《電工基礎(chǔ)》課件第4章

技能訓(xùn)練九示波器、信號發(fā)生器的認(rèn)識技能訓(xùn)練十交流電路元件(R、L、C)電壓與電流關(guān)系的測試技能訓(xùn)練十一RL、RC串聯(lián)電路的研究

技能訓(xùn)練十二提高感性負(fù)載功率因數(shù)的研究4.1正弦交流電的基本概念4.2正弦量的相量表示法4.3單一參數(shù)正弦交流電路的分析4.4基爾霍夫定律的相量形式4.5RLC串聯(lián)電路及復(fù)阻抗4.6RLC并聯(lián)電路及復(fù)導(dǎo)納4.7阻抗的串聯(lián)與并聯(lián)4.8功率因數(shù)的提高

小結(jié)

習(xí)題四

1.訓(xùn)練目的

(1)通過本訓(xùn)練，熟悉信號發(fā)生器、示波器等常用儀器設(shè)備的結(jié)構(gòu)、使用方法。

(2)通過本訓(xùn)練，能夠會用常用的儀器儀表測量交直流電流、交直流電壓、非正弦波的波形及峰值(Up-p)等。技能訓(xùn)練九示波器、信號發(fā)生器的認(rèn)識

2.原理說明

1)示波器

示波器是利用電子示波管的特性，將人眼無法直接觀測的交變電信號轉(zhuǎn)換成圖像，顯示在熒光屏上以便測量的電子測量儀器。它是觀察數(shù)字電路實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象、分析實(shí)驗(yàn)中的問

題、測量實(shí)驗(yàn)結(jié)果必不可少的重要儀器。示波器的組成如訓(xùn)練圖9-1所示。訓(xùn)練圖9-1示波器組成框圖示波器使用前的注意事項(xiàng)：

(1)電源電壓應(yīng)為220V±10％。

(2)環(huán)境溫度為0～+40℃，濕度≤90％(+40℃)，工作環(huán)境無強(qiáng)烈的電磁場干擾。

(3)不應(yīng)輸入超過技術(shù)參數(shù)所規(guī)定的電壓。

(4)輝度不宜過亮，以免損壞屏幕。

下面介紹雙蹤示波器的主要用途。

(1)電壓測量。

該儀器可以對被測波形進(jìn)行電壓測量，正確的測量方法雖因測試波形的不同有所差異，但測量的基本原理是相同的。在一般情況下，被測試波形同時(shí)含有交流和直流分量，有時(shí)需測量兩種分量的合成值，有時(shí)只需測量其中一種分量。

(2)時(shí)間測量。

用示波器可精確測量各種信號的時(shí)間參數(shù)。這是因?yàn)槭静ㄆ髟跓晒馄罼軸方向上的掃描速度是定量的，即格(div)代表的時(shí)間是定量的。

(3)相位測量。

利用雙蹤示波器的雙跡功能可測量兩個(gè)同頻率信號間的相位差。這種測量可能使用到垂直系統(tǒng)的頻率極限。可用下列步驟來進(jìn)行相位比較。相位測量的步驟如下：

①預(yù)置儀器控制件獲得光跡基線，然后將垂直方式開關(guān)置于“ALT”(頻率低時(shí)可用“CHOP”)，觸發(fā)源置于“垂直”。

②根據(jù)耦合要求，兩個(gè)“耦合方式”開關(guān)應(yīng)置于相同位置。

③用兩根具有相同時(shí)間延遲的探極或同軸電纜，將兩個(gè)被測信號輸入CH1和CH2，并使波形穩(wěn)定。④調(diào)整CH1和CH2的信號，使兩蹤波形均移到上下對稱于0—0′軸上，讀出A、B，則相位差Φ=(A/B)×360°，如訓(xùn)練圖9-2所示。訓(xùn)練圖9-2相位測試圖

2)函數(shù)信號發(fā)生器

函數(shù)信號發(fā)生器面板如訓(xùn)練圖9-3所示。其使用方法如下：(1)打開電源開關(guān)(LINE)，函數(shù)信號發(fā)生器開始工作，數(shù)碼管顯示屏(LED)顯示當(dāng)前狀態(tài)下輸出信號的頻率。訓(xùn)練圖9-3函數(shù)信號發(fā)生器面板

注意：顯示的頻率單位是kHz。

(2)將波形選擇開關(guān)打到欲使用的波形位置(正弦波、三角波或方波)。

(3)通過頻率調(diào)節(jié)旋鈕和擋位選擇開關(guān)進(jìn)行頻率調(diào)節(jié)。如果擋位開關(guān)打在10Hz擋位上，那么調(diào)節(jié)上面的頻率調(diào)節(jié)旋鈕(FREQ)，可在(2×10~22×10Hz)的范圍調(diào)整輸出信號的頻率。在不同的擋位，得到的頻率范圍也不同。

(4)通過幅值調(diào)節(jié)旋鈕(AMP)調(diào)節(jié)輸出信號的幅值。本發(fā)生器最大輸出信號電壓為空載20V。

(5)右下角的信號衰減開關(guān)一般放在“0”的位置上。當(dāng)打到“20”或“40”位置上時(shí)，輸出信號的幅值衰減20dB或40dB。

(6)占空比調(diào)節(jié)旋鈕僅在產(chǎn)生方波時(shí)才起作用。

(7)函數(shù)信號發(fā)生器下方的端子VCO為壓控振蕩器的輸入，TTL為信號同步輸出，OUTPUT為信號輸出。

(8)在使用過程中，要避免輸出端短路，并且在改變信號輸出頻率的同時(shí)，也應(yīng)檢測信號的幅值是否發(fā)生變化，若有變化應(yīng)調(diào)到要求的數(shù)值。3.訓(xùn)練設(shè)備

(1)數(shù)字萬用表

(2)函數(shù)信號發(fā)生器

(3)雙蹤示波器

4.訓(xùn)練內(nèi)容

(1)了解函數(shù)信號發(fā)生器的結(jié)構(gòu)、使用方法及注意事項(xiàng)。(2)了解雙蹤示波器的結(jié)構(gòu)、使用方法及注意事項(xiàng)。

(3)進(jìn)行下列練習(xí)：

①調(diào)出函數(shù)信號發(fā)生器一個(gè)信號，用雙蹤示波器觀察：正弦波，Up-p=500mV，f=1kHz；用萬用表測其電壓的有效值。

②調(diào)出函數(shù)信號發(fā)生器一個(gè)信號，用雙蹤示波器觀察：方波，Up-p=100mV，f=5kHz，占空比25%。

③調(diào)出函數(shù)信號發(fā)生器一個(gè)信號，用雙蹤示波器觀察：三角波，Up-p=2V，f=10kHz，用示波器讀出其周期，與計(jì)算值進(jìn)行比較。

5.訓(xùn)練注意事項(xiàng)

雙蹤示波器新購或久置復(fù)用時(shí)，應(yīng)使用機(jī)器內(nèi)部校準(zhǔn)信號進(jìn)行自身檢查。

6.思考題

(1)使用函數(shù)信號發(fā)生器與雙蹤示波器信號探頭的兩個(gè)夾子(或一鉤一夾)時(shí)應(yīng)注意什么？

(2)盡可能多地分析一下在雙蹤示波器上觀察不到波形時(shí)的原因。

7.訓(xùn)練報(bào)告內(nèi)容

(1)整理訓(xùn)練數(shù)據(jù)，分析誤差產(chǎn)生的原因。

(2)畫出由雙蹤示波器看到的各種波形圖。1.訓(xùn)練目的

(1)掌握交流電壓表、交流電流表和單相調(diào)壓器的使用。

(2)測定電感、電阻和電容元件的伏安特性。技能訓(xùn)練十交流電路元件(R、L、C)

電壓與電流關(guān)系的測試

2.原理說明

(1)在交流電路中，通過元件的電流有效值和加于該元件兩端電壓有效值之間的關(guān)系U=f(I)，稱為交流伏安特性。交流伏安特性應(yīng)在固定的電源頻率下測定。技能訓(xùn)練中使用的是電壓為220V、頻率為50Hz的交流電源。利用單相調(diào)壓器可調(diào)整交流電源的輸出電壓。

(2)當(dāng)元件的參數(shù)為常數(shù)時(shí)稱該元件為線性元件，如電阻元件、電容元件和空芯電感線圈等。線性元件的交流伏安特性曲線是通過坐標(biāo)原點(diǎn)的一直線。

(3)具有鐵芯的線圈(如交流電磁鐵和變壓器)，由于鐵磁材料的磁化特性，當(dāng)線圈中通過電流時(shí)，鐵芯中將產(chǎn)生很強(qiáng)的附加磁場，其磁感應(yīng)強(qiáng)度(B)和磁通(Ф)均大大增強(qiáng)，根據(jù)電感定義，L=Ψ／I=NФ／I?？梢娋哂需F芯線圈的電感，將大于空芯線圈的電感。

鐵芯材料具有磁飽和特性，其磁化曲線B=f(H)如訓(xùn)練圖10-1所示。因?yàn)殍F芯線圈的電流I和磁通Φ之間必須滿足鐵芯的磁化曲線所確定的關(guān)系，而且鐵芯線圈的外加電壓的有效值U和磁通最大值ΦM是成正比的，所以鐵芯線圈的伏安特性曲線與磁化特性曲線一樣，也呈飽和特性，如訓(xùn)練圖10-2所示。因此鐵芯線圈的電感量并非常數(shù)，它與通過線圈的電流大小有關(guān)，是非線性元件。訓(xùn)練圖10-1磁化曲線圖訓(xùn)練圖10-2伏安關(guān)系圖

3.訓(xùn)練設(shè)備

(1)單相調(diào)壓器R600型 (2)交流電壓表T19—V型

(3)交流電流表T25—A型 (4)滑線變阻器BX7—13型(5)電容元件C=10μF (6)鐵芯線圈(鎮(zhèn)流器)

(7)空芯線圈

4.訓(xùn)練內(nèi)容

按訓(xùn)練圖10-3接線，分別測出電阻、空芯線圈(內(nèi)阻55Ω)、鐵芯線圈(內(nèi)阻50Ω)和電容元件上的電壓和電流。訓(xùn)練圖10-3接線圖

(1)電阻性電路：調(diào)節(jié)單相調(diào)壓器的輸出電壓分別為30V、35V、40V、45V和50V，測出電阻兩端的電壓和通過電阻支路的電流，分別記入自擬的表格中。

(2)空芯線圈電感性電路：調(diào)節(jié)單相調(diào)壓器的輸出電壓分別為30V、35V、40V、45V和50V，測出電感兩端的電壓和通過電感支路的電流，分別記入自擬的表格中。

(3)鐵芯線圈電感性電路：先用萬用表的歐姆擋測出鐵芯線圈內(nèi)阻，再調(diào)節(jié)單相調(diào)壓器的輸出電壓分別為100V、150V、200V、220V和250V，測出電感兩端的電壓和通過電感支路的電流，分別記入自擬的表格中。

(4)電容性電路：調(diào)節(jié)單相調(diào)壓器的輸出電壓分別為100V、150V、200V、220V和250V，測出電容兩端的電壓和通過電容支路的電流，分別記入自擬的表格中。

5.訓(xùn)練注意事項(xiàng)

數(shù)據(jù)測量完畢后，應(yīng)切斷電源，但不要急于拆除線路。首先檢查有無遺漏和分析操作是否正確，然后將測量數(shù)據(jù)送老師檢查，經(jīng)老師檢查無誤后方可拆除線路進(jìn)行整理工作。

6.思考題

比較空芯線圈電感性電路和鐵芯線圈電感性電路的不同。

7.訓(xùn)練報(bào)告內(nèi)容

(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在同一坐標(biāo)系做出R、L、C元件的伏安特性，即U=f(I)曲線。

(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)計(jì)算R、XL、XC。

(3)分析、總結(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

1.訓(xùn)練目的

(1)通過訓(xùn)練進(jìn)一步理解電阻、電感和電容的頻率特性；

(2)學(xué)會用雙蹤示波器觀察電壓和電流波形，并會利用波形圖計(jì)算兩個(gè)正弦量之間的相位差。技能訓(xùn)練十一RL、RC串聯(lián)電路的研究

2.原理說明

正弦交流電可用三角函數(shù)來表示，即由幅值(有效值或最大值Im)、頻率(或角頻率ω=2πf)和初相位三要素來決定。

在正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析中，由于電路中各處的電壓和電流都是同頻率的交流電，所以電流和電壓可用相量=U∠φu、=∠φi來表示(U、I——有效值，φu、φi——初相位)。電路中端口電流和電壓的關(guān)系用阻抗Z描述，即Z=

/

=|Z|∠φZ=R+jX，是一個(gè)復(fù)數(shù)，所以又稱為復(fù)阻抗。阻抗的模|Z|=U/I；阻抗的輻角φZ=φu-φi為此端口電壓與電流的相位差。

3.訓(xùn)練設(shè)備

(1)函數(shù)信號發(fā)生器1臺 (2)電阻1個(gè)51Ω

(3)220Ω電位器 1只 (4)電感1個(gè)20mH

(5)數(shù)字萬用表 1只(6)電容1個(gè)1μF

(7)雙蹤示波器 1臺 (8)橋形連接插頭和導(dǎo)線

若干

4.訓(xùn)練內(nèi)容

1)R、L串聯(lián)電路

(1)按訓(xùn)練圖11-1接線，調(diào)節(jié)信號發(fā)生的輸出電壓，使輸出US=1V，f=2500Hz(信號電壓以示波器測量的為準(zhǔn))。訓(xùn)練圖11-1接線圖

(2)接通雙蹤示波器，將Y1的光標(biāo)定在離顯示屏頂部2cm處，將Y1的波段開關(guān)調(diào)至0.5V/cm，將Y2的光標(biāo)定在離顯示屏底部2cm處，將Y2的波段開關(guān)調(diào)至0.5V/cm。

注意：凡今后技能訓(xùn)練中需要使用示波器時(shí)，應(yīng)首先將所需通路的光標(biāo)定位。

(3)用雙蹤示波器觀察UR1、UL，將觀察到的波形繪制在坐標(biāo)紙上，從波形上測出UL與I的相位差(即UL1與UR1的時(shí)間差t)=

ms，折算成相位差=

。將相關(guān)數(shù)據(jù)填入訓(xùn)練表11-1中。訓(xùn)練表11-1

2)R、C串聯(lián)電路

(1)按訓(xùn)練圖11-2接線，調(diào)節(jié)信號發(fā)生器的輸出電壓，使輸出US=1V，f=2500Hz(信號電壓以示波器測量的為準(zhǔn))。

(2)接通雙蹤示波器，將Y1的光標(biāo)定在離顯示屏頂部2cm處，將Y1的波段開關(guān)調(diào)至0.5V/cm，將Y2的光標(biāo)定在離顯示屏底部2cm處，將Y2的波段開關(guān)調(diào)至0.5V/cm。訓(xùn)練圖11-2接線圖

(3)用雙蹤示波器觀察UR1、UC，將觀察到的波形繪制在坐標(biāo)紙上。從波形上測出：UC與I的相位差(即UC與UR1的時(shí)間差t)=

ms，折算成相位差=

。將相關(guān)數(shù)據(jù)填入訓(xùn)練表11-2中。訓(xùn)練表11-2

5.訓(xùn)練注意事項(xiàng)

(1)數(shù)字萬用表、函數(shù)信號發(fā)生器與雙蹤示波器是常用電工儀器儀表，對其應(yīng)達(dá)到熟練使用的程度。

(2)由雙蹤示波器讀出的電壓是信號的峰值電壓，萬用表測出的電壓是信號的有效值，根據(jù)所學(xué)的知識，看一下它們之間的關(guān)系是否與測量的數(shù)據(jù)一致。

6.思考題

根據(jù)本訓(xùn)練中給定的電路各參數(shù)，將計(jì)算結(jié)果與測量數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，看看誤差大不大？分析一下是什么原因。

7.訓(xùn)練報(bào)告內(nèi)容

(1)根據(jù)訓(xùn)練數(shù)據(jù)計(jì)算L、C的值，計(jì)算結(jié)果與標(biāo)定值是否一致？

(2)整理訓(xùn)練數(shù)據(jù)，分析誤差產(chǎn)生的原因。

(3)畫出由雙蹤示波器看到的各種波形圖。

1.訓(xùn)練目的

(1)研究提高感性負(fù)載功率因數(shù)的方法和意義。

(2)進(jìn)一步熟悉和掌握交流儀表和自耦調(diào)壓器的使用。

(3)進(jìn)一步加深對相位差等概念的理解。技能訓(xùn)練十二提高感性負(fù)載功率因數(shù)的研究

2.原理說明

供電系統(tǒng)由電源(發(fā)電機(jī)或變壓器)通過輸電線路向負(fù)載供電。負(fù)載通常有電阻性負(fù)載，如白熾燈和電阻加熱器等，及電感性負(fù)載，如電動機(jī)、變壓器和線圈等。一般情況下，

這兩種負(fù)載會同時(shí)存在。由于電感性負(fù)載有較大的感抗，因而功率因數(shù)較低。

若電源向負(fù)載傳送的功率P=UIcosφ，當(dāng)功率P和供電電壓U一定時(shí)，功率因數(shù)cosφ越低，線路電流I就越大，從而增加了線路電壓降和線路功率損耗。若線路總電阻為Rl，則線路電壓降和線路功率損耗分別為ΔUl=IRl和ΔPl=I2Rl；另外，負(fù)載的功率因數(shù)越低，表明無功功率就越大，電源就必須用較大的容量和負(fù)載電感進(jìn)行能量交換，電源向負(fù)載提供有功功率的能力就必然下降，從而降低了電源容量的利用率。因而，為提高供電系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)效益和供電質(zhì)量，必須采取措施提高電感性負(fù)載的功率因數(shù)。提高電感性負(fù)載功率因數(shù)的方法，通常是在負(fù)載兩端并聯(lián)適當(dāng)數(shù)量的電容器，使負(fù)載的總無功功率Q＝QL－QC減小，在傳送的有功率功率P不變的情況下，使功率因數(shù)提高，線路電流減小。當(dāng)并聯(lián)電容器的QC＝QL時(shí)，總無功功率Q＝0，此時(shí)功率因數(shù)cosφ＝1，線路電流I最小。若繼續(xù)并聯(lián)電容器，反而導(dǎo)致功率因數(shù)下降，線路電流增大，這種現(xiàn)象稱為過補(bǔ)償。

用三表法測量電源電壓U、負(fù)載電流I和功率P，用公式

λ=cosφ=可以測量、計(jì)算出負(fù)載功率因數(shù)。本訓(xùn)練使用的電感性負(fù)載是鐵芯線圈，由220V交流電源經(jīng)自耦調(diào)壓器調(diào)壓供電。

3.訓(xùn)練設(shè)備

(1)交流電壓表、電流表和功率表。

(2)自耦調(diào)壓器(輸出交流可調(diào)電壓)。

(3)ＥＥＬ—55A組件(含白熾燈220V、40W，日光燈40W、鎮(zhèn)流器，電容器４.3μＦ、2.2μＦ／４００Ｖ)。

4.訓(xùn)練內(nèi)容

1)日光燈電路的連接和測量

測量電路如訓(xùn)練圖12-1所示。首先把自耦調(diào)壓器手柄調(diào)到零位，斷開電容器支路的開關(guān)S，仔細(xì)檢查電路。接通電源，調(diào)節(jié)自耦調(diào)壓器的輸出電壓為220V(日光燈額定電壓)，點(diǎn)亮日光燈后，測量并記下此時(shí)的電流I、鎮(zhèn)流器兩端電壓UL、燈管兩端電壓UR、日光燈的總功率P，將數(shù)據(jù)記入訓(xùn)練表12-1中。

合上電源開關(guān)，觀察電流表在啟動瞬間和日光燈亮點(diǎn)后的變動情況，記下燈管啟動時(shí)的啟動電流I啟。訓(xùn)練圖12-1接線圖

2)感性負(fù)載功率因數(shù)的提高

分別取C=1μF、2.2μF、3.2μF、4.3μF、5.3μF，合上電容支路的開關(guān)S1，接通電源并使用電壓U為額定值，重新測量I、UL、UR、P、IRL，并測量電容支路的電流IC，把測量結(jié)果記入訓(xùn)練表12-1中。訓(xùn)練表12-1

5.訓(xùn)練注意事項(xiàng)

(1)功率表要正確接入電路，通電時(shí)要經(jīng)指導(dǎo)教師檢查。(2)注意正確使用自耦調(diào)壓器。

(3)本訓(xùn)練用電流插頭和插座測量3條支路的電流。

6.思考題

根據(jù)訓(xùn)練數(shù)據(jù)，計(jì)算出日光燈和并聯(lián)不同電容器時(shí)的功率因數(shù)，并說明并聯(lián)電容器對功率因數(shù)的影響。

7.訓(xùn)練報(bào)告內(nèi)容

(1)根據(jù)訓(xùn)練表12-1中的電流數(shù)據(jù)，說明I＝IC＋I(xiàn)RL嗎？為什么？

(2)總結(jié)提高功率因數(shù)的方法。前面已介紹了直流電路。直流電路中的電壓和電流的大小和方向都不隨時(shí)間變化，但實(shí)際生產(chǎn)中廣泛應(yīng)用的是一種大小和方向隨時(shí)間按一定規(guī)律周期性變化且在一個(gè)周期內(nèi)的

平均值為零的周期電流或電壓，叫做交變電流或電壓，簡稱交流。如果電路中電流或電壓隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化，叫做正弦交流電路。4.1正弦交流電的基本概念正弦交流電容易進(jìn)行電壓變換，便于遠(yuǎn)距離輸電和安全用電，所以在實(shí)際中得到了廣泛的應(yīng)用。工程中一般所說的交流電，通常都指正弦交流電。

本章的主要內(nèi)容有：正弦量的基本概念及表示，交流電路中基本元件的特性，一般交流電路的分析，交流電路的功率和功率因數(shù)的提高等。4.1.1正弦交流電的特征參數(shù)

1.交流電的函數(shù)表示和波形圖

大小隨時(shí)間按一定規(guī)律做周期性變化且在一個(gè)周期內(nèi)平均值為零的電流(電壓、電動勢)稱為交流電。交流電的變化形式是多種多樣的。隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的電流(電壓、

電動勢)稱為正弦電量，或稱為正弦交流電(簡稱交流電)。圖4-1-1所示的波形圖對應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

i=Imsin(ωt+φ)

(4-1)圖4-1-1正弦交流電流波形

2.交流電的參數(shù)

以電流為例，圖4-1-1所示為正弦電流的波形，它表示了電流的大小和方向隨時(shí)間做周期性變化的情況。

1)最大值

正弦交流電在周期性變化過程中，出現(xiàn)的最大的瞬時(shí)值稱為交流電的最大值。從正弦波的波形上看為波幅的最高點(diǎn)，所以也稱幅值。正弦交流的最大值即式(4-1)中的Im。正弦量的一個(gè)周期內(nèi)，兩次達(dá)到同樣的最大值，只是方向不同。

2)周期

所謂周期，就是交流電完成一個(gè)循環(huán)所需要的時(shí)間，用字母Ｔ表示，單位為秒(s)。單位時(shí)間內(nèi)交流電變化所完成的循環(huán)數(shù)稱為頻率，用f表示，據(jù)此定義，頻率與周期值互為倒數(shù)，即

(4-2)頻率的單位為1／秒(1/s)，又稱為赫茲(Hz)，工程實(shí)際中常用的單位還有kHz、MHz及GHz等，它們的關(guān)系為1kHz(千赫)=103Hz，1MHz(兆赫)=106Hz，1GHz(吉赫)=109Hz。相應(yīng)的周期單位為ms(毫秒)、μs(微秒)、ns(納秒)。工程實(shí)際中，往往也以頻率區(qū)分電路，例如高頻電路、低頻電路。我國和世界上大多數(shù)國家，電力工業(yè)的標(biāo)準(zhǔn)頻率即所謂的“工頻”是50Hz，其周期為0.02s，少數(shù)國家(如美國、日本)的工頻為60Hz。在其他技術(shù)領(lǐng)域中也用到各種不同的頻率。聲音信號的頻率約為20～20000Hz，廣播中波段載波頻率為535～1605Hz，電視用的頻率以MHz計(jì)，高頻爐的頻率為200～300kHz，中頻爐的頻率是500～8000Hz。正弦量解析式中的角度(ωt+φ)叫做正弦量的相位角，簡稱相位。正弦量在不同的瞬間t，有著不同的相位，對應(yīng)的值(包括大小和正負(fù))也不同，隨著時(shí)間的推移，相位逐漸增加。相位每增加2πrad(弧度)，正弦量經(jīng)歷了一個(gè)周期，又重復(fù)原先的變化規(guī)律。為了簡明起見，在電路分析中i(t)、u(t)常用i、u表示。正弦量相位增加的速率

(4-3)叫做正弦量的角頻率。其單位為rad/s(弧度/秒)。

因?yàn)檎伊棵拷?jīng)歷一個(gè)周期T的時(shí)間，相位增加2πrad，所以正弦量的角頻率ω、周期T和頻率f三者的關(guān)系為

(4-4)

ω、T、f三者都反映了正弦量變化的快慢，3個(gè)量中只要知道一個(gè)，其他兩個(gè)物理量就可以求得。例如，我國工業(yè)和民用電的頻率f=50Hz(稱為工頻)，其周期T=1/50=0.02s，角頻率ω=314rad/s。ω越大，即f越大或T越小，正弦量循環(huán)變化越快；ω越小，即f越小或T越大，正弦量循環(huán)變化越慢。直流量可以看成ω=0(即f=0，T=∞)的正弦量。

3)初相位

t=0時(shí)正弦量的相位，叫做正弦量的初相位，簡稱初相，用φ表示。計(jì)時(shí)起點(diǎn)選擇不同，正弦量的初相不同。一般規(guī)定－π＜φ＜π，即其絕對值不超過π。如φ=320°，可化

為φ=320°-360°=-40°。t=0時(shí)正弦量的值為i(0)=Imsinφi。綜上所述，如果知道一個(gè)正弦量的振幅、角頻率(頻率)和初相位，就可完全確定該正弦電量，即可用數(shù)學(xué)表達(dá)式或用波形圖將它表示出來。所以稱這3個(gè)量為正弦量的三要素。

4)相位差

兩個(gè)同頻率正弦量

u=Umsin(ωt+φu)

i=Imsin(ωt+φi)

相位分別為ωt+φu，ωt+φi，其相位差Δφ=(ωt+φu)-(ωt+φi)=φu-φi，即它們的初相位之差。

注意：只有兩個(gè)同頻率的正弦量才能比較相位差。初相相等的兩個(gè)正弦量，它們的相位差為零，稱這樣的兩個(gè)正弦量同相。同相的兩個(gè)正弦量同時(shí)達(dá)到零值，同時(shí)達(dá)到最大值。稱相位差為π的兩個(gè)正弦量反相。反相的兩個(gè)正弦量各瞬間的值都是異號的，并同時(shí)為零。如圖4-1-2所示，i1與i2同相，i2與i3反相。兩個(gè)正弦量的初相不等，相位差就不為零。例如：φui=φu-φi=60°，我們就稱u比i超前60°(或稱i比u滯后60°)。超前的時(shí)間為。應(yīng)當(dāng)注意，當(dāng)兩

個(gè)同頻率正弦量的計(jì)時(shí)起點(diǎn)改變時(shí)，它們的初相跟著改變，初始值也改變，但是兩者的相位差保持不變，即相位差與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇無關(guān)。習(xí)慣上，規(guī)定相位差的絕對值不超過π。

上述u與i的波形如圖4-1-3，計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，初相位不同。圖4-1-2同相與反相的電流圖4-1-3u(t)與i(t)的初相位不同

例4-1

一正弦交流電，最大值為311V，t=0時(shí)的瞬時(shí)值為269V，頻率為50Hz，寫出其解析式。

解設(shè)該正弦電流的解析式為

u=Umsin(ωt+φ)

因?yàn)棣?2πf=2π×50=314rad/s，又已知t=0時(shí)，u(0)=269V和Um=311V，即

269=311sinφ，sinφ=0.866所以φ=60°或φ=120°，故解析式為

u=311sin(314t+60°)V

或

u=311sin(314t+120°)V

例4-2

分別寫出圖4-1-4中電流i1、i2的相位差，并說明i1與i2的相位關(guān)系。圖4-1-4例4-2圖

解

(a)由圖知φ1=0，φ2=90°，φ12=φ1－φ2=－90°，表明i1滯后于i290°。

(b)由圖知φ1=φ2，φ12=φ1－φ2=0°，表明二者同相。

(c)由圖知φ1－φ2=π，表明二者反相。

(d)表明

。4.1.2正弦交流電的有效值

上面已介紹了正弦量的瞬時(shí)值和最大值，它們都不能確切反映在能量轉(zhuǎn)換方面的效果，為此，引入有效值。在日常生活和生產(chǎn)中提到的220V、380V及常用于測量交流電壓和交流電流的各種儀表所指示的數(shù)值，電氣設(shè)備上的額定值都指的是交流電的有效值。交流電的有效值是根據(jù)它的熱效應(yīng)而定義的。某一電阻組件R，周期電流i在其一個(gè)周期T秒內(nèi)流過該電阻產(chǎn)生的熱量與某一直流電流在同一時(shí)間T內(nèi)流過該電阻產(chǎn)生的熱量相等，則這個(gè)周期電流的有效值在數(shù)值上等于這個(gè)直流量的大小。有效值用大寫字母表示，如I、U等。

一個(gè)周期內(nèi)直流電流通過電阻R所產(chǎn)生的熱量為

Q=I2RT交流電流通過同樣的電阻R，在一個(gè)周期內(nèi)所產(chǎn)生的熱量為

Q=

i2Rdt

根據(jù)定義，這兩個(gè)電流所產(chǎn)生的熱量相等，即

I2RT=

i2Rdt(4-5)

故交流電的有效值為

(4-6)I=

對于交流電壓也有同樣的定義，即

(4-7)

當(dāng)電阻R上通一正弦交流電流i=Imsinωt時(shí)，由有效值定義可知

(4-8)I=

同樣，正弦電壓的有效值為

(4-9)因此正弦量的解析式也可以寫為

(4-10)

(4-11)一般電器設(shè)備上所標(biāo)明的電流、電壓值都是指有效值。使用交流電流表、電壓表所測出的數(shù)據(jù)也多是有效值。但在分析整流器的擊穿電壓、計(jì)算電氣設(shè)備的絕緣耐壓時(shí)，要按交流電壓的最大值考慮。

例4-3

一個(gè)正弦電壓的初相為60°，有效值為110V，試求它的解析式。

解因?yàn)閁=100V，所以其最大值為110V，故電壓的解析式為

u=100sin(ωt＋60°)

例4-4

照明電源的額定電壓為220V，動力電源的額定電壓為380V，問它們的最大值各為多少?

解額定電壓均指有效值，據(jù)式(4-9)

Um=

U

故照明電的最大值

Um=

×220V=311V

動力電的最大值

Um=

×380V=537V4.2.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算規(guī)則

直接用正弦量的解析式或波形分析計(jì)算正弦交流電路，計(jì)算量大且比較麻煩。在線性交流電路中，所有的電流和電壓與電路所施加的激勵(lì)是同頻率的正弦量。因此，可以用一

種簡便的表示方法來分析交流電路，常用的方法為相量表示法，由于相量法要涉及到復(fù)數(shù)的運(yùn)算，因此先簡單復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)的概念。4.2正弦量的相量表示法在數(shù)學(xué)中常用A=a+bi表示復(fù)數(shù)。其中i表示虛單位，在電工技術(shù)中，為了區(qū)別于電流的符號，虛單位用j表示。

1)復(fù)數(shù)的4種表示形式

(1)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式

A=a+jb

(2)復(fù)數(shù)的三角形式

A=rcosθ+jrsinθ

(3)復(fù)數(shù)的指數(shù)形式

A=rejθ

(4)復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式

A=r∠θ

其中，a表示實(shí)部，b表示虛部，r表示復(fù)數(shù)的模，θ表示復(fù)數(shù)的輻角，它們之間的關(guān)系如下：

r=

θ=arctan

a=rcosθ

b=rsinθ

2)復(fù)數(shù)的運(yùn)算

(1)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算。設(shè)

A1=a1+jb1,A2=a2+jb2

則A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)

(2)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算。設(shè)

A1=r1∠θ1,A2=r2∠θ2

則

在電路分析時(shí)常用代數(shù)形式和極坐標(biāo)形式。

例4-5

已知復(fù)數(shù)A1=2+j2，A2=1-j，試求A1+A2，A1-A2，A1×A2，。

解因?yàn)锳1=2+j2=2∠45°,A2=1-j

=2∠-60°所以

A1+A2=(2+1)+j(2-

)=3+j0.268

A1-A2=(2-1)+j(2+

)=1+j3.732

A1×A2=2

×2∠45°-60°=4∠-15°

4.2.2正弦量的相量表示法及其運(yùn)算規(guī)則

用相量表示正弦交流電的方法是：在直角坐標(biāo)系中畫一個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量，如圖4-2-1所示。

該矢量的長度等于正弦交流電的最大值(或有效值)，與橫軸正向的夾角等于正弦交流電的初相位，并且以正弦交流電的角頻率ω為角速度做逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。該旋轉(zhuǎn)矢量每個(gè)瞬間在虛軸上的投影就與該正弦量各瞬間的值相對應(yīng)。如果將縱

軸改為虛軸，橫軸作為實(shí)軸，則該矢量可以表示成一個(gè)復(fù)數(shù)，這個(gè)復(fù)數(shù)即稱為相量。圖4-2-1旋轉(zhuǎn)矢量圖所謂相量表示法，就是用模值等于正弦量的最大值(或有效值)、輻角等于正弦量的初相的復(fù)數(shù)表示相應(yīng)正弦量的方法。這樣的復(fù)數(shù)就叫做正弦量的相量。

相量的模等于正弦量的有效值時(shí)，叫做有效值相量，用、等表示。相量的模等于正弦量的最大值時(shí)，叫最大值相量，用、等表示。

如正弦交流電流i和電壓u的瞬時(shí)值表達(dá)式分別為

習(xí)慣上多采用正弦量的有效值相量的極坐標(biāo)形式，即

(4-12)

在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，也用到其三角式，即

把同頻率正弦量的相量畫在復(fù)平面上所得的圖叫做相量圖。把不同頻率的正弦量的相量畫在同一復(fù)平面上，是沒有意義的。

例4-6

已知同頻率的正弦電流和電壓的解析式分別為i=10sin(ωt+30°)A，u=220sin(ωt-45°)V，試寫出電流和電壓相量、，并繪出相量圖。圖4-2-2例4-6圖

解由解析式可得

其相量圖如圖4-2-2所示。

在電路的分析計(jì)算中，會碰到求正弦量的和差問題，可以借助三角函數(shù)及其波形來確定所得的正弦量，但這樣做既不方便也不易準(zhǔn)確。由數(shù)學(xué)可知：同頻率的正弦量相加或相減所得結(jié)果仍是一個(gè)同頻率的正弦量，且有：正弦量的和的相量，等于正弦量的相量和。設(shè)正弦量i1、i2的相量分別為、，則i=i1+i2的相量

這個(gè)定理可以按平行四邊形法則證出，本書從略。根據(jù)這個(gè)定理，求正弦量的和、差問題就轉(zhuǎn)化為求復(fù)數(shù)的和、差或復(fù)平面上矢量的和、差問題，電路中的計(jì)算問題就比較簡單。顯然，把不同頻率正弦量的相量相加是沒有意義的。

在電路分析計(jì)算時(shí)，通常先做相量圖進(jìn)行定性分析，然后利用復(fù)數(shù)計(jì)算具體結(jié)果，最后再將結(jié)果轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的瞬時(shí)值表達(dá)式。該種方法被稱為相量圖輔助分析法。

例4-7

已知i1=3

sinωtA，i2=4

sin(ωt+90°)A，若i=i1+i2，求和i。

解用相量計(jì)算，=3∠0°A，=4∠90°A

=3∠0°+4∠90°

=3cos0°+j3sin0°+4cos90°+j4sin9

=3+j4

=5∠53.1°A所以

i(t)=5sin(ωt+53.1°)A

例4-8

圖4-2-3所示為交流電路中某一回路，已知u1=10sinωtV,u2=16sin(ωt+90°)V，求u3。

圖4-2-3例4-8圖

解由KVL可得

u1+u2-u3=0或u3=u1+u2

而

=10∠0°V=10V

=16∠90°=j16V

則有

所以

u3=18.87sin(ωt+57.99°)V4.3.1電阻元件正弦交流電路的分析

在交流電路的分析中，對于元件上各量的參考方向，一般不加說明，仍遵循在直流電路中的約定，即電流和電壓的方向?yàn)殛P(guān)聯(lián)參考方向。電阻組件的關(guān)聯(lián)參考方向、波形圖和

相量圖如圖4-3-1(a)所示。4.3單一參數(shù)正弦交流電路的分析圖4-3-1純電阻電路(a)電阻元件的關(guān)聯(lián)參考方向、波形圖和相量圖;(b)電阻元件的電流、電壓波形及功率設(shè)電阻元件R上的電流i與其兩端的電壓u為關(guān)聯(lián)參考方向，則該電阻元件上電壓、電流的瞬時(shí)值仍遵從歐姆定律，即有

(4-13)

下面分析正弦交流電路中的電阻元件。

1.電壓與電流關(guān)系

在交流電路中，凡電阻起主要作用的負(fù)載如白熾燈、電烙鐵、電爐、電阻器等，其電感很小，可忽略不計(jì)，可把這樣的負(fù)載稱為電阻元件。僅由電阻元件構(gòu)成的交流電路稱為純電阻電路。

設(shè)通過電阻元件的正弦電流i=I

sin(ωt+φi)，則與該電流關(guān)聯(lián)的電阻元件的電壓為

其中

(4-14)

即電阻元件電壓、電流的有效值仍遵從歐姆定律，且同相。

將式(4-14)寫成相量式:

(4-15)

U=RI

由式(4-15)可以看出：

(1)電阻元件的電流和電壓瞬時(shí)值、最大值、有效值關(guān)系都遵從歐姆定律。

(2)電阻元件的電流與電壓同相，如圖4-3-1(a)所示。

2.純電阻電路的功率

電阻元件是一耗能元件。在正弦交流電路中，其消耗的功率是隨時(shí)間變化的，如圖4-3-1(b)所示。電阻元件在某一時(shí)刻的功率稱為瞬時(shí)功率，設(shè)φi=0，則把瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值稱為平均功率，即

(4-16)

(4-17)

式(4-14)、(4-16)和(4-17)中公式的形式，與直流電路中相應(yīng)公式的形式完全相同，但公式中符號的意義完全不同，此處U、I均指正弦量的有效值。

例4-9有一個(gè)220V、40W的白熾燈，其兩端電壓u=311sin(314t+30°)V。試求：

(1)通過白熾燈電流的相量和瞬時(shí)值表達(dá)式；

(2)每天使用4h，每kW·h收費(fèi)0.45元，每月(30天)應(yīng)付的電費(fèi)。

解

(1)白熾燈屬于電阻性負(fù)載，電壓的相量表達(dá)式為

電流的相量表達(dá)式為

=0.182∠30°

電流的瞬時(shí)值表達(dá)式為

每月消耗的電能為

W=Pt=40×4×30=4.8kW·h

則每月應(yīng)付電費(fèi)

4.8×0.45=2.16元4.3.2電感元件連接形式及其正弦交流電路的分析

1．電感元件連接

電路中電感元件經(jīng)常以導(dǎo)線繞成的線圈形式出現(xiàn)。當(dāng)電流通過線圈時(shí)，線圈周圍就建立了磁場，根據(jù)電磁感應(yīng)定律，在電壓、電流關(guān)聯(lián)參考方向下，線圈的端電壓與電流的

變化率成正比，即

(4-18)上式說明，變化的電流流過電感時(shí)產(chǎn)生電壓降。在直流電路中，電流不變化，理想電感元件上的電壓降為零，相當(dāng)于短路。

圖4-3-2(a)所示為電感串聯(lián)電路，各電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)，由電感元件的電壓、電流關(guān)系知

，

，

。由KVL可知電路端口電壓為

即電感串聯(lián)后的等效電感為各串聯(lián)電感之和:

L=L1+L2+L3

(4-19)圖4-3-2(b)所示為電感并聯(lián)電路。利用電感元件上電壓、電流的關(guān)系知:

由KCL得

i=i1+i2+i3端口電壓

即電感并聯(lián)電路的等效電感的倒數(shù)等于并聯(lián)各電感倒數(shù)之和，即

(4-20)圖4-3-2電感連接電路

2．電壓、電流關(guān)系

如圖4-3-3(a)所示，電感元件的電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向。

設(shè)通過電感元件的正弦

電流為

圖4-3-3純電感電路則電感元件的電壓為

所以

U=ωLI

(4-21a)或

Um=ωLIm

(4-21b

φu=φi+90°(4-22a)

或

φui=φu-φi=90°(4-22b)電壓的相量表達(dá)式為

式中，ωL稱為電感元件的感抗，用XL表示，即XL=ωL=2πfL，單位為歐姆(Ω)。XL與ω成正比，頻率愈高，XL愈大，在一定電壓下，I愈小；在直流情況下，ω＝0，XL=0，則電感元件在交流電路中具有通低頻、阻高頻的特性。電壓的相量表達(dá)式還可寫為

(4-23)式(4-23)即為電感元件在正弦交流電路中電壓、電流的相量關(guān)系式。

電感元件在正弦交流電路中電壓、電流的相量圖如圖4-3-3(b)所示。

由式(4-23)可知：

(1)電感元件的電壓和電流的最大值、有效值之間符合歐姆定律形式。

(2)電感元件的電壓相位超前電流相位90°。3．純電感電路的功率

設(shè)φi=0，純電感電路的瞬時(shí)功率為

瞬時(shí)功率是以兩倍于電流的頻率、按正弦規(guī)律變化的，最大值為UI＝I2XL，其波形如圖4-3-3(c)所示。

從瞬時(shí)功率的波形可以看出，在第1個(gè)T/4和第3個(gè)T/4時(shí)間內(nèi)，U與I同方向，P為正，電感從外界吸收能量，線圈起負(fù)載作用；在第2個(gè)T/4和第４個(gè)T/4時(shí)間內(nèi)，U與I反向，P為負(fù)值，電感向外釋放能量，即把磁能轉(zhuǎn)換為電能。電感元件放出的能量等于其吸收的能量，故電感元件是儲能元件，只與外電路進(jìn)行能量交換，本身不消耗能量。因此，電感元件在一個(gè)周期內(nèi)的平均功率為零。這一點(diǎn)可由正弦函數(shù)的對稱性，利用積分的概念加以證明。本書從略。

為了衡量電感元件與外界交換能量的規(guī)模，引入電感元件無功功率QL的概念，即

(4-24)這里，“無功”的含義是“功率交換而不消耗”，并不是“無用”。無功功率的單位是var(乏)或kvar(千乏)。與無功功率相對應(yīng)，工程上還常把平均功率稱為有功功率。

例4-10

電路如圖4-3-4所示，直流電壓源US=8V，R1=1Ω，R2=R3=6Ω，L=0.1H，電路已經(jīng)穩(wěn)定。求L的電流和磁場儲能。

解電路直流穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，電感相當(dāng)于短路，電路總電阻為

圖4-3-4例4-10圖則

電感電流為

電感儲存的磁場能量為

例4-11

一個(gè)線圈電阻很小，可略去不計(jì)。電感L=35mH，求該線圈在50Hz和1000Hz交流電路中的感抗。若把該線圈接在U=220V、f=50Hz的交流電路中，電流I、有功功

率P和無功功率QL各是多少？

解

(1)f=50Hz時(shí)

XL=2πfL=2π×50×35×10-3≈11Ωf=1000Hz時(shí)

XL=2πfL=2π×1000×35×10-3≈220Ω

(2)當(dāng)U=220V，f=50Hz時(shí)

電流

有功功率

P=0

無功功率

QL=UI=220×20=4400var4.3.3電容元件連接形式及其正弦交流電路的分析

1．電容元件

在電路中還經(jīng)常用到另一種電路元件，稱為電容器。當(dāng)兩個(gè)金屬板中間用介質(zhì)(絕緣材料)隔開時(shí)，便組成電容器。在交流電路中，由于電流方向不斷發(fā)生變化，電容上存儲

的電荷量也隨著變化。根據(jù)電流的定義，流過電容的電流等于其電荷量的變化率，故有

(4-25)上式說明，流過電容的電流與電容兩端電壓的變化率成正比。

1)電容并聯(lián)電路

電容并聯(lián)電路如圖4-3-5(a)所示，設(shè)端口電壓為u，每個(gè)電容的電壓都為u，它們所充的電荷量為

q1=C1u,q2=C2u,q3=C3u圖4-3-5電容連接電路它們所充的總電荷量為

q=q1+q2+q3=(C1+C2+C3)u

故并聯(lián)電容的等效電容

(4-26)即并聯(lián)電容的等效電容等于各個(gè)電容之和。

2)電容串聯(lián)電路

電容串聯(lián)電路如圖4-3-5(b)所示，由電路可知，

因此，串聯(lián)電容的等效電容的倒數(shù)等于并聯(lián)各電容倒數(shù)之和，即

(4-27)

2．電壓、電流關(guān)系

如圖4-3-6(a)所示，電容元件的電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向。

設(shè)電容元件的端電壓u=U

sin(ωt+φu)，則電路中的電流為

圖4-3-6純電容電路因此

I=ωCU

(4-28a)

或

Im=ωCUm

(4-28b

φi=φu+90°(4-29a)或

φui=φu-φi=-90°

(4-29b)電流的相量表達(dá)式為

式中，稱為電容元件的容抗，用XC表示，即

，單位為歐姆(Ω)。XC與ω成反比，頻率愈高，XC愈小，電壓一定時(shí)，I愈大；在直流情況下，ω＝0，XC=∞。

電容元件在交流電路中具有隔直、通交和通高頻、阻低頻的特性。電容元件電壓的相量表達(dá)式還可寫為

(4-30)該式為電容元件在正弦交流電路中電流、電壓的相量關(guān)系式，圖4-3-6(b)所示為電流、電壓的相量圖(設(shè)φi=0，則φu=-90°)。

由式(4-30)可知：

(1)電容元件的電壓和電流的最大值、有效值符合歐姆定律。

(2)電容元件的電流相位超前電壓相位90°。

3．純電容電路的功率

設(shè)φi=0，純電容電路的瞬時(shí)功率為

與純電感電路的瞬時(shí)功率相似，純電容電路瞬時(shí)功率也是以兩倍于電流的頻率、按正弦規(guī)律變化的，其最大值為UI＝I2XC，其波形如圖4-3-6(c)所示。從瞬時(shí)功率的波形可以看出，在第一個(gè)和第三個(gè)內(nèi)，u與i反向，p為負(fù)值，即電容元件釋放能量，但在第二和第四個(gè)內(nèi)，u與i同方向，p為正值，即電容吸收能量，P為正。由曲線的對稱性可知，吸收的能量與釋放的能量相同，因此電容元件是儲能元件。同理，電容的平均功率為零，電容的無功功率為

(4-31)電容元件的無功功率為負(fù)值，表明它與電感轉(zhuǎn)換能量的過程相反，電感吸收能量時(shí)，電容釋放能量，反之亦然。

例4-12

電路如圖4-3-7所示，R1=4Ω，R2=R3=R4=2Ω，C=0.2F，IS=2A，電路已經(jīng)穩(wěn)定。求電容元件的電壓及儲能。圖4-3-7例4-12圖

解電路穩(wěn)定時(shí)，電容相當(dāng)于開路，則

電容電壓為

UC=UBD=R3I+R4IS=(2×1+2×2)=6V

電容儲存的電場能量為

例4-13流過0.5F電容的電流i=sin(100t-30°)A，求關(guān)聯(lián)參考方向下，電容的電壓u和無功功率QC。

解用相量關(guān)系求解:

4.4.1基爾霍夫電壓定律的相量形式

根據(jù)能量守恒定律，基爾霍夫電壓定律也同樣適用于交流電路的任一瞬間，即同一瞬間，電路的任一個(gè)回路中各段電壓瞬時(shí)值的代數(shù)和等于零，即

∑u=04.4基爾霍夫定律的相量形式在正弦交流電路中，各段電壓都是同頻率的正弦量，所以表示一個(gè)回路中各段電壓相量的代數(shù)和也等于零，即

(4-32)

這就是相量形式的基爾霍夫電壓定律(KVL)。4.4.2基爾霍夫電流定律的相量形式

基爾霍夫電流定律的實(shí)質(zhì)是電流的連續(xù)性原理。在交流電路中，任一瞬間電流總是連續(xù)的，因此，基爾霍夫定律也適用于交流電路的任一瞬間，即任一瞬間流過電路的一個(gè)節(jié)

點(diǎn)(閉合面)的各電流瞬時(shí)值的代數(shù)和等于零，即

∑i=0正弦交流電路中各電流都是與電源同頻率的正弦量，把這些同頻率的正弦量用相量表示,即得

(4-33)電流前的正負(fù)號是由其參考方向決定的。若支路電流的參考方向流出節(jié)點(diǎn)，取正號，流入節(jié)點(diǎn)取負(fù)號，式(4-33)就是相量形式的基爾霍夫電流定律(KCL)。

例4-14

在如圖4-4-1所示電路中，已知電流表、、

、的讀數(shù)分別是3Ａ、8Ａ、4Ａ，求電路中電流表的讀數(shù)。圖4-4-1例4-14圖

解設(shè)端電壓，選定電流參考方向如圖4-4-1所示，則

由KCL得

電流表的讀數(shù)為5Ａ。

例4-15

如圖4-4-2所示電路中，電壓表、、的讀數(shù)都是50Ｖ，試分別求各電路中的讀數(shù)。圖4-4-2例4-15圖

解設(shè)電流為參考相量，即=I∠0°A。選定i、u1、u2、u3的參考方向如圖4-4-2所示，則

由KVL

電壓表的讀數(shù)為50Ｖ。4.5.1

RLC串聯(lián)電路

1．電流、電壓關(guān)系

如圖4-5-1(a)所示，正弦電流i對應(yīng)的相量=I∠φi，通過RLC元件，分別產(chǎn)生的電壓降為uR、uL、uC，相應(yīng)的相量為、、，3個(gè)元件通過相同電流，每個(gè)元件的電流、電壓關(guān)系如下：

4.5RLC串聯(lián)電路及復(fù)阻抗

而端口總電壓u=uR+uL+uC，對應(yīng)的相量式為

整理得

令，而Z=R+j(XL-XC)=R+jX稱為電路的復(fù)阻抗，單位為歐姆(Ω)，其中X=XL-XC稱為電抗，單位為歐姆(Ω)，故有

(4-34)圖4-5-1RLC串聯(lián)式(4-34)稱為相量形式的歐姆定律。RLC串聯(lián)電路的相量圖，如圖4-5-1(b)所示(設(shè)ＸL>ＸC)。從相量圖可以看出，總電壓與總電流有一個(gè)相位差φ，由圖知

若=U∠φu，=I∠φi，則式(4-34)可寫為

(4-35)其中，|Z|稱為復(fù)阻抗的阻抗值;φ稱為阻抗角，是電流與電壓的相位差。

由此可以看出，通過電路的電流的頻率及元件參數(shù)不同，電路所反映出的性質(zhì)也不同。

如果頻率和元件參數(shù)使得ＸL>ＸC，則Ｘ>0，電壓超前電流，電路呈感性，如圖4-5-1(b)所示；相反，若ＸL<ＸC，Ｘ<0，電壓滯后電流，電路呈容性，如圖4-5-1(c)所示；若ＸL=ＸC，X=0，電壓與電流同相，電路呈電阻性，如圖4-5-1(d)所示。此時(shí)，我們也稱電路發(fā)生諧振。

2．功率

為了分析方便，取電路電流為參考正弦量，φi=0,φu=φ，則瞬時(shí)功率可寫為

相應(yīng)的平均功率或有功功率為

即

P=UIcosφ(4-36a)

對于RLC串聯(lián)電路，流過電阻、電感、電容3元件的電流相同，因此繪制出的電壓、阻抗和功率三角形如圖4-5-2所示。圖4-5-2電壓、阻抗和功率三角形由功率三角形很容易得到無功功率Q和視在功率Ｓ

Q=UIsinφ(4-36b)

S=UI(4-36c)雖然式(4-36)是由串聯(lián)電路推出的，但它卻是計(jì)算正弦交流電路功率的一般公式。

由上述可知，交流發(fā)電機(jī)輸出的功率不僅與發(fā)電機(jī)的端電壓及輸出電流有效值的乘積有關(guān)，還與電路(負(fù)載)的參數(shù)有關(guān)。電路參數(shù)不同，電路的性質(zhì)就不同，電壓與電流的相位差也不同，在同樣的電壓U和電流I之下，電路的有功功率和無功功率也就不同。式(4-36a)中的cosφ稱為功率因數(shù)。視在功率也稱為功率容量，交流電氣設(shè)備是按照規(guī)定的額定電壓UN和額定電流IN來設(shè)計(jì)使用的。變壓器的容量就是以額定電壓和額定電流的乘積來表示的，即SN=UNIN。

視在功率的單位是V·A(伏安)或kV·A(千伏安)。由功率三角形或式(4-36b)可以得出3個(gè)功率之間的關(guān)系

(4-37)4.5.2復(fù)阻抗

1.復(fù)阻抗的計(jì)算

(1)直接計(jì)算:

Z=R+jXL-jXC=R+j(XL-XC)=R+jX=|Z|∠φ

式中，R為電阻，X為電抗，|Z|=為阻抗模值，φ=arctan為阻抗角。

(2)間接計(jì)算:

即阻抗模值是電壓有效值與電流有效值的比，阻抗角等于電壓與電流的相位差。

2.阻抗角與電路性質(zhì)

(1)當(dāng)φ>0(XLXC)時(shí)，電壓超前電流，電路呈感性；

(2)當(dāng)φ<0(XLXC)時(shí)，電流超前電壓，電路呈容性；

(3)當(dāng)φ=0(XL=XC)時(shí)，電壓與電流同相，電路呈電阻性。

例4-16

有一RLC串聯(lián)電路，外加電壓其中R=30Ω，L=382mH，C=39.8μF，求:

(1)復(fù)阻抗Z，并確定電路性質(zhì)；

(2)、、、。

解

(1)復(fù)阻抗

因此，此電路為感性。

(2)

例4-17

日光燈導(dǎo)通后，鎮(zhèn)流器與燈管串聯(lián)，其模型為電阻與電感的串聯(lián)。一個(gè)日光燈電路的電阻R=300Ω、L=1.66H，工頻電源的電壓為220V，試求燈管電流及其與電源電壓的相位差、燈管電壓、鎮(zhèn)流器電壓。

解鎮(zhèn)流器的感抗

XL=ωL=314×1.66Ω=521.5Ω電路的復(fù)阻抗

Z=R+jXL=(300+j521.5)Ω=601.6∠60.1°Ω

即燈管電壓比燈管電流超前60.1°。燈管電流、燈管電壓及鎮(zhèn)流器電壓分別計(jì)算如下：

4.6.1RLC并聯(lián)電路

對如圖4-6-1所示電路，根據(jù)KCL可得：

4.6RLC并聯(lián)電路及復(fù)導(dǎo)納圖4-6-1RLC并聯(lián)電路由R

、L

、C三元件的伏安關(guān)系得：

即

(4-38)

式中Y=G+jBC-jBL=G+jB稱為復(fù)導(dǎo)納。以電壓相量為參考相量，可做如圖4-6-2所示的相量圖。從該圖可見，I、IG、IB(IL-IC)三者組成一個(gè)直角三角形，稱為電流三角形，三者之間滿足：

圖4-6-2相量圖4.6.2復(fù)導(dǎo)納

1.復(fù)導(dǎo)納的計(jì)算

(1)直接計(jì)算:

Y=G+jBC-jBL

=G+j(BC-BL)

=G+jB

=|Y|∠φ′圖4-6-3導(dǎo)納三角形式中,G為電導(dǎo)，B為電納，|Y|為導(dǎo)納模值，φ′為導(dǎo)納角，G、B和|Y|之間符合導(dǎo)納三角形關(guān)系，如圖4-6-3所示。

(2)間接計(jì)算:

2.導(dǎo)納角與電路性質(zhì)

(1)當(dāng)φ′>0時(shí)，電流超前電壓，電路呈容性；

(2)當(dāng)φ′<0時(shí)，電壓超前電流，電路呈感性；

(3)當(dāng)φ′=0時(shí)，電壓與電流同相，電路呈電阻性。

例4-18

電路如圖4-6-4所示。已知U=10V，求各支路電流，并畫出相量圖。

解令端電壓為參考相量，則=10∠0°V。由=Y可得各支路電流分別為

=G

=10∠0°×0.5=5∠0°A

=-jBL

=10∠0°×(-j0.2)=2∠-90°A

=jBC

=10∠0°×j0.4=4∠90°A

并聯(lián)電路的復(fù)導(dǎo)納為

Y=G-jBL+jBC=0.5-j0.2+j0.4

=0.5+j0.2=0.54∠21.8°S

則總電流為

=Y=0.54∠21.8°×10∠0°=5.4∠21.8°A圖4-6-4例4-18圖4.7.1阻抗的串聯(lián)

圖4-7-1所示是兩個(gè)阻抗串聯(lián)的電路，由基爾霍夫定律可寫出其相量表達(dá)式：

(4-39)

所以，其等效復(fù)阻抗Z=Z1+Z2。4．7阻抗的串聯(lián)與并聯(lián)圖4-7-1兩個(gè)阻抗串聯(lián)

由于U≠U1+U2，即I|Z|≠I|Z1|+I|Z2|，所以|Z|≠|(zhì)Z1|+|Z2|。由此可見，等效復(fù)阻抗等于各個(gè)串聯(lián)復(fù)阻抗之和，而阻抗值的關(guān)系不成立。一般情況下，等效復(fù)阻抗可寫為

Z=∑ZK=∑RK+j∑XK=|Z|ejφ

(4-40a)其中

(4-40b)

復(fù)阻抗串聯(lián)時(shí)，分壓公式仍然成立。以兩個(gè)阻抗的串聯(lián)為例，其分壓公式為

(4-41)

例4-19

在圖4-7-2(a)所示電路中，Z1=6+j9Ω，Z2=2.66-j4Ω，，試計(jì)算電路中的電流和各阻抗上的電壓，并做相量圖。

解由于阻抗串聯(lián)，有

Z=Z1+Z2=(6+j9+2.66-j4)Ω=(8.66+j5)Ω=10∠30°Ω

所以各阻抗上的電壓分別為

做出的相量圖如圖4-7-2(b