2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之圓錐曲線綜合（2024年9月）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之圓錐曲線綜合（2024年9月）一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?廣西月考）已知點P在拋物線M：y2＝4x上，過點P作圓C：（x﹣2）2+y2＝1的切線，若切線長為27，則點P到MA．5 B．29 C．6 D．302．（2024?石城縣校級開學(xué)）如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點P是BC邊上一動點（點P不與B，C重合），連接AP，作點B關(guān)于直線AP的對稱點M，則線段MC的最小值為（）A．2 B．52 C．3 D．3．（2024?張家口開學(xué)）已知M、N兩點坐標(biāo)分別（﹣2，0），（2，0）．直線MK、NK相交于點K，且它們的斜率之和是3，則點K的軌跡方程為（）A．3x2﹣2xy﹣12＝0（x≠±2） B．3y2﹣2yx﹣12＝0（x≠±2） C．x24+y4．（2024?回憶版）已知曲線C：x2+y2＝16（y＞0），從C上任意一點P向x軸作垂線PP'，P'為垂足，則線段PP'的中點M的軌跡方程為（）A．x216+y2C．y216+x5．（2023秋?西固區(qū)校級期末）點P是圓x2+y2＝1上的動點，它的與定點（3，0）所連線段的中點的軌跡方程是（）A．(x-32)2C．（x+3）2+y2＝4 D．（x﹣3）2+y2＝16．（2023秋?解放區(qū)校級月考）已知A（﹣2，0），B（2，0），動點P滿足|PA||PB|=2，則點P的軌跡與圓x2+y2A．27 B．26 C．42 7．（2024?天河區(qū)校級模擬）如圖，ABCD是邊長為2的正方形紙片，沿某動直線l為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點B都落在邊AD上，記為B'；折痕l與AB交于點E，點M滿足關(guān)系式EM→=EB→+EB'→．以點B為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系，若曲線T是由點M的軌跡及其關(guān)于邊AB對稱的曲線組成的，等腰梯形A1B1C1D1的A1B1，B1C1，C1D1分別與曲線T切于點P、Q、R．則梯形A1A．6 B．22 C．210 D8．（2023秋?泊頭市校級月考）已知A（3，2），B（﹣3，﹣2），若動點M滿足直線MA與直線MB的斜率之積為13，則動點MA．y2-x23C．y2-x2二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024?日照開學(xué)）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長為2，點M是其側(cè)面ADD1A1上的動點（含邊界），點P是線段CC1上的動點，下列結(jié)論正確的是（）A．存在點P，M，使得平面B1D1M與平面PBD平行 B．當(dāng)點P為CC1中點時，過A，P，D1點的平面截該正方體所得的截面是梯形 C．當(dāng)點M是線段A1D的中點時，不存在點P使直線A1P垂直平面MB1D1 D．當(dāng)P為棱CC1的中點且PM=22時，點M的軌跡長度為（多選）10．（2024秋?呼和浩特月考）如圖，曲線C：x3+y3﹣3axy＝0（a＞0）過原點，其漸近線方程為l：x+y+a＝0，則（）A．曲線C關(guān)于直線y＝x對稱 B．點（a，a）位于曲線C圍成的封閉區(qū)域（陰影部分）外 C．若（x0，y0）在曲線C上，則﹣a＜x0+y0≤3a D．曲線C在第一象限內(nèi)的點到兩坐標(biāo)軸距離之積的最大值為9（多選）11．（2023秋?臨川區(qū)校級期末）如圖，P是橢圓C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）與雙曲線C2：x2m2-y2n2=1（m＞0，n＞0）在第一象限的交點，且C1，C2共焦點F1，F(xiàn)2，∠FA．|PF1|＝m+a，|PF2|＝m﹣a B．若θ＝60°，則1eC．若θ＝90°，則e12+D．tan（多選）12．（2024?香坊區(qū)校級模擬）某曲線C的方程為x2﹣xy+y2＝4，下列說法正確的是（）A．曲線C關(guān)于y＝x對稱 B．曲線C上的點的縱坐標(biāo)的最大值是2 C．曲線C與直線x+y﹣1＝0交于A，B兩點，則|AB|=10D．點（x，y）在曲線C上，則x2+xy+y2的取值范圍為[三．填空題（共4小題）13．（2024?湖北開學(xué)）將橢圓C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上所有的點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)θ(0＜θ＜π2)14．（2024?咸寧校級模擬）由曲線x2+y2＝2（|x|﹣|y|）圍成的圖形的面積為．15．（2023秋?鹽田區(qū)校級期末）拋物線y＝x2上到直線2x﹣y＝4距離最近的點的坐標(biāo)是．16．（2024?荔灣區(qū)校級模擬）如圖，棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，點P沿正方形ABCD按ABCDA的方向做勻速運動，點Q沿正方形B1C1CB按B1C1CBB1的方向以同樣的速度做勻速運動，且點P，Q分別從點A與點B1同時出發(fā)，則PQ的中點的軌跡所圍成圖形的面積大小是．四．解答題（共4小題）17．（2024?成都開學(xué)）已知M為曲線C上一動點，動點M到F1(3，0)和F2（1）求曲線C的方程；（2）若過點F1(3，0)的直線l交曲線C于A18．（2024?朝陽區(qū)校級開學(xué)）已知曲線C：x2+2y2＝8，設(shè)曲線C與y軸的交點為A、B（點A位于點B的上方），直線y＝kx+4與曲線C交于不同的兩點M、N，直線y＝1與直線BM交于點G，求證：A、G、N三點共線．19．（2023秋?天心區(qū)校級期末）已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是（6，5），端點A在圓C1：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4上運動．（1）求線段AB的中點P的軌跡C2的方程；（2）設(shè)圓C1與曲線C2交于M、N兩點，求線段MN的長．20．（2023秋?黔東南州期末）已知點M（﹣4，0），N（4，0），動點P滿足|PM|﹣|PN|＝4，記點P的軌跡為曲線C．（1）求C的方程；（2）若A，B是C上不同的兩點，且直線AB的斜率為5，線段AB的中點為Q，證明：點Q在直線3x﹣5y＝0上．

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之圓錐曲線綜合（2024年9月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?廣西月考）已知點P在拋物線M：y2＝4x上，過點P作圓C：（x﹣2）2+y2＝1的切線，若切線長為27，則點P到MA．5 B．29 C．6 D．30【考點】圓與圓錐曲線的綜合．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算．【答案】C【分析】根據(jù)點P的位置以及切線長可解得P點橫坐標(biāo)為5，再由焦半徑公式可得結(jié)果．【解答】解：設(shè)點P(yP24，yP)，由圓的方程（x﹣2）2+y2＝1可知圓心C（又切線長為27，可得|PC|=即(yP24-2)2+yP2再由拋物線定義可得點P到M的準(zhǔn)線的距離為5+1＝6．故選：C．【點評】本題考查圓與拋物線的綜合應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．2．（2024?石城縣校級開學(xué)）如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點P是BC邊上一動點（點P不與B，C重合），連接AP，作點B關(guān)于直線AP的對稱點M，則線段MC的最小值為（）A．2 B．52 C．3 D．【考點】軌跡方程．【專題】對應(yīng)思想；定義法；直線與圓；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】根據(jù)對稱性得到動點M的軌跡是在以A圓心，3為半徑的圓上，根據(jù)點圓模型，在矩形中利用勾股定理求出線段長即可．【解答】解：連接AM，如圖所示：因為點B和M關(guān)于AP對稱，則AB＝AM＝3，可知M在以A圓心，3為半徑的圓上，當(dāng)A，M，C三點共線時，CM最短，此時在矩形ABCD中，AC=AB2+BC2=5，AM＝AB＝3，CM所以線段MC的最小值為2．故選：A．【點評】本題考查軌跡方程的求解，考查與圓有關(guān)的最值問題，是基礎(chǔ)題．3．（2024?張家口開學(xué)）已知M、N兩點坐標(biāo)分別（﹣2，0），（2，0）．直線MK、NK相交于點K，且它們的斜率之和是3，則點K的軌跡方程為（）A．3x2﹣2xy﹣12＝0（x≠±2） B．3y2﹣2yx﹣12＝0（x≠±2） C．x24+y【考點】軌跡方程．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】設(shè)點K的坐標(biāo)，由題意列方程，即求出K的軌跡方程．【解答】解：設(shè)K（x，y），x≠±2，由題意可得yx+2+整理可得y（x﹣2）+y（x+2）＝3（x+2）（x﹣2）＝3（x2﹣4），整理可得3x2﹣2xy﹣12＝0，且x≠±2．故選：A．【點評】本題考查點的軌跡方程的求法，注意曲線需要去掉的點的坐標(biāo)，屬于中檔題．4．（2024?回憶版）已知曲線C：x2+y2＝16（y＞0），從C上任意一點P向x軸作垂線PP'，P'為垂足，則線段PP'的中點M的軌跡方程為（）A．x216+y2C．y216+x【考點】軌跡方程；圓錐曲線的軌跡問題．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】設(shè)M（x，y）（y＞0），由題意及中點坐標(biāo)公式可得點P的坐標(biāo)，利用代入法，即可求得線段PP′的中點M的軌跡方程．【解答】解：設(shè)M（x，y）（y＞0），則P′（x，0），由中點坐標(biāo)公式得P（x，2y），因為點P在曲線C：x2+y2＝16（y＞0）上，所以x2+4y2＝16（y＞0），故線段PP'的中點M的軌跡方程為x216+y2故選：A．【點評】本題考查代入法求軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題．5．（2023秋?西固區(qū)校級期末）點P是圓x2+y2＝1上的動點，它的與定點（3，0）所連線段的中點的軌跡方程是（）A．(x-32)2C．（x+3）2+y2＝4 D．（x﹣3）2+y2＝1【考點】軌跡方程．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】設(shè)動點P（x0，y0），PQ的中點為B（x，y），由中點坐標(biāo)公式解出x0＝2x﹣3，y0＝2y，將點P（2x﹣3，2y）代入已知圓的方程，化簡即可得到所求中點的軌跡方程．【解答】解：設(shè)動點P（x0，y0），PQ的中點為B（x，y），可得x=12（3+x0），y=12y0，解出x0＝2x﹣3，y0∵點P（x0，y0）即P（2x﹣3，2y）在圓x2+y2＝1上運動，∴（2x﹣3）2+（2y）2＝1，化簡得（2x﹣3）2+4y2＝1，即所求動點軌跡方程(x-故選：A．【點評】本題給出定點與定圓，求圓上動點與定點連線中點的軌跡方程．著重考查了圓的方程與動點軌跡方程求法等知識，屬于中檔題．6．（2023秋?解放區(qū)校級月考）已知A（﹣2，0），B（2，0），動點P滿足|PA||PB|=2，則點P的軌跡與圓x2+y2A．27 B．26 C．42 【考點】軌跡方程．【專題】計算題；整體思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】設(shè)P（x，y），根據(jù)題設(shè)整理可得點P的軌跡方程為圓，由兩圓方程消去二次項可得公共弦所在直線方程，然后由點到直線的距離公式和圓的弦長公式可得．【解答】解：設(shè)P（x，y），則|PA||PB|整理得x2+y2﹣12x+4＝0，聯(lián)立x2+y2-12x+4=0x2圓x2+y2＝8的圓心為O（0，0），半徑為22圓心O（0，0）到直線x＝1的距離為1，所以公共弦長為28-1故選：A．【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．7．（2024?天河區(qū)校級模擬）如圖，ABCD是邊長為2的正方形紙片，沿某動直線l為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點B都落在邊AD上，記為B'；折痕l與AB交于點E，點M滿足關(guān)系式EM→=EB→+EB'→．以點B為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系，若曲線T是由點M的軌跡及其關(guān)于邊AB對稱的曲線組成的，等腰梯形A1B1C1D1的A1B1，B1C1，C1D1分別與曲線T切于點P、Q、R．則梯形A1A．6 B．22 C．210 D【考點】直線與圓錐曲線的綜合；軌跡方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)運算．【答案】B【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)出M的坐標(biāo)，根據(jù)兩點關(guān)于直線對稱時兩點連線與對稱軸垂直，且兩點的中點在對稱軸上，再根據(jù)平行四邊形的對角線對應(yīng)的向量等于兩鄰邊對應(yīng)向量的和得到點M的軌跡方程；利用函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值為曲線的切線斜率，求出腰A1B1的方程，分別令y＝0和y＝1求出與兩底的交點橫坐標(biāo)，利用梯形的面積公式表示出梯形A1B1C1D1面積，利用基本不等式求出其最小值．【解答】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)M（x，y），B1（x0，2），E（0，b），顯然直線l的斜率存在，不妨設(shè)直線l的方程為y＝kx+b，由題意得B與B1關(guān)于直線l對稱，所以kBB1=又BB1的中點（x02，1）在直線l上，故b=1+因為EM→=EB→+EB→1，得（x，y﹣b）＝（0，﹣b）+所以x=x0y=2-b，將x=x0由每次翻折后點B1都落在邊AD上，所以0≤x0≤2，即0≤x≤2，所以點M的軌跡方程y=-x24+1，（0所以曲線T的方程為y=-x24+1，（﹣2設(shè)梯形A1B1C1D1的面積為S，點P的坐標(biāo)為(t，-根據(jù)等腰梯形和拋物線的對稱性得，點Q的坐標(biāo)為（0，1），直線B1C1的方程為y＝1，對于y=-x24+1所以y′|x＝t=-t2，所以直線A1B1即：y=-令y＝0，得x=t2+4令y＝1，得x=t2，所以所以S=12(t2因為2∈(0，2]，所以t=2時，梯形A1B1C1D故選：B．【點評】本題考查了拋物線的方程和性質(zhì)，考查了直線與拋物線的綜合，考查了數(shù)形結(jié)合思想/方程思想及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．8．（2023秋?泊頭市校級月考）已知A（3，2），B（﹣3，﹣2），若動點M滿足直線MA與直線MB的斜率之積為13，則動點MA．y2-x23C．y2-x2【考點】軌跡方程．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】根據(jù)斜率公式，建立方程，可得答案．【解答】解：設(shè)M（x，y），由題意可得y-2x-3整理可得y2即動點M的軌跡方程為y2故選：A．【點評】本題主要考查了求動點的軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024?日照開學(xué)）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長為2，點M是其側(cè)面ADD1A1上的動點（含邊界），點P是線段CC1上的動點，下列結(jié)論正確的是（）A．存在點P，M，使得平面B1D1M與平面PBD平行 B．當(dāng)點P為CC1中點時，過A，P，D1點的平面截該正方體所得的截面是梯形 C．當(dāng)點M是線段A1D的中點時，不存在點P使直線A1P垂直平面MB1D1 D．當(dāng)P為棱CC1的中點且PM=22時，點M的軌跡長度為【考點】軌跡方程；直線與平面垂直；平面與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運算．【答案】ABD【分析】找到點P，M使得平面B1D1M與平面PBD平行，判斷出選項A的真假；作出過A，P，D1點的平面截該正方體所得的截面，判斷出選項B的真假；當(dāng)點P與點C重合時，直線A1P垂直平面MB1D1，判斷出選項C的真假；求得點M的軌跡長度，判斷出選項D的真假．【解答】解：對于A選項，當(dāng)M為AA1中點，P為CC1中點時，連接B1D1、B1M、D1M、PB、PD、BD，正方體的結(jié)構(gòu)特征可得，BD∥B1D1，又BD?平面PBD，B1D1?平面PBD，則B1D1∥平面PBD，MB1∥PD，又PD?平面PBD，B1M?平面PBD，則B1M∥平面PBD，又B1M∩B1D1＝B1，且都在面B1D1M內(nèi)，則平面B1D1M∥平面PBD，故A正確；對于B選項，取BC中點N，連接PN、NA、AD1、PD1、BC1，則PN∥BC1，AD1∥BC1，則AD1∥PN，又AD1≠PN，則AD1PN為梯形，則梯形AD1PN為截面，故B正確；對于C選項，當(dāng)M為A1D中點，當(dāng)點P與點C重合時，由三垂線定理及逆定理易知：A1P⊥B1D1，A1P⊥MD1，根據(jù)線面垂直的判定，得直線A1P⊥平面MB1D1，故C錯誤；對于D選項，取DD1中點E，連接PE，ME，PM，則PE⊥平面AA1D1D，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)有PE⊥ME，則ME=P則點M在側(cè)面AA1D1D內(nèi)運動軌跡為以E為圓心，半徑為2的劣弧，分別交AD、A1D1于M2、M1，則∠M則∠M1EM2=π故選：ABD．【點評】本題考查平面與平面的位置關(guān)系的判斷，空間中兩點的距離的求法，屬于中檔題．（多選）10．（2024秋?呼和浩特月考）如圖，曲線C：x3+y3﹣3axy＝0（a＞0）過原點，其漸近線方程為l：x+y+a＝0，則（）A．曲線C關(guān)于直線y＝x對稱 B．點（a，a）位于曲線C圍成的封閉區(qū)域（陰影部分）外 C．若（x0，y0）在曲線C上，則﹣a＜x0+y0≤3a D．曲線C在第一象限內(nèi)的點到兩坐標(biāo)軸距離之積的最大值為9【考點】曲線與方程．【專題】計算題；對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算．【答案】ACD【分析】根據(jù)對換x，y判斷A，點代入曲線判斷B，應(yīng)用基本不等式判斷C，D．【解答】解：對于A，若把曲線C：x3+y3﹣3axy＝0中的x，y互換，則方程不變，所以C的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，A正確；對于B，點（a，a）在第一象限，且a3+a3﹣3a3＝﹣a3＜0，所以點（a，a）位于曲線C圍成的封閉區(qū)域（陰影部分）內(nèi)，B錯誤；對于C，曲線在漸近線x+y+a＝0的上方，故y0＞﹣x0﹣a，即y0+x0＞﹣a，當(dāng)（x0，y0）在第一象限內(nèi)時，x0則x0故x0+y故﹣a＜x0+y0≤3a，C正確；對于D，因為曲線C在第一象限內(nèi)的點滿足x3+y3﹣3axy＝0，故3axy=x即xy≤9a故曲線C在第一象限內(nèi)的點到兩坐標(biāo)軸距離之積的最大值為9a24故選：ACD．【點評】本題主要考查曲線與方程，考查運算求解能力，屬于中檔題．（多選）11．（2023秋?臨川區(qū)校級期末）如圖，P是橢圓C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）與雙曲線C2：x2m2-y2n2=1（m＞0，n＞0）在第一象限的交點，且C1，C2共焦點F1，F(xiàn)2，∠FA．|PF1|＝m+a，|PF2|＝m﹣a B．若θ＝60°，則1eC．若θ＝90°，則e12+D．tan【考點】圓錐曲線的綜合．【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運算．【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓、雙曲線定義計算判斷A；由余弦定理計算判斷B，C；由余弦定理、二倍角的余弦計算判斷D作答．【解答】解：依題意，|PF1|+|PF2|=2a|PF1|-|PF2|=2m，解得|PF1|＝a+令|F1F2|＝2c，由余弦定理得：cosθ=|P當(dāng)θ＝60°時，a2+3m2＝4c2，即(ac)2+3(當(dāng)θ＝90°時，a2+m2＝2c2，即(ac)而0＜e12＜cosθ=acosθ=cos2θ解得tan2θ2=(nb故選：ACD．【點評】本題考查了圓錐曲線的綜合運用，屬于中檔題．（多選）12．（2024?香坊區(qū)校級模擬）某曲線C的方程為x2﹣xy+y2＝4，下列說法正確的是（）A．曲線C關(guān)于y＝x對稱 B．曲線C上的點的縱坐標(biāo)的最大值是2 C．曲線C與直線x+y﹣1＝0交于A，B兩點，則|AB|=10D．點（x，y）在曲線C上，則x2+xy+y2的取值范圍為[【考點】曲線與方程．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【答案】AC【分析】由題意，將x，y互換代入方程中推出方程不變，進(jìn)而可判斷選項A；將y＝x﹣2代入方程，求出縱坐標(biāo)，進(jìn)而可判斷選項B；將x+y﹣1＝0代入方程，求出A，B兩點的坐標(biāo)，代入弦長公式中即可判斷選項C；先對方程進(jìn)行整理，利用選項B中信息進(jìn)行判斷選項D．【解答】解：對于A：因為曲線C關(guān)于y＝x對稱，所以將x，y互換代入曲線C，得x2﹣xy+y2＝4，方程不變，所以A選項正確；對于B：x2﹣xy+y2＝4，即為（x-y2）2+可得3y24≤4，可得則曲線C上的點的縱坐標(biāo)的最大值是43所以B選項不正確；對于C：將x+y﹣1＝0代入方程，可得x2﹣x（1﹣x）+（1﹣x）2＝4，解得x=1±所以A（1+52，1-52），B（則|AB|=5+5=10對于D：因為x2+xy+y2＝x2+2xy+y2﹣xy＝（x+y）2﹣xy＝4+2xy，由B可知x2﹣xy+y2＝4，又因為x2+y2≥2xy，所以4＝x2﹣xy+y2≥xy，即﹣4≤xy≤4，所以﹣4≤x2+xy+y2≤12，所以D選項不正確．故選：AC．【點評】本題考查曲線與方程，考查了邏輯推理、分類討論和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．（2024?湖北開學(xué)）將橢圓C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上所有的點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)θ(0＜θ＜π2)【考點】圓與圓錐曲線的綜合；求橢圓的離心率．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算．【答案】63【分析】根據(jù)題意，由橢圓的對稱性，求解頂點坐標(biāo)，從而可得a，b，c，即可求解．【解答】解：∵橢圓C1：x得到橢圓C2的方程：x2+y2﹣xy＝3，∴設(shè)點P（x，y）在該橢圓上，則其關(guān)于y＝x的對稱點P′（y，x）代入橢圓方程有y2+x2﹣yx＝3，即x2+y2﹣xy＝3，則該對稱點位于橢圓方程上，同理其關(guān)于y＝﹣x的對稱點P′（﹣y，﹣x）也位于橢圓方程上，則x2+y2﹣xy＝3關(guān)于y＝±x對稱，如圖所示：將y＝x代入x2+y2﹣xy＝3可得x2＝3，可得橢圓長軸的頂點為(3，3即a=3+3將y＝﹣x代入x2+y2﹣xy＝3，可得：x2＝1，可得橢圓短軸的頂點為（﹣1，1），（1，﹣1），即b=1+1則c=6-2故e=c故答案為：63【點評】本題考查圓與橢圓的綜合應(yīng)用，橢圓的離心率的求法，是中檔題．14．（2024?咸寧校級模擬）由曲線x2+y2＝2（|x|﹣|y|）圍成的圖形的面積為2π﹣4．【考點】曲線與方程．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【答案】2π﹣4．【分析】先看當(dāng)x≥0，y≥0時整理曲線的方程，求出圖形在第一象限弓形面積，然后求解即可．【解答】解：x2+y2＝2（|x|﹣|y|）圍成的圖形，關(guān)于x軸，y軸對稱，故只需求出第一象限弓形的面積，曲線x2+y2＝2（|x|﹣|y|），當(dāng)x≥0，y≥0時，面積為：14∴S＝4×(π2-1)=2故答案為：2π﹣4．【點評】本題主要考查了圓方程的綜合運用，曲線的軌跡方程和求幾何圖象的面積．考查了考生綜合運用基礎(chǔ)知識解決實際問題的能力．15．（2023秋?鹽田區(qū)校級期末）拋物線y＝x2上到直線2x﹣y＝4距離最近的點的坐標(biāo)是（1，1）．【考點】直線與圓錐曲線的綜合；點到直線的距離公式．【專題】計算題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】設(shè)出P的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)點到直線的距離公式求得P到直線的距離的表達(dá)式，根據(jù)x的范圍求得距離的最小值．【解答】解：設(shè)P（x，y）為拋物線y＝x2上任一點，則P到直線的距離d=∴x＝1時，d取最小值3此時P（1，1）．故答案為：（1，1）【點評】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，點到直線的距離公式．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和基本的運算能力．16．（2024?荔灣區(qū)校級模擬）如圖，棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，點P沿正方形ABCD按ABCDA的方向做勻速運動，點Q沿正方形B1C1CB按B1C1CBB1的方向以同樣的速度做勻速運動，且點P，Q分別從點A與點B1同時出發(fā)，則PQ的中點的軌跡所圍成圖形的面積大小是34【考點】軌跡方程；棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【專題】計算題；整體思想；演繹法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；直觀想象；數(shù)學(xué)運算．【答案】3【分析】畫出符合要求的圖形，觀察得到軌跡是菱形，并進(jìn)行充分性和必要性兩方面的證明，并求解出軌跡圖形的面積．【解答】解：如圖，E，F(xiàn)，G分別是正方形ABCD，ABB1A1，BCC1B1的中心，下面進(jìn)行證明：菱形EFGC的周界即為動線段PQ的中點H的軌跡，首先證明：如果點H是動線段PQ的中點，那么點H必在菱形EFGC的周界上，分兩種情況證明：（1）P，Q分別在某一個定角的兩邊上，不失一般性，設(shè)P從B到C，而Q同時從C1到C，由于速度相同，所以PQ必平行于BC1，故PQ的中點H必在CG上；（2）P，Q分別在兩條異面直線上，不失一般性，設(shè)P從A到B，同時Q從B1到C1，由于速度相同，則AP＝B1Q，由于H為PQ的中點，連接B1H并延長，交底面ABCD于點T，連接PT，則平面PB1QT與平面ABCD交線是PT，∵B1C1∥平面ABCD，∴B1C1∥PT，∴△HB1Q?△HTP，而PT＝B1Q＝AP，PT∥BC，∴△APT是等腰直角三角形，∠TAP=π4，從而T可以證明FH∥AC，GH∥AC，DG∥AC，基于平行線的唯一性，顯然H在DG上，綜合（1）（2）可證明，線段PQ的中點一定在菱形EFGC的周界上；下面證明：如果點H在菱形EFGC的周界上，則點H必定是符合條件的線段的中點．也分兩種情況進(jìn)行證明：（1）H在CG或CE上，過點H作PQ∥BC1（或BD），而與BC及CC1（或CD及BC）分別相交于P和Q，由相似的性質(zhì)可得：PH＝QH，即H是PQ的中點，同時可證：BP＝C1Q（或BQ＝DP），因此P、Q符合題設(shè)條件，（2）H在EF或FG上，不失一般性，設(shè)H在FG上，連接B1H并延長，交平面AC于點T，顯然T在AC上，過T作TP∥CB于點P，則TP∥C1B1，在平面PTC1B1上，連接PH并延長，交B1C1于點Q，在三角形ACB1中，G是B1C的中點，F(xiàn)G∥AC，則H是B1T的中點，于是△PTH?△QB1H，從而有B1Q＝PT，又因為TP∥CB，∠CAB=∠ATP=π4從而B1Q＝AP，因此P，Q符合題設(shè)條件．由（1）（2），如果H是菱形EFGC周界上的任一點，則H必是符合題設(shè)條件的動線段PQ的中點，證畢．因為四邊形EFGC為菱形，其中CE=1所以邊長為22且AC＝CB1＝AB1，△AB1C為等邊三角形，∠所以面積S=2故答案為：34【點評】本題主要考查立體幾何中的軌跡問題，空間想象能力的培養(yǎng)等知識，屬于中等題．四．解答題（共4小題）17．（2024?成都開學(xué)）已知M為曲線C上一動點，動點M到F1(3，0)和F2（1）求曲線C的方程；（2）若過點F1(3，0)的直線l交曲線C于A【考點】曲線與方程．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）x2（2）（0，9]．【分析】（1）根據(jù)題意利用兩點間距離公式求得|PF1|+|PF2|=43，然后根據(jù)橢圓的定義判斷出點M的軌跡是一個橢圓，進(jìn)而求出曲線C（2）首先考慮特殊情況：斜率為0時，求得S△ABP＝9．然后設(shè)直線l的方程為x=my+3(m≠0)，與橢圓方程消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理與弦長公式，求出AB長與AB邊上的高，得到△ABP面積的表達(dá)式，通過換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求最值的問題，從而算出△【解答】解：（1）根據(jù)題意得|PF可知|MF1|+|MF2|=43＞|F1F2|所以點M的軌跡是以F1、F2為焦點的橢圓，且a=23可得橢圓的方程為x212+（2）因為點P與點F1的橫坐標(biāo)相等，所以直線l斜率必定存在，①當(dāng)直線l斜率為0時，A(-23②當(dāng)直線l斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為x=my+3將直線l與橢圓方程聯(lián)立，得x=my+3x212+可知Δ＝108（4m2+4）＞0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1可得|AB|=1+m2?|y設(shè)點P到直線l的距離為d，則d=|所以S令t＝3m2+4，則t＞4，且m2=t-4設(shè)μ=1t∈(0所以f（μ）∈（0，1），可得S△ABP∈（0，9）．綜上所述，△ABP面積的取值范圍為（0，9]．【點評】本題主要考查橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、二次函數(shù)的最值求法等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．18．（2024?朝陽區(qū)校級開學(xué)）已知曲線C：x2+2y2＝8，設(shè)曲線C與y軸的交點為A、B（點A位于點B的上方），直線y＝kx+4與曲線C交于不同的兩點M、N，直線y＝1與直線BM交于點G，求證：A、G、N三點共線．【考點】直線與圓錐曲線的綜合．【專題】直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由已知直線代入橢圓方程化簡得：（2k2+1）x2+16kx+24＝0，Δ＝32（2k2﹣3），解得：k2＞32，設(shè)N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB方程為：y=kxM+6xMx﹣2，則G（3xMkxM+6，1），從而可得AG→=（3xMkxM+6【解答】證明：曲線C：x2+2y2＝8，當(dāng)x＝0時，y＝±2，故A（0，2），B（0，﹣2）將直線y＝kx+4代入橢圓方程x2+2y2＝8得：（2k2+1）x2++16kx+24＝0，若y＝kx+4與曲線C交于不同兩點M，N，則Δ＝32（2k2﹣3）＞0，解得：k2＞3由韋達(dá)定理得：xm+xn=-16k1+2xm?xn=241+2k設(shè)N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB方程為：y=kxM+6xMx﹣2，則∴AG→=（3xMkxM+6，﹣1），AN欲證A，G，N三點共線，只需證AG→，AN即3xMkxM+6（kx將①②代入可得等式成立，則A，G，N三點共線得證．【點評】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三點共線，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解．19．（2023秋?天心區(qū)校級期末）已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是（6，5），端點A在圓C1：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4上運動．（1）求線段AB的中點P的軌跡C2的方程；（2）設(shè)圓C1與曲線C2交于M、N兩點，求線段MN的長．【考點】軌跡方程．【專題】計算題；方程思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）（x﹣5）2+（y﹣4）2＝1；（2）142【分析】（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），點A的坐標(biāo)為（x0，y0），由于點B的坐標(biāo)為（6，5），且點P是線段AB的中點，利用代入法可得軌跡方程．（2）兩圓相減得公共弦方程2x+2y﹣19＝0，利用弦長公式可得MN的長．【解答】解：（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），點A的坐標(biāo)為（x0，y0），由于點B的坐標(biāo)為（6，5），且點P是線段AB的中點，所以x=x于是有x0＝2x﹣6，y0＝2y﹣5，①因為點A在圓C1所以點A的坐標(biāo)滿足方程（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4，即(x0把①代入②，得（2x﹣6﹣4）2+（2y﹣5﹣3）2＝4，整理，得（x﹣5）2+（y﹣4）2＝1，所以點P的軌跡C2的方程為（x﹣5）2+（y﹣4）2＝1；（2）圓C1：(x-4得2x+2y﹣19＝0，由圓C2：(x-5)2+(y-4)2=1且（5，4）到直線2x+2y﹣19＝0的距離d=|10+8-19|則公共弦長|MN|=2r【點評】本題考查了動點的軌跡問題以及直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．20．（2023秋?黔東南州期末）已知點M（﹣4，0），N（4，0），動點P滿足|PM|﹣|PN|＝4，記點P的軌跡為曲線C．（1）求C的方程；（2）若A，B是C上不同的兩點，且直線AB的斜率為5，線段AB的中點為Q，證明：點Q在直線3x﹣5y＝0上．【考點】直線與圓錐曲線的綜合；軌跡方程．【專題】應(yīng)用題；方程思想；待定系數(shù)法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）x2（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義可求C的方程；（2）利用點差法可證點Q在直線3x﹣5y＝0．【解答】解：（1）因為|PM|﹣|PN|＝4＜|MN|，所以根據(jù)雙曲線的定義可知點P的軌跡為以M、N為焦點，實軸長為4的雙曲線的右支，由2a＝4，c＝4，得a＝2，b2＝c2﹣a2＝12，所以C的方程為x2（2）證明：設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則x1兩式相減并整理得，3（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，設(shè)Q（x0，y0），依題意可得x1所以6x0（x1﹣x2）﹣2y0（y1﹣y2）＝0，即6x所以6x0﹣2y0×5＝0，即3x0﹣5y0＝0，所以點Q在直線3x﹣5y＝0上．【點評】本題考查圓錐曲線的綜合問題，屬于中檔題．

考點卡片1．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識點的認(rèn)識】1．棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點的字母來表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認(rèn)識棱柱底面：棱柱中兩個互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個底面以外的其余各個面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點．高：棱中兩個底面之間的距離．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征棱柱1根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形（4）長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的長的平方和．4．棱柱的分類（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．2．直線與平面垂直【知識點的認(rèn)識】直線與平面垂直：如果一條直線l和一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就說直線l和平面α互相垂直，記作l⊥α，其中l(wèi)叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直的判定：（1）定義法：對于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的任一條直線．（2）判定定理1：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．（3）判定定理2：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．直線與平面垂直的性質(zhì)：①定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行．符號表示為：a⊥α，b⊥α?a∥b②由定義可知：a⊥α，b?α?a⊥b．3．平面與平面平行【知識點的認(rèn)識】兩個平面平行的判定：（1）兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．（2）垂直于同一直線的兩個平面平行．即a⊥α，且a⊥β，則α∥β．（3）平行于同一個平面的兩個平面平行．即α∥γ，β∥γ，則α∥β．平面與平面平行的性質(zhì)：性質(zhì)定理1：兩個平面平行，在一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另外一個平面．性質(zhì)定理2：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行．性質(zhì)定理3：一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面．4．點到直線的距離公式【知識點的認(rèn)識】﹣點到直線距離：點（x0，y0）到直線Ax+By+C＝0的距離為：d=|A【解題方法點撥】﹣計算距離：1．代入直線方程：將點的坐標(biāo)代入直線方程．2．計算絕對值：計算Ax0+By0+C的絕對值．3．計算模：計算法向量的模A24．求解距離：將絕對值與模相除，即得距離．【命題方向】﹣距離計算：考查點到直線的距離計算，可能涉及多種坐標(biāo)系變換或應(yīng)用．5．求橢圓的離心率【知識點的認(rèn)識】橢圓的離心率e由公式e=ca計算，其中【解題方法點撥】1．計算離心率：使用公式e=a【命題方向】﹣給定a和b，求橢圓的離心率．﹣計算橢圓的離心率，并分析其含義．6．曲線與方程【知識點的認(rèn)識】在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程f（x，y）＝0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：①曲線上點的坐標(biāo)都是這個方程的解；②以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點．那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．求解曲線方程關(guān)鍵是要找到各變量的等量關(guān)系．【解題方法點撥】例：：定義點M到曲線C上每一點的距離的最小值稱為點M到曲線C的距離．那么平面內(nèi)到定圓A的距離與它到定點B的距離相等的點的軌跡不可能是（）A：直線B：圓C：橢圓D：雙曲線一支．解：對定點B分類討論：①若點B在圓A內(nèi)（不與圓心A重合），如圖所示：設(shè)點P是圓A上的任意一點，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點M，連接BM，則|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．由橢圓的定義可知：點M的軌跡是以點A、B為焦點的橢圓．②若點B在圓A外，如圖2所示：設(shè)點P是圓A上的任意一點，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點M，連接BM，則|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．由雙曲線的定義可知：點M的軌跡是以點A、B為焦點的雙曲線的一支．③若定點B與圓心A重合，如圖3所示：設(shè)點P是圓A上的任意一點，取線段AP的中點M，則點M滿足條件，因此點M的軌跡是以點A為圓心，以12④若點B在圓A上，則滿足條件的點是一個點B．綜上可知：可以看到滿足條件的點M的軌跡可以是：橢圓、雙曲線的一支，圓，一個點，而不可能是一條直線．故選A．這是一個非常好的題，一個題把幾個很重要的曲線都包含了，我認(rèn)為這個題值得每一個學(xué)生去好好研究一下．這個題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系，而這個等量關(guān)系是靠自己去建立的，其中還要注意到圓半徑是相等的和中垂線到兩端點的距離相等這個特點，最后還需結(jié)合曲線的第二定義等來判斷，是個非常有價值的題．【命題方向】這個考點非常重要，但也比較難，我們在學(xué)習(xí)這個考點的時候，先要認(rèn)真掌握各曲線的定義，特別是橢圓、拋物線、雙曲線的第二定義，然后學(xué)會去找等量關(guān)系，最后建系求解即可．7．直線與圓錐曲線的綜合【知識點的認(rèn)識】直線與圓錐曲線的綜合問題是高考的必考點，比方說求封閉面積，求距離，求他們的關(guān)系等等，常用的方法就是聯(lián)立方程求出交點的橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的關(guān)系，通過這兩個關(guān)系的變形去求解．【解題方法點撥】例：已知圓錐曲線C上任意一點到兩定點F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距離之和為常數(shù)，曲線C的離心率e=1（1）求圓錐曲線C的方程；（2）設(shè)經(jīng)過點F2的任意一條直線與圓錐曲線C相交于A、B，試證明在x軸上存在一個定點P，使PA→解：（1）依題意，設(shè)曲線C的方程為x2a2+y2b∴c＝1，∵e=c∴a＝2，∴b=a所求方程為x2（2）當(dāng)直線AB不與x軸垂直時，設(shè)其方程為y＝k（x﹣1），由x2得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，從而xA+x設(shè)P（t，0），則PA→當(dāng)3t解得t=此時對?k∈R，PA→當(dāng)AB⊥x軸時，直線AB的方程為x＝1，xA＝xB＝1，yA對t