2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之集合（2024年9月）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之集合（2024年9月）一．選擇題（共7小題）1．（2024?碑林區(qū)校級開學(xué)）已知全集U＝{0，2，4，6，8，10}，集合A＝{0，2，4}，B＝{0，6，8}，則（?UA）∩B＝（）A．{0} B．{6，8} C．{0，6，8} D．{2，4，6，8}2．（2024?蘇州模擬）已知集合A＝{x|﹣27＜x3＜8}，B＝{x||x﹣2|≤3，x∈Z}，則A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}3．（2024秋?靖遠縣月考）已知集合A={x|x＜2}，B={-1A．{0，1} B．{0，1，3} C．{0，1，3，5} D．{﹣1，0，1，3，5}4．（2024?臨潼區(qū)校級開學(xué)）某小學(xué)為落實雙減，實現(xiàn)真正素質(zhì)教育，在課后給同學(xué)們增設(shè)了各種興趣班．為了了解同學(xué)們的興趣情況，某班班主任對全班女生進行了關(guān)于對唱歌、跳舞、書法是否有興趣的問卷調(diào)查，要求每位同學(xué)至少選擇一項，經(jīng)統(tǒng)計有21人喜歡唱歌，17人喜歡跳舞，10人喜歡書法，同時喜歡唱歌和跳舞的有12人，同時喜歡唱歌和書法的有6人，同時喜歡跳舞和書法的有5人，三種都喜歡的有2人，則該班女生人數(shù)為（）A．27 B．23 C．25 D．295．（2024秋?五華區(qū)校級月考）已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|（x﹣2）（x﹣4）＜0}，則A∩B＝（）A．（2，3] B．[1，2） C．（﹣∞，4） D．[1，4）6．（2024秋?朝陽區(qū)校級月考）下列表示同一個集合的是（）A．M＝{（1，2）}，N＝{（2，1）} B．M＝{1，2}，N＝{2，1} C．M={x|y=x-1}，D．M={(x，y)|yx=1}，N＝{（x，y）7．（2024?海安市開學(xué)）已知集合A＝{x|x2＞2x}，B＝{﹣2，0，1，3}，則A∩B＝（）A．{﹣2，0，3} B．{﹣2，3} C．{0，3} D．{3}二．多選題（共5小題）（多選）8．（2024?新蔡縣校級開學(xué)）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|ax﹣2＝0}，A∪B＝A，由實數(shù)a組成集合C，則下列選項中正確的是（）A．集合C的所有非空真子集個數(shù)是2 B．集合C的所有非空真子集個數(shù)是6 C．集合C的所有子集個數(shù)是4 D．集合C的所有子集個數(shù)是8（多選）9．（2024秋?古田縣校級期中）對于集合M，N，我們把屬于集合M但不屬于集合N的元素組成的集合叫做集合M與N的“差集”，記作M﹣N，即M﹣N＝{x|x∈M，且x?N}；把集合M與N中所有不屬于M∩N的元素組成的集合叫做集合M與N的“對稱差集”，記作MΔN，即MΔN＝{x|x∈M∪N，且x?M∩N}．下列四個選項中，正確的有（）A．若M﹣N＝M，則M∩N＝? B．若M﹣N＝?，則M＝N C．MΔN＝（M∪N）﹣（M∩N） D．MΔN＝（M﹣N）∪（N﹣M）（多選）10．（2024?方城縣校級開學(xué)）下列說法中，正確的有（）A．空集是任何集合的真子集 B．若A?B，B?C，則A?C C．任何一個集合必有兩個或兩個以上的真子集 D．如果不屬于B的元素一定不屬于A，則A?B（多選）11．（2024?南靖縣校級開學(xué)）下列說法中錯誤的有（）A．集合N中最小的數(shù)是1 B．若﹣a?Z，則a∈Z C．所有的正實數(shù)組成集合R+ D．由很小的數(shù)可組成集合A（多選）12．（2023秋?鄖陽區(qū)校級期末）已知M、N均為實數(shù)集R的子集，且N∩?RM＝?，則下列結(jié)論中正確的是（）A．M∩?RN＝? B．M∪?RN＝R C．?RM∪?RN＝?RM D．?RM∩?RN＝?RM三．填空題（共4小題）13．（2024?新蔡縣校級開學(xué)）已知全集U＝{（x，y）|y＝2x﹣1，x∈R}，P={(x，y)|y-1x-1=2}，則?UP14．（2024秋?朝陽區(qū)校級月考）設(shè)集合A＝{1，﹣2}，B＝{x|ax﹣1＝0，a∈R}，若B?A，則a的值為．15．（2024?臨潼區(qū)校級開學(xué)）已知集合A中含有兩個元素1，a，則實數(shù)a的取值范圍是；若a2∈A，則a＝．16．（2024?新縣校級模擬）定義集合運算A⊙B＝{z|z＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，則集合A⊙B所有元素之和為．四．解答題（共4小題）17．（2024?廣西開學(xué)）已知集合A＝{x|5﹣x＞1}，B＝{x|a﹣1＜x＜2a+5}．（1）當(dāng)a＝1時，求?RA，A∩B；（2）若A∩B≠?，求a的取值集合．18．（2024?浙江開學(xué)）已知a∈R，A＝{x|a（x+a）（x+2）＞0}，B={x|x-1（Ⅰ）當(dāng)a＜0時求集合A；（Ⅱ）若B?A，求a的取值范圍．19．（2024?楊浦區(qū)校級開學(xué)）設(shè)集合A＝{x|（x﹣3）（x﹣a）＝0，a∈R}，B＝{x|x2﹣5x+4＝0}．（1）當(dāng)a＝4時，求A∩B，A∪B；（2）記C＝A∪B，若集合C的真子集有7個，求：所有實數(shù)a的取值所構(gòu)成的集合．20．（2024?東?？h校級開學(xué)）已知集合A={x|1（1）若m＝3，求A∩B；（2）若存在正實數(shù)m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要條件，求正實數(shù)m的取值范圍．

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之集合（2024年9月）參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）1．（2024?碑林區(qū)校級開學(xué)）已知全集U＝{0，2，4，6，8，10}，集合A＝{0，2，4}，B＝{0，6，8}，則（?UA）∩B＝（）A．{0} B．{6，8} C．{0，6，8} D．{2，4，6，8}【考點】求集合的交集；求集合的補集．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；數(shù)學(xué)運算．【答案】B【分析】根據(jù)集合的交集和補集的運算得到結(jié)果即可．【解答】解：因為U＝{0，2，4，6，8，10}，A＝{0，2，4}；所以?UA＝{6，8，10}，又B＝{0，6，8}；所以（?UA）∩B＝{6，8}．故選：B．【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?蘇州模擬）已知集合A＝{x|﹣27＜x3＜8}，B＝{x||x﹣2|≤3，x∈Z}，則A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}【考點】求集合的交集．【專題】整體思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運算．【答案】C【分析】根據(jù)題意，求得集合A，B，結(jié)合集合交集的運算法則，即可求解．【解答】解：由題意得，集合A＝{x|﹣27＜x3＜8}＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{x||x﹣2|≤3，x∈Z}﹣{﹣1，0，1，2，3，4，5}，根據(jù)集合交集的運算法則，可得A∩B＝{﹣1，0，1}．故選：C．【點評】本題主要考查了集合交集運算，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024秋?靖遠縣月考）已知集合A={x|x＜2}，B={-1A．{0，1} B．{0，1，3} C．{0，1，3，5} D．{﹣1，0，1，3，5}【考點】求集合的交集．【專題】集合思想；定義法；集合；數(shù)學(xué)運算．【答案】B【分析】計算出集合A后，結(jié)合交集運算即可得．【解答】解：由x＜2可得0≤x＜4，故A＝{x|0≤x＜4}，A∩B＝{0，1，故選：B．【點評】本題考查集合的運算，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?臨潼區(qū)校級開學(xué)）某小學(xué)為落實雙減，實現(xiàn)真正素質(zhì)教育，在課后給同學(xué)們增設(shè)了各種興趣班．為了了解同學(xué)們的興趣情況，某班班主任對全班女生進行了關(guān)于對唱歌、跳舞、書法是否有興趣的問卷調(diào)查，要求每位同學(xué)至少選擇一項，經(jīng)統(tǒng)計有21人喜歡唱歌，17人喜歡跳舞，10人喜歡書法，同時喜歡唱歌和跳舞的有12人，同時喜歡唱歌和書法的有6人，同時喜歡跳舞和書法的有5人，三種都喜歡的有2人，則該班女生人數(shù)為（）A．27 B．23 C．25 D．29【考點】Venn圖表集合的包含關(guān)系．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】借助韋恩圖處理集合運算的容斥問題．【解答】解：作出韋恩圖，如圖所示，可知5人只喜歡唱歌，2人只喜歡跳舞，1人只喜歡書法，同時喜歡唱歌和跳舞但不喜歡書法的有10人，同時喜歡唱歌和書法但不喜歡跳舞的有4人，同時喜歡跳舞和書法但不喜歡唱歌的有3人，三種都喜歡的有2人，則該班女生人數(shù)為5+2+1+10+4+3+2＝27．故選：A．【點評】本題主要考查借助韋恩圖處理集合運算的容斥問題，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024秋?五華區(qū)校級月考）已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|（x﹣2）（x﹣4）＜0}，則A∩B＝（）A．（2，3] B．[1，2） C．（﹣∞，4） D．[1，4）【考點】求集合的交集．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合交集的定義，即可求解．【解答】解：集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|（x﹣2）（x﹣4）＜0}＝{x|2＜x＜4}，故A∩B＝{x|2＜x≤3}．故選：A．【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024秋?朝陽區(qū)校級月考）下列表示同一個集合的是（）A．M＝{（1，2）}，N＝{（2，1）} B．M＝{1，2}，N＝{2，1} C．M={x|y=x-1}，D．M={(x，y)|yx=1}，N＝{（x，y）【考點】集合的相等．【專題】集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運算．【答案】B【分析】根據(jù)集合相等的定義逐項判斷即可．【解答】解：（1，2）與（2，1）不同，M，N不是同一個集合，A錯誤；根據(jù)集合元素的無序性知{1，2}＝{2，1}，B正確；M＝{x|x≥1}，N＝{y|y≥0}，M，N不是同一個集合，C錯誤；M＝{（x，y）|y＝x且x≠0}，N＝{（x，y）|y＝x}，M，N不是同一個集合，D錯誤．故選：B．【點評】本題考查了集合相等的定義，是基礎(chǔ)題．7．（2024?海安市開學(xué)）已知集合A＝{x|x2＞2x}，B＝{﹣2，0，1，3}，則A∩B＝（）A．{﹣2，0，3} B．{﹣2，3} C．{0，3} D．{3}【考點】求集合的交集．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；數(shù)學(xué)運算．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合交集的定義，即可求解．【解答】解：集合A＝{x|x2＞2x}＝{x|x＞2或x＜0}，B＝{﹣2，0，1，3}，則A∩B＝{﹣2，3}．故選：B．【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共5小題）（多選）8．（2024?新蔡縣校級開學(xué)）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|ax﹣2＝0}，A∪B＝A，由實數(shù)a組成集合C，則下列選項中正確的是（）A．集合C的所有非空真子集個數(shù)是2 B．集合C的所有非空真子集個數(shù)是6 C．集合C的所有子集個數(shù)是4 D．集合C的所有子集個數(shù)是8【考點】子集的個數(shù)．【專題】集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運算．【答案】BD【分析】計算得A＝{2，1}，根據(jù)題意得到B?A，考慮B＝?和B≠?這兩種情況，分別計算再結(jié)合子集及非空真子集即可．【解答】解：由題意，A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{2，1}，因為A∪B＝A，所以B?A，當(dāng)B＝?時，a＝0，合題意，當(dāng)B≠?時，a≠0，B={1因為B?A，所以1a=2或1a=1，所以a=1故C={0，集合C的子集個數(shù)為23＝8，D選項正確，C選項錯誤，集合C的非空真子集個數(shù)為23﹣2＝6，B選項正確，A選項錯誤．故選：BD．【點評】本題主要考查了子集和真子集的定義，考查了元素與集合的關(guān)系，屬于中檔題．（多選）9．（2024秋?古田縣校級期中）對于集合M，N，我們把屬于集合M但不屬于集合N的元素組成的集合叫做集合M與N的“差集”，記作M﹣N，即M﹣N＝{x|x∈M，且x?N}；把集合M與N中所有不屬于M∩N的元素組成的集合叫做集合M與N的“對稱差集”，記作MΔN，即MΔN＝{x|x∈M∪N，且x?M∩N}．下列四個選項中，正確的有（）A．若M﹣N＝M，則M∩N＝? B．若M﹣N＝?，則M＝N C．MΔN＝（M∪N）﹣（M∩N） D．MΔN＝（M﹣N）∪（N﹣M）【考點】交集及其運算．【專題】集合思想；定義法；集合；數(shù)學(xué)運算．【答案】ACD【分析】根據(jù)集合的新定義得到A正確，當(dāng)M?N時，M﹣N＝?，B錯誤，根據(jù)定義知C正確，畫出集合圖形知D正確，得到答案．【解答】解：若M﹣N＝M，則M∩N＝?，A正確；當(dāng)M?N時，M﹣N＝?，B錯誤；MΔN＝{x|x∈M∪N，且x?M∩N}＝（M∪N）﹣（M∩N），C正確；MΔN和（M﹣N）∪（N﹣M）均表示集合中陰影部分，D正確．故選：ACD．【點評】本題考查新定義、交集定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．（多選）10．（2024?方城縣校級開學(xué)）下列說法中，正確的有（）A．空集是任何集合的真子集 B．若A?B，B?C，則A?C C．任何一個集合必有兩個或兩個以上的真子集 D．如果不屬于B的元素一定不屬于A，則A?B【考點】判斷兩個集合的包含關(guān)系；元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運算．【答案】BD【分析】根據(jù)空集的定義和性質(zhì)可判斷A，C正確與否，根據(jù)真子集的性質(zhì)可判斷B正確與否，根據(jù)韋恩圖可判斷D正確與否．【解答】解：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故選項A錯；子集具有傳遞性，故選項B正確；若一個集合是空集，則沒有真子集，故選項C錯；由韋恩圖易知選項D正確．故選：BD．【點評】本題考查了空集的定義，真子集的性質(zhì)以及韋恩圖，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（2024?南靖縣校級開學(xué)）下列說法中錯誤的有（）A．集合N中最小的數(shù)是1 B．若﹣a?Z，則a∈Z C．所有的正實數(shù)組成集合R+ D．由很小的數(shù)可組成集合A【考點】集合的確定性、互異性、無序性．【專題】集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運算．【答案】ABD【分析】利用選項中數(shù)集的意義判斷ABC；利用集合的性質(zhì)判斷D．【解答】解：對于A，集合N中最小的數(shù)是0，A錯誤；對于B，Z表示整數(shù)集，若﹣a?Z，則a?Z，B錯誤；對于C，所有的正實數(shù)組成集合R+，C正確；對于D，很小的數(shù)沒有確定性，不可組成集合，D錯誤．故選：ABD．【點評】本題考查了自然數(shù)集的定義，整數(shù)集的定義，集合元素的確定性，是基礎(chǔ)題．（多選）12．（2023秋?鄖陽區(qū)校級期末）已知M、N均為實數(shù)集R的子集，且N∩?RM＝?，則下列結(jié)論中正確的是（）A．M∩?RN＝? B．M∪?RN＝R C．?RM∪?RN＝?RM D．?RM∩?RN＝?RM【考點】交、并、補集的混合運算．【專題】對應(yīng)思想；定義法；集合；數(shù)學(xué)運算．【答案】BD【分析】由?M題意可知N?M，利用包含關(guān)系可解．【解答】解：∵N∩?RM＝?，∴N?M，若N是M的真子集，則M∩?RN≠?，故A錯誤，由N?M，可得M∪?RN＝R，則B正確，由N?M，可得?RN??RM，則C錯誤，D正確，故選：BD．【點評】本題考查集合的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．（2024?新蔡縣校級開學(xué)）已知全集U＝{（x，y）|y＝2x﹣1，x∈R}，P={(x，y)|y-1x-1=2}，則?UP＝{（1，【考點】求集合的補集．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運算．【答案】{（1，1）}．【分析】化簡集合P，再求補集．【解答】解：U＝{（x，y）|y＝2x﹣1，x∈R}，P＝{（x，y）|y＝2x﹣1，x∈R且x≠1}，當(dāng)x＝1時，y＝1，故?UP＝{（1，1）}．故答案為：{（1，1）}．【點評】本題主要考查集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．14．（2024秋?朝陽區(qū)校級月考）設(shè)集合A＝{1，﹣2}，B＝{x|ax﹣1＝0，a∈R}，若B?A，則a的值為0或1或-12【考點】集合的包含關(guān)系的應(yīng)用．【專題】分類討論；方程思想；集合；數(shù)學(xué)運算．【答案】0或1或-【分析】由A∩B＝B，可得B?A．因此B＝?或{2}．分類討論即可得出．【解答】解：∵B?A，∴B＝?或{﹣2}或{1}或{1，﹣2}（舍），若B＝?，則a＝0；若B＝{1}，則a＝1；若B＝{﹣2}，則﹣2a＝1，解得a=-綜上可得：a＝0或1或-1故答案為：0或1或-1【點評】本題考查了元素與集合之間的關(guān)系、集合之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024?臨潼區(qū)校級開學(xué)）已知集合A中含有兩個元素1，a，則實數(shù)a的取值范圍是{a|a≠1}；若a2∈A，則a＝﹣1或0．【考點】判斷元素與集合的屬于關(guān)系．【專題】集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運算．【答案】{a|a≠1}；0或﹣1．【分析】根據(jù)集合的互異性求解即可．【解答】解：對于①，由集合的互異性知，a≠1；對于②，當(dāng)a2＝1時，即a＝﹣1或a＝1，由集合的互異性得a＝﹣1滿足條件，a＝1不滿足；當(dāng)a2＝a時，即a＝0或a＝1，由集合的互異性得a＝0滿足條件，a＝1不滿足；綜上所述，a＝0或a＝﹣1．故答案為：①{a|a≠1}；②0或﹣1．【點評】本題考查了集合元素的互異性，元素與集合的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．16．（2024?新縣校級模擬）定義集合運算A⊙B＝{z|z＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，則集合A⊙B所有元素之和為18．【考點】元素與集合關(guān)系的判斷；集合交并補混合關(guān)系的應(yīng)用．【專題】計算題；集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運算．【答案】18．【分析】根據(jù)題意，利用列舉法求出集合A⊙B，即可求解．【解答】解：∵A⊙B＝{z|z＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，∴z＝0×2×（0+2）＝0，z＝0×3×（0+3）＝0，z＝1×2×（1+2）＝6，z＝1×3×（1+3）＝12，∴A⊙B＝{0，6，12}，∴集合A⊙B所有元素之和為18．故答案為：18．【點評】本題考查新定義，集合的互異性，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．（2024?廣西開學(xué)）已知集合A＝{x|5﹣x＞1}，B＝{x|a﹣1＜x＜2a+5}．（1）當(dāng)a＝1時，求?RA，A∩B；（2）若A∩B≠?，求a的取值集合．【考點】求集合的補集；求集合的交集．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）?RA＝{x|x≥4}，A∩B＝{x|0＜x＜4}；（2）{a|﹣6＜a＜5}．【分析】（1）根據(jù)題意，求得A＝{x|x＜4}，結(jié)合補集的運算，求得?RA，再結(jié)合集合交集的運算，即可求解．（2）由A∩B≠?，列出不等式組，即可求解實數(shù)a的取值集合．【解答】解：（1）由不等式A＝{x|5﹣x＞1}＝{x|x＜4}，可得?RA＝{x|x≥4}，當(dāng)a＝1時，集合B＝{x|0＜x＜7}，則A∩B＝{x|0＜x＜4}．（2）由集合A＝{x|5﹣x＞1}，B＝{x|a﹣1＜x＜2a+5}，因為A∩B≠?，則滿足a-1＜2a+5a-1＜4所以實數(shù)a的取值集合是{a|﹣6＜a＜5}．【點評】本題主要考查集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024?浙江開學(xué)）已知a∈R，A＝{x|a（x+a）（x+2）＞0}，B={x|x-1（Ⅰ）當(dāng)a＜0時求集合A；（Ⅱ）若B?A，求a的取值范圍．【考點】集合的包含關(guān)系的應(yīng)用；分式不等式；解一元二次不等式．【專題】分類討論；整體思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運算．【答案】（I）}A＝{x|﹣2＜x＜﹣a}；（Ⅱ）{a|a≤﹣2或a＞0}．【分析】（Ⅰ）解二次不等式即可求解A；（Ⅱ）先求出集合A，B，然后結(jié)合集合的包含關(guān)系即可求解．【解答】解：（I）當(dāng)a＜0時，A＝{x|a（x+a）（x+2）＞0}＝{x|﹣2＜x＜﹣a}；（Ⅱ）因為B={x|x-1x-2≤0}={x|1≤x＜2}，A＝{x|a（x+a）（x+2當(dāng)a＜0時，A＝{x|a（x+a）（x+2）＞0}＝{x|﹣2＜x＜﹣a}，B＝{x|1≤x＜2}，若B?A，則﹣a≥2，即a≤﹣2；當(dāng)a＞0時，A＝{x|a（x+a）（x+2）＞0}＝{x|（x+a）（x+2）＞0}，B＝{x|1≤x＜2}，若a＞2，則A＝{x|x＞﹣2或x＜﹣a}，此時滿足B?A，若0＜a＜2，則A＝{x|x＜﹣2或x＞﹣a}，此時滿足B?A，若a＝2，則A＝{x|x≠﹣2}，此時滿足B?A，若a＝0，A＝?，此時不滿足B?A，綜上，a的范圍為{a|a≤﹣2或a＞0}【點評】本題主要考查了集合包含關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024?楊浦區(qū)校級開學(xué)）設(shè)集合A＝{x|（x﹣3）（x﹣a）＝0，a∈R}，B＝{x|x2﹣5x+4＝0}．（1）當(dāng)a＝4時，求A∩B，A∪B；（2）記C＝A∪B，若集合C的真子集有7個，求：所有實數(shù)a的取值所構(gòu)成的集合．【考點】集合的交并補混合運算；子集與真子集．【專題】整體思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）A∩B＝{4}，A∪B＝{1，3，4}；（2）{1，3，4}．【分析】（1）由題意求出集合A，B中方程的解，由A，B中的元素根據(jù)交集、并集運算即可求解；（2）由題意得C＝A∪B中的元素只有3個，由A，B中的元素即可得到a的取值．【解答】解：（1）當(dāng)a＝4時，A＝{x|（x﹣3）（x﹣4）＝0，a∈R}＝{3，4}，x2﹣5x+4＝0，即（x﹣4）（x﹣1）＝0，解得x＝4或1，∴B＝{1，4}，∴A∩B＝{4}，A∪B＝{1，3，4}．（2）若集合C的真子集有7個，則2n﹣1＝7，可得n＝3，即C＝A∪B中的元素只有3個，而（x+3）（x﹣a）＝0，解得x＝3或a，則A＝{3，a}，由（1）知B＝{1，4}，則當(dāng)a＝1，3，4時，C＝A∪B＝{1，3，4}，故所有實數(shù)a的取值所構(gòu)成的集合為{1，3，4}．【點評】本題主要考查了集合交集并集的運算，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?東海縣校級開學(xué)）已知集合A={x|1（1）若m＝3，求A∩B；（2）若存在正實數(shù)m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要條件，求正實數(shù)m的取值范圍．【考點】求集合的交集；集合的包含關(guān)系的應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）A∩B＝[﹣1，5]．（2）[4，+∞）．【分析】（1）解指數(shù)不等式，一元二次不等式化簡集合A，B，然后由交集定義計算；（2）根據(jù)充分不必要條件的定義得不等式組求解；【解答】解：（1）A={x|1因m＞0，則B＝{x|[x﹣（2﹣m）][x﹣（2+m）]，m∈R}＝[2﹣m，2+m]．當(dāng)m＝3時，B＝[﹣1，5]，所以A∩B＝[﹣1，5]．（2）因“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要條件，則A是B的真子集．所以m＞所以實數(shù)m的取值范圍是[4，+∞）．【點評】本題主要考查集合的運算，屬于基礎(chǔ)題．

考點卡片1．集合的確定性、互異性、無序性【知識點的認識】集合中元素具有確定性、互異性、無序性三大特征．（1）確定性：集合中的元素是確定的，即任何一個對象都說明它是或者不是某個集合的元素，兩種情況必居其一且僅居其一，不會模棱兩可，例如“著名科學(xué)家”，“與2接近的數(shù)”等都不能組成一個集合．（2）互異性：一個給定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出現(xiàn)相同的元素．例如不能寫成{1，1，2}，應(yīng)寫成{1，2}．（3）無序性：集合中的元素，不分先后，沒有如何順序．例如{1，2，3}與{3，2，1}是相同的集合，也是相等的兩個集合．【解題方法點撥】解答判斷型題目，注意元素必須滿足三個特性；一般利用分類討論逐一研究，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程的思想，解答問題，結(jié)果需要回代驗證，元素不許重復(fù)．【命題方向】本部分內(nèi)容屬于了解性內(nèi)容，但是近幾年高考中基本考查選擇題或填空題，試題多以集合相等，含參數(shù)的集合的討論為主．2．元素與集合關(guān)系的判斷【知識點的認識】1、元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．2、集合中元素的特征：（1）確定性：作為一個集合中的元素，必須是確定的．即一個集合一旦確定，某一個元素屬于還是不屬于這集合是確定的．要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合．（2）互異性：集合中的元素必須是互異的．對于一個給定的集合，他的任何兩個元素都是不同的．這個特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素．（3）無序性：集合于其中元素的排列順序無關(guān)．這個特性通常被用來判斷兩個集合的關(guān)系．【命題方向】題型一：驗證元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設(shè)屬于A，再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設(shè)4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當(dāng)m，n同奇或同偶時，m﹣n，m+n均為偶數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4k﹣2不是4的倍數(shù)矛盾．2、當(dāng)m，n一奇，一偶時，m﹣n，m+n均為奇數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為奇數(shù)，與4k﹣2是偶數(shù)矛盾．綜上4k﹣2?A．點評：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷．分類討論的思想．題型二：知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實數(shù)a的值．分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗證集合A中元素不重復(fù)即可．解答：解：因為3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當(dāng)a+2＝3時，a＝1，…（5分）此時A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當(dāng)2a2+a＝3時，a＝1（舍去）或a=-32由a=-32，得A={故a=-32點評：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計算能力．【解題方法點撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．3．判斷元素與集合的屬于關(guān)系【知識點的認識】元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．【解題方法點撥】明確集合定義：了解集合的定義及其包含的元素范圍．驗證條件：檢查元素是否滿足集合的定義條件．符號表示：用∈表示元素屬于某集合，用?表示元素不屬于某集合．【命題方向】驗證元素是否是集合的元素已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設(shè)屬于A，再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設(shè)4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當(dāng)m，n同奇或同偶時，m﹣n，m+n均為偶數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4k﹣2不是4的倍數(shù)矛盾．2、當(dāng)m，n一奇，一偶時，m﹣n，m+n均為奇數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為奇數(shù)，與4k﹣2是偶數(shù)矛盾．綜上4k﹣2?A．點評：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷．分類討論的思想．4．元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用【知識點的認識】元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．【解題方法點撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．【命題方向】知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實數(shù)a的值．分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗證集合A中元素不重復(fù)即可．解答：解：因為3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當(dāng)a+2＝3時，a＝1，…（5分）此時A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當(dāng)2a2+a＝3時，a＝1（舍去）或a=-32由a=-32，得A={故a=-32點評：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計算能力．5．集合的相等【知識點的認識】（1）若集合A與集合B的元素相同，則稱集合A等于集合B．（2）對集合A和集合B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，記作A＝B．就是如果A?B，同時B?A，那么就說這兩個集合相等，記作A＝B．（3）對于兩個有限數(shù)集A＝B，則這兩個有限數(shù)集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性質(zhì)：①兩個集合的元素個數(shù)相等；②兩個集合的元素之和相等；③兩個集合的元素之積相等．由此知，以上敘述實質(zhì)是一致的，只是表達方式不同而已．上述概念是判斷或證明兩個集合相等的依據(jù)．【解題方法點撥】集合A與集合B相等，是指A的每一個元素都在B中，而且B中的每一個元素都在A中．解題時往往只解答一個問題，忽視另一個問題；解題后注意集合滿足元素的互異性．【命題方向】通常是判斷兩個集合是不是同一個集合；利用相等集合求出變量的值；與集合的運算相聯(lián)系，也可能與函數(shù)的定義域、值域聯(lián)系命題，多以小題選擇題與填空題的形式出現(xiàn)，有時出現(xiàn)在大題的一小問．6．判斷兩個集合的包含關(guān)系【知識點的認識】如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；【解題方法點撥】1．按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系．4．有時借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個或兩個以上的集合的關(guān)系．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，則（）A．A＞BB．B∈AC．A?BD．B?A解：由題意可得，B?A．故選：D．7．Venn圖表集合的包含關(guān)系【知識點的認識】如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B，讀作“A包含于B”（或“B包含于A”）．Venn圖表示如下：【解題方法點撥】明確集合：了解每個集合的元素和定義．繪制圓圈：使用圓圈表示集合，每個集合一個圓圈．包含關(guān)系：一個集合完全包含于另一個集合，用一個圓圈完全包含另一個圓圈表示．【命題方向】下列表示集合M＝{x|x2﹣4＝0}和N={x∈Z|2xA.B.C.D.解：集合M＝{x|x2﹣4＝0}＝{﹣2，2}，N={x∈Z|2x∈Z}={1，﹣1，則M?N．故選：D．8．集合的包含關(guān)系的應(yīng)用【知識點的認識】如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B，讀作“A包含于B”（或“B包含于A”）．【解題方法點撥】1．按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系．4．有時借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】設(shè)m為實數(shù)，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，滿足B?A，則m的取值范圍是_____．解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，且B?A，∴當(dāng)m＞2m﹣1時，即m＜1時，B＝?，符合題意；當(dāng)m≥1時，可得-3≤m綜上所述，m≤32，即m故答案為：(-∞，9．子集與真子集【知識點的認識】1、子集定義：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集（subset）．記作：A?B（或B?A）．2、真子集是對于子集來說的．真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．也就是說如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中有一個元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亞洲國家的集合是地球上所有國家的集合的真子集．所有的自然數(shù)的集合是所有整數(shù)的集合的真子集．{1，3}?{1，2，3，4}{1，2，3，4}?{1，2，3，4}3、真子集和子集的區(qū)別子集就是一個集合中的全部元素是另一個集合中的元素，有可能與另一個集合相等；真子集就是一個集合中的元素全部是另一個集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括號括起來的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般來說，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對于含有n個（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n個；真子集就有2n﹣1．但空集屬特殊情況，它只有一個子集，沒有真子集．【解題方法點撥】注意真子集和子集的區(qū)別，不可混為一談，A?B，并且B?A時，有A＝B，但是A?B，并且B?A，是不能同時成立的；子集個數(shù)的求法，空集與自身是不可忽視的．【命題方向】本考點要求理解，高考會考中多以選擇題、填空題為主，曾經(jīng)考查子集個數(shù)問題，常常與集合的運算，概率，函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合命題．10．子集的個數(shù)【知識點的認識】1、子集真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．也就是說如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中有一個元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集2、一般來說，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對于含有n個（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n個；真子集就有2n﹣1．但空集屬特殊情況，它只有一個子集，沒有真子集．【解題方法點撥】公式計算：若一個集合有n個元素，則它的子集個數(shù)為2^n．理解冪集：冪集是一個集合的所有子集組成的集合．【命題方向】已知集合A＝{x|﹣1≤x+1≤6}，當(dāng)x∈Z時，求A的非空真子集的個數(shù)．解：當(dāng)x∈Z時，A＝{x|﹣2≤x≤5}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，共8個元素，∴A的非空真子集的個數(shù)為28﹣2＝254個；11．交集及其運算【知識點的認識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題．12．求集合的交集【知識點的認識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，則A∩B＝（）解：因為A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故選：D．13．求集合的補集【知識點的認識】一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U．（通常把給定的集合作為全集）．對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作?UA，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．【解題方法點撥】常用數(shù)軸以及韋恩圖幫助分析解答，補集常用于對立事件，否命題，反證法．【命題方向】通常情況下以小題出現(xiàn)，高考中直接求解補集的選擇題，有時出現(xiàn)在簡易邏輯中，也可以與函數(shù)的定義域、值域，不等式的解集相結(jié)合命題，也可以在恒成立中出現(xiàn)．已知集合A={x|y=1-x}，則?R解：根據(jù)題意可得A＝{x|x≤1}，∴?RA＝{x|x＞1}．14．交、并、補集的混合運算【知識點的認識】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結(jié)合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律?U（A∩B）＝?UA∪?UB，?U（A∪B）＝?UA∩?UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求補律A∪?UA＝U