2025年華師大新版九年級數學上冊階段測試試卷

…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年華師大新版九年級數學上冊階段測試試卷942考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共6題，共12分)1、一個可以改變體積的密閉容器內裝有一定質量的某種氣體，當改變容器體積時，氣體的密度也隨之改變．密度ρ（單位：kg/m3）與體積V（單位：m3）滿足函數關系式ρ=（k為常數，k≠0），其圖象如圖所示，那么當V≥6m3時，氣體的密度ρ（單位：kg/m3）的取值范圍是（）A.ρ≤1.5kg/m3B.0kg/m3＜ρ＜1.5kg/m3C.ρ≥1.5kg/m3D.ρ＞1.5kg/m32、三角形ABC的三條內角平分線為AE；BF、CG；下面的說法中正確的個數有（）

①△ABC的內角平分線上的點到三邊距離相等

②三角形的三條內角平分線交于一點

③三角形的內角平分線位于三角形的內部

④三角形的任一內角平分線將三角形分成面積相等的兩部分．A.1個B.2個C.3個D.4個3、如圖，在同圓中，若∠AOB=2∠COD，則與的大小關系是（）

A.

B.

C.

D.不能確定。

4、關于x的一元二次方程的兩根應為（）A.B.，C.D.5、邊長為4的正方形ABCD中，點P在邊AB上，DP與AC相交于點Q，且△ADQ的面積是正方形ABCD面積的，則AP的長為（）A.1.5B.2C.3D.1.256、（2016?雅安）如圖；在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，點P；Q分別在BD，AD上，則AP+PQ的最小值為（）

A.2B.C.2D.3評卷人得分二、填空題(共6題，共12分)7、根據如圖所示的程序計算，若輸入的x值為6，則輸出的結果為____．8、配方x2+3x+____=（____）2．9、已知函數是關于x的二次函數，則m=____．

若拋物線y=2x2-mx+n向上平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度得到拋物線y=2x2-4x+1，則m=____，n=____．10、如下圖，弦CD、FE的延長線交于圓外點P，割線PAB經過圓心，請你結合現(xiàn)有圖形，添加一個適當的條件：____；使結論∠1=∠2能成立．

11、“十二五”期間，我市累計新增城鎮(zhèn)就業(yè)人口147000人，147000用科學記數法表示為____．12、數5，2，10，7，15，x的平均數是8，則中位數是____．評卷人得分三、判斷題(共5題，共10分)13、三角形一定有內切圓____．（判斷對錯）14、圓的一部分是扇形．（____）15、到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.16、20增加它的后再減少，結果仍為20．____．（判斷對錯）17、如果一個函數不是正比例函數，就是反比例函數評卷人得分四、證明題(共1題，共5分)18、如圖；在梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD的平分線交BC于E，連接ED．

（1）求證：四邊形ABED是菱形；

（2）當∠ABC=60°，EC=BE時，證明：梯形ABCD是等腰梯形．評卷人得分五、解答題(共3題，共21分)19、在Rt△ABC中；∠C=90°．

（1）用尺規(guī)作圖作Rt△ABC的重心P．（保留作圖痕跡；不要求寫作法和證明）；

（2）你認為只要知道Rt△ABC哪一條邊的長即可求出它的重心與外心之間的距離？并請你說明理由．20、小紅所在學校里的一處花壇是美麗的菱形圖案，如圖所示，小明發(fā)現(xiàn)，他沿著花壇的邊走完一個菱形圖案用了12秒鐘，當他以同樣的速度從A到B再到C（AB=BC），只用了6秒鐘，小明說他知道了兩個菱形間的夾角（即∠1）的度數了．你知道∠1的度數是多少嗎？21、巴中市某中學數學興趣小組在開展“保護環(huán)境，愛護樹木”的活動中，利用課外時間測量一棵古樹的高，由于樹的周圍有水池，同學們在低于樹基3.3米的一平壩內（如圖），測得樹頂A的仰角∠ACB=60°，沿直線BC后退6米到點D，又測得樹頂A的仰角∠ADB=45°，若測角儀DE高1.3米，求這棵樹的高AM．（結果保留兩位小數，≈1.732）

評卷人得分六、綜合題(共4題，共20分)22、如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABO的斜邊OA落在y軸的正半軸上，OA、OB的長是方程的兩根；把△AOB折疊，使點B落在y軸正半軸上，折痕與AB邊相交于點C．

（1）求A點的坐標．

（2）求折痕OC所在直線的解析式．

（3）點P是直線OC上一點，在坐標平面內是否存在點Q，使以A、C、P、Q為頂點的四邊形是一個菱形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．23、如圖；已知AB⊥BD，CD⊥BD

（1）若AB=9；CD=4，BD=10，請問在線段BD上是否存在P點，使以P；A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？若存在，求BP的長；若不存在，請說明理由；

（2）若AB=9；CD=4，BD=12，請問在線段BD上存在多少個P點，使以P；A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？并求BP的長；

（3）若AB=9；CD=4，BD=15，請問在線段BD上存在多少個P點，使以P；A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？并求BP的長；

（4）若AB=m，CD=n，BD=l，請問m，n，l滿足什么關系時，存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的一個P點？兩個P點？三個P點？24、菱形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，OA=5，cosB=，直線AC交y軸于點D，動點P從A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿折線A-B-C向終點C勻速運動，同時，動點Q從D點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿DA向終點A勻速運動；設點P；Q運動的時間為t秒．

（1）求點C的坐標；

（2）求△PCQ的面積S（點P在BC上）與運動時間t的函數關系式；并寫出自變量的取值范圍；

（3）當t=時，直線PQ交y軸于F點，求的值．25、如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點A落在DC邊上的點A′處，x軸垂直平分DA；直線EF的表達式為y=kx-k（k＜0））

（1）問：EF與拋物線y=有幾個公共點？

（2）當EF與拋物線只有一個公共點時，設A′（x，y），求的值．參考答案一、選擇題(共6題，共12分)1、B【分析】【分析】由圖象可知，反比例函數圖象經過點（6，1.5），利用待定系數法求出函數解形式即可求得k值，然后根據V≥6m3求解即可．【解析】【解答】解：由圖象可知；函數圖象經過點（6，1.5）；

設反比例函數為ρ=；

則1.5=；

解得k=9；

所以解析式為：ρ=；

當V=6時；求得ρ=1.5；

故選B．2、B【分析】【分析】畫出圖形，設O為∠BAC的角平分線和∠ACB的角平分線的交點，過O作ON⊥AB于N，OM⊥BC于M，OQ⊥AC于Q，求出ON=OM=OQ，判斷即可．【解析】【解答】解：

∵設O為∠BAC的角平分線和∠ACB的角平分線的交點；過O作ON⊥AB于N，OM⊥BC于M，OQ⊥AC于Q；

∴ON=OQ；OQ=OM；

∴ON=OM=OQ；

∴△ABC的三個內角的角平分線的交點到三角形三邊的距離相等；∴①錯誤；

∵ON⊥AB；OM⊥BC，ON=OM；

∴O在∠ABC的角平分線上；

即O是△ABC的三個角的平分線交點；∴②正確；

∵三角形的三個內角的平分線都在三角形的內部；∴③正確；

∵三角形的任意中線把三角形的面積分為面積相等的兩部分；而三角形的任意角平分線不一定把三角形的面積分成面積相等的兩部分，∴④錯誤；

故選B．3、C【分析】

作∠AOB的角平分線OE；

∵OE平分∠AOB；

∴∠AOE=∠EOB；

∵∠AOB=2∠COD；

∴∠AOE=∠EOB=∠COD；

∴==

∴=2．

故選：C．

【解析】【答案】根據角平分線的性質得出∠AOE=∠EOB；進而利用圓心角與弧的關系可直接求解．

4、B【分析】【分析】先把方程化為一般式，再計算判別式的值，然后利用求根公式解方程即可．【解析】【解答】解：x2-3ax+a2=0；

△=（-3a）2-4××a2=a2；

x=．

所以x1=a，x2=a．

故選B．5、B【分析】【分析】過點Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，則QE=QF，若△ADQ的面積是正方形ABCD面積的，則有S△ADQ=AD?QE=S正方形ABCD，求得OE的值，再利用△DEQ∽△DAP有=解得AP值．【解析】【解答】解：過點Q作QE⊥AD于E；QF⊥AB于F，則QE=QF；

∵在邊長為4的正方形ABCD中；

∴S正方形ABCD=16；

∴AD×QE=S正方形ABCD=×16=；

∴QE=；

∵EQ∥AP；

∴△DEQ∽△DAP；

∴=，即；

解得AP=2；

∴AP=2時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；

故選B．6、D【分析】【解答】解：

設BE=x；則DE=3x；

∵四邊形ABCD為矩形；且AE⊥BD；

∴△ABE∽△DAE；

∴AE2=BE?DE，即AE2=3x2；

∴AE=x；

在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2=AE2+DE2，即62=（x）2+（3x）2，解得x=

∴AE=3，DE=3

如圖；設A點關于BD的對稱點為A′，連接A′D，PA′；

則A′A=2AE=6=AD；AD=A′D=6；

∴△AA′D是等邊三角形；

∵PA=PA′；

∴當A′；P、Q三點在一條線上時；A′P+PQ最??；

又垂線段最短可知當PQ⊥AD時；A′P+PQ最??；

∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=3

故選D．

【分析】本題主要考查軸對稱的應用，利用最小值的常規(guī)解法確定出A的對稱點，從而確定出AP+PQ的最小值的位置是解題的關鍵，利用條件證明△A′DA是等邊三角形，借助幾何圖形的性質可以減少復雜的計算．在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的長，設A點關于BD的對稱點A′，連接A′D，可證明△ADA′為等邊三角形，當PQ⊥AD時，則PQ最小，所以當A′Q⊥AD時AP+PQ最小，從而可求得AP+PQ的最小值等于DE的長，可得出答案．二、填空題(共6題，共12分)7、略

【分析】【分析】根據運算程序列出算式，再進行計算即可．【解析】【解答】解：6+（-5）+（-3）+4=2；2+（-5）+（-3）+4=-2，故輸出的結果為-2；

故答案為：-28、略

【分析】【分析】由于二次項的系數為1，所給式子組成完全平方式，所以常數項是一次項系數一半的平方．【解析】【解答】解：∵所給代數式的二次項系數為1；一次項系數為3，等號右邊正好是一個完全平方式；

∴常數項為（3÷2）2=；

∴x2+3x+=（x+）2．

故答案為；．9、略

【分析】

（1）由題意，得：m2-7=2；且m+3≠0；

由m2-7=2，得：m2=9；m=±3；

由m+3≠0；得：m≠-3；

綜上可得：m=3；

（2）拋物線y=2x2-4x+1=2（x-1）2-1，將其向右平移2個單位，得：y=2（x-3）2-1；

再向下平移3個單位，得：y=2（x-3）2-4=2x2-12x+14；

∴m=12；n=14．

【解析】【答案】（1）根據二次函數的定義；可列出關于m的方程，即可求出m的值，注意二次項系數不為0的條件；

（2）將拋物線y=2x2-4x+1按題目給出的方法進行逆操作；將得出的拋物線解析式化為一般式即可得到m；n的值．

10、略

【分析】

使∠1=∠2能成立；則應有△COP≌△EOP，或△PDB≌△PFB，故可添加AC=AE或BD=BF當AC=AE時；

根據圓周角定理知；∠AOC=∠AOE，∵OC=OE，PO=PO，∴△COP≌△EOP，∴∠1=∠2．

【解析】【答案】本題答案有多種；根據三角形全等原理可填AC=AE或BD=BF，也可根據在“同圓或等圓中，同弧或等弧所對的弦相等”和三角形全等原理，填CD=FE或弧CD與弧EF相等．

11、1.47×105【分析】【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【解析】【解答】解：147000=1.47×105．

故答案為：1.47×105．12、略

【分析】

由數5，2，10，7，15，x的平均數是8，有（5+2+10+7+15+x）=8．解得x=9；

∴中位數是（7+9）÷2=8．

故填8．

【解析】【答案】先根據平均數求出x；再確定中位數．

三、判斷題(共5題，共10分)13、√【分析】【分析】根據三角形的內切圓與內心的作法容易得出結論．【解析】【解答】解：∵三角形的三條角平分線交于一點；這個點即為三角形的內心，過這個點作一邊的垂線段，以這個點為圓心，垂線段長為半徑的圓即三角形的內切圓；

∴三角形一定有內切圓；

故答案為：√．14、×【分析】【分析】根據扇形的定義是以圓心角的兩條半徑和之間的弧所圍成的閉合圖形，即可得出答案．【解析】【解答】解：可以說扇形是圓的一部分；但不能說圓的一部分是扇形．

嚴格地說扇形是以圓心角的兩條半徑和之間的弧所圍成的閉合圖形．

故答案為：×．15、√【分析】【解析】試題分析：根據角平分線的判定即可判斷.到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上，本題正確.考點：角平分線的判定【解析】【答案】對16、×【分析】【分析】根據題意列出算式，計算得到結果，即可做出判斷．【解析】【解答】解：根據題意得：20×（1+）×（1-）=；

則20增加它的后再減少；結果仍為20（×）．

故答案為：×17、×【分析】【解析】試題分析：形如的函數叫正比例函數，形如的函數叫反比例函數.一個函數不是正比例函數，還可能是二次函數等，故本題錯誤.考點：函數的定義【解析】【答案】錯四、證明題(共1題，共5分)18、略

【分析】【分析】（1）根據平行線性質和角平分線定義求出∠ABD=∠ADB；推出AB=AD，AB=BE，推出AD=BE，得出平行四邊形ABED，根據菱形的判定推出即可；

（2）推出等邊三角形ABE，得出AE=AB，推出平行四邊形AECD，推出AE=CD，推出AB=CD即可．【解析】【解答】（1）證明：∵AD∥BC；

∴∠ADB=∠DBC；

又∵∠ABD=∠DBC；

∴∠ABD=∠ADB；

∴AB=AD；

同理：AB=BE；

∴AD=BE；

又∵AD∥BE；

∴四邊形ABED為平行四邊形；

又∵AB=BE；

∴平行四邊形ABED為菱形．

（2）證明：∵AB=BE；∠ABC=60°；

∴△ABE為等邊三角形；

∴AB=AE．

又∵AD=BE=EC；AD∥EC．

∴四邊形AECD為平行四邊形；

∴AE=DC；

∴AB=DC；

∴梯形ABCD是等腰梯形．五、解答題(共3題，共21分)19、略

【分析】【分析】（1）分別作AC；BC的垂直平分線；兩線分別交AC、BC于R、H，再連接AH、BR，AH和BR的交點就是P點；

（2）利用直角三角形的性質以及重心的定義得出PO=，進而得出重心到外心的距離與AB的關系．【解析】【解答】解：（1）如圖所示：

（2）知道Rt△ABC中AB的長即可求出它的重心與外心之間的距離．

理由：設AB的中點為O，則O為△ABC的外心，且CO=AB；

∵點P為△ABC的重心；

∴PO=；

∴重心到外心的距離PO=AB．20、略

【分析】【分析】從A到B再到C所走路程是兩條對角線的長度，用時6秒，而走完一個菱形的周長用時12秒，說明菱形的邊長等于AB的長度，所以∠1是等邊三角形的內角，等于60°．【解析】【解答】解：∵A到B再到C（AB=BC）；只用了6秒鐘，走完一個菱形圖案用了12秒鐘；

∴菱形的邊長=AB；

∴△ABD是等邊三角形；

∴∠1=60°．21、略

【分析】

設AB=x米．

Rt△ABD中；∠ADB=45°，BD=AB=x米．

Rt△ACB中，∠ACB=60°，BC=AB÷tan60°=x米．

CD=BD-BC=（1-）x=6；

解得x=9+3

即AB=（9+3）米．

∵BM=HM-DE=3.3-1.3=2；

∴AM=AB-BM=7+3≈12.20（米）．

答：這棵樹高12.20米．

【解析】【答案】可在Rt△ABD和Rt△ABC中；利用已知角的三角函數，用AB表示出BD；BC，根據CD=BD-BC=6即可求出AB的長；已知HM、DE的長，易求得BM的值，由AM=AB-BM即可求出樹的高度．

六、綜合題(共4題，共20分)22、略

【分析】【分析】（1）求出已知方程的解得到OA與OB的長；確定出A的坐標即可；

（2）由OB的長為OA長的一半；得到∠BAO=30°，根據折疊的性質得到∠AOC=∠BOC=30°，設AC=OC=2x，則有BC=x，在直角三角形BOC中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出OC的長，過C作CE垂直于x軸，利用銳角三角函數定義求出OE與CE的長，確定出C坐標，設直線OC解析式為y=kx，將C坐標代入求出k的值，即可確定出解析式；

（3）存在，分三種情況考慮：①當P與O重合時，C關于y軸對稱點為Q，連接AQ，PQ，由AD=PD，CD=QD，且AC=PC，得到四邊形ACPQ為菱形，求出此時Q的坐標；②以A為圓心，AC長為半徑畫弧，與y軸交于P′，延長EC到Q′，使CQ′=AC，連接P′Q′，此時四邊形AP′Q′C為菱形，求出Q′坐標；③以A為圓心，AC長為半徑畫弧，與y軸交于P″，延長CE到Q″，使CQ″=AC，連接P″Q″，四邊形ACQ″P″為菱形，求出Q″的坐標，綜上，得到所有滿足題意Q的坐標．【解析】【解答】解：（1）方程x2-6x+24=0；

分解因式得：（x-4）（x-2）=0；

解得：x=4或x=2；

∴OA=4，OB=2；

則A（0，4）；

（2）在Rt△AOB中，OA=4，OB=2，即OB=OA；

∴∠BAO=30°；∠AOB=60°；

由折疊的性質得：∠AOC=∠BOC=30°；

∴∠BAO=∠AOC=30°；

∴AC=OC；

在Rt△BOC中；∠BOC=30°；

∴OC=2BC；

設BC=x；則有AC=OC=2x；

∴AB=AC+CB=OC+BC=3x==6；

解得：x=2；

∴OC=4；

過C作CE⊥x軸于E；

在Rt△OCE中；∠COE=60°；

∴∠OCE=30°；

∴OE=OC=2，CE==2；

∴C（2，2）；

設直線OC解析式為y=mx，將C坐標代入得：2=2m；

解得：m=；

則直線OC解析式為y=x；

（3）存在；有3種情況：

①由折疊的性質的：OD=OB=2；

∴AD=OA-OD=4-2=2；即AD=OD；

設Q為C關于y軸的對稱點；即QD=CD；

連接AQ；OQ，此時P與O重合；

∵AD=OD；QD=CD，且AC=OC；

∴四邊形ACPQ為菱形；

∵C（2，2）；

∴Q（-2，2）；

②以A為圓心；AC長為半徑畫弧，與y軸交于P′，延長EC到Q′，使CQ′=AC，連接P′Q′；

此時四邊形AP′Q′C為菱形，Q′坐標為（2，2+4）；

③以AC為邊時；P點在C點的上方，此時Q點坐標為（2，6√3）；

綜上，Q的坐標為（-2，2）或（2，2+4）或（2，6√3）．23、略

【分析】【分析】（1）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，設BP=x，根據∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當=或=時；使以P；A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，代入求出即可；

（2）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，設BP=x，根據∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當=或=時；使以P；A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，代入求出即可；

（3）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，設BP=x，根據∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當=或=時；使以P；A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，代入求出即可；

（4）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，設BP=x，根據∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當=或=時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，代入后根據根的判別式進行判斷即可．【解析】【解答】解：（1）存在P點；使以P；A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似；

理由是：設BP=x；

∵AB⊥BD；CD⊥BD；

∴∠B=∠D=90°；

∴當=或=時；使以P；A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似；

∴①=或②=；

解方程①得：x=，經檢驗x=是方程①的解；且符合題意．

方程②得：x（10-x）=36；

x2-10x+36=0；

△=（-10）2-4×1×36＜0；此方程無解；

∴當BP=時；以P；A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似；

∴存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，此時BP的值為；

（2）在BD上存在2個P點；使以P；A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似；

理由是：設BP=x；

∵AB⊥BD；CD⊥BD；

∴∠B=∠D=90°；

∴當=或=時；使以P；A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似；

∴①=或②=；

解方程①得：x=，經檢驗x=是方程①的解；且符合題意．

方程②得：x（12-x）=36；

x2-12x+36=0；

△=（-12）2-4×1×36=0；

此方程的解為x2=x3=6；經檢驗x=6是方程②的解，且符合題意．

∴當BP=或6時；以P；A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似；

∴存在2個點P，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，此時BP的值為或6；

（3）在BD上存在3個P點；使以P；A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似；

理由是：設BP=x；

∵AB⊥BD；CD⊥BD；

∴∠B=∠D=90°；

∴當=或=時；使以P；A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似；

∴①=或②=；

解方程①得：x=，經檢驗x=是方程①的解；且符合題意．

方程②得：x（15-x）=36；

x2-15x+36=0；

△=（-15）2-4×1×36=81；

此方程的解為x2=3，x3=12，經檢驗x2=3，x3=12是方程②的解；且符合題意．

∴當BP=或3或12時；以P；A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似；

∴存在3個點P，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，此時BP的值為或3或12；

（4）設BP=x；

∵AB⊥BD；CD⊥BD；

∴∠B=∠D=90°；

∴當=或=時；使以P；A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似；

∴①=或②=；

解方程①得：x=；

方程②得：x（l-x）=mn；

x2-lx+mn=0；

△=（-l）2-4×1×mn=l2-4mn；

∴當l2-4mn＜0時；方程②沒有實數根；

即當l2-4mn＜0時；存在以P；A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的一個P點；

∵當l2-4mn=0時；方程②有1個實數根；

∴當l2-4mn=0時；存在以P；A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的兩個P點；

∵當l2-4mn＞0時；方程②有2個實數根；

∴當l2-4mn＞0時，存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角