《電路分析基礎(chǔ)》課件第9章

9.1三相電路

9.2對稱三相電路的分析

9.3不對稱三相電路的概念

9.4三相電路的功率

9.5練習(xí)題及解答提示

習(xí)題9第9章三相電路三相電路是復(fù)雜正弦交流電路的一種特殊形式。由于它在發(fā)電、輸電和用電等方面較單相電路有許多優(yōu)點，因此在電力供電系統(tǒng)中被廣泛應(yīng)用。

三相電路的特殊性在于：它是由三個幅值相等、頻率相同、初相互差120°的對稱電源構(gòu)成的，而不同于一般的多電源電路。正是由于三相電源之間的這種特定關(guān)系，對于對稱三相電路的分析可歸結(jié)為單相計算，而對于不對稱三相電路可采用我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的電路一般分析方法來進行分析。本章主要介紹對稱三相電源、對稱三相電路的組成及電壓和電流的相值和線值之間的關(guān)系，對稱三相電路歸結(jié)為單相計算的方法，并簡要介紹不對稱三相電路的計算及三相電路的功率。電路是由電源和負(fù)載通過一定的連接方式構(gòu)成的。對稱三相電源是由三個幅值相等、頻率相同、初相依次滯后120°的正弦電壓源連接成星形(Y)或三角形(△)組成的電源，如圖9-1(a)、(b)所示。9.1三相電路圖9-1對稱三相電壓源的連接這三個電源依次稱為Ａ相、Ｂ相和Ｃ相，它們的電壓瞬時表達式及其相量分別為(以uA作為參考正弦量)：

(9-1)(9-2)對于三相電源，通常把各相電壓經(jīng)過同一值(如最大值)的先后次序稱為相序。若相序為A→B→C，則稱為正序或順序；相反，若相序為A→C→B，則稱為反序或逆序。電力系統(tǒng)一般都采用正序。在三相電路分析中，如無特殊說明均指正序。

對稱三相電壓各相的波形和相量圖如圖9-2(a)、(b)所示。

圖9-2三相電源電壓的波形和相量圖對稱三相電壓滿足：

uA+uB+uC=0

(9-3)或

對稱三相電壓源是由三相發(fā)電機提供的。我國三相系統(tǒng)電源的頻率為50Hz，入戶電壓為220V，而日、美、歐洲等國為60Hz、110V。(9-4)圖9-1(a)所示為三相電源的星形(Y)連接方式，從三個電壓源正極性端子A、B、C向外引出的導(dǎo)線稱為端線，俗稱火線。從中(性)點N引出的導(dǎo)線稱為中線，或稱零線。若把三相電壓源的正極性端和負(fù)極性端順次連接成一個回路，再從端子A、B、C引出端線，如圖9-1(b)所示，就是三相電源的三角形(△)連接。三角形連接的電源不能引出中線。三角形連接時，各相電源的極性不能接錯，否則，會在電源閉合回路中產(chǎn)生大電流，燒毀電機，造成事故。三相電路中的負(fù)載是由三個負(fù)載阻抗組成的，每一個負(fù)載稱為三相負(fù)載的一相。若三個負(fù)載的阻抗相同，則稱為對稱負(fù)載；否則，稱為不對稱負(fù)載。三相負(fù)載也有星形(Y)和三角形(△)兩種連接方式，如圖9-3(a)、(b)所示。圖9-3(a)中，三個負(fù)載的公共點N′稱為三相負(fù)載的中點。圖9-3三相負(fù)載的連接方式由于三相電源和三相負(fù)載均有星形(Y)和三角形(△)兩種連接方式，因此當(dāng)三相電源和三相負(fù)載通過供電線連接構(gòu)成三相電路時，可以有四種不同的連接方式，它們分別是：Y—Y連接、Y—△連接、△—Y連接和△—△連接。

三相電壓源通常都是對稱的；負(fù)載可能對稱，也可能不對稱。無論三相負(fù)載是Y接還是△接，只有當(dāng)三相負(fù)載完全相等，即ZA=ZB=ZC=Z,才稱為對稱三相負(fù)載。而對稱三相電路是由對稱三相電源、對稱三相負(fù)載及對稱三相線路組成的電路。三相線路是指三相端線，若各端線阻抗相等，則稱為對稱三相線路。在Y—Y連接中，可把三相電源的中性點Ｎ和負(fù)載的中性點N′用一條具有阻抗為ZN的中線連接起來，如圖9-4中虛線所示，這種三相四線制電路在供電系統(tǒng)中用的最多。對于對稱三相電路，負(fù)載阻抗ZA=ZB=ZC=Z，端線阻抗ZlA=ZlB=ZlC=Zl，若取N′點為參考點，由節(jié)點分析法得:即(9-5)由式(9-5)可見，兩中性點間的電位差為零，則中線電流，也就是說，在對稱三相電路中，中線可省略不用，這就構(gòu)成了三相三線制電路。但是，實際負(fù)載一般難以達到完全對稱，故中線往往存在因不對稱而引起的電流。圖9-4三相四線制的Y—Y三相電路在三相電路中，將每相電源或每相負(fù)載上的電壓稱為電源或負(fù)載的相電壓；流過每相電源或每相負(fù)載的電流稱為電源或負(fù)載的相電流。火線間的電壓稱為線電壓；火線中的電流稱為線電流。習(xí)慣上將關(guān)于相電壓、相電流的量用下標(biāo)“p”表示，將關(guān)于線電壓、線電流的量用下標(biāo)“l(fā)”表示。9.2對稱三相電路的分析我們以三相電源端為例(負(fù)載端也相同)，說明線電壓(電流)與相電壓(電流)的關(guān)系。在圖9-1(a)所示電路中，線電流等于相電流，而線電壓不等于相電壓。三相電源的線電壓為，相電壓為，線電壓和相電壓的關(guān)系為(9-6)顯然，星形連接的對稱三相電源，在數(shù)值上線電壓是相電壓的倍，在相位上線電壓超前對應(yīng)的相電壓30°。若以Ul表示線電壓的有效值，則它與相電壓的有效值Up的關(guān)系為

(9-7)

星形連接的對稱三相電源的線電壓與相電壓之間的關(guān)系，可用圖9-5(a)所示的電壓相量圖表示，也可用圖9-5(b)表示，它是根據(jù)式(9-6)做出的。圖9-5對稱三相電源Y接的相電壓和線電壓關(guān)系

星形連接的對稱三相電源的電壓、電流關(guān)系對星形連接的對稱三相負(fù)載也適用。

圖9-3(b)所示為三相負(fù)載的△連接形式。顯然，線電壓等于相電壓，而線電流和相電流不相等。下面討論線電流與相電流間的關(guān)系。

由圖9-3(b)可得線電流與相電流

間的關(guān)系為

(9-8)若負(fù)載為對稱負(fù)載，即ZA=ZB=ZC=Z，并取

，則可得線電流與相電流的相量圖如圖9-6所示，即

(9-9)圖9-6對稱三相負(fù)載三角形連接的線電流和相電流關(guān)系由式(9-9)可知，在數(shù)值上線電流為相電流的倍，在相位上線電流滯后對應(yīng)的相電流30°。若以Il表示線電流的有效值，則與相電流的有效值Ip的關(guān)系為

(9-10)

同理，三角形連接的對稱三相負(fù)載的電壓、電流關(guān)系對三角形連接的對稱三相電源也適用。由于對稱三相電路是一類特殊的正弦交流電路，因此正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析完全適用于三相電路的分析和計算，并且根據(jù)對稱三相電路的特點，可簡化對稱三相電路的分析與計算。

例9-1

對稱三相電路如圖9-4所示，已知ZA=ZB=ZC=Z=

(6.4+j4.8)Ω,ZlA=ZlB=ZlC=Zl=(3+j4)Ω，線電壓UAB=380V，求負(fù)載端的線電壓和線電流。

解該電路為Y—Y對稱電路，由于UNN′＝0，故各線電流和相電流相互獨立，彼此無關(guān)。那么只要分析其中一相，其他兩相的電流可根據(jù)對稱性直接寫出，即對稱的Y—Y三相電路可歸結(jié)為一相計算。圖9-7為一相計算電路中的Ａ相電路。令，由圖9-7可得線電流為

故

圖9-7一相計算電路

再求相電壓，然后利用線電壓和相電壓的關(guān)系就可求得負(fù)載端的線電壓。Ａ相的相電壓為

由式(9-6)得對應(yīng)于的線電壓為

由對稱性得:

由以上分析可見，由于具有對稱性，三相電路的計算可簡化為一相計算。其實，無論電源端是Y形接法還是△形接法，只要知道施加于負(fù)載端的線電壓，就可對負(fù)載端進行分析和計算。

例9-2

圖9-8所示對稱三相電路中，Z=10∠60°Ω，線電壓，試求負(fù)載端的相電流和線電流。

圖9-8例9-2題圖

解負(fù)載為△形接法，線電壓等于相電壓,故相電流為

由對稱性得：

由式(9-9)即線電流和相電流間的關(guān)系，得線電流為

由對稱性得:

由以上分析可知，求解△形負(fù)載的三相電路時，一般需知每相負(fù)載上所加的電壓，然后由已給負(fù)載阻抗Z，即可求得某相負(fù)載的相電流，再根據(jù)線電流和相電流間的關(guān)系，即可求得該相負(fù)載對應(yīng)的線電流。即仍可計算一相，另兩相由對稱性推知。

對于△形連接的三相負(fù)載，也可等效變換為Y接三相負(fù)載，根據(jù)已知條件，先求出線電流，原電路中的相電流可由線電流和相電流的關(guān)系得到。

例9-3

三相對稱電路如圖9-9(a)所示，電源線電壓有效值為380Ｖ，

Z1=10+j10Ω，Z2=18+j24Ω,求、和。

圖9-9例9-3題圖

解當(dāng)三相電源的連接方式?jīng)]有明確給出時，那么其連接方式可以是△形，也可以是Y形，但要保證三相電源提供給負(fù)載端的線電壓是一定的。為計算方便,通常假設(shè)電源

是Y形連接。

設(shè)電源A的相電壓為

兩組對稱負(fù)載，一個是△形連接，一個是Y形連接。若對負(fù)載Z2進行△—Y變換，則可以對A相進行單獨計算。△—Y變換如圖9-9(b)所示，其中

由于對稱性，中性點N1和N2是同電位點(即重合在一起)，由此得A相等效電路如圖9-9(c)所示。由圖9-9(c)得：

則

為了求，回到原電路，如圖9-9(a)所示。是△形負(fù)載端線Ａ的線電流，而等于△形負(fù)載的相電流，即。由式(9-9)得

一般來說，分析含有多組對稱負(fù)載的對稱三相電路時，比較簡單的方法是把電源和負(fù)載都變換成Y形連接，再取出一相進行計算，最后再回到原電路中根據(jù)電壓、電流的相、線關(guān)系求出待求量。三相電路中，只要有一部分不對稱就稱為不對稱三相電路。

不對稱三相電路通常指負(fù)載是不對稱的，而電源仍是對稱的。對于不對稱三相電路的分析，一般不能用上一節(jié)介紹的一相計算方法，而應(yīng)用KCL、KVL、網(wǎng)孔法、節(jié)點法等正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法進行分析和計算。

圖9-10(a)所示的Y—Y連接電路中，三相電源是對稱的，但負(fù)載不對稱。9.3不對稱三相電路的概念圖9-10不對稱三相電路當(dāng)開關(guān)S打開，即無中線時，由節(jié)點法以N′點為參考點，可得

(9-11)由于阻抗不對稱，故一般情況下,即N和N′點電位不同。圖9-10(b)為各電壓相量圖，可見N點和N′點不重合，該現(xiàn)象稱為中性點位移。根據(jù)中性點位移的情況可判斷負(fù)載端不對稱的程度，當(dāng)中性點位移較大時，會造成負(fù)載端的電壓嚴(yán)重不對稱，將導(dǎo)致負(fù)載不能正常工作。從相量圖還可看到，各相的工作是相互關(guān)聯(lián)而不是各自獨立的。當(dāng)開關(guān)S閉合，即有中線時，若中線的阻抗ZN=0，則可強迫使，迫使各相保持獨立，因而各相可分別單獨計算。雖然各相負(fù)載不對稱，

但加在各相負(fù)載上的電壓仍是一組對稱電壓，克服了無中線時各相負(fù)載上電壓不對稱的缺點。所以,在負(fù)載不對稱的情況下中線的存在非常重要，它能起到保證安全供電的作用。由于線電流、相電流不對稱，故中線電流一般不為零，即

當(dāng)(無中線)，即電源中性點和負(fù)載中性點不重合時，各相負(fù)載的相電壓為

(9-12)若中性點間電壓表示為，因，故各相負(fù)載的相電壓為

(9-13)

例9-4

圖9-11為不對稱負(fù)載的Y—Y連接電路，負(fù)載Z1=10∠30°Ω，Z2=20∠60°Ω，Z3=15∠－45°Ω，線電壓的有效值為380Ｖ。求：

(1)圖9-11(a)所示三相電路的線電流和中線電流。

(2)圖9-11(b)所示無中線時的線電流及負(fù)載中性點N′與電源中性點Ｎ之間的電壓。

圖9-11例9-4題圖

解

(1)相電壓有效值為

若以為參考相量，則有

雖然三相負(fù)載不對稱，但電源為一組對稱電源，且有中線存在(中線阻抗ZN=0)，所以各相可分別單獨計算。各線電流分別為：

中線電流為

2)若取消中線，電路如圖9-11(b)所示，這時分配到各相負(fù)載上的電壓將不平衡，不可逐相分別計算?？捎谜曳€(wěn)態(tài)電路的分析方法來分析，常用網(wǎng)孔法、節(jié)點法求解。本題用網(wǎng)孔法分析如下：設(shè)網(wǎng)孔電流、如圖9-11(b)中所示，則網(wǎng)孔方程為

解得：即線電流分別為：

負(fù)載中性點至電源中性點的電壓為

有中線時，為零;無中線時，的數(shù)值為

57.12Ｖ，中性點位移較大，使負(fù)載上的電壓嚴(yán)重不對稱，將導(dǎo)致負(fù)載不能正常工作

例9-5

在圖9-12(a)所示電路中，若(電容)，而ZB=ZC=R(R為白熾燈的等效電阻)，并且，則電路是一種測定相序的儀器，稱為相序指示器。試說明在三相電源對稱的情況下，如何根據(jù)兩個燈泡承受的電壓確定相序。

圖9-12例9-5題圖

解由節(jié)點分析法根據(jù)式(9-11)得

設(shè)電源端相電壓，并代入已知參數(shù)，得

由式(9-13)可知，Ｂ相燈泡承受的電壓為

即

UBN′=1.5Up

Ｃ相燈泡承受的電壓為

即

UCN′=0.4Up

由以上結(jié)果可以看出：Ｂ相負(fù)載上的電壓幅值遠(yuǎn)大于Ｃ相負(fù)載上的電壓幅值。因此，Ｂ相燈泡的亮度大于Ｃ相燈泡的亮度，即當(dāng)指定電容所在相為Ａ相后，較亮的燈泡所接的是Ｂ相，較暗的燈泡所接的是Ｃ相。由相量圖可以很清楚地看出各相電壓之間的關(guān)系，如圖9-12(b)所示。

綜上分析可見，對于Y—Y連接的不對稱三相電路，只要求出三相電路中性點間的電壓(用節(jié)點法比較方便)，由于三相電源是給定的，那么加在每相負(fù)載上的電壓就確定了，待求響應(yīng)便可求出。如不特別說明，三相電路的功率一般都指三相總功率。與一般的正弦穩(wěn)態(tài)電路相同，三相電路的功率也有有功功率、無功功率、復(fù)功率等。

對于對稱三相電路，單相有功功率為

Pp=UpIpcosθZ

三相功率為

P=3Pp=3UpIpcosθZ

(9-14)9.4三相電路的功率當(dāng)負(fù)載作星形連接時，

當(dāng)負(fù)載作三角形連接時，

(9-15)(9-16)將式(9-15)和式(9-16)代入式(9-14)，則對稱三相電路的三相總功率又可表示為

即

式(9-17)中的阻抗角θZ同式(9-14)中的阻抗角，都是指每相負(fù)載的功率因數(shù)角，即相電壓和相電流的相位差。(9-17)

同理可得對稱三相電路的無功功率和視在功率分別為：

不對稱三相電路的總功率需分別計算出三相各自的功率再相加得到。在三相電路中，三相負(fù)載吸收的復(fù)功率等于各相復(fù)功率之和，即。在對稱三相電路中，因為，所以總的復(fù)功率。

(9-18)

(9-19)需要特別指出的是，對稱三相電路的瞬時功率是恒定的，且等于其平均功率P。下面分析對稱三相電路的瞬時功率。

設(shè)，，則Ａ相的瞬時功率為

同理，得

在任一瞬間，三相瞬時功率之和為

(9-20)由分析結(jié)果可見，雖然每一相的瞬時功率是隨時間變化的，但三相的瞬時功率之和卻是一個常數(shù)，且等于三相電路的平均功率。這是對稱三相電路的一個優(yōu)越的性能，對三相電動機而言，該性能可使電動機轉(zhuǎn)動平穩(wěn)。

例9-6

已知三相對稱電源的線電壓Ul=380V，對稱負(fù)載Z=3+j4Ω。求：

(1)負(fù)載是星形連接時的有功功率P，無功功率Q，視在功率S。

(2)負(fù)載是三角形連接時的有功功率P，無功功率Q，視在功率S。

解

(1)負(fù)載星形連接時，有

每相負(fù)載的阻抗角為

可得:

有功功率

無功功率

視在功率

(2)負(fù)載三角形連接時，有

有功功率

無功功率

視在功率

由該例的分析可看出，在線電壓相同的情況下，負(fù)載由Y形連接改為△形連接后，相電流為原來的倍，線電流為原來的3倍，所以,負(fù)載△形連接的功率是負(fù)載Y形連接時功率的3倍。

1.三相Y接電源的相電壓相量為，

，，請問它們之間的相序如何？

提示：相序是指三個電壓達到最大值的先后次序。這是一組對稱三相電源，相位差為120°。［A→C→B］9.5練習(xí)題及解答提示

2.Y形連接的對稱負(fù)載，每相阻抗Z=(8+j6)Ω，線電壓為220V，試求各相電流，并計算三相總功率。

提示：Y接對稱負(fù)載，有，Il=Ip。設(shè)

可單獨計算，可由對稱性推出?？偣β手苯佑檬接嬎恪?/p>

［,P=3871W］

3.三相對稱電流向?qū)ΨQ△形負(fù)載供電，已知線電流

，試求負(fù)載的相電流。

提示：參見圖9-3(b)所示的線、相電流關(guān)系，由已知的，可知和。

再由式(9-9)即可求得相電流，相電流也只需要解出一相，另兩相可推知。

4.某一三相對稱負(fù)載接在380Ｖ的線路上使用，已知功率為10kW，功率因數(shù)為0.8，求電流。

提示：若無特別說明，三相電路中所給電壓均指線電壓，電流均指線電流。由式(9-17)可求得電流。

［19A］

5.Y—Y連接的三相三線制電路，電源對稱，正序，線電壓有效值為240Ｖ，負(fù)載ZA=3∠0°Ω，ZB=4∠60°Ω,ZC=5∠90°Ω,試求每相電流。

提示：參見圖9-11(b)所示電路，可用網(wǎng)孔法，見例

9-4。也可用節(jié)點法，先求出，然后由式(9-13)可求出各相負(fù)載的相電壓，相電流便可求出。

9-1對稱三相電路，三相負(fù)載作星形連接，各相負(fù)載阻抗Z=3+j4Ω，設(shè)對稱三相電源的線電壓

，試求各相負(fù)載電流的瞬時值表達式。

9-2已知三角形連接的對稱負(fù)載接于對稱星形連接的三相電源上，若每相電源相電壓為220Ｖ，各相負(fù)載阻抗Z=30+j40Ω，試求負(fù)載相電流和線電流的有效值。習(xí)題9

9-3電源線電壓為380Ｖ的對稱三相電路如題圖9-3所示，已知|Z1|=10Ω,cosθ1=0.6(θ1>0),Z2=－j50Ω,ZN=

(1+j2)Ω,求線電流。

題圖9-3

9-4題圖9-4所示的對稱三相電路中，已知負(fù)載吸收的功率為2.4kW，功率因數(shù)λ=0.6，為對稱三相感性負(fù)載，線電壓U2=380V。

求：

(1)線電流Il。

(2)負(fù)載為星形連接時的每相阻抗ZY。

(3)負(fù)載為三角形連接時的每相阻抗Z△。題圖9-4

9-5已知對稱三相電路如題圖9-5所示，三相電路的線電壓Ul=380V(電源端)，三角形負(fù)載阻抗Z=(4.5+j14)Ω，端線阻抗Zl=(1.5+j2)Ω。試求線電流和負(fù)載的相電壓，并作相量圖。

題圖9-5

9-6將題圖9