2024-2025學年遼寧省鞍山海城市高二上冊12月月考數學檢測試題（含解析）

2024-2025學年遼寧省鞍山海城市高二上學期12月月考數學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．點關于點的對稱點的坐標是（

）A． B． C． D．2．關于空間向量，以下說法錯誤的是（

）A．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面B．若，則與的夾角是銳角C．已知向量是不共面的向量，則也是不共面的向量D．若對空間中任意一點，有，則四點共面3．已知兩條直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知雙曲線的離心率為，則其漸近線方程是（

）A． B．C． D．5．已知直線與圓交于兩點，且，則（

）A．4 B． C．2 D．6．在棱長為2的正方體中，E，F分別是和的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．7．已知直線與橢圓相交于A，B，且AB的中點為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知為拋物線上任意一點，為拋物線的焦點，為圓上任意一點，則的最小值為（

）A．6 B．10 C．4 D．8二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（

）A．直線的傾斜角為B．方程與方程可表示同一直線C．經過點，且在，軸上截距互為相反數的直線方程為D．過兩點的直線都可用方程表示10．已知拋物線與雙曲線有相同的焦點，點在拋物線上，則下列結論正確的有（

）A．雙曲線的離心率為2 B．雙曲線的漸近線為C． D．點P到拋物線的焦點的距離為411．在長方體中，，E為的中點，點P滿足，則（

）A．若M為的中點，則三棱錐體積為定值B．存在點P使得C．當時，平面截長方體所得截面的面積為D．若Q為長方體外接球上一點，，則的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．下列說法正確的是.①直線恒過定點②直線在軸上的截距為1③直線的傾斜角為④已知直線過點，且在軸上截距相等，則直線的方程為13．橢圓（）的右頂點為，上頂點為，右焦點為，若直線與以為圓心半徑為的圓相切，則橢圓離心率等于.14．已知拋物線、分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，且與雙曲線的一條漸近線交于點A，若，則b＝.四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓C的圓心在y軸上，并且過原點和.(1)求圓C的方程；(2)若線段的端點，端點B在圓C上運動，求線段的中點M的軌跡方程.16．如圖，已知平面平面，為等腰直角三角形，，四邊形為直角梯形，，.(1)求二面角的余弦值；(2)線段QB上是否存在點M，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.17．已知橢圓：（），離心率，且點在橢圓上.(1)求該橢圓的方程；(2)直線交橢圓于，兩點，直線，的斜率之和為0，且，求的面積.18．如圖，PC是圓臺的一條母線，是圓的內接三角形，AB為圓的直徑，．

(1)證明：；(2)若圓臺的高為3，體積為，求直線AB與平面PBC夾角的正弦值．19．已知點，，動點滿足直線與的斜率之積為．記的軌跡為曲線．(1)求的方程，并說明是什么曲線；(2)過坐標原點的直線交于，兩點，點在第一象限，軸，垂足為，連結并延長交于點．（?。┳C明：以為直徑的圓必然經過點．（ⅱ）求的取值范圍，并求當取得最小值時的直線的方程．

答案1．【正確答案】B【詳解】設點坐標為，則由題意可得，解得，所以點坐標為,故選：B2．【正確答案】B【詳解】選項A：根據共線向量的概念可知，空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面，A說法正確；選項B：若，則與的夾角是銳角或與同向，即夾角為0，B說法錯誤；選項C：假設是共面向量，則存在使得，因為向量是不共面的向量，所以無解，則也是不共面的向量，C說法正確；選項D：因為，且，所以四點共面，D說法正確；故選：B3．【正確答案】A【分析】由兩直線平行求出，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】當時，，則，所以“”是“”的充分不必要條件.故選A.4．【正確答案】D【詳解】因為雙曲線的離心率為，所以，所以，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程是.故選：D5．【正確答案】D【詳解】由題意可得圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離．因為，所以，即，解得.故選：D.6．【正確答案】B【分析】建立空間直角坐標系，根據題意，求得向量和平面的法向量，結合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】由空間直角坐標系中有棱長為2的正方體，點分別是和的中點，可得，則，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，設直線與平面所成角，則，即直線與平面所成角的正弦值為.故選B.

7．【正確答案】B【分析】利用過橢圓上兩點的直線方程為，結合中點及直線方程，化簡得到，利用即可求解.【詳解】設兩點坐標分別為，因為AB的中點為，所以，因為在橢圓上，所以①，，兩式相減，得，根據，上式可化簡為，整理得，又，所以，即，所以.故選B.8．【正確答案】D【詳解】如圖，過點作垂直準線于點，連接交于點.由題意可得的準線方程為.因為，所以，當三點共線時，取得最小值，最小值為，所以的最小值為.故選：D9．【正確答案】AD【分析】對于A項，先求斜率，進而可得傾斜角；對于B項，注意區(qū)分方程與方程的不同之處；對于C項，設直線l：，進而可得截距，根據題意進行求解即可；對于D項，根據兩點式方程的變形進行判斷即可.【詳解】對于A項，直線的斜率，傾斜角為，所以A正確；對于B項，表示過點斜率為k的直線，但不含點，而表示過點斜率為k的直線，且含點，所以B錯誤；對于C項，經過點，斜率存在，設直線為，若在，軸上截距互為相反數，則，解得或，所以直線方程為或，所以C錯誤；對于D項，方程為直線兩點式方程的變形，可以表示經過任意兩點Px1,y1、故選AD.10．【正確答案】ACD【詳解】雙曲線的離心率為，故A正確；雙曲線的漸近線為，故B錯誤；由有相同焦點，即，即，故C正確；拋物線焦點為，點在上，則，故或，所以P到的焦點的距離為4，故D正確．故選：ACD．11．【正確答案】ACD【詳解】對于A：因為M為的中點，E為的中點，所以，所以面，則P到面的距離為定值，所以體積為定值，所以A正確．對于B：AP在平面的投影在線段上，若，又，且，所以平面，又平面，所以，因為四邊形為正方形，所以與BE不垂直，所以B錯誤．對于C：平面與平面重合，平面與平面重合，所以延長會與直線有交點N，因為，又，所以，即N為點E，又平面平面，所以平面和平面的交線與平行，取中點F，則平面截長方體所得截面為矩形，所以面積為，所以C正確．對于D：易知長方體的外接球半徑為，球心是的中點O，由，得，，，則點P在球外，點E在球內，，如圖，建立空間直角坐標系，設，則，所以，即，所以，所以D正確．故選：ACD．12．【正確答案】①③【詳解】對于①，因為，所以，所以直線過定點，故①對；對于②，令x=0得y=?1，所以直線在軸上的截距為，故②錯；對于③，直線可變形為，設其傾斜角為，所以斜率，因為，所以，故③對；對于④，當直線的截距為0時，可設，代入可得，解得，此時直線，即；當直線的截距不為0時，因為直線在軸上的截距相等，可設，代入得，解得，此時直線，即，故④錯.故答案：①③13．【正確答案】【分析】求出直線的方程為：，根據點到直線的距離得到方程，求出，求出離心率即可.【詳解】依題意，，，，所以直線的方程為：，又直線與以為圓心半徑為的圓相切，故，即，，方程兩邊同除以得，解得或，又橢圓的離心率，所以.故答案為.14．【正確答案】【詳解】如圖所示，因為拋物線所以，因為拋物線的準線過雙曲線的左焦點，所以，所以，又因為雙曲線的一條漸近線，所以，因為，所以即，化簡得，又因為，聯立解得故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設圓C方程：，由已知，解得，∴圓C的方程為.（2）設點Mx,y，.∵，∴.整理得，，∵點B在圓C上，∴，∴點M的軌跡方程為.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）取的中點為.平面平面平面，平面平面，平面.以點為坐標原點，分別以直線為軸，軸，過且平行的直線為軸，建立如圖的空間直角坐標系，，，，，設平面的法向量為即令，則.又平面的法向量為，則，設二面角的平面角為，由圖形知為銳角，，即二面角的余弦值為.（2）設，，.又平面的法向量為平面，∴，∴，，即.∴，故在線段上存在點，使平面，且的值是.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，解得，故橢圓C.（2）如圖，設直線的傾斜角為，由，，得，，，即AP：，AQ：，聯立，解得或2（舍），故，聯立，解得或2（舍），故，又，，，故.18．【正確答案】(1)證明見詳解；(2).【詳解】（1）由題知，因為為圓的直徑，所以，又，所以，因為為的中點，所以，由圓臺性質可知，平面，且四點共面，因為平面，所以，因為是平面內的兩條相交直線，所以平面，因為平面，所以.（2）圓臺的體積，其中，解得或(舍去).由（1）知兩兩垂直，分別以為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖，則，所以.設平面的一個法向量為，則解得于是可取.設直線與平面的夾角為，則，故所求正弦值為.19．【正確答案】(1),曲線C是以坐標原點為中心，焦點在軸上，不包括左右兩頂點的橢圓(2)（?。┳C明過程見解析（ⅱ），滿足題意的