2024-2025學(xué)年四川省高二上冊第二次月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年四川省高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測試題第I卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求出直線的斜率，利用斜率與傾斜角的關(guān)系可求得該直線的傾斜角.直線的斜率為，故該直線的傾斜角為.故選：B.2.若隨機事件A，B滿足，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由概率的性質(zhì)即可得到答案.由概率的性質(zhì)，.故選：B.3.已知直線，互相平行，且之間的距離為，則（）A.或3 B.或4 C.或5 D.或2【正確答案】A【分析】先根據(jù)兩直線平行由系數(shù)的關(guān)系求出參數(shù)，然后由平行線間的距離公式求出參數(shù)，最后由即可求出答案.由可得，解得，則直線的方程為，由，即，解得或，故或，即.故選：A.本題考查了兩平行直線間系數(shù)的關(guān)系，考查了平行直線間距離公式的應(yīng)用，考查了運算能力，屬于一般難度的題.4.下列命題中正確的是（）A.點關(guān)于平面對稱的點的坐標是B.若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C.若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為D.已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若，則【正確答案】C【分析】由空間點關(guān)于平面的對稱點的特點可判斷A；由向量的數(shù)量積的性質(zhì)可判斷B；由線面角的定義可判斷C；由共面向量定理可判斷D.對于A，點關(guān)于平面對稱的點的坐標是，A選項錯誤；對于B，若直線l的方向向量為，平面的法向量為，，有，則或，B選項錯誤；對于C，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為，C選項正確；對于D，已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若，則，解得，D選項錯誤.故選：C.5.已知，則“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)直線垂直的等價條件，求出的取值，根據(jù)包含關(guān)系即可得到結(jié)論直線和直線垂直，則，解得或，所以“”是“直線和直線垂直”的充分不必要條件，故選：A，本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合直線垂直的等價條件是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題，6.平行六面體的底面是邊長為2的正方形，且，，為，的交點，則線段的長為（）A.3 B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)空間向量的線性運算可得，進而結(jié)合數(shù)量積運算求模長.由題意可知：，則，所以.故選：C.7.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在白天觀望烽火臺之后黃昏時從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，已知軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A. B.5 C. D.【正確答案】A【分析】利用點關(guān)于直線對稱點，找出最短路程.先找出B關(guān)于直線的對稱點C再連接AC即為“將軍飲馬”的最短路程.如圖所示，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，在直線上取點P，連接PC，則．由題意可得，解得，即點，所以，當且僅當A，P，C三點共線時等號成立，所以“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：A．8.如圖，在長方體中，已知.動點P從出發(fā)，在棱上勻速運動；動點Q同時從B出發(fā)，在棱BC上勻速運動，P的運動速度是Q的兩倍，各自運動到另一端點停止.它們在運動過程中，設(shè)直線PQ與平面ABCD所成的角為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】設(shè)運動時間為且，構(gòu)建如圖示空間直角坐標系，令，到面的距離恒為1且在面上的射影為，根據(jù)線面角定義求正切值.設(shè)運動時間為，且，構(gòu)建如圖示空間直角坐標系，不妨令，顯然到面的距離恒為1，且在面上的射影為，則，則，所以.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某中學(xué)三個年級學(xué)生共2000人，且各年級人數(shù)比例如以下扇形圖.現(xiàn)因舉辦校慶活動，以按比例分配的分層抽樣方法，從中隨機選出志愿服務(wù)小組，已知選出的志愿服務(wù)小組中高一學(xué)生有人，則下列說法正確的有（）A.該學(xué)校高一學(xué)生共人 B.志愿服務(wù)小組共有學(xué)生96人C.志愿服務(wù)小組中高三學(xué)生共有人 D.某高三學(xué)生被選入志愿服務(wù)小組的概率為【正確答案】AC【分析】利用扇形圖特點和分層抽樣的概念，即可判斷.對于A：由圖可知，高三年級學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，高二年級學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，所以高一年級學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，所以高一學(xué)生共人，故A正確；對于B：因為，所以志愿服務(wù)小組共有學(xué)生人，故B錯誤；對于C：因志愿服務(wù)小組中高三學(xué)生共有人，故C正確；對于D：高三學(xué)生共人，志愿服務(wù)小組中高三學(xué)生共有人，所以某高三學(xué)生被選入志愿服務(wù)小組的概率為，故D錯誤；故選：AC.10.下列說法正確的是（）A.直線的傾斜角的取值范圍是B.若三點在一條直線上，則C.過點，且在兩坐標軸上截距互為相反數(shù)的直線的方程為D.直線方向向量為，則該直線的斜率為【正確答案】AD【分析】利用直線相關(guān)知識分別判斷每一個選項即可.直線的斜率，所以其傾斜角為，A正確；若三點在一條直線上，則斜率等于斜率，得，B錯誤；過點，且在兩坐標軸上截距互為相反數(shù)的直線存在一條過原點，顯然不過原點，C錯誤；直線的方向向量為，則斜率，D正確.故選：AD11.據(jù)浙江省新高考規(guī)則，每名同學(xué)在高一學(xué)期結(jié)束后，需要從七門選考科目中選擇其中三門作為高考選考科目.某同學(xué)已經(jīng)選擇了物理、化學(xué)兩門學(xué)科，還需要從生物、技術(shù)這兩門理科學(xué)科和政治、歷史、地理這三門文科學(xué)科共五門學(xué)科中再選擇一門，設(shè)事件“選擇生物學(xué)科”，“選擇一門理科學(xué)科”，“選擇政治學(xué)科”，“選擇一門文科學(xué)科”，則下列說法正確的是（）A.和是互斥事件但不是對立事件 B.和是互斥事件也是對立事件C. D.【正確答案】BD【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的概念與性質(zhì)逐項判斷即可.事件“選擇一門文科學(xué)科”，包含“選擇政治學(xué)科”、“選擇歷史學(xué)科”、“選擇地理學(xué)科”，所以事件“選擇政治學(xué)科”，包含于事件，故事件、可以同時發(fā)生，不是互斥事件，A錯；事件“選擇一門理科學(xué)科”，與事件“選擇一門文科學(xué)科”，不能同時發(fā)生，且必有一個事件發(fā)生，故和是互斥事件也是對立事件，B對；由題意可知，，所以，C錯；事件事件“選擇生物學(xué)科”，與事件“選擇一門文科學(xué)科”，不能同時發(fā)生，故和是互斥事件，所以，D對.故選：BD.第II卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓的圓心坐標為，且點在圓上，則圓的一般方程為_________________.【正確答案】【分析】根據(jù)點在圓上，可得半徑，進而可圓的方程.由已知點在圓上，則，即圓的方程為，即，故答案為.13.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，若這組數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，方差為，則________________________.【正確答案】①.19②.8【分析】利用平均數(shù)的性質(zhì)和方差的性質(zhì)求解．因為平均數(shù)為，方差為，所以，的平均數(shù)為,方差為.故19；8.14.兩條異面直線a，b所成的角為，在直線上取點A，E，在直線上取點B，F(xiàn)，使，且.已知，則線段AB的長為____________.【正確答案】12或【分析】根據(jù)題意，畫出相應(yīng)示意圖，且，，，則，，分兩種情況求對應(yīng)線段AB的長.由題意，有如下兩種情況，且，，，則，，如上圖，，又，即，則，又，則，如上圖，，又，即，則，又，則，所以線段AB的長為12或.故12或四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知盒中有大小、質(zhì)地相同的紅球、黃球、藍球共4個，從中任取一球，得到紅球或黃球的概率是，得到黃球或藍球的概率是．（1）求盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)；（2）設(shè)置游戲規(guī)則如下：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色．若取到兩個球顏色相同則甲勝，否則乙勝，從概率的角度判斷這個游戲是否公平，請說明理由．【正確答案】（1）盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)分別是2，1，1；（2）不公平，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題設(shè)的概率可得關(guān)于球數(shù)的方程組，求出其解后可得不同顏色的求出.（2）利用列舉法可求甲勝或乙勝的概率，從而可判斷游戲是否公平.【小問1詳解】設(shè)盒中紅球、黃球、藍球個數(shù)分別為x，y，z，從中任取一球，得到紅球或黃球為事件A，得到黃球或藍球為事件B，則，由已知得，解得，所以盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)分別是2，1，1；【小問2詳解】由（1）知紅球、黃球、藍球個數(shù)分別為2個，1個，1個，用，表示紅球，用表示黃球，用表示藍球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示試驗的樣本點，則樣本空間，．可得，記“取到兩個球顏色相同”為事件，“取到兩個球顏色不相同”為事件，則，所以，所以，因為，所以此游戲不公平．16.已知直線.（1）若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍；（2）若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，求的面積的最小值及此時直線的一般式方程.【正確答案】（1）（2）4，.【分析】（1）要使直線不經(jīng)過第四象限，則直線的斜率和直線在軸上的截距都是非負數(shù)，解出k的取值范圍；（2）先求出直線在兩個坐標軸上的截距，代入三角形的面積公式，再使用基本不等式可求得面積的最小值.【小問1詳解】直線的方程為：，則則直線l在y軸上的截距為，要使直線l不經(jīng)過第四象限，則，解得，的取值范圍是.【小問2詳解】由題意可知，再由的方程，得，.依題意得，解得.，“”成立的條件是且，即，，此時直線的方程為.17.如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）過點在平面內(nèi)作，垂足為，求出、的長，然后以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可證得平面；（2）利用空間向量法可求得點到平面的距離.【小問1詳解】過點在平面內(nèi)作，垂足為，因為，，，，，則四邊形為矩形，所以，，，則，且，又因為平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則A0,0,0、、、、、P0,0,1，因為為的中點，則，，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，令，得，因為，即，又因為平面，所以平面.【小問2詳解】又，由（1）知平面的一個法向量為，所以，點到平面的距離為，故點到平面的距離為.18.某班同學(xué)利用春節(jié)進行社會實踐，對本地歲的人群隨機抽取人進行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，將生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖．序號分組（歲）本組中“低碳族”人數(shù)“低碳族”人數(shù)在本組所占的比例1[25,30)1200.62[30,35)195p3[35,40)1000.54[40,45)a0.45[45,50)300.36[5560)150.3（一）人數(shù)統(tǒng)計表（二）各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖（1）在答題卡給定的坐標系中補全頻率分布直方圖，并求出、、的值；（2）從歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗活動．若將這6個人通過抽簽分成甲、乙兩組，每組的人數(shù)相同，求歲中被抽取的人恰好又分在同一組的概率．【正確答案】（1）頻率分布直方圖見解析；，，；（2）【分析】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖中所有小長方形面積和為1得第二組的頻率，除以組距得高，再補全直方圖，根據(jù)頻率等于頻數(shù)除以總數(shù)求得、、（2）先根據(jù)分層抽樣確定兩區(qū)間抽取人數(shù)，利用列舉法確定總的基本事件數(shù)，以及歲中被抽取的人恰好又分在同一組的基本事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果.【小問1詳解】結(jié)合頻率分布直方圖可知，第二組的頻率為，所以第二組高為．故補全頻率分布直方圖如下：結(jié)合人數(shù)統(tǒng)計表與頻率分布直方圖，可知第一組的人數(shù)為，頻率為，所以；因為第二組的頻率為0.3，所以第二組的人數(shù)為，所以；因為第四組的頻率為，所以第四組的人數(shù)為，所以．【小問2詳解】因為歲年齡段的“低碳族”與歲年齡段的“低碳族”的比為，所以采用分層抽樣法抽取6人，則在歲中抽取4人，在歲中抽取2人．設(shè)年齡在中被抽取的4個人分別為：；年齡在歲中被抽取的2個人分別為：；則總的基本事件有：,,,,,……，共20個；記“歲中被抽取的人恰好有分在同一組”為事件C，而事件C包含的基本事件有8個；所以.頻率分布直方圖中小長方形面積等于對應(yīng)區(qū)間的概率,所有小長方形面積之和為1;頻率分布直方圖中組中值與對應(yīng)區(qū)間概率乘積的和為平均數(shù);頻率分布直方圖中小長方形面積之比等于對應(yīng)概率之比,也等于對應(yīng)頻數(shù)之比.19.如圖，在三棱柱中，，頂點在底面上的射影恰為點，且.（1）求證：平面（2）求棱與BC所成的角的大?。唬?）在線段上確定一點P，使，并求出二面角的平面角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）為棱的中點，【分析】（1）由線面垂直得線線垂直，再由線面垂直的判斷定理得到證明；（2）建立空間直