2008年高考數(shù)學(xué)試卷（文）（廣東）（解析卷）

第頁|共頁2008年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1．（5分）（2008?廣東）第二十九屆夏季奧林匹克運動會將于2008年8月8日在北京舉行，若集合A={參加北京奧運會比賽的運動員}，集合B={參加北京奧運會比賽的男運動員}．集合C={參加北京奧運會比賽的女運動員}，則下列關(guān)系正確的是（）A．A?B B．B?C C．A∩B=C D．B∪C=A2．（5分）（2008?廣東）已知0＜a＜2，復(fù)數(shù)z的實部為a，虛部為1，則|z|的取值范圍是（）A．（1，5） B．（1，3） C． D．3．（5分）（2008?廣東）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，則=（）A．（﹣5，﹣10） B．（﹣4，﹣8） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣2，﹣4）4．（5分）（2008?廣東）記等差數(shù)列的前n項和為Sn，若S2=4，S4=20，則該數(shù)列的公差d=（）A．2 B．3 C．6 D．75．（5分）（2008?廣東）已知函數(shù)f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，則f（x）是（）A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為π的偶函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)6．（5分）（2008?廣東）經(jīng)過圓x2+2x+y2=0的圓心C，且與直線x+y=0垂直的直線方程是（）A．x+y+1=0 B．x+y﹣1=0 C．x﹣y+1=0 D．x﹣y﹣1=07．（5分）（2008?廣東）將正三棱柱截去三個角（如圖1所示A，B，C分別是△GHI三邊的中點）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（）A． B． C． D．8．（5分）（2008?廣東）命題“若函數(shù)f（x）=logax（a＞0，a≠1）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則loga2＜0”的逆否命題是（）A．若loga2≥0，則函數(shù)f（x）=logax（a＞0，a≠1）在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)B．若loga2＜0，則函數(shù)f（x）=logax（a＞0，a≠1）在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)C．若loga2≥0，則函數(shù)f（x）=logax（a＞0，a≠1）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)D．若loga2＜0，則函數(shù)f（x）=logax（a＞0，a≠1）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)9．（5分）（2008?廣東）設(shè)a∈R，若函數(shù)y=ex+ax，x∈R，有大于零的極值點，則（）A．a(chǎn)＜﹣1 B．a(chǎn)＞﹣1 C． D．10．（5分）（2008?廣東）設(shè)a，b∈R，若a﹣|b|＞0，則下列不等式中正確的是（）A．b﹣a＞0 B．a(chǎn)3+b3＜0 C．a(chǎn)2﹣b2＜0 D．b+a＞0二、填空題（共5小題，11--13為必做題，14--15題選做1題，每小題5分，滿分20分）11．（5分）（2008?廣東）為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量．產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95）由此得到頻率分布直方圖如圖，則這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在[55，75）的人數(shù)是．12．（5分）（2008?廣東）若變量x，y滿足，則z=3x+2y的最大值是．13．（5分）（2008?廣東）閱讀程序框圖，若輸入m=4，n=3，則輸出a=，i=．（注：框圖中的賦值符號“=”，也可以寫成“←”或“：=”）14．（5分）（2008?廣東）已知曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程分別為ρcosθ=3，，則曲線C1與C2交點的極坐標(biāo)為．15．（2008?廣東）已知PA是圓O的切線，切點為A，PA=2．AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點B，PB=1，則圓O的半徑R=．三、解答題（共6小題，滿分80分）16．（13分）（2008?廣東）已知函數(shù)f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其圖象經(jīng)過點．（1）求f（x）的解析式；（2）已知，且，，求f（α﹣β）的值．17．（12分）（2008?廣東）某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房．經(jīng)測算，如果將樓房建為x（x≥10）層，則每平方米的平均建筑費用為560+48x（單位：元）．為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？（注：平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用=）18．（14分）（2008?廣東）如圖所示，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形，其中BD是圓的直徑，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP～△BAD．（1）求線段PD的長；（2）若，求三棱錐P﹣ABC的體積．19．（13分）（2008?廣東）某中學(xué)共有學(xué)生2000人，各年級男，女生人數(shù)如下表：一年級二年級三年級女生373xy男生377370z已知在全校學(xué)生中隨機抽取1名，抽到高二年級女生的概率是0.19．（1）現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問應(yīng)在高三年級抽取多少名？（2）已知y≥245，z≥245，求高三年級中女生比男生多的概率．20．（14分）（2008?廣東）設(shè)b＞0，橢圓方程為，拋物線方程為x2=8（y﹣b）．如圖所示，過點F（0，b+2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G，已知拋物線在點G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點F1．（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；（2）設(shè)A，B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標(biāo)）．21．（14分）（2008?廣東）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an=（an﹣1+2an﹣2）（n=3，4，…）．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1=1，bn（n=2，3，…）是非零整數(shù)，且對任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k，都有﹣1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1．（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；（2）記cn=nanbn（n=1，2，…），求數(shù)列{cn}的前n項和Sn．1．已知，復(fù)數(shù)的實部為，虛部為1，則的取值范圍是（C）A． B． C． D．【解析】，而，即，2．記等差數(shù)列的前項和為，若，，則（D）A．16 B．24 C．36 D．48【解析】，，故一年級二年級三年級女生373男生3773703．某校共有學(xué)生2000名，各年級男、女生人數(shù)如表1．已知在全校學(xué)生中隨機抽取1名，抽到二年級女生的概率是0.19．現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取64名學(xué)生，則應(yīng)在三年級抽取的學(xué)生人數(shù)為（C）A．24 B．18 C．16 D．12 表1 【解析】依題意我們知道二年級的女生有380人，那么三年級的學(xué)生的人數(shù)應(yīng)該是，即總體中各個年級的人數(shù)比例為，故在分層抽樣中應(yīng)在三年級抽取的學(xué)生人數(shù)為4．若變量滿足則的最大值是（C）A．90 B．80 C．70 D．40【解析】畫出可行域,利用角點法易得答案C.5．將正三棱柱截去三個角（如圖1所示分別是三邊的中點）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（A）EEFDIAHGBCEFDABC側(cè)視圖1圖2BEA．BEB．BEC．BED．【解析】解題時在圖2的右邊放扇墻(心中有墻),可得答案A.6．已知命題所有有理數(shù)都是實數(shù)，命題正數(shù)的對數(shù)都是負(fù)數(shù)，則下列命題中為真命題的是（D）A． B． C． D．【解析】不難判斷命題為真命題，命題為假命題，從而上述敘述中只有為真命題7．設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點，則（B）A． B． C． D．【解析】，若函數(shù)在上有大于零的極值點，即有正根。當(dāng)有成立時,顯然有,此時，由我們馬上就能得到參數(shù)的范圍為.8．在平行四邊形中，與交于點是線段的中點，的延長線與交于點．若，，則（B）A． B． C． D．【解析】此題屬于中檔題.解題關(guān)鍵是利用平面幾何知識得出,然后利用向量的加減法則易得答案B.二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．（一）必做題（9~12題）9．閱讀圖3的程序框圖，若輸入，，則輸出，開始n整除a?是輸入結(jié)束輸出圖3否（注：框圖中的賦值符號“”開始n整除a?是輸入結(jié)束輸出圖3否【解析】要結(jié)束程序的運算，就必須通過整除的條件運算，而同時也整除，那么的最小值應(yīng)為和的最小公倍數(shù)12，即此時有。10．已知（是正整數(shù)）的展開式中，的系數(shù)小于120，則．【解析】按二項式定理展開的通項為，我們知道的系數(shù)為，即，也即，而是正整數(shù)，故只能取1。11．經(jīng)過圓的圓心，且與直線垂直的直線方程是．【解析】易知點C為，而直線與垂直，我們設(shè)待求的直線的方程為，將點C的坐標(biāo)代入馬上就能求出參數(shù)的值為，故待求的直線的方程為。12．已知函數(shù)，，則的最小正周期是．【解析】,此時可得函數(shù)的最小正周期。二、選做題（13—15題，考生只能從中選做兩題）13．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知曲線的極坐標(biāo)方程分別為，，則曲線與交點的極坐標(biāo)為．【解析】我們通過聯(lián)立解方程組解得,即兩曲線的交點為。14．（不等式選講選做題）已知，若關(guān)于的方程有實根，則的取值范圍是．【解析】方程即,利用絕對值的幾何意義(或零點分段法進行求解)可得實數(shù)的取值范圍為15．（幾何證明選講選做題）已知是圓的切線，切點為，．是圓的直徑，與圓交于點，，則圓的半徑．【解析】依題意，我們知道,由相似三角形的性質(zhì)我們有,即。三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．（本小題滿分13分）已知函數(shù)，的最大值是1，其圖像經(jīng)過點．（1）求的解析式；（2）已知，且，，求的值．【解析】（1）依題意有，則，將點代入得，而，，，故；（2）依題意有，而，，。17．（本小題滿分13分）隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設(shè)1件產(chǎn)品的利潤（單位：萬元）為．（1）求的分布列；（2）求1件產(chǎn)品的平均利潤（即的數(shù)學(xué)期望）；（3）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為，一等品率提高為．如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？【解析】的所有可能取值有6，2，1，-2；，，故的分布列為：621-20.630.250.10.02（2）（3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為依題意，，即，解得所以三等品率最多為18．（本小題滿分14分）設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為．如圖4所示，過點作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為，已知拋物線在點的切線經(jīng)過橢圓的右焦點．（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；（2）設(shè)分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標(biāo)）．【解析】AyxOBGAyxOBGFF1圖4當(dāng)?shù)茫珿點的坐標(biāo)為，，，過點G的切線方程為即，令得，點的坐標(biāo)為，由橢圓方程得點的坐標(biāo)為，即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個交點,以為直角的只有一個，同理以為直角的只有一個。若以為直角，設(shè)點坐標(biāo)為，、兩點的坐標(biāo)分別為和，。關(guān)于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個，因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形。19．（本小題滿分14分）設(shè)，函數(shù)，，，試討論函數(shù)的單調(diào)性．【解析】對于，當(dāng)時，函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；對于，當(dāng)時，函數(shù)在上是減函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。20．（本小題滿分14分）FCPGEAB圖5D如圖5所示，四棱錐的底面是半徑為的圓的內(nèi)接四邊形，其中是圓的直徑，，，垂直底面，，分別是上的點，且，過點作的平行線交于．FCPGEAB圖5D（1）求與平面所成角的正弦值；（2）證明：是直角三角形；（3）當(dāng)時，求的面積．【解析】（1）在中，，而PD垂直底面ABCD，,在中，,即為以為直角的直角三角形。設(shè)點到面的距離為,由有