2024屆廣東省汕頭市高三上學期期末調研測試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省汕頭市2024屆高三上學期期末調研測試數(shù)學試題第Ⅰ卷選擇題一、選擇題1.已知是關于的方程的一個根，則實數(shù)的值為（）A.8 B. C.4 D.【答案】A【解析】因為是關于的方程的一個根，所以，則.故選：A.2.設表示“向東走10km”，表示“向南走5km”，則所表示的意義為（）A.向東南走 B.向西南走C.向東南走 D.向西南走【答案】A【解析】因為表示“向東走10km”，表示“向南走5km”，所以所表示的意義為“向東走10km”，再“向南走10km”，等價于向東南走.故選：A.3.已知全集，，則集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，又，所以.故選：C.4.已知直線：和：平行，則實數(shù)（）A.2或 B.1 C. D.2【答案】D【解析】當：，：平行得，解得或，當時，：，：，即，此時直線和直線重合，故不符合題意，當時，：，：，此時直線和直線平行，符合題意；故選：D5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，又由，解得，因為，所以，又因為，得，所以．故選：C．6.關于橢圓與雙曲線的關系，下列結論正確的是（）A.焦點相同 B.頂點相同 C.焦距相等 D.離心率相等【答案】C【解析】對于橢圓，顯然恒成立，設橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，所以，則，則，所以橢圓焦點為，焦距為，頂點和離心率是變化的；對于雙曲線，顯然其焦點在軸上，只需考慮焦距即可，不妨設其焦距為，則，故，所以雙曲線的焦距為；所以橢圓與雙曲線的焦距相等，故C正確，其余選項都不正確.故選：C.7.已知函數(shù)，下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于，定義域為故，定義域為，，即不是奇函數(shù)，A錯誤；，定義域為，不關于原點對稱，即不是奇函數(shù)，B錯誤；，定義域為，不關于原點對稱，即不是奇函數(shù)，C錯誤；，定義域為，，即為奇函數(shù)，D正確，故選：D8.已知數(shù)列的前項和、前項和、前項和分別為、、，則“為等比數(shù)列”的一個必要條件為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意，要成為“為等比數(shù)列”的必要條件，則“為等比數(shù)列”推出該條件成立，對于ACD，當為等比數(shù)列時，不妨取數(shù)列，，則，此時，故A錯誤；此時，故C錯誤；此時，故D錯誤；對于B，當為等比數(shù)列時，設等比數(shù)列的公比為，則，，，所以，即，所以，故B正確故選：B.二、選擇題9.某科技攻關青年團隊共有10人，其年齡（單位：歲）分布如下表所示，則這10個人年齡的（）年齡454036322928人數(shù)121321A.中位數(shù)是34 B.眾數(shù)是32C.第25百分位數(shù)是29 D.平均數(shù)為34.3【答案】BCD【解析】把10個人的年齡由小到大排列為，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為32，眾數(shù)為32，A錯誤，B正確；由，得這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是第3個數(shù)，為29，C正確；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，D正確.故選：BCD10.已知定義在上的函數(shù)滿足:，，且當時，，若，則（）A. B.在上單調遞減C. D.【答案】AC【解析】對于A，因為，，令，得，則，故A正確；對于C，令，得，則，所以，故C正確；對于B，設且，則，則，因為當時，，所以，即所以在上單調遞增，故B錯誤；對于D，令，得，則，，，，上述各式相加，得，又，所以，故D錯誤；故選：AC.11.某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲存溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關系（，k，b為常數(shù)）．若該食品在0℃的保鮮時間是120小時，在20℃的保鮮時間是30小時，則（）A.且B.在10℃的保鮮時間是60小時C.要使得保鮮時間不少于15小時，則儲存溫度不低于30℃D.在零下2℃的保鮮時間將超過150小時【答案】AB【解析】因為該食品在0℃的保鮮時間是120小時，在20℃的保鮮時間是30小時，易得是減函數(shù)，結合復合函數(shù)的單調性可知，又，可知，所以正確；又，即，故，，則，故正確；若，則，結合，不等式化為，即，又，所以，故錯誤；當時，，故錯誤；故選：12.在三棱錐中，平面，，是底面上（含邊界）的一個動點，是三棱錐的外接球表面上的一個動點，則（）A.當在線段上時，B.的最大值為4C.當平面時，點的軌跡長度為D.存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為【答案】ACD【解析】對于A：由已知，即，又平面，且平面，所以，又面，，所以面，又面，所以，A正確；對于B：設三棱錐的外接球半徑為，將三棱錐補成正方體，如圖：三棱錐的外接球即為正方體的外接球，則，則的最大值為外接球的直徑，即，B錯誤；對于C：當平面時，點的軌跡為過點且與面平行的平面與外接球的交線，產生的軌跡是一個圓，設其半徑為設點到面的距離為，因為，所以，解得，所以，所以點的軌跡長度為，C正確；對于D：取線段的中點，連接，在正方體中，明顯有面，即點到面距離為線段的長，且，設平面與平面的交線為，平面與平面的夾角為，過做交與，連接，明顯有，，，面，所以面，則為平面與平面夾角，則，又由圖象可得，所以，所以，所以，又，所以存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為.故選：ACD.第Ⅱ卷非選擇題三、填空題13.二項式的展開式中的系數(shù)為15，則等于______．【答案】6【解析】根據(jù)題意，展開式的通項為，令，則故答案為6．14.若正四棱臺上、下底邊長分別為2、4，側面積為，則該棱臺體積為__________.【答案】【解析】由題意，正四棱臺上、下底面的邊長分別為，可得上、下底面面積為，如圖所示，取上、下底面正方形的中心分別為，再取分別為的中點，分別連接，過點作，因為該正四棱臺的側面積為，易得為等腰梯形的高，所以，解得，在中，可得，則該正四棱臺的高為，所以該棱臺的體積為.故答案為：.15.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有三個零點，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】因為，，則，又因為函數(shù)在區(qū)間上恰有三個零點，則，解得，所以的取值范圍為.故答案為：.16.從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經過橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點；從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點．如圖①，一個光學裝置由有公共焦點，的橢圓C與雙曲線S構成，現(xiàn)一光線從左焦點發(fā)出，依次經S與C反射，又回到了點，歷時秒；若將裝置中的S去掉，如圖②，此光線從點發(fā)出，經C兩次反射后又回到了點，歷時秒．若C與S的離心率之比為，則______．【答案】6【解析】在圖①中，由橢圓的定義得：，由雙曲線的定義得，兩式相減得，所以的周長為，在圖②中，的周長為，因為光速相同，因為C與S的離心率之比為，即，所以.故答案為：6.四、解答題17.內角、、所對的邊分別為、、，，．（1）求角的大??；（2）為的重心，的延長線交于點，且，求的面積．解：（1）在中，因為，由正弦定理可得,，，即，所以，，，故，即.（2）因為為的重心，的延長線交于點，且，所以點為中點，且，在中，，，即，在和中，,化簡得，所以，故，所以的面積為．18.記等差數(shù)列的前項和為，首項為，已知，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）依題意，設等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，即，解得，所以.（2）由（1）得，設數(shù)列的前項和為，則，則②，兩式相減，得，故.19.如圖，在邊長為4的正三角形中，、分別為邊、的中點，將沿翻折至，得四棱錐，設為的中點.（1）證明：平面；（2）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：取的中點Q，連接,則有，且，又、分別為邊、的中點，則，且，故，且，則四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，故平面．.（2）解：取中點O，中點G，連接，在中，易得，所以，則，又平面平面，且交線為，平面，所以平面，則兩兩垂直，故以O為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，易得，則，，，，由為中點，故，則，，設平面的一個法向量，則，即，取，則，故，易得平面的一個法向量，設平面與平面的夾角為，，則，所以直線與平面BFP所成的角的正弦值為．20.《國家學生體質健康標準》是我國對學生體質健康方面的基本要求，是綜合評價學生綜合素質的重要依據(jù).為促進學生積極參加體育鍛煉，養(yǎng)成良好的鍛煉習慣，提高體質健康水平，某學校從全校學生中隨機抽取200名學生進行“是否喜歡體育鍛煉”的問卷調查.獲得如下信息：①男生所占比例為；②不喜歡體育鍛煉的學生所占比例為；③喜歡體育鍛煉的男生比喜歡體育鍛煉的女生多50人.（1）完成列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析喜歡體育鍛煉與性別是否有關聯(lián)？性別體育鍛煉合計喜歡不喜歡男女合計（2）（?。倪@200名學生中采用按比例分配的分層隨機抽樣方法抽取20人，再從這20人中隨機抽取3人.記事件“至少有2名男生”、“至少有2名喜歡體育鍛煉的男生”、“至多有1名喜歡體育鍛煉的女生”.請計算和的值.（ⅱ）對于隨機事件，，，試分析與的大小關系，并給予證明參考公式及數(shù)據(jù)：，.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）因為男生所占比例為，所以男生有人，因為不喜歡體育鍛煉的學生所占比例為，所以不喜歡體育鍛煉的學生有人，則喜歡體育鍛煉的學生有人，又喜歡體育鍛煉的男生比喜歡體育鍛煉的女生多50人，所以喜歡體育鍛煉的男生有80人，喜歡體育鍛煉的女生有30人，所以列聯(lián)表如下：性別體育鍛煉合計喜歡不喜歡男8040120女305080合計11090200假設：是否喜歡體育鍛煉與性別無關聯(lián).根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算得到，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立.即認為是否喜歡體育鍛煉與性別有關聯(lián).（2）（?。┮李}意，隨機抽取的20名學生中，喜歡體育鍛煉的男生有人，不喜歡體育鍛煉的男生有人，喜歡體育鍛煉的女生有人，不喜歡體育鍛煉的女生有人，事件表示：“在至少有2名男生的條件下，至少有2名男生喜歡體育鍛煉”，事件表示：“2男生1女生都喜歡體育鍛煉”和“3男生中至少兩人喜歡體育鍛煉”，所以，；（?、。τ陔S機事件，，，有，證明如下：.21.已知圓心在軸上移動的圓經過點，且與軸、軸分別交于、兩個動點，過點垂直于軸的直線與過點垂直于軸的直線交于點.（1）求點的軌跡的方程；（2）點、在曲線上，以為直徑的圓經過原點，作，垂足為.試探究是否存在定點，使得為定值，若存在，求出該定點的坐標；若不存在，說明理由.解：（1）因為圓心在軸上移動的圓經過點與，所以為動圓的直徑，又動圓經過點，故，于是，即，而過點垂直于軸的直線與過點垂直于軸的直線交于點，則，故點的軌跡的方程為.（2）依題意，直線的斜率存在且截距大于0，故設其方程為，聯(lián)立，消去得，，故，則，故，因為以為直徑的圓經過原點，所以，則，則，解得或(舍去)，故直線為，顯然經過定點，又因為，則點在以為直徑的圓上，取中點，則，因此，存在定點使得為定值2.22.已知函數(shù)，.（1）若，求實數(shù)的值；（2）當時，證明：.（1）解：因為，注意到，所以當恒成立時，是的最小值點，也是極小值點，則，而，所以，解得，當時，，，令，得，則在區(qū)間上單調遞減，令，得，則在區(qū)間上單調遞增，所以，所以．（2）證明：由（1）得，，即，當且僅當時等號成立，令，則，，，所以，，，令，則恒成立，所以函數(shù)在上單調遞增，故當時，，即．所以，，，所以.廣東省汕頭市2024屆高三上學期期末調研測試數(shù)學試題第Ⅰ卷選擇題一、選擇題1.已知是關于的方程的一個根，則實數(shù)的值為（）A.8 B. C.4 D.【答案】A【解析】因為是關于的方程的一個根，所以，則.故選：A.2.設表示“向東走10km”，表示“向南走5km”，則所表示的意義為（）A.向東南走 B.向西南走C.向東南走 D.向西南走【答案】A【解析】因為表示“向東走10km”，表示“向南走5km”，所以所表示的意義為“向東走10km”，再“向南走10km”，等價于向東南走.故選：A.3.已知全集，，則集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，又，所以.故選：C.4.已知直線：和：平行，則實數(shù)（）A.2或 B.1 C. D.2【答案】D【解析】當：，：平行得，解得或，當時，：，：，即，此時直線和直線重合，故不符合題意，當時，：，：，此時直線和直線平行，符合題意；故選：D5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，又由，解得，因為，所以，又因為，得，所以．故選：C．6.關于橢圓與雙曲線的關系，下列結論正確的是（）A.焦點相同 B.頂點相同 C.焦距相等 D.離心率相等【答案】C【解析】對于橢圓，顯然恒成立，設橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，所以，則，則，所以橢圓焦點為，焦距為，頂點和離心率是變化的；對于雙曲線，顯然其焦點在軸上，只需考慮焦距即可，不妨設其焦距為，則，故，所以雙曲線的焦距為；所以橢圓與雙曲線的焦距相等，故C正確，其余選項都不正確.故選：C.7.已知函數(shù)，下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于，定義域為故，定義域為，，即不是奇函數(shù)，A錯誤；，定義域為，不關于原點對稱，即不是奇函數(shù)，B錯誤；，定義域為，不關于原點對稱，即不是奇函數(shù)，C錯誤；，定義域為，，即為奇函數(shù)，D正確，故選：D8.已知數(shù)列的前項和、前項和、前項和分別為、、，則“為等比數(shù)列”的一個必要條件為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意，要成為“為等比數(shù)列”的必要條件，則“為等比數(shù)列”推出該條件成立，對于ACD，當為等比數(shù)列時，不妨取數(shù)列，，則，此時，故A錯誤；此時，故C錯誤；此時，故D錯誤；對于B，當為等比數(shù)列時，設等比數(shù)列的公比為，則，，，所以，即，所以，故B正確故選：B.二、選擇題9.某科技攻關青年團隊共有10人，其年齡（單位：歲）分布如下表所示，則這10個人年齡的（）年齡454036322928人數(shù)121321A.中位數(shù)是34 B.眾數(shù)是32C.第25百分位數(shù)是29 D.平均數(shù)為34.3【答案】BCD【解析】把10個人的年齡由小到大排列為，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為32，眾數(shù)為32，A錯誤，B正確；由，得這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是第3個數(shù)，為29，C正確；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，D正確.故選：BCD10.已知定義在上的函數(shù)滿足:，，且當時，，若，則（）A. B.在上單調遞減C. D.【答案】AC【解析】對于A，因為，，令，得，則，故A正確；對于C，令，得，則，所以，故C正確；對于B，設且，則，則，因為當時，，所以，即所以在上單調遞增，故B錯誤；對于D，令，得，則，，，，上述各式相加，得，又，所以，故D錯誤；故選：AC.11.某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲存溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關系（，k，b為常數(shù)）．若該食品在0℃的保鮮時間是120小時，在20℃的保鮮時間是30小時，則（）A.且B.在10℃的保鮮時間是60小時C.要使得保鮮時間不少于15小時，則儲存溫度不低于30℃D.在零下2℃的保鮮時間將超過150小時【答案】AB【解析】因為該食品在0℃的保鮮時間是120小時，在20℃的保鮮時間是30小時，易得是減函數(shù)，結合復合函數(shù)的單調性可知，又，可知，所以正確；又，即，故，，則，故正確；若，則，結合，不等式化為，即，又，所以，故錯誤；當時，，故錯誤；故選：12.在三棱錐中，平面，，是底面上（含邊界）的一個動點，是三棱錐的外接球表面上的一個動點，則（）A.當在線段上時，B.的最大值為4C.當平面時，點的軌跡長度為D.存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為【答案】ACD【解析】對于A：由已知，即，又平面，且平面，所以，又面，，所以面，又面，所以，A正確；對于B：設三棱錐的外接球半徑為，將三棱錐補成正方體，如圖：三棱錐的外接球即為正方體的外接球，則，則的最大值為外接球的直徑，即，B錯誤；對于C：當平面時，點的軌跡為過點且與面平行的平面與外接球的交線，產生的軌跡是一個圓，設其半徑為設點到面的距離為，因為，所以，解得，所以，所以點的軌跡長度為，C正確；對于D：取線段的中點，連接，在正方體中，明顯有面，即點到面距離為線段的長，且，設平面與平面的交線為，平面與平面的夾角為，過做交與，連接，明顯有，，，面，所以面，則為平面與平面夾角，則，又由圖象可得，所以，所以，所以，又，所以存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為.故選：ACD.第Ⅱ卷非選擇題三、填空題13.二項式的展開式中的系數(shù)為15，則等于______．【答案】6【解析】根據(jù)題意，展開式的通項為，令，則故答案為6．14.若正四棱臺上、下底邊長分別為2、4，側面積為，則該棱臺體積為__________.【答案】【解析】由題意，正四棱臺上、下底面的邊長分別為，可得上、下底面面積為，如圖所示，取上、下底面正方形的中心分別為，再取分別為的中點，分別連接，過點作，因為該正四棱臺的側面積為，易得為等腰梯形的高，所以，解得，在中，可得，則該正四棱臺的高為，所以該棱臺的體積為.故答案為：.15.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有三個零點，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】因為，，則，又因為函數(shù)在區(qū)間上恰有三個零點，則，解得，所以的取值范圍為.故答案為：.16.從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經過橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點；從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點．如圖①，一個光學裝置由有公共焦點，的橢圓C與雙曲線S構成，現(xiàn)一光線從左焦點發(fā)出，依次經S與C反射，又回到了點，歷時秒；若將裝置中的S去掉，如圖②，此光線從點發(fā)出，經C兩次反射后又回到了點，歷時秒．若C與S的離心率之比為，則______．【答案】6【解析】在圖①中，由橢圓的定義得：，由雙曲線的定義得，兩式相減得，所以的周長為，在圖②中，的周長為，因為光速相同，因為C與S的離心率之比為，即，所以.故答案為：6.四、解答題17.內角、、所對的邊分別為、、，，．（1）求角的大小；（2）為的重心，的延長線交于點，且，求的面積．解：（1）在中，因為，由正弦定理可得,，，即，所以，，，故，即.（2）因為為的重心，的延長線交于點，且，所以點為中點，且，在中，，，即，在和中，,化簡得，所以，故，所以的面積為．18.記等差數(shù)列的前項和為，首項為，已知，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）依題意，設等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，即，解得，所以.（2）由（1）得，設數(shù)列的前項和為，則，則②，兩式相減，得，故.19.如圖，在邊長為4的正三角形中，、分別為邊、的中點，將沿翻折至，得四棱錐，設為的中點.（1）證明：平面；（2）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：取的中點Q，連接,則有，且，又、分別為邊、的中點，則，且，故，且，則四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，故平面．.（2）解：取中點O，中點G，連接，在中，易得，所以，則，又平面平面，且交線為，平面，所以平面，則兩兩垂直，故以O為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，易得，則，，，，由為中點，故，則，，設平面的一個法向量，則，即，取，則，故，易得平面的一個法向量，設平面與平面的夾角為，，則，所以直線與平面BFP所成的角的正弦值為．20.《國家學生體質健康標準》是我國對學生體質健康方面的基本要求，是綜合評價學生綜合素質的重要依據(jù).為促進學生積極參加體育鍛煉，養(yǎng)成良好的鍛煉習慣，提高體質健康水平，某學校從全校學生中隨機抽取200名學生進行“是否喜歡體育鍛煉”的問卷調查.獲得如下信息：①男生所占比例為；②不喜歡體育鍛煉的學生所占比例為；③喜歡體育鍛煉的男生比喜歡體育鍛煉的女生多50人.（1）完成列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析喜歡體育鍛煉與性別是否有關聯(lián)？性別體育鍛煉合計喜歡不喜歡男女合計（2）（?。倪@200名學生中采用按比例分配的分層隨機抽樣方法抽取20人，再從這20人中隨機抽取3人.記事件“至少有2名男生”、“至少有2名喜歡體育鍛煉的男生”、“至多有1名喜歡體育鍛煉的女生”.請計算和的值.（ⅱ）對于隨機事件，，，試分析與的大小關系，并給予證明參考公式及數(shù)據(jù)：，.0.100.050.010