《電路分析基礎》課件5第4章

4.1疊加定理與齊次定理

4.2替代定理

4.3戴維南定理和諾頓定理

4.4最大功率傳輸定理

4.5特勒根定理

4.6互易定理

4.7對偶原理

習題4第4章電路定理4.1疊加定理與齊次定理

線性電路的基本性質是具有線性特性，包含疊加性和齊次性(或比例性)。它們是分析線性電路的重要依據(jù)，也是推導其他電路定理的基礎。4.1.1疊加定理

在含有多個(或多種)激勵的線性電路中，如何得到響應與激勵之間的關系？疊加定理為研究這類問題提供了理論依據(jù)和方法，并經(jīng)常作為建立其他電路定理的基礎和方法。

下面以圖4.1-1(a)所示電路為例來討論這一問題。圖4.1-1(a)中有一個獨立電壓源和一個獨立電流源，試用網(wǎng)孔法求電路中的響應電流i。圖4.1-1說明疊加定理的例子設網(wǎng)孔電流為i1、i2。由圖可知，i2=is,對網(wǎng)孔1列出的KVL方程為

(R1+R2)i1+R2is=us

所以

于是

(4.1-1)由式(4.1-1)可知，響應i與兩個激勵都有關系，而且第一項只與us有關，第二項只與is有關。如令

則可將電流i寫為

i=i′+i″式中，i′正比于us，可看做該電路在is=0(電流源視為開路)、僅us單獨作用時R2上產(chǎn)生的電流，如圖4.1-1(b)所示；i″正比于is，可看做該電路在us=0(電壓源視為短路)、僅is單獨作用時R2上產(chǎn)生的電流，如圖4.1-1(c)所示。響應與激勵的關系式(4.1-1)表明：由兩個激勵產(chǎn)生的響應等于每一激勵單獨作用時產(chǎn)生的響應之和。響應與激勵之間關系的這種規(guī)律對任何具有唯一解的線性電路都是適用的，具有普遍意義。因此，線性電路中響應與多個激勵之間的這種關系稱為疊加性。

疊加定理可表述為：在任何由線性元件、線性受控源及獨立源組成的線性電路中，每一支路的響應(電壓或電流)都可以看成是各個獨立源單獨作用而其他激勵為零(即其他獨立電壓源短路，獨立電流源開路)時，在該支路中產(chǎn)生響應的代數(shù)和。

上面通過一具有兩個獨立源的電路對疊加定理進行了說明。如果有m個獨立電壓源，n個獨立電流源共同作用于線性電路，那么電路中第k條支路的電壓uk和第k條支路的電流ik可分別表示為

uk=k1us1+…+kmusm+km+1is1+…+km+nisn

ik=k11us1+…+k1musm+k1(m+1)is1+…+k1(m+n)isn

其中，系數(shù)取決于電路的參數(shù)和結構，與激勵無關。必須指出：疊加定理必須在電路具有唯一解的假設下才能成立。在使用疊加定理時應注意：

(1)疊加定理僅適用于線性電路。

(2)疊加定理只能求解電壓和電流，不能用來計算功率。

(3)應用疊加定理求電壓、電流，疊加時應特別注意按照參考方向求其代數(shù)和。

(4)當一獨立源作用時，其他獨立源都應等于零(即獨立電壓源短路，獨立電流源開路)。

(5)受控源不是獨立源。在獨立源每次單獨作用時受控源都要保留，其數(shù)值隨每一獨立源單獨作用時控制量數(shù)值的變化而變化。

(6)疊加的方式是任意的。對于含多個獨立源的線性電路，可以將電路中的獨立源分成幾組，如何分組要視具體電路而定，每組中可以包含一個或多個獨立源。其分組的基本原則是:在各分解電路中求解欲求的響應要方便易行。

【例4.1-1】如圖4.1-2(a)所示的電路，求電壓u和電流i。

【解】本題獨立源數(shù)目有三個，若每一個獨立源單獨作用一次，則需作3個分解圖，分別計算3次，比較麻煩。這里采用獨立源分組作用?？紤]本電路結構的特點，使3A獨立電流源單獨作用一次，其余獨立源共同作用一次，作兩個分解圖，如圖4.1-2(b)、(c)所示。由圖(b)得圖4.1-2例4.1-1圖

由圖(c)得

所以，由疊加定理得

u=u′+u″=2+2=4V

i=i′+i″=1－2=－1A

【例4.1-2】如圖4.1-3(a)所示的電路，求電流i、電壓u和1Ω電阻消耗的功率P。

【解】利用疊加定理求解。當10V獨立電壓源單獨作用時，將6A獨立電流源開路，受控源不是激勵，應和電阻一樣保留，如圖4.1-3(b)所示。由于這時的控制量為i′，因此受控電壓源的電壓為3i′。列回路的KVL方程：

－10+2i′+i′+3i′=0圖4.1-3例4.1-2圖

解得

當6A獨立電流源單獨作用時，將10V獨立電壓源短路，受控源保留，如圖4.1-3(c)所示。這時的控制變量為i″，故受控電壓源的電壓為3i″。根據(jù)KVL有：

2i″+1×(6+i″)+3i″=0

解得

i″=－1A,u″=－2×i″=2V

根據(jù)疊加定理，可得

1Ω電阻消耗的功率：

4.1.2齊次定理

齊次定理體現(xiàn)了線性電路的齊次性(又稱比例性)。

齊次定理的內容表述為：當只有一個激勵源(獨立電壓源或獨立電流源)作用于線性電路時，其任意支路的響應(電壓或電流)與該激勵成正比。

【例4.1-3】如圖4.1-4所示的電路，求u、i與激勵源us的關系式。圖4.1-4例4.1-3圖

【解】利用節(jié)點法，列節(jié)點方程得

解得

式中，R1、R2和R3都是常數(shù)。

顯然，若us增大k倍，響應u和i也隨之增大k倍。這種性質稱為齊次性或比例性。

【例4.1-4】如圖4.1-5所示的電路，當us=102V時,求電流i1。圖4.1-5例4.1-4圖

【解】采用倒推法。設i1=1A，則應用節(jié)點電壓法、KCL及KVL逐次求得

即

us=ud=34

V

故得

所以，當us=102V時：

4.2替代定理

替代定理又稱置換定理，它對于簡化電路的計算非常實用。無論是線性、非線性、時變、時不變電路，替代定理都是成立的。

替代定理的內容表述為：在具有唯一解的電路中，若已知第k條支路的電壓uk或電流ik，則該支路可用大小和方向相同的電壓源uk替代，或用大小和方向相同的電流源ik替代，或用阻值為uk/ik的電阻(uk與ik參考方向關聯(lián))替代，替代后電路其余各處的電壓、電流均保持原來的值不變。為了說明替代定理，考慮圖4.2-1(a)所示的電路，先利用節(jié)點法計算出支路電流i1、i2和支路電壓uab,列節(jié)點方程，有

解得

uab=4V

支路電流:

(1)將1Ω與4V串聯(lián)支路用4V獨立電壓源替代，如圖4.2-1(b)所示。由該圖可求得

,i1=10－2=8A,uab=1×i2+2=2+2=4V

(2)將1Ω與4V串聯(lián)支路用8A獨立電流源替代，如圖4.2-1(c)所示。由該圖可求得

i1=8A,i2=10－i1=10－8=2A,uab=1×i2+2=2+2=4V

圖4.2-1驗證替代定理電路

(3)將1Ω與4V串聯(lián)支路用0.5Ω替代，如圖4.2-1(d)所示。由該圖可求得

可見，在三種替代后的電路中，計算出的支路電流i1、i2和支路電壓uab與替代前的原電路是相同的,這就驗證了替代定理的正確性。下面舉例來熟悉替代定理在電路分析中的應用。

【例4.2-1】如圖4.2-2(a)所示的電路，求電路中的電壓u。圖4.2-2例4.2-1圖

【解】應用替代定理，將1A電流源與20Ω電阻串聯(lián)支路用1A電流源替代,2A電流源與10Ω電阻串聯(lián)支路用2A電流源替代,受控電流源與20Ω電阻串聯(lián)支路用受控電流源替代，應用電流源并聯(lián)等效并再次應用替代定理，將圖(a)等效為圖(b)，則又i2－i1=1

即

求得u1=10V

根據(jù)圖(a)得

u=2×10+6+u1=26+10=36V

4.3戴維南定理和諾頓定理

在電路分析中，通常需要研究某一支路上的電壓、電流或功率。對所研究的支路的兩端來說，電路的其余部分就成為一個含源線性二端電路。戴維南定理和諾頓定理就是如何將一個含源線性二端電路等效成一個電源模型的重要定理。4.3.1戴維南定理

戴維南定理的內容可表述為：任一個含源線性二端電路N，可等效為一個電壓源串聯(lián)電阻的電源模型。該電壓源的電壓值uoc等于二端電路N兩個端子間的開路電壓，其串聯(lián)的電阻Ro等于N內部所有獨立源為零(獨立電壓源短路，獨立電流源開路)時所得電路N0的端口等效電阻。

以上表述可用圖4.3-1來表示。圖中,uoc串聯(lián)Ro的模型稱為戴維南等效電源；負載可以是任意的線性或非線性電阻。圖4.3-1戴維南定理示意圖下面對戴維南定理進行證明。

圖4.3-2為線性有源二端電路N與負載相連，設負載上電流為i，電壓為u。根據(jù)替代定理將負載用理想電流源i替代，如圖4.3-3(a)所示，替代后應不影響N中各處的電壓、電流。由疊加定理知，電壓u可分成兩部分，寫為

u=u′+u″

(4.3-1)

圖4.3-2二端電路N接負載電路

其中,u′為由N內所有獨立源共同作用時在端子間產(chǎn)生的電壓,即端子間的開路電壓，如圖4.3-3(b)所示。所以

u′=uoc

(4.3-2)

u″是N內所有獨立源為零，僅由電流源i作用在端子間產(chǎn)生的電壓，如圖4.3-3(c)所示。對N0二端電路來說，把它看成一個等效電阻Ro，且u″與i對Ro參考方向非關聯(lián)，由歐姆定律可得

u″=－Roi

(4.3-3)圖4.3-3戴維南定理的證明將u′、u″代入式(4.3-1)得

u=uoc－Roi(4.3-4)

根據(jù)式(4.3-4)可畫出電路模型如圖4.3-4所示。這樣戴維南定理得證。

開路電壓uoc的求取方法是：先將負載支路斷開，設出uoc的參考方向，如圖4.3-5所示，然后根據(jù)前面求解電路的方法計算該電路的端電壓uoc。

圖4.3-4戴維南等效源模型圖圖4.3-5開路電壓的求法

Ro的求取方法如下：

(1)電阻等效法。當二端電路N內不含受控源時,可采用電阻串并聯(lián)和△-Y互換的方法計算等效電阻(注意：獨立電壓源短路，獨立電流源開路)。若二端電路N內含受控源，則采用下面介紹的方法。

(2)開路、短路法。在求得電路N兩端子間開路電壓uoc后，將兩端子短路，并設端子短路電流isc的參考方向，應用所學的任何方法求出isc，如圖4.3-6所示，等效電阻為(4.3-5)圖4.3-6短路電流的求法

注意：

①若uoc的參考方向是a為高電位端，則isc的參考方向設成從a流向b。

②求uoc、isc時，N內所有獨立源、受控源均保留。

(3)外加電源法。令N內所有的獨立源為0(理想電壓源短路，理想電流源開路)，若含有受控源，則受控源要保留，這時的二端電路用N0表示，在N0兩端子間外加電源。若加電壓源u，則求端子上的電流i(u與i對二端電路來說參考方向關聯(lián))，如圖4.3-7(a)所示；若加電流源i，則求端子間的電壓u，如圖4.3-7(b)所示。兩端子間的等效電阻為圖4.3-7外加電源法求內阻Ro

(4)伏安法。所謂伏安法，就是對二端電路N設出端子上的電壓、電流參考方向后，根據(jù)網(wǎng)絡N的內部結構情況，應用KCL、KVL及歐姆定律的基本概念，推導出N兩個端子上的電壓-電流關系式(VCR)，即二端子間的伏安關系(VAR)。因為網(wǎng)絡N是線性的，所以寫出的伏安關系式是一次式，它的常數(shù)項即是開路電壓uoc，電流i前面所乘系數(shù)即是等效內阻Ro。(4.3-6)

【例4.3-1】如圖4.3-8(a)所示的電路，求當電阻RL分別為1.2Ω、3.2Ω時，該電阻上的電流i。圖4.3-8例4.3-1圖

【解】根據(jù)戴維南定理可知，電路中除RL之外，其他部分所構成的二端電路可以簡化為戴維南等效電路，如圖4.3-8(b)所示。

(1)求uoc。將該二端電路的ab端斷開，如圖4.3-8(c)所示，uoc即為該電路中ab兩端的電壓,設電壓為u1、u2

且它們的參考方向如圖4.3-8(c)所示，列KVL方程：

(2)求Ro。將二端電路內部的獨立電壓源短路，如圖4.3-8(d)所示。應用電阻串并聯(lián)等效方法，得該電路中ab兩端的等效電阻為

Ro=4∥6+6∥4=4.8Ω

(3)根據(jù)已求得的uoc、Ro,由圖4.3-8(b)可求得電流:

將RL=1.2代入上式得

將RL=3.2代入上式得

【例4.3-2】如圖4.3-9(a)所示的電路，求負載電阻RL上的電流iL。圖4.3-9例4.3-2圖

【解】(1)求uoc。將圖4.3-9(a)先作局部等效，并自ab兩端斷開待求支路，設uoc參考方向如圖4.3-9(b)所示。由KVL得

所以

(2)求Ro。

方法一：開路、短路法求Ro。將圖4.3-9(b)中兩端子短路并設短路電流isc的參考方向如圖4.3-9(c)所示。由圖可知:

從而受控電壓源:

(相當于短路)

因此圖4.3-9(c)等效為圖4.3-9(d)，顯然

所以，由式(4.3-5)得

方法二：外加電源法求Ro。將圖4.3-9(b)中的40V獨立電壓源短路，受控源保留，并在ab端子間加電壓源u，設各支路電流如圖4.3-9(e)所示。由圖4.3-9(e)可得

由式(4.3-6)得

(3)畫出戴維南等效源，接上待求支路，如圖4.3-9(f)所示。由圖可得

4.3.2諾頓定理

諾頓定理是戴維南定理的對偶形式，其內容可表述為：任一個有源線性二端電路N可等效為一個電流源并聯(lián)電阻的電源模型。該電流源的電流值isc等于二端電路N兩個端子短路時其上的短路電流，其并聯(lián)的電阻Ro等于N內部所有獨立源為零(獨立電壓源短路，獨立電流源開路)時所得電路N0的端口等效電阻。以上表述可用圖4.3-10來表示。圖中，isc并聯(lián)Ro的模型稱為諾頓戴維南等效電源，負載可以是任意的線性或非線性電阻。

諾頓定理的證明非常簡單。由于任何線性有源二端電路都可以等效為戴維南等效電路，因此根據(jù)電源兩種模型互換即可得到諾頓等效電路，如圖4.3-11所示。所以，諾頓定理可看做是戴維南定理的另一種形式。

由圖4.3-11(b)可以看出，開路電壓、短路電流和戴維南等效電阻三者之間的關系為圖4.3-10諾頓定理等效源模型圖

圖4.3-11諾頓等效電路與戴維南等效電路的關系

【例4.3-3】如圖4.3-12(a)所示的電路，用諾頓定理求u、i。圖4.3-12例4.3-3圖

【解】(1)求短路電流isc。將ab端短路，并標出短路電流isc及其參考方向,如圖4.3-12(b)所示。由圖可得

從而受控源的電壓值為

(相當于短路)

這樣圖4.3-12(b)電路可等效為圖4.3-12(c)，顯然:

(2)求等效電阻Ro。

方法一：外加電源法求Ro。將獨立電壓源短路，并外加電流源i，求電壓u。注意u與i對二端電路應取關聯(lián)參考方向，如圖4.3-12(d)所示。根據(jù)圖4.3-12(d)，對10Ω的電阻利用歐姆定律，有

對節(jié)點a列KCL方程，并將上式代入，有

再對圖4.3-12(d)中左邊的網(wǎng)孔列KVL方程，并將i″和i3代入，得

化簡上式得

u=2.5i2

故

方法二：開路短路法求Ro。短路電流isc在前面已求出，下面只要求出開路電壓uoc即可。設定開路電壓uoc的參考方向，如圖4.3-12(e)所示。由KVL方程得

解得故

根據(jù)式(4.3-5)得

(3)畫出諾頓等效源，接上待求支路，如圖4.3-12(f)所示。由圖可得

u=2.5i=2.5×2=5V

4.4最大功率傳輸定理

如圖4.4-1(a)所示的電路中，由于二端電路N內部的結構和參數(shù)一定，所以戴維南等效電路中的uoc和Ro為定值。負載電阻所吸收的功率PL將隨負載電阻RL的變化而變化，那么負載電阻RL多大時，電源傳輸給負載的功率為最大？圖4.4-1二端電路N及其戴維南等效電源接負載電路由圖4.4-1(b)可知，負載吸收的功率為

因網(wǎng)絡N一定，故式(4.4-1)中的uoc、Ro一定，為求得負載上吸收最大功率的條件，取PL對RL的導數(shù)，并令它等于零，即(4.4-1)

解上式，得

RL=Ro

因此，當RL=Ro時負載RL獲得最大功率，其最大值為

最大功率傳輸定理的內容為：一可變負載電阻接于線性有源二端電路N上，該二端電路的開路電壓

uoc和戴維南等效內阻Ro已知，則當

RL=Ro

(4.4-2)時，負載可獲得最大功率，其最大功率為

式(4.4-2)常稱為最大功率匹配條件。(4.4-3)

對最大功率傳輸定理的幾點說明如下：

(1)運用最大功率傳輸定理時，含有受控源的線性有源二端電路N的戴維南等效內阻不能為零或負值。

(2)二端電路N和它的等效電路就其內部功率而言是不等效的，等效電阻消耗的功率一般并不等于二端電路N內部消耗的功率，因此，實際上當負載得到最大功率時，其功率傳輸效率不一定是50%。

【例4.4-1】如圖4.4-2(a)所示的電路，求負載電阻RL為多大時能獲得最大功率，并求出最大功率PLmax。

【解】(1)由圖4.4-2(b)所示的電路求得端口開路電壓uoc:

uoc=20V

(2)根據(jù)圖4.4-2(c)所示的電路求得端口短路電流isc：

isc=2A

(3)求得等效電阻Ro:

(4)等效電壓源電路如圖4.4-2(d)所示。

(5)由最大功率傳輸定理可知，當

RL=Ro=10Ω

時，其上可獲得最大功率。此時負載RL上獲得的最大功率為圖4.4-2例4.4-1圖

4.5特勒根定理

特勒根定理(Tellgent’sthorem)是由基爾霍夫定律直接導出的，它有兩種表述形式。

特勒根定理的表述形式一：對于任意一個具有b條支路的集總參數(shù)電路，設各支路電壓、支路電流分別為uk、ik(k=1,2,…,b)，且各支路電壓和電流均取關聯(lián)參考方向，則在任意時刻有

(4.5-1)特勒根定理的表述形式二：對于任意兩個拓撲結構完全相同的集總參數(shù)電路N和，設支路數(shù)為b，相對應支路的編號相同，其第k條支路電壓分別為uk和，支路電流分別為ik和(k=1,2,…,b)，且各支路電壓和電流均取關聯(lián)參考方向，則(4.5-2)(4.5-3)下面用兩個一般性的電路來驗證該定理的正確性。圖4.5-1(a)、(b)是兩個不同的電路N和，支路可由任意元件構成，顯然它們具有相同的拓撲結構，設定支路電壓、支路電流取關聯(lián)參考方向，如圖中所示。

對圖4.5-1(a)所示的電路N，將各支路電壓用其節(jié)點電位ua、ub、uc表示，有(4.5-4)圖4.5-1特勒根定理驗證

根據(jù)圖4.5-1(b)所示的電路，對獨立節(jié)點a、b、c列KCL方程，有

(4.5-5)將式(4.5-4)代入式(4.5-2)，有

將式(4.5-5)代入上式，可得

從而驗證了式(4.5-2)，同理也可驗證式(4.5-3)。上述論證過程可推廣到任意電路。

4.6互易定理

互易定理的內容可表述為：對于僅含線性電阻的二端口電路NR，其中一個端口加激勵源，另一個端口作響應端口(即所求響應在該端口上)。在只有一個激勵源的情況下，當激勵與響應互換位置時，同一激勵所產(chǎn)生的響應相同。互易定理可看做是特勒根定理的應用，有三種形式。形式一：如圖4.6-1所示，激勵為電壓源，響應為短路電流，若，則。圖4.6-1互易定理形式一形式二：如圖4.6-2所示,激勵為電流源，響應為開路電壓，若，則。

圖4.6-2互易定理形式二

形式三：如圖4.6-3所示，激勵分別為電壓源和電流源，響應分別為開路電壓和短路電流，若數(shù)值上，則數(shù)值上。

圖4.6-3互易定理形式三互易定理可通過特勒根定理證明，證明過程省略。應用互易定理時需注意以下問題：

(1)互易定理只適用于一個獨立源作用的純線性電阻電路。

(2)互易前后應保持電路的拓撲結構及參數(shù)不變，僅理想電壓源(或理想電流源)搬移，理想電壓源所在支路中的電阻仍保留在原支路中。

(3)對于形式一和形式二，互易前后電壓源極性與1-1′、2-2′支路電流的參考方向應保持一致，即要關聯(lián)都關聯(lián)，要非關聯(lián)都非關聯(lián)；對于形式三，互易前后兩個激勵支路電壓、電流參考方向必須取不一致，即一個電路的激勵支路關聯(lián)，另一個電路的激勵支路非關聯(lián)。

4.7對偶原理

在前面的章節(jié)中，無論是對于電壓源和電流源的分析，還是對于串聯(lián)和并聯(lián)電路的分析，有一個現(xiàn)象值得注意。例如,對于電阻元件，其關系式：

u=Ri

(4.7-1)

或

i=Gu(4.7-2)再例如,電壓源的端電壓：

u=us－Rsi

(4.7-3)

而電流源的輸出電流:

i=is－Gsus

(4.7-4)

在上面的關系式中，如果把式(4.7-1)中的電壓u換成電流i，將電阻R換成電導G，再將電流i換成電壓u，即可得到式(4.7-2)；同樣將式(4.7-3)、式(4.7-4)中的電壓u與電流i互換，等效電阻Rs與等效電導Gs互換，電壓源電壓us與電流源電流is互換，則關系式可以彼此轉換。

從上面所舉的例子可以看到，電路中某些元素之間的關系(或方程)用它們的對偶元素對應地置換后，所得的新關系(或新方程)也一定成立，這個新關系(或新方程)與原有的關系(或方程)互為對偶，這就是對偶原理。

根據(jù)對偶原理，如果導出了電路某一關系式或結論，就等于解決了與它對偶的另一關系式和結論。這就為電路的分析提供了方便。必須注意，“對偶”和“等效”是兩個不同的概念。習題4

4-1用疊加定理求圖4-1所示電路中的電壓u。圖4-1習題4-1圖4-2用疊加定理求圖4-2所示電路中的電流i。圖4-2習題4-2圖4-3用疊加定理求圖4-3所示電路中的電壓u，并求電流源的功率。圖4-3習題4-3圖4-4如圖4-4所示的電路，N為不含獨立源的線性電路。已知當us=10V、is=4A時，u=1V；當us=－10V、is=－2A時，u=1V。求當us=20V、is=8A時的電壓u。圖4-4習題4-4圖4-5應用疊加定理求圖4-5所示電路中的電壓u。圖4-5習題4-5圖4-6電路如圖4-6所示。

(1)is=4A，求此情況下的電流i和電壓u。

(2)is=12A，求此情況下的電流i和電壓u。圖4-6習題4-6圖4-7如圖4-7所示的梯形電路。

(1)已知u2=4V，求us、i和u1。

(2)已知us=27V，求i、u1和u2。

(3)已知i=1.5A，求us、u1和u2。圖4-7習題4-7圖4-8如圖4-8所示的電