《電工電子技術(shù)》課件第3章

第3章正弦交流電路3.1正弦交流電的三要素3.2正弦量的相量表示法3.3單一參數(shù)的正弦交流電路3.4多參數(shù)的正弦交流電路3.5串聯(lián)與并聯(lián)諧振3.6交流電路的功率及功率因數(shù)3.7三相電路小結(jié)習(xí)題3.1正弦交流電的三要素

電路中按正弦規(guī)律變化的電壓或電流統(tǒng)稱為正弦量。對(duì)正弦量的描述，可以采用正弦(余弦)函數(shù)，也可以用波形圖等其他方法。正弦量的三要素是正弦量之間進(jìn)行比較和區(qū)分的依據(jù)。

圖3-1所示的一段電路中有正弦電流i，在圖示參考方向下，其數(shù)學(xué)表達(dá)式定義如下:

(3-1)

式中，3個(gè)常數(shù)Im、ω和fi稱為正弦量的三要素。圖3-1一段正弦電流電路正弦量隨時(shí)間變化的圖形稱為正弦波。圖3-2是正弦電流i的波形圖(fi>0)，橫軸可以用時(shí)間t表示，也可以用ωt(rad)表示。圖3-2正弦電流i的波形圖(fi>0)3.1.1振幅

Im稱為正弦量的振幅，它是正弦量所能達(dá)到的最大值，即當(dāng)sin(ωt+fi)=1時(shí)，有

imax=Im

(3-2)

這也是正弦量的極大值。當(dāng)sin(ωt+fi)=－1時(shí)，將有最小值(也是極小值)imin=－Im。imax－imin=2Im

稱為正弦量的峰-峰值。工程中常將周期電流或電壓在一個(gè)周期內(nèi)產(chǎn)生的平均效應(yīng)換算為等效的直流量，以衡量和比較周期電流或電壓的效應(yīng)，這一等效的直流量就稱為周期量的有效值，用相對(duì)應(yīng)的大寫字母表示。例如，周期量i的有效值I定義如下：

(3-3)

式(3-3)表示：周期量的有效值等于其瞬時(shí)值的平方在一個(gè)周期內(nèi)積分的平均值的平方根。因此，有效值又稱為均方根值。式(3-3)的定義是周期量有效值普遍適用的公式。當(dāng)電流i是正弦量時(shí)，可以推出正弦量的有效值與正弦量的振幅之間的特殊關(guān)系。此時(shí)有

由于，代入上式后得

(3-4)所以正弦量的有效值與其最大值之間有的關(guān)系。根據(jù)這一關(guān)系常將正弦量i改寫成如下形式:

(3-5)

式中，I、ω、fi也可用來表示正弦量的三要素。正弦量的有效值與正弦量的頻率和初相無關(guān)。工程中使用的交流電氣設(shè)備銘牌上標(biāo)出的額定電流、電壓的數(shù)值，以及交流電壓表、電流表表面上標(biāo)出的數(shù)字等都是有效值。

【例3-1】振幅為2.82A的正弦電流通過500Ω的電阻，試求該電阻消耗的功率P。

解電流的有效值為

I=0.707Im=0.707×2.82=2A

根據(jù)有效值的定義，振幅為2.82A的正弦電流與2A的直流電流的熱效應(yīng)相等，故

P=I2R=22×500=2000W=2kW3.1.2頻率與周期

隨時(shí)間變化的角度ωt+fi稱為正弦量的相位，簡(jiǎn)稱相角。ω稱為正弦量的角頻率，它是正弦量的相位隨時(shí)間變化的角速度，即

(3-6)

單位為rad/s(弧度/秒)。它與正弦量的周期T和頻率f之間的關(guān)系為

(3-7)

頻率f的單位為1/s(1/秒)，稱為Hz(赫茲，簡(jiǎn)稱赫)。我國工業(yè)化生產(chǎn)的電能為正弦電壓源，其頻率為50Hz。工程中還常以頻率區(qū)分電路，如低頻電路、高頻電路、甚高頻電路等。3.1.3初相位與相位差

fi是正弦量在t=0時(shí)刻的相位，稱為正弦量的初相位(角)，簡(jiǎn)稱初相，即

(ωt+fi)|t=0=fi

(3-8)

初相的單位用弧度或度表示，通常在主值范圍內(nèi)取值，即

|fi|≤180°。初相與計(jì)時(shí)零點(diǎn)的選擇有關(guān)。對(duì)任一正弦量，

初相是允許任意指定的，但對(duì)于一個(gè)電路中許多相關(guān)的正

弦量，它們只能相對(duì)于一個(gè)共同的計(jì)時(shí)零點(diǎn)確定各自的

相位。電路中常引用“相位差”的概念描述兩個(gè)同頻正弦量之間的相位關(guān)系。例如，設(shè)兩個(gè)同頻正弦電流i1、電壓u2分別為兩個(gè)同頻正弦量的相位差等于它們的相位相減的結(jié)果。例如，設(shè)j12表示電流i1與電壓u2之間的相位差，則有

相位差也是在主值范圍內(nèi)取值。上述結(jié)果表明：同頻正弦量的相位差等于它們的初相之差，為一個(gè)與時(shí)間無關(guān)的常數(shù)。電路中常采用“超前”和“滯后”等概念來說明兩個(gè)同頻正弦量相位比較的結(jié)果。當(dāng)j12>0時(shí)，稱i1超前u2；當(dāng)j12<0時(shí)，稱i1滯后u2；當(dāng)

j12=0時(shí)，稱i1和u2同相；當(dāng)|j12|=π/2時(shí)，稱i1與u2正交；當(dāng)|j12|=π時(shí)，稱i1、u2彼此反相。

相位差可以通過觀察波形來確定。在同一個(gè)周期內(nèi)兩個(gè)波形與橫坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)(正斜率過零點(diǎn)或負(fù)斜率過零點(diǎn))之間的坐標(biāo)值即為兩者的相位差，先到達(dá)零點(diǎn)的為超前波。圖3-3中為i1滯后u2。相位差與計(jì)時(shí)零點(diǎn)的選取、改變無關(guān)。圖3-3同頻正弦量的相位差3.2正弦量的相量表示法

3.2.1復(fù)數(shù)

1．復(fù)數(shù)的四種表示形式

1)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式

復(fù)數(shù)的代數(shù)形式為

A=a+jb(3-9)

式(3-9)可用來表示一個(gè)復(fù)數(shù)，a稱為復(fù)數(shù)A的實(shí)部，b稱為復(fù)數(shù)A的虛部，j=是復(fù)數(shù)中的虛數(shù)單位。每個(gè)復(fù)數(shù)A=a+jb在復(fù)平面上都有一點(diǎn)A(a，b)與之對(duì)應(yīng)，如圖3-4所示。圖3-4復(fù)平面圖中，橫軸表示復(fù)數(shù)的實(shí)部，稱為實(shí)軸，以+1為單位；縱軸表示復(fù)數(shù)的虛部，稱為虛軸，以+j為單位。在該復(fù)平面上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)等于復(fù)數(shù)的實(shí)部a，縱坐標(biāo)等于復(fù)數(shù)的虛部b。

圖3-4中，由原點(diǎn)指向點(diǎn)A的向量OA也與復(fù)數(shù)A對(duì)應(yīng)，其實(shí)部為a，虛部為b。

是復(fù)數(shù)的大小，稱為復(fù)數(shù)的模；稱為輻角，是復(fù)數(shù)與實(shí)軸正方向間的夾角。

2)復(fù)數(shù)的三角形式

由a=rcosy，b=rsiny，得

(3-10)

3)復(fù)數(shù)的指數(shù)形式

根據(jù)歐拉公式:

則

(3-11)

4)復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式

可將式(3-10)表示的復(fù)數(shù)寫成極坐標(biāo)形式:

A=r∠y(3-12)

以上關(guān)于復(fù)數(shù)的四種表示方法可以互相轉(zhuǎn)換使用。

【例3-2】試將下列復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)式轉(zhuǎn)換為代數(shù)式：

(1)A=9.5∠73°；

(2)A=13∠112.6°。

解將極坐標(biāo)式轉(zhuǎn)換為代數(shù)式，有:

(1)A=9.5∠73°=9.5cos73°+j9.5sin73°=2.78+j9.1

(2)A=13∠112.6°=13cos112.6°+j13sin112.6°=-5+j12【例3-3】試將下列復(fù)數(shù)的代數(shù)式轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)式：

(1)A=5+j5；

(2)A=4-j3。

解將代數(shù)式轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)式，有:

2．復(fù)數(shù)的運(yùn)算

1)加減運(yùn)算

復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算用復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)式比較方便，運(yùn)算時(shí)實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減。例如，有兩個(gè)復(fù)數(shù):

A=a1+jb1,

B=a2+jb2

則

A±B=(a1±a2)+j(b1±b2)

(3-13)

即當(dāng)幾個(gè)復(fù)數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，其和(差)的實(shí)部等于幾個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相加(減)，和(差)的虛部等于幾個(gè)復(fù)數(shù)的虛部相加減)，結(jié)果仍為復(fù)數(shù)。

2)乘除運(yùn)算

復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算用復(fù)數(shù)的指數(shù)式或極坐標(biāo)式比較方便。相乘運(yùn)算時(shí)，乘積的模等于各復(fù)數(shù)的模相乘之積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)輻角相加之和；相除運(yùn)算時(shí)，商的模等于各復(fù)數(shù)的模相除之商，商的輻角等于各復(fù)數(shù)輻角相減之差。例如，有兩個(gè)復(fù)數(shù):

則

(3-14)

(3-15)

【例3-4】已知A=20∠-60°，B=8.66+j5，求AB、

和A+B。

解

A的代數(shù)形式為A=10-j17.32，B的極坐標(biāo)形式為B=10∠30°。3.2.2正弦交流量的相量表示法

一個(gè)正弦量由三要素來確定，分別是頻率、幅值和初相。因?yàn)樵谕粋€(gè)正弦交流電路中，電動(dòng)勢(shì)、電壓和電流均為同頻率的正弦量，即頻率是已知或特定的，可以不必考慮，所以只需確定正弦量的幅值(或有效值)和初相位就可表示正弦量。

一個(gè)復(fù)數(shù)的四種表達(dá)方式均要用兩個(gè)量來描述，不妨用它的模代表正弦量的幅值或有效值，用輻角代表正弦量的初相，于是得到一個(gè)表示正弦量的復(fù)數(shù)，這就是正弦量的相量表示法。例如，正弦電流：

其振幅相量為

(3-16)

其中，Im為正弦電流的幅值，輻角為該正弦電流的初相。同樣地，也有電壓振幅相量。相量只是一個(gè)復(fù)數(shù)，但它有特殊的意義，它代表一個(gè)正弦波。為了與一般的復(fù)數(shù)有所區(qū)別，通常在這個(gè)相量的字母上端加一點(diǎn)，如上所示。在正弦穩(wěn)態(tài)電路中也能用有效值相量表示正弦量。正弦電流的有效值I與振幅Im之間有關(guān)系，因此

(3-17)

式(3-17)中，稱為電流有效值相量。在實(shí)際應(yīng)用中，正弦量更多地用有效值表示。以下凡無下標(biāo)“m”的相量均指有效值相量。

正弦量可以用相量表示，但必須注意，相量只是表示正弦量的一種數(shù)學(xué)工具，兩者僅僅是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，相量并不等于正弦量。相量是復(fù)數(shù)，可采用復(fù)數(shù)的各種數(shù)學(xué)表達(dá)形式和運(yùn)算規(guī)則。對(duì)于復(fù)數(shù)的四種表示形式，相量有與之對(duì)應(yīng)的四種表示形式。例如，對(duì)應(yīng)于，有

(3-18)

其中，

【例3-5】若i=141.4sin(314t+30°)A，

u=311.1sin(314t－60°)V，試寫出代表這些正弦電流的有效值相量。

解代表i的有效值相量是，代表u的有效值相量是

下面研究相量和正弦量之間的內(nèi)在聯(lián)系。

正弦電流。由復(fù)數(shù)的指數(shù)形式和三角形式有從上式可以看出，正弦電流i是復(fù)函數(shù)的虛部，引用復(fù)數(shù)取虛部運(yùn)算“Im［］”，則正弦電流i可表示為

(3-19)

因此，正弦交流量就是相應(yīng)的相量乘以因子后取其虛部而得的結(jié)果。所以，要從電流的有效值相量求出它的瞬時(shí)值I，只需把I值和yi代入式(3-19)中即可。式(3-19)中，復(fù)指數(shù)函數(shù)ejωt是模為1、輻角為ωt的復(fù)數(shù)，它在復(fù)平面上可用一個(gè)以恒定角頻率ω按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的單位向量表示，通常稱為旋轉(zhuǎn)因子。因此，表示一個(gè)在復(fù)平面中以恒定角頻率ω按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的長(zhǎng)度為

的相量，故稱為旋轉(zhuǎn)相量。由此可知，正弦量在任何時(shí)刻的瞬時(shí)值等于對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)相量同一時(shí)刻在虛軸上的投影，如圖3-5所示。圖3-5復(fù)平面中的旋轉(zhuǎn)相量

【例3-6】已知同頻正弦電壓相量為

頻率f=50Hz。試寫出它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。

解由題可得

將題中所給出的相量轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)形式:因此得3.2.3相量圖

為了能更明確地表示相量的概念，可以把幾個(gè)同頻率正弦量的相量表示在同一復(fù)平面上。這種在復(fù)平面上按照各個(gè)正弦量的大小和相位關(guān)系用初始位置的有向線段畫出的若干個(gè)相量圖形，叫做相量圖，如圖3-6所示。圖3-6相量圖

【例3-7】已知u1=141sin(ωt+60°)V，

u2=70.7sin(ωt－45°)V。

(1)求相應(yīng)的相量；

(2)求兩電壓之和的瞬時(shí)值u(t)；

(3)畫出相量圖。

解

(1)u1、u2對(duì)應(yīng)的有效值相量分別為

(2)兩電壓頻率相同，可以進(jìn)行加減運(yùn)算。兩電壓對(duì)應(yīng)相量的和為

由此求得電壓和對(duì)應(yīng)的有效值相量。其對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)值表達(dá)式應(yīng)為

(3)按一定比例畫出、、的相量圖，如圖3-7所示。由于u1的初相位ψ1=60°，故位于正實(shí)軸逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)60°的位置。u2的初相位ψ2=－45°，故位于正實(shí)軸順時(shí)針方向轉(zhuǎn)45°的位置。長(zhǎng)度分別等于有效值U1和U2，總電壓相量位于和組成的平行四邊形的對(duì)角線上。圖3-7例3-7圖

3.3單一參數(shù)的正弦交流電路

3.3.1電阻元件的交流電路

若電路中電阻參數(shù)的作用遠(yuǎn)大于其他元件參數(shù)，則此電路稱為純電阻交流電路，如實(shí)際生活中含有白熾燈、電烙鐵等的電路。純電阻交流電路可用如圖3-8(a)所示的電路來表示。圖3-8電阻元件的交流電路選擇電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向，根據(jù)歐姆定律，于是有u=Ri。選擇電流為參考量，設(shè)流過電阻的電流為

i=Imsin(ωt)

于是

其中，Um=RIm，還可以寫成:

(3-20)下面直接表示出電壓相量、電流相量之間的關(guān)系，便于今后分析一般的正弦電路。設(shè)電壓、電流有效值相量分別為

其比值為

(3-21)

將式(3-20)代入，得

(3-22)

式(3-22)為歐姆定律的相量表示。電壓和電流的相量圖如圖

3-8(c)所示。下面分析電路中的功率。

電路在某一瞬間吸收或放出的功率稱為瞬時(shí)功率，為該瞬間電壓與電流的乘積，用小寫字母pR表示。設(shè)

則根據(jù)定義，瞬時(shí)功率為

(3-23)

pR的變化曲線如圖3-8(d)所示。從圖中可看出，瞬時(shí)功率始終為正值：當(dāng)u、i同處于正半周期、為正值時(shí)，瞬時(shí)功率為正數(shù)；當(dāng)u、i同處于負(fù)半周期、為負(fù)值時(shí)，瞬時(shí)功率也為正數(shù)。這表明，電阻是一種耗能元件，始終從電源吸收電能，并將能量轉(zhuǎn)化為熱能，是一種不可逆的能量轉(zhuǎn)換。工程上通常用瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值來表示電路所消耗的功率，稱為平均功率，用大寫字母PR表示。

電阻電路的平均功率為

(3-24)

式(3-24)與直流電路的公式在形式上是一樣的。通常各交流電器上的功率都是指其平均功率。由于它是電路實(shí)際消耗的功率，因此又稱為有功功率。

【例3-8】把一個(gè)100Ω的電阻元件接到頻率為100Hz、電壓有效值為10V的正弦交流電源上，電流是多少？如果保持電壓值不變，而電源頻率改變?yōu)?00Hz，這時(shí)電流將變?yōu)槎嗌伲?/p>

解因?yàn)殡娮枧c頻率無關(guān)，所以電壓有效值保持不變，電流有效值不變，即

【例3-9】已知電爐絲的電阻為5Ω，電源電壓為

ω=314rad/s，求電流i及當(dāng)ωt=15°時(shí)的瞬時(shí)功率pR及平均功率PR。

解

3.3.2電感元件的交流電路

若電路中電感參數(shù)的作用遠(yuǎn)大于其他元件參數(shù)，則此電路稱為純電感交流電路。對(duì)于一個(gè)將漆包線密繞在用非鐵磁性材料做成的骨架上所構(gòu)成的線性電感線圈，可以忽略導(dǎo)線的電阻及電容，成為一個(gè)線性的純電感元件。通常用如圖

3-9(a)所示的電路來表示純電感交流電路。圖3-9電感元件的交流電路電感線圈中有正弦電流通過時(shí)，其線圈內(nèi)外會(huì)建立磁場(chǎng)并產(chǎn)生磁通Φ。設(shè)線圈匝數(shù)為N，電流i通過線圈所產(chǎn)生的磁通的總和為

Ψ=NΦ

式中，Ψ稱為磁鏈。定義

式中，L是一個(gè)與Ψ、i及t無關(guān)的正值常數(shù)，稱為線圈的自感系數(shù)，也稱電感。國際單位制中，電感的單位是亨利，簡(jiǎn)稱亨，符號(hào)為H，也可以用毫亨，符號(hào)為mH。它們的關(guān)系是:

1mH=10－3H

在圖3-9(a)所示的電感中，電感端電壓u和電流i在關(guān)聯(lián)參考方向下，由電磁感應(yīng)定律可知，電路產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為

于是在線圈兩端出現(xiàn)電壓uL。規(guī)定eL、uL和i的參考方向相同。根據(jù)基爾霍夫定律，線圈的端電壓為

(3-25)

設(shè)電感中的電流為i=Imsin(ωt)，選擇電壓、電流的關(guān)聯(lián)參考方向，根據(jù)電感上電壓、電流的關(guān)系式，可得電感電壓為其中，Um=ωLIm，ψu(yù)=90°，上式還可以寫成

(3-26)

由此可見，在電感元件的交流電路中，電壓和電流是兩個(gè)同頻率的正弦量；電壓、電流的幅值(及有效值)之比為ωL，設(shè)XL=ωL，稱為感抗；在關(guān)聯(lián)參考方向下，電壓超前電流90°，或者說電流滯后電壓90°。電壓、電流波形如圖

3-9(b)所示。在式(3-26)中，當(dāng)電壓一定時(shí)，XL越大，則電流I越小，可見感抗對(duì)電流有阻礙作用。ω的單位是rad/s，L的單位是H，則感抗的單位是Ω。XL與R具有同樣的單位。

用相量表示電壓與電流的關(guān)系，則有

(3-27)

電感上電壓和電流的相量圖如圖3-9(c)所示。設(shè)純電感線圈的電流為i=Imsinωt，根據(jù)電壓與電流的相互關(guān)系，電感的瞬時(shí)功率為

(3-28)

可見，p是一個(gè)幅值為UI、以2ω的角頻率隨時(shí)間交變的正弦量，其波形如圖3-9(d)所示。電感元件的平均功率為

(3-29)

式(3-29)進(jìn)一步說明了電感元件中沒有能量的損耗，只有電感和外電路進(jìn)行能量互換，可采用無功功率QL來度量。規(guī)定電感的無功功率等于瞬時(shí)功率的幅值，也就是等于電感元件兩端電壓的有效值U與電流有效值I的乘積。即

(3-30)

【例3-10】如圖3-10(a)所示的電阻、電感串聯(lián)電路中，已知正弦電流i=2

sin(20t)A，R=30Ω，L=2H，試求正弦電壓uR、uL、u，并畫出相量圖。圖3-10例3-10圖解正弦電流的相量為

電感元件的感抗為

可求得電阻電壓的相量為可求得電感電壓的相量為

則電阻、電感電壓的瞬時(shí)值表達(dá)式為由KVL得，總電壓為

【例3-11】設(shè)有一線圈，其電阻可忽略不計(jì)，電感L=35mH，在頻率為50Hz的電壓=110V的作用下，求：

(1)線圈的感抗XL；

(2)電路中的電流及其與的相位差j；

(3)線圈的無功功率QL；

(4)在周期中線圈儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量WL。3.3.3電容元件的交流電路

若電路中電容參數(shù)的作用遠(yuǎn)大于其他元件參數(shù)，則此電路稱為純電容交流電路。如果將一個(gè)介質(zhì)損耗和電感都很小的電容器接在交流電路中，就可以忽略其電阻及電感，成為一個(gè)線性的純電容元件。通常用如圖3-11(a)所示的電路來表示純電容交流電路。

電容元件是實(shí)際電容器的理想化模型，用來表示電路中存儲(chǔ)電場(chǎng)能這一物理性質(zhì)的理想元件。電容器可由兩塊金屬板用介質(zhì)隔開所構(gòu)成，在外電源的作用下，兩塊極板上分別存儲(chǔ)等量的異性電荷，因此在兩極板間形成電場(chǎng)。電容器是一種能積聚電荷、存儲(chǔ)電場(chǎng)能量的器件。電壓u越高，則聚集的電荷越多，產(chǎn)生的電場(chǎng)就越強(qiáng)，存儲(chǔ)的電場(chǎng)能也就越多。電荷與電壓的關(guān)系為

或下面討論電容在交流電路中的伏安關(guān)系。

設(shè)電容元件兩端的電壓u=Umsin(ωt)為參考正弦量，取電容電壓與電流的關(guān)聯(lián)參考方向，如圖3-11(a)所示，則電容電流為

其中，Im=ωCUm，ψi=90°，還可以寫成

(3-31)由此可見，在電容元件的交流電路中，電壓和電流是兩個(gè)同頻率的正弦量；電壓、電流的幅值(及有效值)之比為

設(shè)稱為容抗；在關(guān)聯(lián)參考方向下，電流超前電壓90°，或者說電壓滯后電流90°。電壓、電流波形如圖3-11(b)所示(取ψu(yù)=0)。

在式(3-31)中，當(dāng)電壓一定時(shí)，XC越大，則電流I越小。可見，容抗對(duì)電流有阻礙作用。ω的單位是rad/s，L的單位是H，則容抗的單位是Ω。XC、XL與R具有同樣的單位。圖3-11電容元件的交流電路容抗XC與電容C、頻率f成反比。在同樣的電壓下，電容C越大，電容器能容納的電量就越大，因而電流就越大；在同樣的電壓下，頻率越高，電容元件的充放電就進(jìn)行得越快，單位時(shí)間內(nèi)電荷的移動(dòng)量就越多，因而電流就越大。電容在直流電路中，因f=0，故表現(xiàn)在容抗上，XC→0，可看做開路。由此可知，電容具有高頻短路、直流開路的性質(zhì)。下面用相量表示電壓與電流的關(guān)系，則有

(3-32)

式(3-32)同時(shí)反映了電容上電壓和電流的幅值關(guān)系和相位角關(guān)系。其電壓和電流的相量圖如圖3-11(c)所示。下面分析電容電路中的功率問題。取電容電壓為參考正弦量，即電壓u滿足

純電容電路的瞬時(shí)功率為

(3-33)由此可知，電容元件的瞬時(shí)功率也是一個(gè)幅值為UI、角頻率為2ω的隨時(shí)間改變的正弦量，如圖3-11(d)所示。其平均功率為

(3-34)

式(3-34)說明電容元件是不消耗能量的，和電感元件一樣，它與外電路之間只發(fā)生能量的互換。這個(gè)能量互換的規(guī)模則由無功功率來度量，它等于瞬時(shí)功率的幅值，即

(3-35)

【例3-12】已知電源電壓

將R=100Ω的電阻、L=1H的電感、C=100μF的電容分別接到電源上。試分別求出通過各元件的電流相量

并寫出各電流iR、iL和iC的函數(shù)式。

解取電源電壓相量為參考相量

則有由此可得

3.4多參數(shù)的正弦交流電路

3.4.1基爾霍夫定律的相量形式

基爾霍夫電流定律(KCL)的時(shí)域表達(dá)式為

對(duì)于正弦穩(wěn)態(tài)電路，由于各電流都是同頻的正弦量，因此上式可寫為由于上式對(duì)任何t成立，并且ejωt恒不為零，因此有

(3-36)

這就是KCL的相量形式。它表示正弦穩(wěn)態(tài)電路中流出(或流入)任一節(jié)點(diǎn)或封閉面的各支路電流相量的代數(shù)和為零。相應(yīng)地，KVL的時(shí)域表達(dá)式為

同理，對(duì)于正弦穩(wěn)態(tài)電路，有

(3-37)

這就是KVL的相量形式。它表示正弦穩(wěn)態(tài)電路中任一閉合回路的各支路電壓相量的代數(shù)和為零。3.4.2電路元件伏安關(guān)系的相量形式

3.3節(jié)中已經(jīng)分別討論了電阻、電感、電容這三種基本元件的正弦交流電路，得出了它們各自的相量關(guān)系式，即在關(guān)聯(lián)參考方向下，有

(3-38)我們把同一元件的電壓相量與電流相量的比值定義為該元件的阻抗，并用Z來表示，單位為Ω，即

(3-39)

因此，電阻、電感、電容這三種基本元件的阻抗為

(3-40)其中，XL=ωL，稱為電感的電抗，簡(jiǎn)稱感抗；

稱為電容的電抗，簡(jiǎn)稱容抗。

Z是一個(gè)復(fù)數(shù)，它同樣也有以下四種表示形式:

(3-41)

式中，|Z|是Z的模，即阻抗模；j是Z的輻角，即阻抗角；X稱為電抗。3.4.3

RLC串聯(lián)交流電路

如圖3-12所示，串聯(lián)電路在正弦電壓u的作用下有大小為

i的正弦電流流經(jīng)，在三個(gè)元件上分別引起電壓uR、uL和uC，其參考方向如圖中所示。圖3-12

RLC串聯(lián)交流電路根據(jù)基爾霍夫電壓定律，有

u=uR+uL+uC

因?yàn)閡R、uL、uC和u均是同頻率的正弦電壓，所以可以寫成基爾霍夫電壓定律的相量形式:

(3-42)設(shè)相量電流為，根據(jù)電阻、電感和電容元件伏安關(guān)系的相量形式，有

則

(3-43)

式中:

(3-44)

X稱為串聯(lián)交流電路的電抗。

RLC串聯(lián)電路中也可采用相量作圖的方法，利用幾何圖形求電壓與電流的大小與相位關(guān)系。相量圖如圖3-13(a)所示。圖3-13

RLC串聯(lián)交流電路相量圖先取電流相量為參考相量，再根據(jù)電阻、電感和電容上的電壓與電流間的相位關(guān)系作出電壓相量，接下來作與同相，作超前90°，作滯后90°，然后根據(jù)平行四邊形法則或三角形法則，將、、進(jìn)行相量相加，就得到了端電壓相量。圖3-13(a)中

為電抗壓降。、、組成一個(gè)三角形，如圖3-13(b)所示。其中:

(3-45)可見，|Z|、R、X之間符合直角三角形關(guān)系，如圖3-14所示。該三角形是阻抗三角形，從而可以求出三角形中的其他參數(shù)，如

(3-46)

由式(3-46)可知，當(dāng)頻率一定時(shí)，相位差j的大小決定了電路的參數(shù)及電路的性質(zhì)。

當(dāng)XL>XC時(shí),j>0,這時(shí)電流滯后電壓j

，該電路呈電感性；

當(dāng)XL<XC時(shí),j<0,這時(shí)電流超前電壓j

，該電路呈電容性；

當(dāng)XL=XC時(shí),j=0,這時(shí)電流與電壓同相，該電路呈電阻性。圖3-14阻抗三角形綜合以上分析，可以得出如下結(jié)論:

(1)RLC串聯(lián)電路中各電壓和電流都是同頻率的正弦量。

(2)總電壓u的幅值(或有效值)與電流i的幅值(或有效值)成正比，比例系數(shù)為阻抗的模|Z|，但電壓和電流的瞬時(shí)值不成正比，即

(3)電路的阻抗角j是總電壓u和電流i之間的相位差，它只與電路頻率及參數(shù)R、L、C有關(guān)。

(4)交流電路中，基爾霍夫定律只適用于瞬時(shí)值和相量表達(dá)式，不能用于有效值和最大值。

【例3-13】在如圖3-12所示的RLC串聯(lián)電路中，設(shè)在工頻下，I=10A，UR=80V，UL=180V，UC=120V。

(1)求總電壓U；

(2)求電路參數(shù)R、L、C；

(3)求總電壓與電流的相位差；

(4)畫出相量圖。

解

(1)總電壓U為

(2)電路各參數(shù)如下：

電阻:

感抗：電感:

容抗:

電容:

(3)總電壓與電流的相位差為

(4)以電流為參考相量，畫出電壓、電流相量圖，如圖

3-15所示。圖3-15例3-13圖3.4.4

RLC并聯(lián)交流電路

圖3-16所示為由電阻R、電容C和電感L組成的三條支路并聯(lián)而成的交流電路。下面采用相量法來分析。圖3-16

RLC并聯(lián)交流電路在該并聯(lián)電路中，因各支路的端電壓相等，故可選取端電壓為參考正弦量或參考相量，即設(shè)

其相量形式為各支路中產(chǎn)生電流的參考方向如圖3-16所示，各電流相量分別為

(3-47)由式(3-47)可知，電阻支路的電流與電壓同相；電感支路的電流滯后于電壓90°；電容支路的電流超前于電壓90°。

由各支路電流，可根據(jù)KCL的相量形式求出總電流的關(guān)系式，即

(3-48)

其有效值為

(3-49)

各支路電流相量和總電流相量的關(guān)系可在一個(gè)相量圖中表示出來，如圖3-17所示。圖3-17

RLC并聯(lián)交流電路相量圖相量圖上由電流構(gòu)成的直角三角形稱為電流三角形?？傠娏髋c電壓的相位差為

(3-50)

由式(3-50)可知，總電流與電壓的相位差j是由電路的參數(shù)所決定的。當(dāng)電路的總電流滯后于電源電壓，并聯(lián)電路呈現(xiàn)電感性；

當(dāng)電路的總電流超前于電源電壓，并聯(lián)電路呈現(xiàn)電容性；

當(dāng)電路的總電流與電源電壓同相，并聯(lián)電路呈現(xiàn)電阻性，這是因?yàn)殡娐分懈屑{的作用和容納的作用互相抵消。

【例3-14】在RLC并聯(lián)電路中，R=10Ω，XC=8Ω，XL=15Ω，U=120V，f=50Hz。

(1)試求

(2)寫出iR、iL、iC及i的表達(dá)式。

解取電壓為參考相量，令則

(1)

(2)因f=50Hz，故ω=2πf=314rad/s，各電流的瞬時(shí)值表達(dá)式為3.4.5阻抗的串聯(lián)

圖3-18(a)所示為兩個(gè)負(fù)載串聯(lián)的交流電路，根據(jù)KVL的相量形式，有

(3-51)

式中，Z稱為電路的等效阻抗，即串聯(lián)電路的等效阻抗等于各串聯(lián)阻抗的和。圖3-18(a)所示電路的等效電路如圖(b)所示。一般情況下，等效阻抗的表達(dá)式為

(3-52)

式中，∑XK包括感抗XL和容抗XC，感抗XL取正值，容抗XC取負(fù)值。

圖3-18阻抗的串聯(lián)相應(yīng)的分壓公式為

(3-53)

式中，分別是總電壓相量和Zi的電壓相量。3.4.6阻抗的并聯(lián)

圖3-19(a)所示為兩個(gè)負(fù)載并聯(lián)的交流電路，根據(jù)KCL的相量形式，有

(3-54)

將式(3-54)中的兩個(gè)并聯(lián)的阻抗用一個(gè)等效阻抗Z來代替，等效電路如圖3-19(b)所示。因此，有

(3-55)

或

(3-56)相應(yīng)的分流公式為

(3-57)

一般情況下，等效阻抗與各并聯(lián)阻抗的關(guān)系可用下式表示:

(3-58)圖3-19阻抗的并聯(lián)

【例3-15】在圖3-20所示的無源端口網(wǎng)絡(luò)中，已知端口電壓和電流分別為u(t)=10

sin(100t+36.9°)V，i(t)=2

sin(100t)A，試求該網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗及其等效電路。圖3-20例3-15圖

解由題可得電壓和電流相量為

根據(jù)定義，阻抗為

故X=3Ω>0，電路呈感性，等效電路為一個(gè)R=4Ω的電阻與一個(gè)感抗XL=3Ω的電感元件串聯(lián)，其等效電感為

【例3-16】在如圖3-21所示的正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型中，已知R1=8Ω,XC1=6Ω,R2=3Ω,XL2=4Ω，R3=5Ω,XL3=10Ω。試求電路的輸入阻抗Zab。

解首先，求出各支路的阻抗:

利用阻抗的串、并聯(lián)關(guān)系可得輸入阻抗:圖3-21例3-16圖

3.5串聯(lián)與并聯(lián)諧振

3.5.1串聯(lián)諧振

在如圖3-22所示的RLC串聯(lián)電路中，當(dāng)XL＝XC時(shí)，則

此時(shí)電壓與電流同相位，電路呈純電阻性，電路阻抗達(dá)到最小值，當(dāng)電路所加電壓幅度不變時(shí)，電流達(dá)到最小值，即電路發(fā)生諧振。由于諧振發(fā)生在串聯(lián)電路中，因此又叫做串聯(lián)諧振。圖3-22串聯(lián)諧振由諧振的定義可知，串聯(lián)諧振的條件是：

XL＝XC

電路發(fā)生諧振時(shí)的頻率稱為諧振頻率。串聯(lián)諧振的頻率為

即

(3-59)串聯(lián)諧振具有以下特點(diǎn)：

(1)電路的阻抗最小，電流最大。諧振時(shí)電路的阻抗和電流分別為

(2)電壓與電流同相，j=0，cosj=1，電路呈現(xiàn)純電阻性，總無功功率為零，電路與電源之間不發(fā)生能量互換。

(3)電感上的電壓與電容上的電壓大小相等，但相位相反。當(dāng)XL＝XC≥R時(shí)，UL＝UC≥UR＝U。也就是說，電感或電容上的電壓將大于電路的總電壓，因此串聯(lián)諧振也稱為電壓諧振。

諧振時(shí)電感(或容抗)上的電壓與總電壓之比稱為電路的品質(zhì)因數(shù)，用Q表示，即例如，圖3-23(a)所示為收音機(jī)的輸入電路，它是由線圈L和可變電容C組成的串聯(lián)電路，圖中L1是天線線圈。天線接收到的所有不同頻率的信號(hào)都會(huì)在LC諧振電路中感應(yīng)出來，其等效電路如圖3-23(b)所示，圖中R是電感線圈Ｌ的等效電阻。改變電容C，使電路在所需信號(hào)頻率發(fā)生諧振，此時(shí)所需信號(hào)在電容兩端的電壓最高，其他信號(hào)由于沒有諧振，電壓很小。這樣就起到了選擇信號(hào)和抑制干擾的作用。圖3-23收音機(jī)的輸入電路

【例3-17】在電阻、電感、電容串聯(lián)諧振電路中，L=0.05mH，C=200pF，品質(zhì)因數(shù)Q=100，交流電壓的有效值U=1mV。試求：

(1)電路的諧振頻率f0。

(2)諧振時(shí)電路中的電流I0。

(3)電容上的電壓UC。

解

(1)電路的諧振頻率:

(2)由于品質(zhì)因數(shù):

故

諧振時(shí)，電流為

(3)電容兩端的電壓是電源電壓的Q倍，即

【例3-18】在圖3-24所示的電路中，線圈的電感為

0.2mH，要想使頻率820kHz的信號(hào)獲得最佳效果，電容器的電容C應(yīng)調(diào)節(jié)到多少？圖3-24例3-18圖

解要使f=820kHz的信號(hào)獲得最佳效果，必須使電路的固有頻率為820kHz，即電路諧振頻率為

電容器的電容應(yīng)為3.5.2并聯(lián)諧振

1．諧振條件

在實(shí)際工程電路中，最常見的、用途極廣泛的諧振電路由電感線圈和電容器并聯(lián)組成，如圖3-25所示。圖中，電容器損耗很小，可以忽略不計(jì)，可看成一個(gè)純電容；線圈的電阻是不可忽略的，可看成由一個(gè)純電感和電阻串聯(lián)而成。圖3-25

RLC并聯(lián)諧振電路電感線圈與電容并聯(lián)諧振電路的諧振頻率為

式中，R為線圈的電阻，單位為歐姆(Ω)。在一般情況下，線圈的電阻比較小，即Q>>1,

則所以諧振頻率近似為

(3-60)

這個(gè)公式與串聯(lián)諧振頻率公式相同。在實(shí)際電路中，如果電阻的損耗較小，則應(yīng)用此公式計(jì)算出的結(jié)果其誤差是很小的。

2．諧振電路的特點(diǎn)

電感線圈與電容并聯(lián)的電路諧振時(shí)具有的特點(diǎn)與RLC串聯(lián)諧振電路相同。

(1)電路呈純電阻特性，總阻抗最大，當(dāng)時(shí)，有

(3-61)

(2)品質(zhì)因數(shù)定義為

(3-62)

(3)總電流與電壓同相，數(shù)值關(guān)系為

(3-63)

(4)支路電流為總電流的Q倍，即

(3-64)

因此，并聯(lián)諧振又叫做電流諧振。

【例3-19】收音機(jī)的中頻放大耦合電路是一個(gè)線圈

與電容器并聯(lián)的諧振回路，其諧振頻率為465kHz，電容C=200pF，回路的品質(zhì)因數(shù)Q=100。求線圈的電感L和電阻R。

解因?yàn)镼>>1，所以電路的諧振頻率為

因此，回路諧振時(shí)的電感和電阻分別為3.6交流電路的功率及功率因數(shù)

3.6.1瞬時(shí)功率

設(shè)某一電路中的端口電壓為

端口電流為那么電路的瞬時(shí)功率為

(3-65)

根據(jù)i、u、p的表達(dá)式畫出電壓、電流和瞬時(shí)功率隨時(shí)間變化的曲線，如圖3-26所示。從圖3-26中可看出，瞬時(shí)功率可正可負(fù)。當(dāng)電壓和電流的實(shí)際方向一致時(shí)，功率為正值，表明電路從電源取用功率；當(dāng)電壓和電流的實(shí)際方向相反時(shí)，功率為負(fù)值，表明電路將功率傳送給電源。圖3-26電壓、電流和瞬時(shí)功率隨時(shí)間變化的曲線3.6.2有功功率、無功功率和視在功率

有功功率是指瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值，簡(jiǎn)稱功率。其計(jì)算式為

(3-66)

平均功率就是電路中電阻元件所消耗的功率。通常將cosj定義為功率因數(shù)，相應(yīng)的j定義為功率因數(shù)角，它取決于交流電路的參數(shù)和頻率。定義無功功率為

(3-67)

電壓與電流有效值的乘積稱為電路的視在功率或表觀功率，用S表示，即

S=UI

(3-68)

為了與有功功率和無功功率加以區(qū)別，視在功率的單位為伏·安(V·A)。有功功率、無功功率和視在功率之間的關(guān)系為

(3-69)

從圖形關(guān)系上看，三者符合直角三角形的關(guān)系。這一三角形稱為功率三角形。3.6.3功率因數(shù)的提高

1.提高功率因數(shù)的意義

當(dāng)電路負(fù)載為電阻性時(shí)，電壓、電流才是同相位的，即功率因數(shù)為1。對(duì)其他負(fù)載而言，其功率因數(shù)均介于0與1之間。電源提供無功功率，表明電源和負(fù)載之間有一部分能量在相互交換。在U、I一定的情況下，功率因數(shù)越低，無功功率比例越大，對(duì)電力系統(tǒng)的運(yùn)行越不利，這體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

(1)降低了電源設(shè)備容量的利用率。

電源設(shè)備的額定容量是根據(jù)額定電壓和額定電流設(shè)計(jì)的。額定電壓和額定電流的乘積就是額定視在功率，代表著設(shè)備的額定容量。容量一定的供電設(shè)備提供的有功功率為

功率因數(shù)cosj越低，P越小，則設(shè)備利用率越低。

(2)增加了輸電線路和供電設(shè)備的功率損耗。負(fù)載上的電流為

在P、U一定的情況下，功率因數(shù)cosj越低，I就越大。線路上的功率損耗為

其中，r代表傳輸線路加上電源內(nèi)阻的總等效電阻。由上式可知，功率損耗和功率因數(shù)cosj的平方成反比，即功率因數(shù)cosj越低，電路損耗越大，則輸電效率就越低。

(3)降低了電能質(zhì)量。

如前所述，功率因數(shù)cosj越低，輸電線上電流I就越大，在線上產(chǎn)生的電壓降也就越大。這樣降低了供電的電能質(zhì)量，滿足不了用戶對(duì)電能質(zhì)量的要求。

2.提高功率因數(shù)的方法

功率因數(shù)不高的根本原因是電感性負(fù)載的存在。例如，工業(yè)生產(chǎn)中最常用的異步電動(dòng)機(jī)就是感性負(fù)載，其功率因數(shù)約為0.6，輕載時(shí)更低；日光燈作為感性負(fù)載其功率因數(shù)也只有0.3左右。感性負(fù)載的功率因數(shù)之所以不高，是由于負(fù)載本身需要一定的無功功率。按照供用電規(guī)則，高壓供電的工業(yè)企業(yè)的平均功率因數(shù)為0.8～0.95。

提高功率因數(shù)的途徑有兩個(gè)：一是提高用電設(shè)備自身的功率因數(shù)，如降低輕載時(shí)加在三相異步電動(dòng)機(jī)繞組上的電壓；二是用其他設(shè)備進(jìn)行補(bǔ)償。第二種途徑將作為我們討論的重點(diǎn)。由功率三角形可知，負(fù)載的功率因數(shù):

式中，Q=QL－QC。可以利用QL和QC之間的相互補(bǔ)償作用，讓容性無功功率QC在負(fù)載網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部補(bǔ)償感性負(fù)載所需的無功功率QL，使電源提供的無功功率Q接近或等于1。因此，從技術(shù)經(jīng)濟(jì)的觀點(diǎn)出發(fā)，提高感性負(fù)載網(wǎng)絡(luò)功率因數(shù)的有效方法，是在感性負(fù)載兩端并聯(lián)適當(dāng)大小的電容器，其電路如圖3-27所示。圖3-27提高功率因數(shù)的電路提高功率因數(shù)的原理也可用相量圖來說明，如圖3-28所示。圖中，代表并聯(lián)電容器之前感性負(fù)載上的電流，等于線路上的電流，它滯后于電壓的角度是j，這時(shí)的功率因數(shù)是cosj

。并聯(lián)電容器C之后，由于增加了一個(gè)超前于電壓90°的電流，所以線路上的電流變?yōu)?/p>

其中，滯后于電壓的角度是j′。由于j′<j

，所以cosj′>cosj

。只要電容C選得適當(dāng)，就可達(dá)到補(bǔ)償要求。圖3-28相量圖下面推導(dǎo)計(jì)算并聯(lián)電容器電容值的公式。由圖3-28可得:

又因則有

因此在感性負(fù)載ZL兩端并聯(lián)適當(dāng)?shù)碾娙莺?，能起到以下作用?/p>

(1)電源向負(fù)載ZL提供的有功功率未變。

(2)負(fù)載網(wǎng)絡(luò)(包括并聯(lián)電容)對(duì)電源的功率因數(shù)提高了。

(3)線路電流下降了。

(4)電源與負(fù)載之間不再進(jìn)行能力的交換(Q=0)。這時(shí)感性負(fù)載ZL所需的無功功率全部由電容提供，能量的互換完全在電感與電容之間進(jìn)行，電源只提供有功功率。

【例3-20】有一感性負(fù)載的功率P=1600kW，功率

因數(shù)cosj1=0.8，接在電壓U=6.3kV的電源上，電源頻率

f=50Hz。

(1)如果把功率因數(shù)提高到cosj2=0.95，試求并聯(lián)電容器的容量和電容并聯(lián)前后的線路電流；

(2)如果將功率因數(shù)從0.95再提高到1，并聯(lián)電容器的容量還需增加多少？此時(shí)電路中發(fā)生了怎樣的物理現(xiàn)象？

解

(1)

根據(jù)公式:可知所需電容量為

并聯(lián)電容前，線路電流(即負(fù)載電流)為

(2)要將功率因數(shù)從0.95再提高到1，尚需增加電容:

此時(shí)，線路電流為

將功率因數(shù)從0.95提高到1，需要增加電容42.2μF，增加了原電容值的78%，但線路電流的改變不大，僅降至254A，只下降了5%。同時(shí)，電路中發(fā)生了諧振現(xiàn)象。這說明將功率因數(shù)提高到1是不經(jīng)濟(jì)、不可取的。因此，通常只將功率因數(shù)提高到0.9～0.95之間。3.7三相電路

3.7.1三相電源電壓

三相電源是由三個(gè)幅值相等、頻率相同、相位依次相差120°的正弦電壓源uA、uB、uC組成的，每個(gè)電壓源的參考方向均由始端指向末端，如圖3-29所示。

若以u(píng)A為參考正弦量，則有

式中，Upm為每個(gè)相電壓的最大值，Up為有效值。它們的波形和相量圖如圖3-30(a)、(b)所示。圖3-29三相電壓源圖3-30對(duì)稱三相電壓源的波形和相量圖對(duì)稱三相電壓源的特點(diǎn)是：

或

從波形圖中可以看出，uA、uB、uC達(dá)到最大值是有先有后的。通常把這三個(gè)電壓達(dá)到最大值的先后順序稱為相序。相序分有正(順)序和負(fù)(逆)序。當(dāng)發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，三相電壓uA超前uB120°，uB又超前uC120°，這時(shí)三相電壓的相序?yàn)锳→B→C，稱為正(順)序；當(dāng)轉(zhuǎn)子逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)或雖順時(shí)針旋轉(zhuǎn)但B和C相互對(duì)調(diào)時(shí)，相序?yàn)锳→C→B，稱為負(fù)(逆)序。但應(yīng)指出的是，在發(fā)電機(jī)的三相繞組中，哪個(gè)是A相可以任意指定，當(dāng)A相指定后，比A相落后120°的就是B相，比A相超前120°的就是C相。在輸配電工程中，常用黃、綠、紅分別表示A、B、C相的引出線，以免搞錯(cuò)而造成事故。這說明相序在電力系統(tǒng)中是非常重要的。

雖然三相電源中有三個(gè)獨(dú)立的電壓源，但在實(shí)際應(yīng)用中，它們并不都單獨(dú)引出線來向用戶供電，而是先在內(nèi)部采用一定的連接。其連接方式有星形(Ｙ)連接或三角形(△)連接兩種。

1.對(duì)稱三相電源的星形連接

圖3-31所示為對(duì)稱三相電源的星形連接，即把定子三相繞組的末端X、Y、Z連在一起，從始端引出三根導(dǎo)線A、B、C(稱為端線或相線，俗稱火線)，從公共點(diǎn)0引出一根導(dǎo)線(稱為零線或中線，俗稱地線)。每根火線(始端)與地線之間的電壓稱為相電壓，如圖中的uA、uB、uC。兩根火線之間的電壓稱為線電壓，如圖中的uAB、uBC、uCA。顯然，有圖3-31對(duì)稱三相電源的星形連接它們的相量關(guān)系為

其相量圖如圖3-32(a)、(b)所示。圖3-32對(duì)稱三相電源星形連接的相電壓和線電壓相量圖因相電壓對(duì)稱，故線電壓也對(duì)稱。相、線電壓的關(guān)系可由三個(gè)相量所組成的等腰三角形求得，則有線電壓超前相應(yīng)相電壓30°，有效值線電壓為相電壓的倍，即

(3-70)

因此，星形連接三相電源的線電壓相量是相應(yīng)相電壓相量的倍，而相位超前其30°，故有

(3-71)

【例3-21】星形連接對(duì)稱三相電源如圖3-31所示，已知相電壓為220V，求其線電壓，并求出

(設(shè)為參考相量)。

解由式(3-70)可知:

若設(shè)則有

2.對(duì)稱三相電源的三角形連接

若把發(fā)電機(jī)的三相繞組始末端依次相連，再從連接點(diǎn)分別引出三根導(dǎo)線A、B、C，則這種連接方式稱為對(duì)稱三相電源的三角形(△)連接，如圖3-33所示。從圖中不難看出，這種連接中線電壓和相電壓是相等的。應(yīng)指出的是，對(duì)稱三相電源作三角形連接時(shí)，每相的始末端必須連接正確，否則三個(gè)相電壓之和不再為零，將在其閉合內(nèi)回路產(chǎn)生很大的電流(又稱環(huán)流)，從而造成嚴(yán)重后果。圖3-33對(duì)稱三相電源的三角形連接3.7.2對(duì)稱三相電路分析

1.負(fù)載作星形連接的對(duì)稱三相電路的計(jì)算

負(fù)載作星形連接時(shí),對(duì)稱三相電路分為Y－Y連接和△－Y連接兩種形式。圖3-34所示為有中線的Y－Y連接對(duì)稱三相電路，即三相四線制電路。圖中，為方便起見，忽略了火線阻抗，各相負(fù)載阻抗均為Z＝|Z|∠f，中線阻抗為Z0。顯然，在這種Y

－Y連接電路中，流過每相負(fù)載的電流(稱相電流)等于流過火線的電流(稱線電流)，即流過中線的電流(稱中線電流)等于三個(gè)線電流之和，它們的參考方向如圖中所示。那么如何求圖中的電流和負(fù)載端的相、線電壓呢？圖3-34有中線的Y－Y連接對(duì)稱三相電路首先，用結(jié)點(diǎn)法求中點(diǎn)電壓然后再求其他各量。若選0為參考節(jié)點(diǎn)，則得中點(diǎn)電壓為

(3-72)

由于三相電源對(duì)稱，因此中點(diǎn)電壓為零表明,每相的電源與負(fù)載(即每相電路)是相互獨(dú)立的，而加于各相負(fù)載的電壓就是電源的相電壓，即

若選為參考相量，則可見，各相、線電流是對(duì)稱的。因此，中線電流為零，即

負(fù)載端的相、線電壓關(guān)系與電源端的相、線電壓關(guān)系相同，即可見,負(fù)載的相、線電壓也是對(duì)稱的。它們的相量圖如圖3-35所示。由上述分析不難看出，有中線的Ｙ－Ｙ連接對(duì)稱三相電路的計(jì)算可以歸結(jié)為一相法，即只要先計(jì)算出其中一相的電流、電壓(通常為Ａ相)，再根據(jù)對(duì)稱性，就可直接寫出其他兩相的電流和電壓。但應(yīng)注意的是，因?yàn)樗栽谝幌嘤?jì)算電路中不應(yīng)包括中線阻抗Z0(相當(dāng)于短路)。

由于I0=0，因此中線不起作用，可省去，從而構(gòu)成無中線的對(duì)稱三相三線制Y－Y連接電路。其各相電路仍然是相互獨(dú)立的，因此仍可用一相法計(jì)算。圖3-35對(duì)稱Y－Y連接三相電路的相量圖綜上所述，負(fù)載作星形連接的對(duì)稱三相電路，其負(fù)載電壓、電流的特點(diǎn)如下：

(1)相、線電壓以及相、線電流都是對(duì)稱的。

(2)線電流等于相電流。

(3)線電壓等于相應(yīng)相電壓的倍，相位超前30°。

【例3-22】對(duì)稱三相三線制連接電路的電源電壓為

380V，接星形對(duì)稱負(fù)載，每相阻抗Z=7+j5Ω，火線阻抗ZL=1+j1Ω，求負(fù)載的相電流。

解根據(jù)在三相電路中，凡不加說明的電壓均指線電壓的有效值，所以對(duì)星形負(fù)載來說，對(duì)稱三相三線制連接電路的電源電壓不論是星形連接還是三角形連接，都可用等效的星形連接的三相電源代替，并按對(duì)稱Y－Y連接的一相法計(jì)算。因此，本例中等效的星形電源的相電壓有效值為設(shè)為參考相量，則故由一相法可求得

根據(jù)對(duì)稱性可推知:

2.負(fù)載作三角形連接的對(duì)稱三相電路的計(jì)算

對(duì)于作三角形連接的負(fù)載，與它相接的三相電源一定是線電壓，因此計(jì)算時(shí)可以不必追究電源的連接方式。另外，由于三相電源總是對(duì)稱的，且可作Y－△等效，所以為了方便，通常只畫出三相負(fù)載的連接圖即可。

圖3-36所示為負(fù)載作三角形連接的對(duì)稱三相電路。圖中忽略了火線阻抗，各相負(fù)載阻抗都相等，即

顯然，加于負(fù)載的相電壓就是電源的線電壓

圖3-36負(fù)載作三角形連接的對(duì)稱三相電路若選為參考相量，則各負(fù)載的相電流為可見，負(fù)載相電流亦是對(duì)稱的。因此，三個(gè)線電流為其相量圖如圖3-37所示。根據(jù)等腰三角形，由圖可得

顯然，線電流也是對(duì)稱的，其有效值為相電流的倍,而相位則均滯后于相應(yīng)相電流30°。這就是對(duì)稱三角形負(fù)載的相、線電流關(guān)系。圖3-37對(duì)稱三角形負(fù)載的相線電流相量圖綜上所述，負(fù)載作三角形連接的對(duì)稱三相電路中負(fù)載電壓、電流的特點(diǎn)如下：

(1)相、線電壓以及相、線電流都是對(duì)稱的。

(2)線電壓等于相電壓。

(3)線電流相量等于相應(yīng)相電流相量的倍，其相位滯后30°。

【例3-23】電路如圖3-36所示，對(duì)稱三相電壓為380V,對(duì)稱負(fù)載作三角形連接，每相負(fù)載復(fù)阻抗為Z=8+j6Ω，求負(fù)載的相線電流。

解設(shè)為參考相量，即則相電流為

根據(jù)對(duì)稱性可推知:線電流為

可推知:3.7.3三相電路的功率

在對(duì)稱三相電路中，各相負(fù)載(星形或三角形連接)是相等的，各相負(fù)載的相電壓與相電流的有效值和阻抗角都相同(用Up、Ip、f表示)，故各相負(fù)載吸收的平均功率相等。因此，三相的有功功率為

(3-73)

式中，f是負(fù)載相電壓和相電流的相位差或阻抗角。三相的無功功率為

(3-74)

視在功率為

(3-75)小結(jié)

一、基本要求

1.深刻理解正弦交流電中頻率、角頻率與周期之間，瞬時(shí)值、有效值與最大值之間，相位、初相位與相位差之間的關(guān)系。

2.深刻理解電路基本定律的相量形式和相量圖，掌握用相量法計(jì)算簡(jiǎn)單正弦交流電路的方法。

3.深刻理解R、L、C在交流電路中的作用。

4.牢固掌握串聯(lián)交流電路中的阻抗、阻抗模和阻抗角的計(jì)算，理解串聯(lián)交流電路中電壓與電流的相量關(guān)系、有效值關(guān)系和相位關(guān)系。

5.牢固掌握串聯(lián)、并聯(lián)和簡(jiǎn)單混聯(lián)電路