1個球，每次摸球結果相互獨立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率為，摸到2分球的概率為．（1）學生甲和乙各摸一次球，求兩人得分相等的概率；（2）若學生甲摸球2次，其總得分記為X，求隨機變量X的分布列與期望；（3）學生甲、乙各摸5次球，最終得分若相同，則都不獲得獎勵；若不同，則得分多者獲得獎勵．已知甲前3次摸球得了6分，求乙獲得獎勵的概率．【正確答案】（1）（2）分布列見解析，期望為（3）【分析】（1）根據題意，甲乙同時摸到1分球或2分球，結合概率的乘法公式，即可求解；（2）根據題意，變量的可能取值為，求得相應的概率，列出分布列，結合期望的公式，即可求解；（3）記“甲最終得分為分”，其中，“乙獲得獎勵”，結合相互獨立事件的概率公式以及條件概率和全概率公式，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，摸到1分球的概率為，摸到2分球的概率為，若學生甲和乙各摸一次球，甲乙的得分相同，則甲乙同時摸到1分球或2分球，所以兩人得分相等的概率為.【小問2詳解】解：由題意知，學生甲摸球2次的總得分的可能取值為，可得，所以隨機變量的分布列為：234所以，期望為.【小問3詳解】解：記“甲最終得分為分”，其中，“乙獲得獎勵”，可得，當甲的最終得分為9分時，乙獲得獎勵需要最終得分為10分，則；當甲最終得分為8分時，乙獲得獎勵需要最終得分為10分或9分，則，所以，所以乙獲得獎勵的概率為.18.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面與相交于點，點在上，．（1）證明：平面；（2）若與平面所成的角為，平面與平面的夾角為，求．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）通過證明，即可證明平面；（2）建立空間直角坐標系，由（1）知平面，即可得，再求平面和平面的法向量即可求出.【小問1詳解】底面是菱形，，平面，且平面，.又，