【八年級上冊數(shù)學浙教版】第09講 直角三角形的性質與判定 -【專題突破】（原卷版）

第第頁第9講直角三角形的性質與判定考點一直角三角形的性質【知識點睛】直角三角形的性質：兩銳角互余；斜邊上的中線=?斜邊長30°角所對的直角邊=?斜邊長直角三角形性質及應用常結合相關性質有：直角三角形垂直的意義；平行線的性質；等腰三角形等邊對等角；角平分線的性質；三角形內角和與外角和定理；全等三角形的對應角相等；ABABCD注意事項：如右圖，當Rt△斜邊上的中線的條件出現(xiàn)時，常見考察方向有：①CD=?AB（或AB=2CD）；②AD=CD=BD，即△ACD、△BCD均為等腰三角形；【類題訓練】1．已知，在直角△ABC中，∠C為直角，∠B是∠A的2倍，則∠A的度數(shù)是（）A．30° B．50° C．70° D．90°2．如圖，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，點F、A、D、C共線，AB、EF相交于點M，且EF⊥BC，則圖中與∠E相等的角有（）個．A．5 B．4 C．3 D．23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D．下列結論中，不一定成立的是（）A．∠A與∠1互余 B．∠B與∠2互余 C．∠A＝∠2 D．∠1＝∠24．一個直角三角形斜邊上的中線為5，斜邊上的高為4，則此三角形的面積為（）A．40 B．30 C．20 D．105．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，且∠B＝30°，AD＝4，點E是AB上一動點，則D，E之間的最小距離為（）A．8 B．4 C．2 D．16．如圖，木桿AB斜靠在墻壁上，P是AB的中點，當木桿的上端A沿墻壁NO豎直下滑時，木桿的底端B也隨之沿著射線OM方向滑動，則下滑過程中OP的長度變化情況是（）A．逐漸變大 B．不斷變小 C．不變 D．先變大再變小7．如圖，在△ABC中，AE⊥BC于點E，BD⊥AC于點D，點F是AB的中點，連接DF、EF，設∠DFE＝α，則∠C的度數(shù)可表示為（）A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣α8．如圖，在等邊△ABC中，AB＝10，P為BC上任意一點（不與端點B，C重合），過點P分別作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E．若，則PD的長為（）A．3 B． C． D．9．在△ABC中，∠A＝90°，∠B﹣∠C＝14°，則∠B＝°，∠C＝°．10．如圖，在直角三角形ABC和直角三角形ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中點，連接MC，MD，CD，若CD＝6，則三角形MCD的面積為．11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，其中一個銳角為60°，AB＝10．若點Q在直線AB上（不與點A、B重合），當∠QCB＝30°時，CQ的長為．12．將一副三角板拼成如圖所示的圖形，過點C作CF∥AB交DE于點F．（1）求證：CF平分∠DCE；（2）求∠DFC的度數(shù)．13．已知：如圖，△ABC中，∠BAC與∠ACB的平分線交于點D，過點D的AC的平行線分別交AB于E，交BC于F．（1）求證：EF＝AE+CF；（2）若∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，求△BEF的周長．14．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點P在AC上運動，點D在AB上，PD始終保持與PA相等，DE⊥PD交BC于點E．（1）求證：點E在BD的垂直平分線上；（2）若∠DEB＝α，①求∠CPD的度數(shù)；（用含α的式子表示）②當α＝110°時，求∠A的度數(shù)．15．如圖，BN，CM分別是△ABC的兩條高，點D，E分別是BC，MN的中點．（1）求證：DE⊥MN；（2）若BC＝26，MN＝10，求DE的長．考點二直角三角形的判定【知識點睛】直角三角形判定的方法：①有一個角為直角的△是直角三角形；②有兩個內角互余的△是直角三角形③一邊上的中線=這邊長度的一半的△是直角三角形；④30°角所對的邊長=30°角臨邊的一半的△是直角三角形⑤勾股定理逆定理也可用于判定直角三角形注意事項：①上面直角三角形判定方法中，在綜合問題中，第③條需要利用等邊對等角與內角和證明之后才能用，選擇填空可以直接應用；②常見利用角度證明直角三角形的類型有：∠A＋∠B=90°；∠A＋∠B=∠C；∠A=?∠B=?∠C；∠A：∠B：∠C=a：b：c且a+b=c；【類題訓練】1．在△ABC中，滿足下列條件：①∠A＝60°；②∠A＝∠C﹣∠B；③∠A：∠B：∠C＝1：1：2；④∠A＝90°﹣∠C．其中，判定△ABC是直角三角形的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．如圖，在△ABC中，點P在邊BC上（不與點B，點C重合），（）A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，則AC＝PC B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，則AP⊥BC C．若AP⊥BC，PB＝PC，則∠BAC＝90° D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，則∠BAC＝90°3．如圖，在由25個邊長為1的小正方形拼成的網(wǎng)格中以AB為邊畫Rt△ABC，使點C在格點上，滿足這樣條件的點C共（）個．A．5 B．6 C．7 D．84．如圖，已知點P是射線ON上一動點（即P可在射線ON上運動），∠AON＝40°，（1）當∠A＝時，△AOP為直角三角形；（2）當∠A滿足時，△AOP為鈍角三角形．5．如圖，已知D是線段BC的延長線上一點，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求證：△AOE是直角三角形．6．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CE平分∠ACB．（1）求∠ACE的度數(shù)．（2）若CD⊥AB于點D，∠CDF＝75°，求證：△CFD是直角三角形．7．如果三角形中任意兩個內角∠α與∠β滿足2∠α+∠β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準直角三角形”．（1）在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，試判斷△ABC是否是“準直角三角形”，并說明理由；（2）如果△ABC是“準直角三角形”，那么△ABC是；（從下列四個選項中選擇，填寫符合條件的序號）（①銳角三角形；②直角三角形；③鈍角三角形；④都有可能）（3）如圖，在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝75°，BD平分∠ABC交AC于點D．①若DE∥BC交AB于點E，在①△ADE，②△BDE，③△BDC，④△ABD中“準直角三角形”是（填寫序號），并說明理由；②在直線AB上取一點F，當△BFD是“準直角三角形”時，求出∠DFB的度數(shù)．【綜合練習】1．如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點M與點C被湖隔開，若測得AB的長為2.8km，則M，C兩點間的距離為（）A．1.5km B．2.8km C．1.4km D．1.9km2．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB的中點，點E在AC上，且AE＝BE，連接CD交BE于點F，若∠A＝25°，則∠DFE的度數(shù)（）A．65° B．70o C．75o D．80o3．如圖，在Rt△ABC中，D，E為斜邊AB上的兩個點，且BD＝BC，AE＝AC，則∠DCE的度數(shù)為（）A．30° B．36° C．45° D．48°4．如圖，小明在計算機上用“幾何畫板”畫了一個Rt△ABC，∠C＝90°，并畫出了兩銳角的角平分線AD，BE及其交點F．小明發(fā)現(xiàn)，無論怎樣變動Rt△ABC的形狀和大小，∠AFB的度數(shù)是定值．這個定值為．5．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠ABC＝15°，則△ABC的面積為．6．由12個有公共頂點O的直角三角形拼成的圖形如圖所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝16，則OK的長為．7．如圖，在Rt△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE＝BD，連接AE，DE，DC．（1）求證：△ABE≌△CBD；（2）若∠CAE＝30°，求∠EDC的度數(shù)．8．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝6，CD＝AC＝8，M、N分別是對角線BD、AC的中點，連結AM．（1）求AM的長；（2）求證：MN⊥AC；（3）求MN的長．9．如圖，△ABC是等