2024屆天津市五所重點(diǎn)校高三上學(xué)期期末質(zhì)量聯(lián)合測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市五所重點(diǎn)校2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量聯(lián)合測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共9小題，每題5分，共45分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，解得，因?yàn)槿?，所以，所以故選：D2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，得，必有，而當(dāng)時(shí)，可以是負(fù)數(shù)，如成立，卻有，所以“”是“”充分不必要條件.故選：A.3.中國(guó)茶文化博大精深、茶水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關(guān)，某數(shù)學(xué)建模小組建立了茶水冷卻時(shí)間和茶水溫度的一組數(shù)據(jù)，經(jīng)過分析，提出了四種回歸模型，①②③④四種模型的殘差平方和的值分別是．則擬合效果最好的模型是（）A.模型① B.模型② C.模型③ D.模型④【答案】B【解析】對(duì)于回歸模型，殘差平方和越小，回歸模型的擬合效果越好，故擬合效果最好的模型是模型②.故選：B.4.已知，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知，，由在R上單調(diào)遞增得，而在上單調(diào)遞增，所以，綜上.故選：B5.某廣場(chǎng)設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的.如圖所示，已知正方體邊長(zhǎng)為6，則該石凳的體積為（）A.180 B.36 C.72 D.216【答案】A【解析】根據(jù)題意可知該石凳的體積為.故選：A6.如圖為函數(shù)的大致圖象，其解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)A，因?yàn)?，與圖象不符，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，這與圖象不符，故B錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，，所以此時(shí)無零點(diǎn)，與圖象不符，故D錯(cuò)誤.故選：C.7.已知，，，，則（）A.2 B.5 C.10 D.20【答案】D【解析】∵，∴，即，由基本不等式可知，又因?yàn)?，所以，即滿足基本不等式取等條件，即，故選：D.8.已知函數(shù)，其圖象相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，且直線是其一條對(duì)稱軸，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象【答案】C【解析】對(duì)于A，由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，A錯(cuò)誤；，，因?yàn)橹本€是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，則，得，因?yàn)?，則，所以，.對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，B錯(cuò)；對(duì)C，，故點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，C對(duì)；對(duì)D，由題意可知，，不為奇函數(shù)，D錯(cuò).故選：C.9.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)雙曲線焦距為，則F1-c,0、，不妨設(shè)漸近線的方程為，如圖：因?yàn)橹本€與直線垂直，則直線的方程為，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，所以，，因?yàn)椋?，又，故，所以，，整理可得，所以，又，所以，故該雙曲線的漸近線方程為.故選：D.二、填空題（本題6小題，每題5分，共30分）10.設(shè)，則的共軛復(fù)數(shù)為_________．【答案】【解析】因故.故答案為：.11.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______．（用數(shù)字作答）【答案】84【解析】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為：，令，解得，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：8412.已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若以為圓心，為半徑的圓與直線相切，則拋物線的方程為_________．【答案】【解析】由題意知拋物線：的焦點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以：，又因?yàn)椋?，解得：，則拋物線的方程為：.故答案為：.13.學(xué)校迎元旦文藝演出，邀選出小品、相聲、獨(dú)唱、魔術(shù)、合唱、朗誦等六個(gè)匯報(bào)演出節(jié)目，如果隨機(jī)安排節(jié)目出場(chǎng)，則朗誦第一個(gè)出場(chǎng)的概率為_________；若已知朗誦第一個(gè)出場(chǎng)，則小品是第二個(gè)出場(chǎng)的概率為_________．【答案】；【解析】因?yàn)橐还灿辛鶄€(gè)節(jié)目，朗誦是第一個(gè)，所以概率為;

因?yàn)槔收b已經(jīng)確定是第一個(gè)出場(chǎng)，所以小品在剩下的五個(gè)節(jié)目中首先出場(chǎng)也就是作為整體第二個(gè)出場(chǎng)的概率為.故答案為：；.14.在梯形中，分別為線段和線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍為_________．【答案】【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，過點(diǎn)且垂直于直線的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A-2,0、、、，則，由題意可得，解得，，所以，，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，則.因此，的取值范圍是.故答案：.15.已知函數(shù)，且，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上最多一個(gè)零點(diǎn)，不符合要求，當(dāng)時(shí)，，由，得最多兩個(gè)實(shí)根，又在上遞減，且當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上有三個(gè)不同的零點(diǎn)，因此在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由，解得，即，于是，當(dāng)，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，要使函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，必有，此時(shí)在上遞減，在遞增，因此，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：三、解答題（本題5小題，共75分．將解題過程寫在答題紙上）16.在中，角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，周長(zhǎng)為9，且滿足．（1）求的值；（2）若．（i）求的值；（ii）求的值．解：（1）在中，由結(jié)合正弦定理可得：得：，而，解得.（2）（i）由（1）知且解得：，則，（ii）由，，則，，則.17.在直三棱柱中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求異面直線所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求直線到平面的距離．解：（1）以為軸建立按直角坐標(biāo)系，則．所以，所以．故異面直線和所成角的余弦值為．.（2），，設(shè)平面的法向量為．則即，取，得設(shè)直線與平面所成角為，則．所以直線與平面所成角的正弦值為．（3）連接交于點(diǎn)，連接，易得，又平面，平面，所以平面．故點(diǎn)到平面距離即為所求直線到平面的距離．記點(diǎn)到平面的距離為，又則．所以直線到平面的距離為．18.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，已知橢圓過點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合），直線交軸于點(diǎn)，且滿足，若，求直線的方程．解：（1）由題意得：，解之得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方程為；（2）由（1）知：，如圖，設(shè)，由題意知直線的斜率不等于0，設(shè)直線的方程為：，令，得：，由，得：，因?yàn)?，所以：，由題意得：，又因?yàn)?，由，得：，易知同?hào)，則，得：，故直線方程為或.19.已知公差為的等差數(shù)列和公比的等比數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求；（3）若在數(shù)列任意相鄰兩項(xiàng)之間插入一個(gè)實(shí)數(shù)，從而構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．若實(shí)數(shù)滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）由已知，得，解得，；（2）記，所以，，作差得：，；（3）由（1）得，則，所以.20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）令．（i）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（ii）若是的一個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：．解：（1），所以，從而在處的切線方程為，即；（2）（i），，①當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，不存在極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，令，顯然函數(shù)在是增函數(shù)，又因?yàn)?，必存在，使，為減函數(shù)；為增函數(shù)，所以是的極小值點(diǎn)，綜上，當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)；（ii）證明：由，即，，因?yàn)?，所以，令，則在上是減函數(shù)，且，由，得，所以，設(shè)，則所以為增函數(shù)，即，即，所以，所以，因?yàn)?，所以，相乘得，所?天津市五所重點(diǎn)校2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量聯(lián)合測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共9小題，每題5分，共45分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，解得，因?yàn)槿?，所以，所以故選：D2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，得，必有，而當(dāng)時(shí)，可以是負(fù)數(shù)，如成立，卻有，所以“”是“”充分不必要條件.故選：A.3.中國(guó)茶文化博大精深、茶水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關(guān)，某數(shù)學(xué)建模小組建立了茶水冷卻時(shí)間和茶水溫度的一組數(shù)據(jù)，經(jīng)過分析，提出了四種回歸模型，①②③④四種模型的殘差平方和的值分別是．則擬合效果最好的模型是（）A.模型① B.模型② C.模型③ D.模型④【答案】B【解析】對(duì)于回歸模型，殘差平方和越小，回歸模型的擬合效果越好，故擬合效果最好的模型是模型②.故選：B.4.已知，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知，，由在R上單調(diào)遞增得，而在上單調(diào)遞增，所以，綜上.故選：B5.某廣場(chǎng)設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的.如圖所示，已知正方體邊長(zhǎng)為6，則該石凳的體積為（）A.180 B.36 C.72 D.216【答案】A【解析】根據(jù)題意可知該石凳的體積為.故選：A6.如圖為函數(shù)的大致圖象，其解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)A，因?yàn)?，與圖象不符，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，這與圖象不符，故B錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，，所以此時(shí)無零點(diǎn)，與圖象不符，故D錯(cuò)誤.故選：C.7.已知，，，，則（）A.2 B.5 C.10 D.20【答案】D【解析】∵，∴，即，由基本不等式可知，又因?yàn)?，所以，即滿足基本不等式取等條件，即，故選：D.8.已知函數(shù)，其圖象相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，且直線是其一條對(duì)稱軸，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象【答案】C【解析】對(duì)于A，由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，A錯(cuò)誤；，，因?yàn)橹本€是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，則，得，因?yàn)?，則，所以，.對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，B錯(cuò)；對(duì)C，，故點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，C對(duì)；對(duì)D，由題意可知，，不為奇函數(shù)，D錯(cuò).故選：C.9.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)雙曲線焦距為，則F1-c,0、，不妨設(shè)漸近線的方程為，如圖：因?yàn)橹本€與直線垂直，則直線的方程為，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所以，又，故，所以，，整理可得，所以，又，所以，故該雙曲線的漸近線方程為.故選：D.二、填空題（本題6小題，每題5分，共30分）10.設(shè)，則的共軛復(fù)數(shù)為_________．【答案】【解析】因故.故答案為：.11.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______．（用數(shù)字作答）【答案】84【解析】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為：，令，解得，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：8412.已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若以為圓心，為半徑的圓與直線相切，則拋物線的方程為_________．【答案】【解析】由題意知拋物線：的焦點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以：，又因?yàn)椋?，解得：，則拋物線的方程為：.故答案為：.13.學(xué)校迎元旦文藝演出，邀選出小品、相聲、獨(dú)唱、魔術(shù)、合唱、朗誦等六個(gè)匯報(bào)演出節(jié)目，如果隨機(jī)安排節(jié)目出場(chǎng)，則朗誦第一個(gè)出場(chǎng)的概率為_________；若已知朗誦第一個(gè)出場(chǎng)，則小品是第二個(gè)出場(chǎng)的概率為_________．【答案】；【解析】因?yàn)橐还灿辛鶄€(gè)節(jié)目，朗誦是第一個(gè)，所以概率為;

因?yàn)槔收b已經(jīng)確定是第一個(gè)出場(chǎng)，所以小品在剩下的五個(gè)節(jié)目中首先出場(chǎng)也就是作為整體第二個(gè)出場(chǎng)的概率為.故答案為：；.14.在梯形中，分別為線段和線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍為_________．【答案】【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，過點(diǎn)且垂直于直線的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A-2,0、、、，則，由題意可得，解得，，所以，，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，則.因此，的取值范圍是.故答案：.15.已知函數(shù)，且，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上最多一個(gè)零點(diǎn)，不符合要求，當(dāng)時(shí)，，由，得最多兩個(gè)實(shí)根，又在上遞減，且當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上有三個(gè)不同的零點(diǎn)，因此在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由，解得，即，于是，當(dāng)，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，要使函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，必有，此時(shí)在上遞減，在遞增，因此，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：三、解答題（本題5小題，共75分．將解題過程寫在答題紙上）16.在中，角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，周長(zhǎng)為9，且滿足．（1）求的值；（2）若．（i）求的值；（ii）求的值．解：（1）在中，由結(jié)合正弦定理可得：得：，而，解得.（2）（i）由（1）知且解得：，則，（ii）由，，則，，則.17.在直三棱柱中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求異面直線所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求直線到平面的距離．解：（1）以為軸建立按直角坐標(biāo)系，則．所以，所以．故異面直線和所成角的余弦值為．.（2），，設(shè)平面的法向量為．則即，取，得設(shè)直線與平面所成角為，則．所以直線與平面所成角的正弦值為．（3）連接交于點(diǎn)，連接，易得，又平面，平面，所以平面．