2024-2025學(xué)年四川省成都市高二上冊期中數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年四川省成都市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知方程表示雙曲線，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．設(shè)定點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．射線 D．橢圓或線段4．已知直線：和直線：，則“”是“∥”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線與的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是面積為4的直角三角形，則的方程為（

）A． B． C． D．6．已知直線上動點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值是（

）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)為橢圓：的一點(diǎn)，，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，的平分線交軸于點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)分別是，，其中，過右焦點(diǎn)的直線l與雙曲線的右支交與A，B兩點(diǎn)，則下列說法中錯誤的是（

）A．弦AB的最小值為B．若，則三角形的周長C．若AB的中點(diǎn)為M，且AB的斜率為k，則D．若直線AB的斜率為，則雙曲線的離心率二、多選題9．一個不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號分別為1，2，3，4的4個小球，從中任意摸出兩個球．設(shè)事件“摸出的兩個球的編號之和小于5”，事件“摸出的兩個球的編號都大于2”，事件“摸出的兩個球中有編號為3的球”，則（

）A．事件與事件是互斥事件 B．事件與事件是對立事件C．事件與事件是相互獨(dú)立事件 D．事件與事件是互斥事件10．瑞士數(shù)學(xué)家伯努利于1694年發(fā)現(xiàn)了雙紐線，即在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線，則當(dāng)時，下列結(jié)論正確是（

）A．點(diǎn)在雙紐線上B．點(diǎn)的軌跡方程為C．雙紐線關(guān)于坐標(biāo)軸對稱D．滿足的點(diǎn)有1個11．以下四個命題表述正確的是（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．圓上有且僅有3個點(diǎn)到直線l：的距離都等于1C．圓：與圓：恰有三條公切線，則D．已知圓C：，點(diǎn)P為直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)向圓C引兩條切線、，、為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn)三、填空題12．某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，在甲?乙?丙三個不同的位置投中的概率分別為，該同學(xué)站在三個不同的位置各投籃一次，至少投中一次的概率為，則的值是.13．過雙曲線的左焦點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為，延長交雙曲線右支于點(diǎn).設(shè)為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則．14．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為?，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是.四、解答題15．已知直線.（1）若直線過點(diǎn)，且，求直線的方程；（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，動點(diǎn)P滿足．(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程；(2)將點(diǎn)A和點(diǎn)B并入點(diǎn)P的軌跡得曲線C，若過點(diǎn)的直線l與曲線C有且只有一個公共點(diǎn)，求直線l的方程．17．已知橢圓C：的焦距為，離心率為.(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，直線l：交橢圓C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且的面積為，求t的值.18．已知雙曲線的焦距為且左右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線的斜率為，求弦長MN；(3)記直線，的斜率分別為，，證明：是定值．19．已知、分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于、兩個不同的點(diǎn)（、與、不重合）．(1)求橢圓的焦距和離心率；(2)若點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，求的值；(3)若，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、分別交軸于點(diǎn)、，當(dāng)且時，求的取值范圍．答案：1．D【分析】根據(jù)直線的斜率求直線的傾斜角.【詳解】由直線得其斜率為，設(shè)直線的傾斜角為（），則，所以，所以直線的傾斜角為，故選：D2．B【分析】根據(jù)雙曲線方程的特征得到，解得即可.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，解得或，故的取值范圍為.故選：B.3．D【分析】利用基本不等式求出的范圍，根據(jù)橢圓的定義可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，當(dāng)時，，而，此時點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)時，，此時點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓．綜上所述，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓或線段.故選：D.4．B【分析】根據(jù)直線平行求得，然后根據(jù)充分、必要條件的知識求得正確答案.【詳解】當(dāng)時，，解得或，當(dāng)時，兩直線分別為，符合題意，當(dāng)時，兩直線分別為符合題意，所以“”是“∥”的充分不必要條件故選：B5．B【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線的對稱性求出漸近線方程，再結(jié)合給定面積計算得解.【詳解】由為直角三角形，及雙曲線的對稱性知，且，則的漸近線方程為，即，由的面積為4，得，解得，又，因此，所以的方程為.故選：B6．A【分析】根據(jù)切線長，半徑以及圓心到點(diǎn)的距離的關(guān)系，求得圓心到直線的距離，再求切線長距離的最小值即可.【詳解】圓，其圓心為，半徑r=1，則到直線的距離；設(shè)切線長為，則，若最小，則取得最小值，顯然最小值為，故的最小值為，即切線長的最小值為.故選：A.7．C【分析】結(jié)合光學(xué)性質(zhì)，列出直線方程，即可求解答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)Ax0,所以過的切線方程即直線為，即，由光學(xué)幾何性質(zhì)知，，所以，則直線的方程為．令，得，所以．所以.故選：C8．D【分析】由通徑公式判斷A；由雙曲線的定義判斷B；由中點(diǎn)弦與點(diǎn)差法得出結(jié)論；由雙曲線的漸近線的斜率和比較大小，即可求離心率.A.ABA.AB的最小值為通徑為，故A正確；B.由雙曲線的定義得，得，所以三角形的周長，故B正確；C.設(shè)，，則，兩式相減得，則，則，則，故C正確；D若直線AB的斜率為，所以∴∴∴，所以選D不正確.故選：D9．ACD【分析】先列舉各事件，再根據(jù)互斥事件，對立事件，相互獨(dú)立事件的概率特征逐一判斷即可；【詳解】列舉各事件如下：，，，A：由互斥事件同時發(fā)生的概率為0，即，故A正確；B：由對立事件的概率和為1，，，，故B錯誤；C：因?yàn)椋蔆正確；D：事件，事件，為互斥事件，不可能同時發(fā)生，故D正確；故選：ACD.10．BCD【分析】先由雙紐線的定義求出其方程，逐一檢驗(yàn)各個選項(xiàng)可判斷結(jié)果.【詳解】由雙紐線的定義可得：，即，化簡得：，則當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡方程為，故B正確；當(dāng)時代入方程得，顯然不滿足方程，所以點(diǎn)不在雙紐線上故A錯誤；把x換成，y換成，方程不變，所以雙紐線關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，故C正確；因?yàn)?，若滿足，則點(diǎn)P在y軸上，在方程中令，解得，所以滿足的點(diǎn)為，故D正確；故選：BCD.11．BCD【分析】將直線的方程進(jìn)行整理利用參數(shù)分離即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系比較即可判斷選項(xiàng)B；由題意知兩圓外切，由圓心距等于半徑即可求得值，即可判斷選項(xiàng)C；設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求出以線段為直徑的圓的方程，與已知圓的方程相減即可得直線的方程，即可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】直線，所以，所以，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，故A錯誤；圓，圓心為到直線的距離為，所以直線與圓相交，平行于直線l且距離為的直線分別過圓心以及和圓相切，所以圓上有且僅有個點(diǎn)到直線的距離為，故B正確；由：可得，圓心，，由：可得，圓心，，由題意可得兩圓相外切，所以，即，解得：，故C正確；設(shè)，所以，

因?yàn)?、，分別為過點(diǎn)所作的圓的兩條切線，所以，，所以點(diǎn)，在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的方程為.整理可得：，與已知圓C：，相減可得.消去可得：，即，由解得，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，故D正確.故選：BCD.12．【分析】由該同學(xué)在三個不同的位置至少投中一次的概率與全不中的概率和為1，結(jié)合概率的乘法公式求解即可.【詳解】由題意，，解得.故13．1【分析】設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，因?yàn)榉謩e為，的中點(diǎn)，運(yùn)用中位線定理得到，結(jié)合雙曲線的定義得，再結(jié)合題中的數(shù)據(jù)得到，結(jié)合雙曲線的定義得，可得到的值．【詳解】設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，連接分別為，的中點(diǎn)由雙曲線定義得，故.故1.14．【分析】首先根據(jù)題意，利用向量變形得，如圖在上取一點(diǎn)M，使得，連接，則，再結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到，然后在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，如圖，在上取一點(diǎn)M，使得，連接，則，則點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則，由橢圓定義可知：，即，所以，所以AF2=a，，故點(diǎn)與上頂點(diǎn)重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以橢圓離心率為.故答案為.

方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.15．（1）（2）或.【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直，斜率之積為，可求得直線的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程，即可寫出直線方程；（2）先根據(jù)兩直線平行，斜率相等，設(shè)出直線的方程為，再根據(jù)兩平行直線的距離公式即可求出．【詳解】（1）因?yàn)橹本€的方程為，所以直線的斜率為.因?yàn)?，所以直線的斜率為.因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的方程為，即.（2）因?yàn)橹本€與直線之間的距離為，所以可設(shè)直線的方程為，所以，解得或.故直線的方程為或.本題主要考查直線方程的求法，涉及兩直線垂直，平行關(guān)系的應(yīng)用，以及平行直線的距離公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16．(1)；(2)或.【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解，（2）利用直線與曲線C相切，即可求出直線l的方程.【詳解】（1）設(shè)，則，由，得，即，所以動點(diǎn)P軌跡方程為.（2）由（1）知，曲線C的方程為，曲線是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，由過點(diǎn)的直線l與曲線C有且只有一個公共點(diǎn)，得直線與圓相切，而圓心到直線的距離為1，直線過點(diǎn)，則直線的方程可以為；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，即，由，得，此時直線l方程為，所以直線的方程為或.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到，，即可得到答案.（2）首先設(shè)，，根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立，結(jié)合根系關(guān)系得到，設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為，再根據(jù)求解即可.【詳解】（1）由題意得，，，又，則，則，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意設(shè)，，如圖所示：聯(lián)立，整理得，，則，，故.設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為，又，則，故，結(jié)合，解得.18．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用雙曲線的焦距、結(jié)合雙曲線方程求出值即可；（2）先求出直線l的方程，與雙曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及弦長公式計算即可；（3）設(shè)出直線l的方程，與雙曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及斜率坐標(biāo)公式，推理計算即得.【詳解】（1）由題意，雙曲線的焦距為，則，即，由，得，所以雙曲線的方程為.（2）依題意，直線的方程為，聯(lián)立，即，設(shè)，，則，，所以弦長.（3）證明：依題意，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，即，則，且，，即，而，，所以為定值.19．(1)；(2)(3)【分析】（1）由題意，結(jié)合橢圓的方程和離心率的公式求解即可；（2）設(shè)出直線的方程和的坐標(biāo)，聯(lián)立曲線方程，得到韋達(dá)定理再結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可；（3）結(jié)合（2）中所求信息將和的表達(dá)式寫出，再根據(jù)求解