2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之計數(shù)原理（2024年9月）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之計數(shù)原理（2024年9月）一．選擇題（共8小題）1．（2024?河南模擬）已知x∈Z，y∈Z，則滿足方程xy+2024（x﹣y）＝8092的解（x，y）的個數(shù)為（）A．27 B．54 C．108 D．2162．（2024?南昌開學(xué)）（2﹣x）5展開式中x3項的系數(shù)是（）A．﹣40 B．40 C．﹣80 D．803．（2024?德州開學(xué)）為積極落實“雙減”政策，豐富學(xué)生的課外活動，某校開設(shè)了舞蹈、攝影等5門課程，分別安排在周一到周五，每天一節(jié)，舞蹈和攝影課安排在相鄰兩天的方案種數(shù)為（）A．48 B．36 C．24 D．124．（2024?石阡縣模擬）2023年夏天貴州榕江的村超聯(lián)賽火爆全國，吸引了國內(nèi)眾多業(yè)余球隊參賽．現(xiàn)有六個參賽隊伍代表站成一排照相，如果貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊必須相鄰，同時南昌拌粉隊與溫江烤肉隊不能相鄰，那么不同的站法共有（）種．A．144 B．72 C．36 D．245．（2024?七星區(qū)校級模擬）從0，1，2，3，4中選出3個數(shù)組成各位數(shù)字不重復(fù)的3位偶數(shù)，這樣的數(shù)有（）個．A．24 B．30 C．36 D．606．（2023秋?東湖區(qū)校級期末）甲、乙、丙、丁4個學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開展研學(xué)活動，現(xiàn)有A，B，C，D，E五個研學(xué)基地供選擇，每個學(xué)校只選擇一個基地，則4個學(xué)校中至少有3個學(xué)校所選研學(xué)基地不相同的選擇種數(shù)共有（）A．420 B．460 C．480 D．5207．（2024?攀枝花二模）現(xiàn)安排編號分別為1，2，3，4的四位抗疫志愿者去做三項不同的工作，若每項工作都需安排志愿者，每位志愿者恰好安排一項工作，且編號為相鄰整數(shù)的志愿者不能被安排做同一項工作，則不同的安排方法數(shù)為（）A．36 B．24 C．18 D．128．（2024?德陽模擬）甲乙等6名數(shù)學(xué)競賽國家集訓(xùn)隊隊員站成一排合影，若甲乙兩名同學(xué)中間恰有1人，則不同的站法數(shù)為（）A．144 B．192 C．360 D．480二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024秋?喀什市校級月考）二項式(xA．前三項系數(shù)之和為22 B．二項式系數(shù)最大的項是第4項 C．常數(shù)項為15 D．所有項的系數(shù)之和為0（多選）10．（2024春?清江浦區(qū)校級月考）甲、乙、丙、丁、戊5名大學(xué)生計劃到某小學(xué)一、二、三、四年級從事教學(xué)實踐，則下列說法正確的有（）A．若一年級必須安排2人，其余年級各安排1人，則有60種不同的方案 B．若每個年級至少安排1人，則有480種不同的方案 C．若5人自由決定實習(xí)年級，則有625種不同的方案 D．若甲不去一年級，乙不去二年級，則有576種不同的方案（多選）11．（2023秋?安寧區(qū)校級期末）在新高考方案中，選擇性考試科目有：物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門．學(xué)生根據(jù)高校的要求，結(jié)合自身特長興趣，首先在物理、歷史2門科目中選擇1門，再從政治、地理、化學(xué)、生物4門科目中選擇2門，考試成績計入考生總分，作為統(tǒng)一高考招生錄取的依據(jù)．某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這6門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是（）A．若任意選科，選法總數(shù)為C4B．若化學(xué)必選，選法總數(shù)為C2C．若政治和地理至少選一門，選法總數(shù)為C2D．若物理必選，化學(xué)、生物至少選一門，選法總數(shù)為C（多選）12．（2024春?銅山區(qū)期中）已知（x+2）7＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+…+a6（x+1）6+a7（x+1）7，則（）A．a(chǎn)2＝21 B．a(chǎn)1+a2+a3+a4+a5+a6+a7＝128 C．a(chǎn)0+a2+a4+a6＝64 D．a(chǎn)0，a1，a2，…，a7這8個數(shù)中最大值為35三．填空題（共4小題）13．（2024?安康開學(xué)）(x2+x+24x)(x-3)8的展開式中14．（2024秋?新鄉(xiāng)月考）2024年7月14日13時，2024年巴黎奧運會火炬開始在巴黎傳遞，其中某段火炬?zhèn)鬟f活動由包含甲、乙、丙在內(nèi)的5名火炬手分四棒完成，若甲傳遞第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同傳遞火炬，則不同的火炬?zhèn)鬟f方案種數(shù)為．15．（2024?羅湖區(qū)校級模擬）為了做好社區(qū)新疫情防控工作，需要將5名志愿者分配到甲、乙、丙、丁4個小區(qū)開展工作，若每個小區(qū)至少分配一名志愿者，則有種分配方法（用數(shù)字作答）．16．（2023秋?林州市校級期末）二項式（x﹣2）（1+x）n展開式中，所有項系數(shù)和為﹣256，則x2的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．四．解答題（共4小題）17．（2024春?銅山區(qū)期中）有3名女生4名男生，在下列不同條件下，求不同的排列方法的種數(shù)．（1）全體排成一行，其中4名男生互不相鄰；（2）全體排成一行，其中甲、乙中間有且只有1人；（3）全體排成前后兩排，前排3人，后排4人，且后排至少2個男生18．（2024春?銅山區(qū)期中）已知(2x+1x)n，n∈N*的展開式中，第（1）求展開式中含有x的項；（2）求展開式中系數(shù)最大項．19．（2024春?海門區(qū)校級月考）有n個元素，將其中相同的元素歸成一類，共有k類，這k類元素中每類分別中r1，r2，…，rk個，r1+r2+…+rk≤n，將這n個元素全部取出的排列叫做n個不盡相異元素的全排列．（1）求上述n個不盡相異的元素的全排列數(shù)；（2）由結(jié)論（1），回答“1個球隊與10個球隊各比賽1次，共有10場比賽，問五勝三負二平的可能情形有多少種？”20．（2024春?廣陵區(qū)校級期中）（1）現(xiàn)有4男2女共6個人排成一排照相，其中兩個女生相鄰的排法種數(shù)為多少？（2）把6本不同的書分給4位學(xué)生，每人至少一本，有多少種方法？（3）某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生7名，其中3名女醫(yī)生，有外科醫(yī)生5名，其中只有1名女醫(yī)生．現(xiàn)選派6名去甲、乙兩地參加賑災(zāi)醫(yī)療隊，要求每隊必須2名男醫(yī)生1名女醫(yī)生，且每隊由2名外科醫(yī)生1名內(nèi)科醫(yī)生組成，有多少種派法？（最后結(jié)果都用數(shù)字作答）

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之計數(shù)原理（2024年9月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2024?河南模擬）已知x∈Z，y∈Z，則滿足方程xy+2024（x﹣y）＝8092的解（x，y）的個數(shù)為（）A．27 B．54 C．108 D．216【考點】分步乘法計數(shù)原理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．【答案】B【分析】由已知可得（x﹣2024）（y+2024）＝﹣20222，又2022＝2×3×337，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理求結(jié)論．【解答】解：由題設(shè)，得（x﹣2024）（y+2024）＝﹣20222，又2022＝2×3×337，其中2，3，337都為質(zhì)數(shù)，所以32×3372，因為x，y∈Z，所以x﹣2024可能為（﹣1）k+12a3b337c，k∈{0，1}，a，b，c∈{0，1，2}，所以x﹣2024的取值個數(shù)為2×3×3×3＝54，方程xy+2024（x﹣y）＝8092的整數(shù)解（x，y）的個數(shù)為54．故選：B．【點評】本題主要考查分步乘法原理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?南昌開學(xué)）（2﹣x）5展開式中x3項的系數(shù)是（）A．﹣40 B．40 C．﹣80 D．80【考點】二項式定理的應(yīng)用．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】利用二項式展開式的通項求解即可．【解答】解：（2﹣x）5的通項是Tr+1令r＝3，則展開式中x3項的系數(shù)為﹣40．故選：A．【點評】本題考查了二項式定理，是基礎(chǔ)題．3．（2024?德州開學(xué)）為積極落實“雙減”政策，豐富學(xué)生的課外活動，某校開設(shè)了舞蹈、攝影等5門課程，分別安排在周一到周五，每天一節(jié)，舞蹈和攝影課安排在相鄰兩天的方案種數(shù)為（）A．48 B．36 C．24 D．12【考點】部分位置的元素有限制的排列問題．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】利用捆綁法進行求解．【解答】解：舞蹈和攝影課進行捆綁，有A2將舞蹈和攝影課看為一個整體，和剩余的3個活動，進行全排列，有A4故共有A2故選：A．【點評】本題考查排列組合的實際應(yīng)用，是中檔題．4．（2024?石阡縣模擬）2023年夏天貴州榕江的村超聯(lián)賽火爆全國，吸引了國內(nèi)眾多業(yè)余球隊參賽．現(xiàn)有六個參賽隊伍代表站成一排照相，如果貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊必須相鄰，同時南昌拌粉隊與溫江烤肉隊不能相鄰，那么不同的站法共有（）種．A．144 B．72 C．36 D．24【考點】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】根據(jù)題意，先將貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊看成一個整體，與余下兩隊全排列，再將南昌拌粉隊與溫江烤肉隊插入他們的空位中，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，先將貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊看成一個整體，與余下兩隊全排列，有A2排好后，有4個空位，再將南昌拌粉隊與溫江烤肉隊插入他們的空位中，有A4故不同的站法有A3故選：A．【點評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?七星區(qū)校級模擬）從0，1，2，3，4中選出3個數(shù)組成各位數(shù)字不重復(fù)的3位偶數(shù)，這樣的數(shù)有（）個．A．24 B．30 C．36 D．60【考點】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算．【答案】B【分析】考慮選出的3個數(shù)中有沒有0的情況，有0時再考慮0的排法，根據(jù)分類加法原理，即可求得答案．【解答】解：若從0，1，2，3，4中選出3個數(shù)中沒有0，則組成各位數(shù)字不重復(fù)的3位偶數(shù)有A21若從0，1，2，3，4中選出3個數(shù)中有0，且0排在個位，則組成各位數(shù)字不重復(fù)的3位偶數(shù)有A42若從0，1，2，3，4中選出3個數(shù)中有0，且0不在個位，則組成各位數(shù)字不重復(fù)的3位偶數(shù)有A21故從0，1，2，3，4中選出3個數(shù)組成各位數(shù)字不重復(fù)的3位偶數(shù)，這樣的數(shù)有12+12+6＝30個．故選：B．【點評】本題考查排列組合的實際應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．6．（2023秋?東湖區(qū)校級期末）甲、乙、丙、丁4個學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開展研學(xué)活動，現(xiàn)有A，B，C，D，E五個研學(xué)基地供選擇，每個學(xué)校只選擇一個基地，則4個學(xué)校中至少有3個學(xué)校所選研學(xué)基地不相同的選擇種數(shù)共有（）A．420 B．460 C．480 D．520【考點】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用兩個原理結(jié)合排列、組合應(yīng)用列式計算即得．【解答】解：求不相同的選擇種數(shù)有兩類辦法：恰有3個學(xué)校所選研學(xué)基地不同有C44個學(xué)校所選研學(xué)基地都不相同有A5所以不相同的選擇種數(shù)有C4故選：C．【點評】本題考查了排列組合的簡單計數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024?攀枝花二模）現(xiàn)安排編號分別為1，2，3，4的四位抗疫志愿者去做三項不同的工作，若每項工作都需安排志愿者，每位志愿者恰好安排一項工作，且編號為相鄰整數(shù)的志愿者不能被安排做同一項工作，則不同的安排方法數(shù)為（）A．36 B．24 C．18 D．12【考點】部分元素相鄰的排列問題．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算．【答案】C【分析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①先將四位志愿者分為2人、1人、1人共3組，②再將3組志愿者分配到三項工作，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：①先將四位志愿者分為2﹣1﹣1的3組，有13、2、4和24、1、3和14、2、3，共3種情況；②再將3組志愿者分配到三項工作，有A33按照分步乘法計數(shù)原理，共有3×6＝18種．故選：C．【點評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?德陽模擬）甲乙等6名數(shù)學(xué)競賽國家集訓(xùn)隊隊員站成一排合影，若甲乙兩名同學(xué)中間恰有1人，則不同的站法數(shù)為（）A．144 B．192 C．360 D．480【考點】簡單排列問題．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算．【答案】B【分析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①在其他4人中，選出1人，安排在甲乙之間，②將3人看成一個整體，與其余3人全排列，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：①在其他4人中，選出1人，安排在甲乙之間，有C41②將3人看成一個整體，與其余3人全排列，有A44則有8×24＝192種不同的站法．故選：B．【點評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024秋?喀什市校級月考）二項式(xA．前三項系數(shù)之和為22 B．二項式系數(shù)最大的項是第4項 C．常數(shù)項為15 D．所有項的系數(shù)之和為0【考點】二項式定理的應(yīng)用．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【答案】BCD【分析】首先寫出二項式展開式的通項，選項A中根據(jù)通項求前三項系數(shù)之和即可；選項B中二項式系數(shù)C6k（k＝0，1，2，…，6）中最大的是C63；選項C，常數(shù)項滿足通項中x的指數(shù)為0，可得k＝2；選項D中將【解答】解：二項式(x-1對于選項A，前三項的系數(shù)之和為：(-1)0對于選項B，二項式系數(shù)C6k（k＝0，1，2，…，6）中最大的是C63，恰好是第對于選項C，常數(shù)項時，通項公式中滿足3-3k2=0，得k＝2，即T3對于選項D，將x＝1代入，可得所有項的系數(shù)之和，結(jié)果為0，D正確；故選：BCD．【點評】本題考查的知識點：二項式的展開式，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（2024春?清江浦區(qū)校級月考）甲、乙、丙、丁、戊5名大學(xué)生計劃到某小學(xué)一、二、三、四年級從事教學(xué)實踐，則下列說法正確的有（）A．若一年級必須安排2人，其余年級各安排1人，則有60種不同的方案 B．若每個年級至少安排1人，則有480種不同的方案 C．若5人自由決定實習(xí)年級，則有625種不同的方案 D．若甲不去一年級，乙不去二年級，則有576種不同的方案【考點】排列組合的綜合應(yīng)用；加法計數(shù)原理與乘法計數(shù)原理的綜合應(yīng)用．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算．【答案】AD【分析】利用分步計數(shù)原理結(jié)合排列知識判斷A，根據(jù)分堆分配問題的解決方法判斷B，根據(jù)分步計數(shù)原理判斷C，D．【解答】解：對于A，事件一年級必須安排2人，其余年級各安排1人，可分為兩步完成，第一步從5人中選2人去一年級，共有C5第二步將余下3人分到二，三，四年級，共有A3由分步乘法計數(shù)原理可得滿足條件的方案有C52A對于B，每個年級至少安排1人的方法數(shù)為C51C對于C，事件5人自由決定實習(xí)年級的方法共有4×4×4×4×4＝1024種，C錯誤；對于D，事件甲不去一年級，乙不去二年級可分為5步完成，第一步安排甲，有3種方法，第二步安排乙，有3種方法，第三步安排丙，丁，戊，有4×4×4種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得，共有3×3×4×4×4＝576種方法，D正確．故選：AD．【點評】本題主要考查了排列組合知識，考查了分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）11．（2023秋?安寧區(qū)校級期末）在新高考方案中，選擇性考試科目有：物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門．學(xué)生根據(jù)高校的要求，結(jié)合自身特長興趣，首先在物理、歷史2門科目中選擇1門，再從政治、地理、化學(xué)、生物4門科目中選擇2門，考試成績計入考生總分，作為統(tǒng)一高考招生錄取的依據(jù)．某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這6門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是（）A．若任意選科，選法總數(shù)為C4B．若化學(xué)必選，選法總數(shù)為C2C．若政治和地理至少選一門，選法總數(shù)為C2D．若物理必選，化學(xué)、生物至少選一門，選法總數(shù)為C【考點】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算．【答案】BD【分析】根據(jù)排列組合的簡單計數(shù)問題對應(yīng)各個選項逐個計數(shù)即可．【解答】解：選項A：若任意選科，選法總數(shù)為C21C選項B：若化學(xué)必選，則選法總數(shù)為C21C選項C：若政治和地理至少選一門，則選法總數(shù)為C21(選項D：若物理必選，化學(xué)，生物至少選一門，選法總數(shù)為C21C故選：BD．【點評】本題考查了排列組合的簡單計數(shù)問題，涉及到分類以及分步完成的問題，考查了學(xué)生的運算分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（2024春?銅山區(qū)期中）已知（x+2）7＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+…+a6（x+1）6+a7（x+1）7，則（）A．a(chǎn)2＝21 B．a(chǎn)1+a2+a3+a4+a5+a6+a7＝128 C．a(chǎn)0+a2+a4+a6＝64 D．a(chǎn)0，a1，a2，…，a7這8個數(shù)中最大值為35【考點】二項式定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學(xué)運算．【答案】ACD【分析】由已知可得[1+（x+1）]7=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+...+a7(x+1)7，然后求出展開式的通項公式，由此即可求出a2，即可判斷A；再分別令x【解答】解：由已知可得[1+（x+1）]7=a0+則展開式的通項公式為Tr+1=C7r(x+1)r，r則a2=C72令x＝﹣1，則a0＝1，令x＝0，則a0+a1+...+a7＝27＝128①，則a1+a2+...+a7＝128﹣1＝127，故B錯誤；令x＝﹣2，則a0﹣a1+a2﹣...﹣a7＝0②，則a0+a2因為a0，a1，…，a7分別是二項式系數(shù)C70，?，C77，則最大值為a3＝故選：ACD．【點評】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，涉及到二項式系數(shù)的性質(zhì)以及賦值法的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算求解能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2024?安康開學(xué)）(x2+x+24x)(x-3)8的展開式中【考點】二項式定理的應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；二項式定理；數(shù)學(xué)運算．【答案】﹣23．【分析】先寫出后面括號的通項，再分別與前面括號內(nèi)每一項相乘得到x9的系數(shù)，最后求和即可；【解答】解：第二個括號的通項為Tr+1所以當前面括號出x2時，后面為C8當前面括號出x時，后面出C8當前面括號出24x所以x9的系數(shù)為﹣24+1＝﹣23．故答案為：﹣23．【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．（2024秋?新鄉(xiāng)月考）2024年7月14日13時，2024年巴黎奧運會火炬開始在巴黎傳遞，其中某段火炬?zhèn)鬟f活動由包含甲、乙、丙在內(nèi)的5名火炬手分四棒完成，若甲傳遞第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同傳遞火炬，則不同的火炬?zhèn)鬟f方案種數(shù)為10．【考點】簡單排列問題；簡單組合問題．【專題】對應(yīng)思想；定義法；排列組合；數(shù)學(xué)運算．【答案】10．【分析】先考慮最后一棒的方案，再考慮中間兩棒的方案即可．【解答】解：最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人，也可以是從乙、丙中選1人，從除甲、乙、丙之外的2人中選1人組成，所以最后一棒的安排方案有：1+C安排最后一棒后，剩余兩人安排在中間兩棒，方案有：A2由分步計數(shù)乘法原理，不同的傳遞方案種數(shù)為：5×2＝10種．故答案為：10．【點評】本題考查排列組合相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024?羅湖區(qū)校級模擬）為了做好社區(qū)新疫情防控工作，需要將5名志愿者分配到甲、乙、丙、丁4個小區(qū)開展工作，若每個小區(qū)至少分配一名志愿者，則有240種分配方法（用數(shù)字作答）．【考點】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算．【答案】240．【分析】利用分組分配求解即可．【解答】解：先把5名志愿者分成2，1，1，1共4組，然后再進行排列，有C5故答案為：240．【點評】本題主要考查排列組合指數(shù)的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．16．（2023秋?林州市校級期末）二項式（x﹣2）（1+x）n展開式中，所有項系數(shù)和為﹣256，則x2的系數(shù)為﹣48（用數(shù)字作答）．【考點】二項式定理．【專題】整體思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學(xué)運算．【答案】﹣48．【分析】令x＝1，可得二項式的展開式的系數(shù)和，可得n的值，分類討論可得二項式展開式x2的系數(shù)．【解答】解：（x﹣2）（1+x）n展開式中，令x＝1，可得所有項系數(shù)和為﹣1?2n＝﹣256，解得n＝8，所以二項式為（x﹣2）（1+x）8，當x﹣2中用x時，則（1+x）8的一次項為C81x1?17＝8x，此時二項式為（x﹣2）（1+x）8的展開式x2的系數(shù)為當x﹣2中用﹣2時，則（1+x）8的一次項為﹣2C82x2?16＝﹣2×28x＝﹣56x，此時二項式為（x﹣2）（1+x）8的展開式x2的系數(shù)為﹣所以此二項式為（x﹣2）（1+x）8的展開式x2的系數(shù)為8﹣56＝﹣48．故答案為：﹣48．【點評】本題考查二項式展開式的某項系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．（2024春?銅山區(qū)期中）有3名女生4名男生，在下列不同條件下，求不同的排列方法的種數(shù)．（1）全體排成一行，其中4名男生互不相鄰；（2）全體排成一行，其中甲、乙中間有且只有1人；（3）全體排成前后兩排，前排3人，后排4人，且后排至少2個男生【考點】部分元素不相鄰的排列問題．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）144；（2）1200；（3）4464．【分析】（1）根據(jù)題意，需要男女相間排列，且女生在兩端，由排列數(shù)公式計算可得答案；（2）根據(jù)題意，分2步進行分析：①在除甲乙外的5人中，選出1人，安排在甲乙之間，與甲乙一起作為一個整體，②將這個整體與其他4人全排列，由分步計數(shù)原理計算可得答案；（3）根據(jù)題意，按后排男生的數(shù)目分3種情況討論，由加法原理計算可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，全體排成一行，其中4名男生互不相鄰，必須男女相間排列，且女生在兩端，有A44（2）根據(jù)題意，分2步進行分析：①在除甲乙外的5人中，選出1人，安排在甲乙之間，與甲乙一起作為一個整體，有C51②將這個整體與其他4人全排列，有A55則有10×120＝1200種排法；（3）根據(jù)題意，分3種情況討論：①后排2男2女，有C42②后排3男1女，有C43③后排4男，有A44則共有2592+1728+144＝4464種排法．【點評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024春?銅山區(qū)期中）已知(2x+1x)n，n∈N*的展開式中，第（1）求展開式中含有x的項；（2）求展開式中系數(shù)最大項．【考點】二項式定理．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）T5＝280x；（2）T3【分析】（1）首先利用二項式的系數(shù)比求出n的值，進一步利用二項式的展開式求出結(jié)果；（2）利用C7r?【解答】解：（1）由于(2x+1x)n的第2項與第3項的二項式系數(shù)之比為故Cn1：Cn2=1故(2x+1x)7的展開式的通項為Tr+1=C7r?27-r?x7-3r2（r當r＝4時，含x的項為T5=C（2）設(shè)第r+1項的系數(shù)最大，故C7r?27-r≥C7r+1?2展開式中系數(shù)的最大項為T3【點評】本題考查的知識點：二項式的展開式，組合數(shù)，展開式系數(shù)的最大項，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．19．（2024春?海門區(qū)校級月考）有n個元素，將其中相同的元素歸成一類，共有k類，這k類元素中每類分別中r1，r2，…，rk個，r1+r2+…+rk≤n，將這n個元素全部取出的排列叫做n個不盡相異元素的全排列．（1）求上述n個不盡相異的元素的全排列數(shù)；（2）由結(jié)論（1），回答“1個球隊與10個球隊各比賽1次，共有10場比賽，問五勝三負二平的可能情形有多少種？”【考點】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)題意利用排列數(shù)的定義以及其運算方法，可得答案；（2）根據(jù)題意，利用（1）的公式，可得答案．【解答】解：（1）假定n個不盡相異元素的所有排列數(shù)有N種，在每種排列中，如果把相同的元素，當成不相同的元素，則n個元素的所有排列數(shù)可增加為N?另一方面，n個不同的元素的全排列有An∴N?Ar即得n個不盡相異元素的全排列數(shù)．（2）將比賽結(jié)果的勝、負、平看作三種元素，按題意，10場比賽的結(jié)果是五勝三負二平，即是一個不盡相異元素的全排列，由（1）知，共有10!5!3!2!【點評】本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024春?廣陵區(qū)校級期中）（1）現(xiàn)有4男2女共6個人排成一排照相，其中兩個女生相鄰的排法種數(shù)為多少？（2）把6本不同的書分給4位學(xué)生，每人至少一本，有多少種方法？（3）某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生7名，其中3名女醫(yī)生，有外科醫(yī)生5名，其中只有1名女醫(yī)生．現(xiàn)選派6名去甲、乙兩地參加賑災(zāi)醫(yī)療隊，要求每隊必須2名男醫(yī)生1名女醫(yī)生，且每隊由2名外科醫(yī)生1名內(nèi)科醫(yī)生組成，有多少種派法？（最后結(jié)果都用數(shù)字作答）【考點】部分元素相鄰的排列問題．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）240；（2）1560；（3）360．【分析】（1）根據(jù)題意，將兩個女生看成一個整體，與4名男生全排列即可，由分步計數(shù)原理計算可得答案；（2）根據(jù)題意，按“6本書分成4組”不同的分組形式兩種情況討論，由加法原理計算可得答案；（3）根據(jù)題意，先在7人中按要求選出6人，分成2組，再將分好的2組安排到甲乙兩地，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，將兩個女生看成一個整體，與4名男生全排列即可，則有A22（2）根據(jù)題意，把6本不同的書分給4位學(xué)生，每人至少一本，則有1，1，1，3或1，1，2，2兩種分組情況，若是1，1，1，3分組，則有C63若是1，1，2，2分組，則有C62則共有480+1080＝1560種分法；（3）根據(jù)題意，先在7人中按要求選出6人，分成2組，需要分2種情況討論：①外科女醫(yī)生必選，則一組內(nèi)科4男選1，外科4男選1；另一組內(nèi)科3女中選1女，外科3男選2，共有C41②外科女醫(yī)生不選，則一組內(nèi)科3女選1，外科4男選2；另一組內(nèi)科2女選1，外科2男選2，共有C31再將分好的2組安排到甲乙兩地，所以共有2×（144+36）＝360種分配方法．【點評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

考點卡片1．分步乘法計數(shù)原理【知識點的認識】1．定義：完成一件事需要分成兩個步驟：做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m×n種不同的方法．2．推廣：完成一件事需要分成n個步驟：做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3．特點：完成一件事的n個步驟相互依存，必須依次完成n個步驟才能完成這件事；4．注意：與分類加法計數(shù)原理區(qū)別分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點計算“完成一件事”的方法種數(shù)不同點分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨立完成這件事）注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題方法點撥】如果完成一件事情有n個步驟，各個步驟都是不可缺少的，需要依次完成所有的步驟才能完成這件事，則可使用分步乘法計數(shù)原理．實現(xiàn)步驟：（1）分步；（2）對每一步的方法進行計數(shù)；（3）用分步乘法計數(shù)原理求積；【命題方向】與實際生活相聯(lián)系，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，并綜合排列組合知識成為能力型題目，主要考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力及分類討論思想．例：從1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（）A.432B.288C.216D.108分析：本題是一個分步計數(shù)原理，先從4個奇數(shù)中取2個再從3個偶數(shù)中取2個共C42C32解答：∵由題意知本題是一個分步計數(shù)原理，第一步先從4個奇數(shù)中取2個再從3個偶數(shù)中取2個共C42第二步再把4個數(shù)排列，其中是奇數(shù)的共A21∴所求奇數(shù)的個數(shù)共有18×12＝216種．故選C．點評：本題考查分步計數(shù)原理，是一個數(shù)字問題，數(shù)字問題是排列中的一大類問題，把排列問題包含在數(shù)字問題中，解題的關(guān)鍵是看清題目的實質(zhì)，很多題目要分類討論，要做到不重不漏．2．加法計數(shù)原理與乘法計數(shù)原理的綜合應(yīng)用【知識點的認識】﹣加法計數(shù)原理和乘法計數(shù)原理是計數(shù)原理中最基礎(chǔ)的兩種原理．加法原理用于不同情況的選擇（互斥事件），乘法原理用于連續(xù)步驟的選擇（獨立事件）．﹣這兩種原理在解決多步選擇問題、多條件限制問題中被廣泛應(yīng)用．【解題方法點撥】﹣識別題目中的獨立步驟與互斥情況，合理選擇加法或乘法原理．﹣當問題涉及多步選擇時，逐步分析每一步的選擇方式，然后使用乘法原理進行組合．﹣對于復(fù)雜問題，可能需要同時使用加法和乘法原理，首先分類討論，再進行綜合計算．【命題方向】﹣可能要求考生對復(fù)雜情境中的計數(shù)問題進行分析，包括多步?jīng)Q策問題、分類選擇問題的總方案數(shù)計算．﹣在更復(fù)雜的情境中，命題可能涉及多種條件的疊加，如同時滿足多個條件的方案數(shù)計算，或?qū)Χ嘀叵拗频木C合分析．3．簡單排列問題【知識點的認識】﹣簡單排列問題通常涉及無任何限制條件的排列情況．n個不同元素的全排列總數(shù)為An﹣該類問題通常是排列問題的基礎(chǔ)，強調(diào)對基本排列公式的理解與應(yīng)用．【解題方法點撥】﹣直接應(yīng)用排列公式進行計算．對于全排列問題，計算階乘即可得到排列數(shù)．﹣在計算過程中，注意排列數(shù)中的階乘表示法，并理解排列的意義．﹣對于涉及排列的實際問題，可以通過具體化問題，將其轉(zhuǎn)化為排列數(shù)計算．【命題方向】﹣基本排列問題的命題常見于簡單元素排列的計算，如全排列數(shù)的求解、特定位置的排列數(shù)計算．﹣可能涉及對排列數(shù)公式的直接應(yīng)用，以及對排列問題的基礎(chǔ)性理解與操作．4．部分位置的元素有限制的排列問題【知識點的認識】﹣部分位置的元素排列受限是指在排列問題中，某些元素只能出現(xiàn)在特定位置或區(qū)域．例如：特定元素只能出現(xiàn)在排列的前幾位或某些位置．﹣這種問題通常要求考生在處理排列時，先考慮限制條件，再進行一般排列．【解題方法點撥】﹣處理此類問題時，首先對有限制的部分進行排列，將有限制的元素排好位置，然后對剩余元素進行排列組合．﹣使用乘法原理，將有限制的排列與剩余元素的排列相乘得到總數(shù)．﹣對于較復(fù)雜的限制條件，可能需要分類討論，并對每種情況進行單獨計算．【命題方向】﹣?？疾煸谔囟ㄎ恢没騾^(qū)域內(nèi)元素的排列，如規(guī)定某些元素必須在前幾位，或必須固定在某些位置的排列問題．﹣命題可能涉及多重限制條件的綜合分析，要求考生靈活運用排列數(shù)公式．5．部分元素不相鄰的排列問題【知識點的認識】﹣部分元素不相鄰的排列問題要求在排列過程中，特定元素必須保持不相鄰．例如：在排列中，兩個特定元素不能排在一起．﹣這類問題通常通過排除法、間隔法或插空法來解決．【解題方法點撥】﹣使用間隔法，首先將不受限制的元素排列，然后在排列間隙中插入受限制的元素，保證其不相鄰．﹣排除法是先計算不考慮相鄰條件的排列總數(shù)，再減去相鄰元素排列的情況．﹣對于更復(fù)雜的排列問題，可以結(jié)合插空法或利用遞推關(guān)系進行解題．【命題方向】﹣命題方向可能要求考生求解特定元素不相鄰的排列總數(shù)，或者分析多個元素不相鄰的組合情況．﹣題目可能涉及多個不相鄰條件的疊加，要求考生準確處理這些條件．6．部分元素相鄰的排列問題【知識點的認識】﹣部分元素相鄰的排列問題要求在排列過程中，特定元素必須相鄰排列．例如：在排列中，兩個或多個元素必須排在一起．﹣這類問題通常通過將相鄰元素視為一個整體來簡化排列．【解題方法點撥】﹣通過將相鄰的元素看作一個整體，然后對這個整體和其他元素一起進行排列．最后，再對這個整體內(nèi)部的元素進行排列．﹣使用乘法原理，將整體的排列與內(nèi)部元素的排列相乘，得到總的排列數(shù)．﹣對于涉及多個相鄰元素的問題，可以進行多重整體處理，逐層遞進排列．【命題方向】﹣常見命題方向包括要求特定元素相鄰的排列問題，或多組元素必須相鄰排列的情況．﹣題目可能涉及多個相鄰條件的處理，要求考生靈活應(yīng)用相鄰元素排列的策略．7．簡單組合問題【知識點的認識】﹣簡單組合問題涉及無任何特殊限制的組合情況．n個不同元素中選出r個元素的組合總數(shù)為Cn﹣這類問題是組合問題的基礎(chǔ)，強調(diào)對基本組合公式的理解與應(yīng)用．【解題方法點撥】﹣直接應(yīng)用組合公式進行計算．在實際問題中，注意理解組合與排列的區(qū)別，組合不考慮順序，而排列考慮順序．﹣對于簡單組合問題，可以通過列舉法或公式直接求解．﹣在復(fù)雜組合問題中，分類討論和遞推公式可能是有效的解題工具．【命題方向】﹣常見命題包括基本組合問題的計算，如從一組元素中選出子集的總數(shù)，或計算特定組合情況的可能性．﹣命題可能涉及對組合數(shù)公式的直接應(yīng)用，以及對組合問題的基礎(chǔ)性理解與操作．8．排列組合的綜合應(yīng)用【知識點的認識】1、排列組合問題的一些解題技巧：①特殊元素優(yōu)先安排；②合理分類與準確分步；③排列、組合混合問題先選后排；④相鄰問題捆綁處理；⑤不相鄰問題插空處理；⑥定序問題除法處理；⑦分排問題直排處理；⑧“小集團”排列問題先整體后局部；⑨構(gòu)造模型；⑩正難則反、等價轉(zhuǎn)化．對于無限制條件的排列組合問題應(yīng)遵循兩個原則：一是按元素的性質(zhì)分類，二是按時間發(fā)生的過程進行分步．對于有限制條件的排列組合問題，通常從以下三個途徑考慮：①以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；②以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；③先不考慮限制條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)．2、排列、組合問題幾大解題方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關(guān)元素當作一個元素來考慮，待整體排好