2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之概率（2024年9月）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之概率（2024年9月）一．選擇題（共10小題）1．（2024?湖北開(kāi)學(xué)）小明有一枚質(zhì)地不均勻的骰子，每次擲出后出現(xiàn)1點(diǎn)的率為p（0＜p＜1），他擲了k次骰子，最終有6次出現(xiàn)1點(diǎn)，但他沒(méi)有留意自己一共擲了多少次骰子．設(shè)隨機(jī)變量X表示每擲N次骰子出現(xiàn)1點(diǎn)的次數(shù)，現(xiàn)以使P（X＝6）最大的N值估計(jì)N的取值并計(jì)算E（X）．（若有多個(gè)N使P（X＝6）最大，則取其中的最小N值）．下列說(shuō)法正確的是（）A．E（X）＞6 B．E（X）＜6 C．E（X）＝6 D．E（X）與6的大小無(wú)法確定2．（2024?江西開(kāi)學(xué)）已知某地區(qū)高考二檢數(shù)學(xué)共有8000名考生參與，且二檢的數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N（95，σ2），若成績(jī)?cè)?0分以下的有1500人，則可以估計(jì)P（95≤X≤110）＝（）A．532 B．516 C．1132 3．（2024秋?尋甸縣校級(jí)月考）隨機(jī)變量X的分布列如下，且E(X)=75，則X012P0.2p1p2A．0.64 B．0.32 C．0.16 D．0.084．（2024?全國(guó)四模）在某次游戲中，甲、乙分別用弓箭對(duì)準(zhǔn)同一個(gè)弓箭靶，兩人同時(shí)射箭．已知甲、乙中靶的概率分別為0.5，0.4，且兩人是否中靶互不影響，若弓箭靶被射中，則只被甲射中的概率為（）A．27 B．37 C．47 5．（2024?新縣校級(jí)模擬）甲箱中有2個(gè)白球和4個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)白球和2個(gè)黑球．先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，以A1，A2分別表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以B表示從乙箱中取出的是白球，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．A1，A2互斥 B．P(B|AC．P(A2B)=16．（2024?七星區(qū)校級(jí)模擬）若古典概型的樣本空間Ω＝{1，2，3，4}，事件A＝{1，2}，事件A，B相互獨(dú)立，則事件B可以是（）A．{1，3} B．{1，2，3} C．{3，4} D．（2，3，4）7．（2024秋?廣東月考）已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：X﹣101P13mn若P(X≤0)=12，且2X+Y＝1，則A．2918 B．4718 C．299 8．（2024?鄲城縣開(kāi)學(xué)）若古典概型的樣本空間Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件A＝{2，4，6}，B＝{1，2，3，4}，則（）A．B包含A B．A與B對(duì)立 C．A與B互斥 D．A與B相互獨(dú)立9．（2024秋?開(kāi)福區(qū)校級(jí)月考）已知隨機(jī)變量X服從N（2，σ2），若P（X＞3）＝0.4，則P（X＜1）＝（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.510．（2024?孝感開(kāi)學(xué)）擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)A＝“第一枚出現(xiàn)小于4的點(diǎn)”，B＝“第二枚出現(xiàn)大于3的點(diǎn)”，則A與B的關(guān)系為（）A．互斥 B．互為對(duì)立 C．相互獨(dú)立 D．相等二．多選題（共3小題）（多選）11．（2024秋?長(zhǎng)沙月考）某校高三年級(jí)選考地理科的學(xué)生有100名，現(xiàn)將他們?cè)摽频囊淮慰荚嚪謹(jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為等級(jí)分，已知等級(jí)分X的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為[30，100]，若等級(jí)分X～N（80，25），則（）參考數(shù)據(jù)：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827；P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973A．這次考試等級(jí)分的標(biāo)準(zhǔn)差為5 B．這次考試等級(jí)分超過(guò)80分的約有45人 C．這次考試等級(jí)分在[70，80]內(nèi)的人數(shù)約為48人 D．P（65＜X＜75）＝0.1573（多選）12．（2024秋?廣東月考）下列說(shuō)法一定正確的有（）A．若a＞b＞0，則ln（a﹣1）＞ln（b﹣1） B．若P（A）＝0.6，P（B）＝0.8，P（A|B）＝0.5，則P(B|A)=2C．在(1+3x+D．若a＝1.5，3b＝5，5c＝8，則b＜c＜a（多選）13．（2024?安徽開(kāi)學(xué)）若隨機(jī)變量X～N（5，σ2）且P（X＜m）＝P（X＞n），則下列選項(xiàng)正確的是（）A．E（2X+1）＝7 B．m2+n2的最小值為50 C．P（X≥3+σ）＞P（X≤3﹣σ） D．若P（X＞4）＝0.68，則P（5≤x＜6）＝0.32三．填空題（共4小題）14．（2024?桂平市開(kāi)學(xué)）甲、乙玩一個(gè)游戲，游戲規(guī)則如下：一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6的6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球，甲先從盒子中不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，乙緊接著從盒子中不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，比較小球上的數(shù)字，數(shù)字更大者得1分，數(shù)字更小者得0分，以此規(guī)律，直至小球全部取完，總分更多者獲勝．甲獲得3分的概率為．15．（2024?句容市校級(jí)開(kāi)學(xué)）若離散型隨機(jī)變量X～B(4，23)，則E（X）+D（X16．（2024?珠海模擬）某學(xué)校選拔了小珠等5名同學(xué)參加省技能大賽，每所學(xué)校最終只能派2人上場(chǎng)參賽，則小珠同學(xué)被選中上場(chǎng)參賽的概率是．17．（2023秋?吉安期末）第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)開(kāi)幕前需在某高中招募10名志愿者作為高中組志愿者代表，分成兩組，每組5人，共有15人報(bào)了名．其中小王、小張也報(bào)了名，則兩人都被選中且被分在不同組的概率為．四．解答題（共3小題）18．（2024?鄲城縣開(kāi)學(xué)）在一個(gè)不透明的袋子中裝有大小、質(zhì)地完全相同的1個(gè)紅球和1個(gè)白球，每次從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，觀(guān)察其顏色后放回．甲連續(xù)摸球2次，乙連續(xù)摸球4次．用a表示摸出紅球，b表示摸出白球．（1）分別寫(xiě)出甲和乙的摸球試驗(yàn)的樣本空間及其包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）設(shè)A＝“甲恰有一次摸出紅球”，B＝“乙恰有兩次摸出紅球”，比較P（A）與P（B）的大?。?9．（2024?湖南開(kāi)學(xué)）2024年西部數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽于8月4日至10日在上海隆重舉行，此次賽事不僅是對(duì)中學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一次全面考驗(yàn)，更是對(duì)數(shù)學(xué)教育未來(lái)發(fā)展的深刻實(shí)踐探索，共有200多名學(xué)生參賽，引起社會(huì)廣泛關(guān)注，點(diǎn)燃了全社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)的熱情．甲、乙、丙3名同學(xué)各自獨(dú)立去做2024年西部數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽預(yù)賽中的某道題，已知甲能解出該題的概率為23，乙能解出而丙不能解出該題的概率為18，甲、丙都能解出該題的概率為（1）求乙、丙各自解出該題的概率；（2）求甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率．20．（2024?天元區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）甲口袋中裝有2個(gè)相同的小球，它們分別寫(xiě)有字母A和B；乙口袋中裝有3個(gè)相同的小球，它們分別寫(xiě)有字母C，D和E；丙口袋中裝有2個(gè)相同的小球，它們分別寫(xiě)有字母H和I．從三個(gè)口袋中各隨機(jī)取出1個(gè)小球．（1）取出的3個(gè)小球上恰好有1個(gè)、2個(gè)和3個(gè)元音字母的概率分別是多少？（2）取出的3個(gè)小球上全是輔音字母的概率是多少？（注：本題中，A，E，I是元音字母；B，C，D，H是輔音字母）

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之概率（2024年9月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?湖北開(kāi)學(xué)）小明有一枚質(zhì)地不均勻的骰子，每次擲出后出現(xiàn)1點(diǎn)的率為p（0＜p＜1），他擲了k次骰子，最終有6次出現(xiàn)1點(diǎn)，但他沒(méi)有留意自己一共擲了多少次骰子．設(shè)隨機(jī)變量X表示每擲N次骰子出現(xiàn)1點(diǎn)的次數(shù)，現(xiàn)以使P（X＝6）最大的N值估計(jì)N的取值并計(jì)算E（X）．（若有多個(gè)N使P（X＝6）最大，則取其中的最小N值）．下列說(shuō)法正確的是（）A．E（X）＞6 B．E（X）＜6 C．E（X）＝6 D．E（X）與6的大小無(wú)法確定【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】先求得P（X＝6）的表達(dá)式，由此列不等式，結(jié)合數(shù)學(xué)期望的知識(shí)確定正確答案．【解答】解：X服從二項(xiàng)分布B（N，P），則P(X=6)=CP（X＝6）最大即為滿(mǎn)足CN解得6p又N∈N+，故6p為整數(shù)時(shí)，結(jié)合題設(shè)要求N=6p6p不為整數(shù)時(shí)，N小于6p，E（X）＝Np＜6，故E（X）＜故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)分布的期望，是中檔題．2．（2024?江西開(kāi)學(xué)）已知某地區(qū)高考二檢數(shù)學(xué)共有8000名考生參與，且二檢的數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N（95，σ2），若成績(jī)?cè)?0分以下的有1500人，則可以估計(jì)P（95≤X≤110）＝（）A．532 B．516 C．1132 【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性即可得．【解答】解：解法一：依題意，P（95≤X≤110）＝P（80≤X≤95）＝P（X＜95）﹣P（X＜80）＝0.5-1500解法二：數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分至95分的有4000﹣1500＝2500人，由對(duì)稱(chēng)性，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?5分至110分的也有2500人，故P(95≤故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024秋?尋甸縣校級(jí)月考）隨機(jī)變量X的分布列如下，且E(X)=75，則X012P0.2p1p2A．0.64 B．0.32 C．0.16 D．0.08【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)和期望可求p1，p2，從而可求方差．【解答】解：根據(jù)題意可得p1+所以D(12故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的方差，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?全國(guó)四模）在某次游戲中，甲、乙分別用弓箭對(duì)準(zhǔn)同一個(gè)弓箭靶，兩人同時(shí)射箭．已知甲、乙中靶的概率分別為0.5，0.4，且兩人是否中靶互不影響，若弓箭靶被射中，則只被甲射中的概率為（）A．27 B．37 C．47 【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】設(shè)事件A表示“甲中靶“，事件B表示“乙中靶“，事件C表示”弓箭靶被射中”，根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式求出P（AB），P（C），再利用條件概率公式求解．【解答】解：設(shè)事件A表示“甲中靶“，事件B表示“乙中靶“，事件C表示”弓箭靶被射中”，所以P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，所以P（A）＝1﹣0.5＝0.5，P（B）＝1﹣0.4＝0.6，可得甲中靶的同時(shí)乙未中靶的概率為P（AB）＝P（A）P（B）＝0.5×0.6＝0.3，可得甲，乙都未中靶的概率為P(AB所以弓箭靶被射中的概率為P（C）＝1﹣P（AB）＝1﹣0.3＝0.7，所以弓箭靶被射中，則只被甲射中的概率為P(AB故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了獨(dú)立事件的概率乘法公式，考查了條件概率公式，屬于中檔題．5．（2024?新縣校級(jí)模擬）甲箱中有2個(gè)白球和4個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)白球和2個(gè)黑球．先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，以A1，A2分別表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以B表示從乙箱中取出的是白球，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．A1，A2互斥 B．P(B|AC．P(A2B)=1【考點(diǎn)】條件概率；互斥事件與對(duì)立事件．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】利用互斥事件定義判斷A；利用條件概率判斷B；利用相互獨(dú)立事件概率公式判斷C和D．【解答】解：甲箱中有2個(gè)白球和4個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)白球和2個(gè)黑球，先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，以A1，A2分別表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以B表示從乙箱中取出的是白球，因?yàn)槊看沃蝗∫磺?，故A1，A2是互斥的事件，故A正確；由題意得P(A1)=13，P(P(B)=P(A1B)+P(因?yàn)镻(A2B)=故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件、條件概率、相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6．（2024?七星區(qū)校級(jí)模擬）若古典概型的樣本空間Ω＝{1，2，3，4}，事件A＝{1，2}，事件A，B相互獨(dú)立，則事件B可以是（）A．{1，3} B．{1，2，3} C．{3，4} D．（2，3，4）【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；隨機(jī)事件；互斥事件與對(duì)立事件．【專(zhuān)題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】根據(jù)P（A∩B）與P（A）P（B）是否相等判斷事件是否獨(dú)立，得到答案．【解答】解：由題意得P（A）=2對(duì)于A，P（B）=24=12，A∩B＝{1}，∴P（A∴P（A∩B）＝P（A）P（B），∴A，B相互獨(dú)立，故A正確；對(duì)于B，P（B）=34，A∩B＝{1，2}，故P（A∩B）∴P（A∩B）≠P（A）P（B），故A，B不相互獨(dú)立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，P（B）=24=12，A∩B＝?，∴P（A∴P（A∩B）≠P（A）P（B），∴事件A，B不相互獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，P（B）=34，A∩B＝{2}，∴P（A∩B）∴P（A∩B）≠P（A）P（B），故事件A，B不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．（2024秋?廣東月考）已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：X﹣101P13mn若P(X≤0)=12，且2X+Y＝1，則A．2918 B．4718 C．299 【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專(zhuān)題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】利用分布列的性質(zhì)結(jié)合給定概率求出m，n，再求出E（X），D（X），進(jìn)而利用方差的性質(zhì)計(jì)算即得．【解答】解：由P(X≤得m=12-則E(X)=-D(X)=E(X由2X+Y＝1，得Y＝1﹣2X，所以D(Y)=4D(X)=29故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．8．（2024?鄲城縣開(kāi)學(xué)）若古典概型的樣本空間Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件A＝{2，4，6}，B＝{1，2，3，4}，則（）A．B包含A B．A與B對(duì)立 C．A與B互斥 D．A與B相互獨(dú)立【考點(diǎn)】事件的互斥（互不相容）及互斥事件；相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專(zhuān)題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】由事件包含關(guān)系的定義判斷選項(xiàng)A；由對(duì)立事件互斥事件的定義判斷選項(xiàng)BC，由P（AB）＝P（A）P（B）是否成立判斷選項(xiàng)D．【解答】解：事件A與B包含沒(méi)有包含關(guān)系，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；事件AB＝{2，4}≠?，所以A與B不互斥也不對(duì)立，BC選項(xiàng)錯(cuò)誤；P(A)=36=12P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A與B相互獨(dú)立，D選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．9．（2024秋?開(kāi)福區(qū)校級(jí)月考）已知隨機(jī)變量X服從N（2，σ2），若P（X＞3）＝0.4，則P（X＜1）＝（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，即可求解．【解答】解：由隨機(jī)變量X服從N（2，σ2），可得μ＝2，即正態(tài)分布區(qū)間的圖象關(guān)于x＝2對(duì)稱(chēng)，因?yàn)镻（X＞3）＝0.4，根據(jù)正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可得P（X＜1）＝P（X＞3）＝0.4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．10．（2024?孝感開(kāi)學(xué)）擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)A＝“第一枚出現(xiàn)小于4的點(diǎn)”，B＝“第二枚出現(xiàn)大于3的點(diǎn)”，則A與B的關(guān)系為（）A．互斥 B．互為對(duì)立 C．相互獨(dú)立 D．相等【考點(diǎn)】事件的互斥（互不相容）及互斥事件；相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；由兩事件交事件的概率判斷兩事件的相互獨(dú)立性．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】根據(jù)題意，求出P（A）、P（B）和P（AB），由相互獨(dú)立事件的定義分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，A＝“第一枚出現(xiàn)小于4的點(diǎn)”，B＝“第二枚出現(xiàn)大于3的點(diǎn)”，則P（A）=36=12，P（B）=36則有P（AB）＝P（A）P（B），事件A、B相互獨(dú)立．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查事件之間的關(guān)系，涉及相互獨(dú)立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）11．（2024秋?長(zhǎng)沙月考）某校高三年級(jí)選考地理科的學(xué)生有100名，現(xiàn)將他們?cè)摽频囊淮慰荚嚪謹(jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為等級(jí)分，已知等級(jí)分X的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為[30，100]，若等級(jí)分X～N（80，25），則（）參考數(shù)據(jù)：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827；P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973A．這次考試等級(jí)分的標(biāo)準(zhǔn)差為5 B．這次考試等級(jí)分超過(guò)80分的約有45人 C．這次考試等級(jí)分在[70，80]內(nèi)的人數(shù)約為48人 D．P（65＜X＜75）＝0.1573【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】ACD【分析】根據(jù)X～N（80，25）的含義易判斷A，B兩項(xiàng)，對(duì)于C，D，先把范圍轉(zhuǎn)換成用μ，σ表示，利用3σ概率值求出相應(yīng)范圍的概率值，再進(jìn)行估算即可．【解答】解：對(duì)于A，因X～N（80，25），則σ=25=5，故對(duì)于B，因μ＝80，即這次考試等級(jí)分超過(guò)80分的學(xué)生約占一半，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因P(70≤故這次考試等級(jí)分在[70，80]內(nèi)的人數(shù)約為0.48×100＝48人，故C正確；對(duì)于D，因P（65＜X＜75）＝P（μ﹣3σ≤X≤μ﹣σ）=1故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)，屬于中檔題．（多選）12．（2024秋?廣東月考）下列說(shuō)法一定正確的有（）A．若a＞b＞0，則ln（a﹣1）＞ln（b﹣1） B．若P（A）＝0.6，P（B）＝0.8，P（A|B）＝0.5，則P(B|A)=2C．在(1+3x+D．若a＝1.5，3b＝5，5c＝8，則b＜c＜a【考點(diǎn)】條件概率；二項(xiàng)式定理的應(yīng)用；指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化；對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值．【專(zhuān)題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BC【分析】由對(duì)數(shù)的意義判斷A；利用條件概率公式計(jì)算判斷B；利用二項(xiàng)式定理奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和判斷C；利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化關(guān)系求出b，c，并利用基本不等式推理判斷D．【解答】解：對(duì)于A，a＞b＞0不能推出a﹣1＞0，b﹣1＞0，即ln（a﹣1）＞ln（b﹣1）不一定有意義，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，依題意，P（AB）＝P（A|B）P（B）＝0.8×0.5＝0.4，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=對(duì)于C，(1+3x+Tr+1當(dāng)r∈{0，2，4，6，8}時(shí)，Tr+1為有理項(xiàng)，因此展開(kāi)式中所有有理項(xiàng)的系數(shù)之和為C80+對(duì)于D，b＝log35，c＝log58，cb而b＞0，因此c＜b，D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由對(duì)數(shù)的意義、條件概率公式、二項(xiàng)式定理奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．（多選）13．（2024?安徽開(kāi)學(xué)）若隨機(jī)變量X～N（5，σ2）且P（X＜m）＝P（X＞n），則下列選項(xiàng)正確的是（）A．E（2X+1）＝7 B．m2+n2的最小值為50 C．P（X≥3+σ）＞P（X≤3﹣σ） D．若P（X＞4）＝0.68，則P（5≤x＜6）＝0.32【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BC【分析】利用期望的性質(zhì)計(jì)算判斷A；由對(duì)稱(chēng)性求出m+n，再由不等式的性質(zhì)求出m2+n2最小值判斷B；利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性判斷CD．【解答】解：隨機(jī)變量X～N（5，σ2），對(duì)于A，E（X）＝5，則E（2X+1）＝2E（X）+1＝11，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，P（X＜m）＝P（X＞n），有m+n2=5，則當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝5時(shí)等號(hào)成立，m2+n2的最小值為50，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，E（X）＝5，所以P（X≥3+σ）＞P（X≤3﹣σ），C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，因?yàn)殡S機(jī)變量X～N（5，σ2），所以正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)X＝5，因?yàn)镻（4＜x＜5）＝0.68﹣0.5＝0.18，所以P（5≤x＜6）＝0.18，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）14．（2024?桂平市開(kāi)學(xué)）甲、乙玩一個(gè)游戲，游戲規(guī)則如下：一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6的6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球，甲先從盒子中不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，乙緊接著從盒子中不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，比較小球上的數(shù)字，數(shù)字更大者得1分，數(shù)字更小者得0分，以此規(guī)律，直至小球全部取完，總分更多者獲勝．甲獲得3分的概率為18【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】18【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在三個(gè)盒子中各放入2個(gè)編號(hào)不同的小球，甲從每個(gè)盒子中各取一個(gè)小球，求甲取到每個(gè)盒子中編號(hào)較大小球的概率，然后可解．【解答】解：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在三個(gè)盒子中各放入2個(gè)編號(hào)不同的小球，甲從每個(gè)盒子中各取一個(gè)小球，求甲取到每個(gè)盒子中編號(hào)較大小球的概率．甲從三個(gè)盒子中各取一球，共有23＝8種取法，三個(gè)都是編號(hào)較大小球只有一種取法，所以，甲獲得3分的概率為18故答案為：18【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024?句容市校級(jí)開(kāi)學(xué)）若離散型隨機(jī)變量X～B(4，23)，則E（X）+D（X【考點(diǎn)】二項(xiàng)分布的均值（數(shù)學(xué)期望）與方差．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】329【分析】結(jié)合二項(xiàng)分布的期望、方差公式，即可求解．【解答】解：離散型隨機(jī)變量X～故E（X）+D（X）=4×故答案為：329【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)分布的期望、方差公式，屬于基礎(chǔ)題．16．（2024?珠海模擬）某學(xué)校選拔了小珠等5名同學(xué)參加省技能大賽，每所學(xué)校最終只能派2人上場(chǎng)參賽，則小珠同學(xué)被選中上場(chǎng)參賽的概率是25【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】25【分析】求出5名同學(xué)參加省技能大賽，派2人上場(chǎng)參賽的情況數(shù)，再求出小珠同學(xué)被選中上場(chǎng)的情況數(shù)，計(jì)算出概率．【解答】解：由題意可知，5名同學(xué)參加省技能大賽，派2人上場(chǎng)參賽，共有C5其中小珠同學(xué)被選中上場(chǎng)的情況有：C4所以所求概率為410故答案為：25【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．17．（2023秋?吉安期末）第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)開(kāi)幕前需在某高中招募10名志愿者作為高中組志愿者代表，分成兩組，每組5人，共有15人報(bào)了名．其中小王、小張也報(bào)了名，則兩人都被選中且被分在不同組的概率為521【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專(zhuān)題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】521【分析】利用古典概型、排列組合求解．【解答】解：該兩人都被選中且被分在不同組為目標(biāo)分組，分法種數(shù)為C1315人選10人分兩組的分法種數(shù)為C15∴兩人都被選中且被分在不同組的概率P=C故答案為：521【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．四．解答題（共3小題）18．（2024?鄲城縣開(kāi)學(xué)）在一個(gè)不透明的袋子中裝有大小、質(zhì)地完全相同的1個(gè)紅球和1個(gè)白球，每次從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，觀(guān)察其顏色后放回．甲連續(xù)摸球2次，乙連續(xù)摸球4次．用a表示摸出紅球，b表示摸出白球．（1）分別寫(xiě)出甲和乙的摸球試驗(yàn)的樣本空間及其包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）設(shè)A＝“甲恰有一次摸出紅球”，B＝“乙恰有兩次摸出紅球”，比較P（A）與P（B）的大?。究键c(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式；樣本點(diǎn)與樣本空間．【專(zhuān)題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）答案詳見(jiàn)解析；（2）P（A）＞P（B）．【分析】（1）利用列舉法寫(xiě)出樣本空間并求得樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（2）通過(guò)計(jì)算P（A）與P（B），從而作出判斷．【解答】解：（1）甲摸球試驗(yàn)的樣本空間：{（a，a），（a，b），（b，a），（b，b）}，樣本點(diǎn)4個(gè)．乙摸球試驗(yàn)的樣本空間：{（a，a，a，a），（a，a，a，b），（a，a，b，a），（a，b，a，a），（b，a，a，a），（a，a，b，b），（a，b，b，a），（b，b，a，a），（a，b，a，b），（b，a，b，a），（b，a，a，b），（a，b，b，b），（b，a，b，b），（b，b，a，b），（b，b，b，a），（b，b，b，b）}，樣本點(diǎn)16個(gè)．（2）由（1）得P(A)=24=12，P(B)=616【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024?湖南開(kāi)學(xué)）2024年西部數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽于8月4日至10日在上海隆重舉行，此次賽事不僅是對(duì)中學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一次全面考驗(yàn)，更是對(duì)數(shù)學(xué)教育未來(lái)發(fā)展的深刻實(shí)踐探索，共有200多名學(xué)生參賽，引起社會(huì)廣泛關(guān)注，點(diǎn)燃了全社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)的熱情．甲、乙、丙3名同學(xué)各自獨(dú)立去做2024年西部數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽預(yù)賽中的某道題，已知甲能解出該題的概率為23，乙能解出而丙不能解出該題的概率為18，甲、丙都能解出該題的概率為（1）求乙、丙各自解出該題的概率；（2）求甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率．【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專(zhuān)題】函數(shù)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）12，3（2）2324【分析】（1）設(shè)出事件，運(yùn)用相互獨(dú)立事件概率的乘法公式及對(duì)立事件概率公式求解即可；（2）運(yùn)用相互獨(dú)立事件概率的乘法公式，結(jié)合對(duì)立事件概率公式計(jì)算即可．【解答】解：（1）設(shè)“甲解出該題”為事件A，“乙解出該題”為事件B，“丙解出該題”為事件C，則A，B，C相互獨(dú)立，由題意得P(A)=23，所以P(C)=34，所以P(B)=12，所以乙、丙各自解出該題的概率為12（2）設(shè)“甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題”為事件D，則D=ABC，因?yàn)镻(A)=2所以P(A)=13，因?yàn)锳、B、C相互獨(dú)立，所以P(D)=1-所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率為2324【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件概率的乘法公式、對(duì)立事件概率公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．20．（2024?天元區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）甲口袋中裝有2個(gè)相同的小球，它們分別寫(xiě)有字母A和B；乙口袋中裝有3個(gè)相同的小球，它們分別寫(xiě)有字母C，D和E；丙口袋中裝有2個(gè)相同的小球，它們分別寫(xiě)有字母H和I．從三個(gè)口袋中各隨機(jī)取出1個(gè)小球．（1）取出的3個(gè)小球上恰好有1個(gè)、2個(gè)和3個(gè)元音字母的概率分別是多少？（2）取出的3個(gè)小球上全是輔音字母的概率是多少？（注：本題中，A，E，I是元音字母；B，C，D，H是輔音字母）【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專(zhuān)題】集合思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）512，13，（2）16【分析】（1）首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后根據(jù)古典概型求得所有的結(jié)果；（2）首先求出取出的3個(gè)上球上全是輔音字母的情況，然后利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）作出樹(shù)狀圖，由圖知所有可能出現(xiàn)的情況有12種，記三個(gè)小球上恰好有一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)元音字母為事件A，B，C，事件Av發(fā)生的情況有5種，事件B發(fā)生的情況有4種，事件C發(fā)生的情況有1種，∴P（A）=512，P（B）=412=13∴取出的3個(gè)小球上恰好有1個(gè)、2個(gè)和3個(gè)元音字母的概率分別是512，13，（2）由樹(shù)狀圖知共有12種等可能的結(jié)果，取出的3個(gè)小球上全是輔音字母的有2種情況，∴取出的3個(gè)小球上全是輔音字母的概率是212【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】ab＝N?logaN＝b；alogaN＝N；logaaN＝N指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程主要有以下幾種類(lèi)型：（1）af（x）＝b?f（x）＝logab；logaf（x）＝b?f（x）＝ab（定義法）（2）af（x）＝ag（x）?f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）?f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）af（x）＝bg（x）?f（x）logma＝g（x）logmb；（兩邊取對(duì)數(shù)法）（4）logaf（x）＝logbg（x）?logaf（x）=1（5）\;Alog4{a}^{2}$x+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（設(shè)t＝logax或t＝ax）（換元法）2．對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)：1、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性當(dāng)a＞1時(shí)，y＝logax在（0，+∞）上為增函數(shù)當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y＝logax在（0，+∞）上為減函數(shù)2、特殊點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)恒過(guò)點(diǎn)（1，0）3．樣本點(diǎn)與樣本空間【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】樣本點(diǎn)：我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果成為樣本點(diǎn)，一般地，用ω表示樣本點(diǎn)．樣本空間：全體樣本點(diǎn)的集合稱(chēng)為試驗(yàn)E的樣本空間，一般地，用Ω表示樣本空間．有限樣本空間：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱(chēng)樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．【解題方法點(diǎn)撥】（1）試驗(yàn)不同，對(duì)應(yīng)的樣本空間也不同；（2）同一試驗(yàn)，若試驗(yàn)?zāi)康牟煌瑒t對(duì)應(yīng)的樣本空間也不同；例如對(duì)于同一試驗(yàn)“將一枚硬幣拋擲三次”，若觀(guān)察正面H、反面T出現(xiàn)的情況，則樣本空間為S＝{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}，若觀(guān)察出現(xiàn)正面的次數(shù)，則樣本空間為S＝{0，1，2，3}．（3）建立樣本空間，事實(shí)上就是建立隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型．因此一個(gè)樣本空間可以概括許多內(nèi)容大不相同的實(shí)際問(wèn)題．例如只包含兩個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間S＝{H，T}，它既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面的模型，也可以作為產(chǎn)品檢驗(yàn)中合格與不合格的模型，又能用于排隊(duì)現(xiàn)象中有人排隊(duì)和無(wú)人排隊(duì)的模型等．【命題方向】樣本空間和樣本點(diǎn)是概率論中的重要概念，它們是描述隨機(jī)試驗(yàn)的基礎(chǔ)．在明確樣本空間和概率測(cè)度后，我們可以將樣本空間變成一個(gè)概率空間，從而進(jìn)行概率的計(jì)算和推斷．需要注意的是，樣本空間和樣本點(diǎn)的定義需要根據(jù)具體的試驗(yàn)來(lái)確定，并遵循相關(guān)的公理和定理．考試題型通常以選擇題、填空題為主．4．隨機(jī)事件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱(chēng)為隨機(jī)事件．（或“偶然性事件”）2．特點(diǎn)：（1）隨機(jī)事件可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）每個(gè)試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先預(yù)測(cè)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；（3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)．3．注意：（1）隨機(jī)事件發(fā)生與否，事先是不能確定的；（2）必然事件發(fā)生的機(jī)會(huì)是1；不可能事件發(fā)生的機(jī)會(huì)是0；隨機(jī)事件發(fā)生的機(jī)會(huì)在0﹣1之間，0和1可以取到．（3）要判斷一個(gè)事件是必然事件、隨機(jī)事件、還是不可能事件，要從定義出發(fā)．5．互斥事件與對(duì)立事件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．互斥事件（1）定義：一次試驗(yàn)中，事件A和事件B不能同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)不能同時(shí)發(fā)生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說(shuō)事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，如果隨機(jī)事件A和B是互斥事件，則有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．對(duì)立事件（1）定義：一次試驗(yàn)中，兩個(gè)事件中必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫做對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記做A．注：①兩個(gè)對(duì)立事件必是互斥事件，但兩個(gè)互斥事件不一定是對(duì)立事件；②在一次試驗(yàn)中，事件A與A只發(fā)生其中之一，并且必然發(fā)生其中之一．（2）對(duì)立事件的概率公式：P（A）＝1﹣P（A）3．互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別和聯(lián)系互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．因此，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要但不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分但不必要條件．【命題方向】1．考查對(duì)知識(shí)點(diǎn)概念的掌握例1：從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．“至少有一個(gè)紅球”與“都是黑球”B．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”C．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有1個(gè)紅球”D．“恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”分析：列舉每個(gè)事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義，依次驗(yàn)證即可解答：對(duì)于A：事件：“至少有一個(gè)紅球”與事件：“都是黑球”，這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，∴A不正確對(duì)于B：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，∴B不正確對(duì)于C：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有1個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，∴C不正確對(duì)于D：事件：“恰有一個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，∴這兩個(gè)事件是互斥事件，又由從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，得到所有事件為“恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”以及“恰有2個(gè)紅球”三種情況，故這兩個(gè)事件是不是對(duì)立事件，∴D正確故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件與對(duì)立事件．首先要求理解互斥事件和對(duì)立事件的定義，理解互斥事件與對(duì)立事件的聯(lián)系與區(qū)別．同時(shí)要能夠準(zhǔn)確列舉某一事件所包含的基本事件．屬簡(jiǎn)單題．例2：下列說(shuō)法正確的是（）A．互斥事件一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大D．事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率小．分析：根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的概率，得到對(duì)立事件一定是互斥事件，兩個(gè)事件是互斥事件不一定是對(duì)立事件，這兩者之間的關(guān)系是一個(gè)包含關(guān)系．解答：根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的概念，得到對(duì)立事件一定是互斥事件，兩個(gè)事件是互斥事件不一定是對(duì)立事件，故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件與對(duì)立事件之間的關(guān)系，這是一個(gè)概念辨析問(wèn)題，這種題目不用運(yùn)算，只要理解兩個(gè)事件之間的關(guān)系就可以選出正確答案．2．互斥事件概率公式的應(yīng)用例：甲乙兩人下棋比賽，兩人下成和棋的概率是12，乙獲勝的概率是13分析：記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，且P(A)=12，P(B)=13，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+解答：甲乙兩人下棋比賽，記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，則P(A)=12，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=故答案為：5點(diǎn)評(píng)：本題主要考查互斥事件的關(guān)系，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率計(jì)算中的應(yīng)用．3．對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用例：若事件A與B是互為對(duì)立事件，且P（A）＝0.4，則P（B）＝（）A.0B.0.4C.0.6D.1分析：根據(jù)對(duì)立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A），解得即可．解答：因?yàn)閷?duì)立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A）＝0.6，故選C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．6．事件的互斥（互不相容）及互斥事件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，如果事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，也就是說(shuō)A∩B是一個(gè)不可能事件，即A∩B＝?，則稱(chēng)事件A與事件B互斥（或互不相容）．【解題方法點(diǎn)撥】﹣判斷兩個(gè)事件是否互斥，即它們的交是否為空．【命題方向】．；﹣常用于考察事件是否互斥的問(wèn)題．7．古典概型及其概率計(jì)算公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：（1）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱(chēng)這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿(mǎn)足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就可以不通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過(guò)對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．2．古典概率的計(jì)算公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是1n如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點(diǎn)撥】1．注意要點(diǎn)：解決古典概型的問(wèn)題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個(gè)方面：（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；（3）事件A是什么．2．解題實(shí)現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．8．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．相互獨(dú)立事件：事件A（或B）是否發(fā)生，對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒(méi)有影響，這樣兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件．2．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式：將事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的事件即為A?B，若兩個(gè)相互獨(dú)立事件A、B同時(shí)發(fā)生，則事件A?B發(fā)生的概率為：P（A?B）＝P（A）?P（B）推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率之積，即：P（A1?A2…An）＝P（A1）?P（A2）…P（An）3．區(qū)分互斥事件和相互獨(dú)立事件是兩個(gè)不同的概念：（1）互斥事件：兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；（2）相互獨(dú)立事件：一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響．9．由兩事件交事件的概率判斷兩事件的相互獨(dú)立性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P（AB）＝P（A）P（B）成立，則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立．【解題方法點(diǎn)撥】﹣判斷事件是否獨(dú)立，通過(guò)計(jì)算交事件的概率并與乘積概率進(jìn)行比較．【命題方向】﹣主要考察事件獨(dú)立性的判斷，涉及獨(dú)立事件的概率乘法公式．10．條件概率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)P（B|A）來(lái)表示．（2）條件概率公式：稱(chēng)為事件A與B的交（或積）．（3）條件概率的求法：①利用條件概率公式，分別求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=P(AB)P(A)，其中P（A）＞②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求出事件B包含的基本事件數(shù)，即n（A∩B），得P（B|A）=【解題方法點(diǎn)撥】典例1：利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)a和b，在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是29解：由題意得，利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)a和b，基本事件的總個(gè)數(shù)是6×6＝36，即（a，b）的情況有36種，事件“a+b為偶數(shù)”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18個(gè)，“在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4個(gè)，故在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是P=故答案為：2典例2：甲乙兩班進(jìn)行消防安全知識(shí)競(jìng)賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊(duì)，首輪比賽每人一道必答題，答對(duì)則為本隊(duì)得1分，答錯(cuò)不答都得0分，已知甲隊(duì)3人每人答對(duì)的概率分別為34，23，12，乙隊(duì)每人答對(duì)的概率都是2（Ⅰ）求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的條件下，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率．分析：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．（Ⅱ）設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件A，“甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B，分別求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=P(AB)解答：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1-34）（1-23）（1P（ξ＝1）=34（1-23）（1-12）+（1-34）×23×（1-P（ξ＝2）=3P（ξ＝3）=3∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ0123P12414112414數(shù)學(xué)期望E（ξ）＝0×124+1×14（Ⅱ）設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件A，“甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B，則P（A）=1P（AB）=1P（B|A）=P(AB)11．離散型隨機(jī)變量及其分布列【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、相關(guān)概念；（1）隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．若ξ是隨機(jī)變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量．（3）連續(xù)型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量（4）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出．2、離散型隨機(jī)變量（1）隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來(lái)表示，并且X是隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個(gè)隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫(xiě)字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái)，則稱(chēng)X為離散型隨機(jī)變量．3、離散型隨機(jī)變量的分布列．（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個(gè)對(duì)應(yīng)值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機(jī)變量X的概率分布，或稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的分布列．（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．12．離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、離散型隨機(jī)變量的期望數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱(chēng)Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱(chēng)期望．?dāng)?shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一個(gè)性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．13．二項(xiàng)分布的均值（數(shù)學(xué)期望）與方差【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】二項(xiàng)分布：一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B（nCnkpk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，﹣均值（數(shù)學(xué)期望）：E(X)=n×p，其中n為試驗(yàn)次數(shù)，﹣方差：D(X)=n×【解題方法點(diǎn)撥】﹣使用二項(xiàng)分布的均值和方差公式來(lái)計(jì)算相關(guān)概率分布的期望和方差．【命題方向】﹣重點(diǎn)考察二項(xiàng)分布的期望和方差計(jì)算，常用于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析和預(yù)測(cè)問(wèn)題．14．正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．正態(tài)曲線(xiàn)及性質(zhì)（1）正態(tài)曲線(xiàn)的定義函數(shù)φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中實(shí)數(shù)μ和σ（σ＞（2）正態(tài)曲線(xiàn)的解析式①指數(shù)的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有兩個(gè)常數(shù)：π和e，這是兩個(gè)無(wú)理數(shù)．③解析式中含有兩個(gè)參數(shù)：μ和σ，其中μ可取任意實(shí)數(shù)，σ＞0這是正態(tài)分布的兩個(gè)特征數(shù)．④解析式前面有一個(gè)系數(shù)為12πσ，后面是一個(gè)以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪指數(shù)為2．正態(tài)分布（1）正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b（a＜b），隨機(jī)變量X滿(mǎn)足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，則稱(chēng)X的分布為正態(tài)分布，記作N（μ，（2）正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)正態(tài)曲線(xiàn)φμ，σ（x）=12πσe-（1）曲線(xiàn)位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線(xiàn)是單峰的，它關(guān)于直線(xiàn)x＝μ對(duì)稱(chēng)；（3）曲線(xiàn)在x＝μ處達(dá)到峰值12π（4）曲線(xiàn)與x軸圍成的圖形的面積為1；（5）當(dāng)σ一定時(shí)，曲線(xiàn)隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當(dāng)μ一定時(shí)，曲線(xiàn)的形狀由σ確定，σ越小，曲線(xiàn)越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線(xiàn)越“矮胖”，表示總體的分布越分散．4．三個(gè)鄰域會(huì)用正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線(xiàn)求隨機(jī)變量的概率．落在三個(gè)鄰域之外是小概率事件，這也是對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)的理論依據(jù)．【解題方法點(diǎn)撥】正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，這個(gè)考點(diǎn)雖然不是高考的重點(diǎn)，但在近幾年新課標(biāo)高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計(jì)算是考查的一個(gè)熱點(diǎn)，考生往往不注意對(duì)這些數(shù)值的記憶而導(dǎo)致解題無(wú)從下手或計(jì)算錯(cuò)誤．對(duì)正態(tài)分布N（μ，σ2）中兩個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)值及其意義應(yīng)該理解透徹并記住，且注意第二個(gè)數(shù)值應(yīng)該為σ2而不是σ，同時(shí)，記住正態(tài)密度曲線(xiàn)的六條性質(zhì)．【命題方向】題型一：概率密度曲線(xiàn)基礎(chǔ)考察典例1：設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線(xiàn)是函數(shù)f（x）的圖象，且f（x）=18πeA．10與8B．10與2C．8與10D．2與10解析：由18πe-(x-10)28=1答案：B．典例2：已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，則P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故選C．典例3：已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，則P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正態(tài)曲線(xiàn)性質(zhì)知，其圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝3對(duì)稱(chēng)，∴P（X＞4）＝0.5﹣12P（2≤X≤4）＝0.5-12×0.6826＝題型二：正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)典例1：若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度