中考數(shù)學(xué)專題 訓(xùn)練：旋轉(zhuǎn)綜合壓軸

2023年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練：旋轉(zhuǎn)綜合壓軸題1．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，連接BD、EC，點M為EC的中點，連接BM、DM．(1)如圖1，當(dāng)點D、E分別在AC、AB上時，求證：△BMD為等腰直角三角形；(2)如圖2，將圖1中的△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，使點D落在AB上，此時（1）中的結(jié)論“△BMD為等腰直角三角形”還成立嗎？請對你的結(jié)論加以證明；(3)如圖3，將圖2中的△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°時，△BMD為等腰直角三角形的結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．2．如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在邊AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，連接BE，取BE的中點F，連接DF．(1)請直接寫出∠ADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關(guān)系；(2)將圖1中的△CDE繞點C按逆時針旋轉(zhuǎn)，①如圖2，（1）中∠ADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，連接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范圍．3．在中，，，點D是直線AC右側(cè)一點，且，連接BD．將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接DE．(1)觀察猜想，如圖1，當(dāng)時，AD、CD、BD的數(shù)量關(guān)系是_______；(2)類比探究，如圖2，當(dāng)時，試判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立．若成立，請說明理由；若不成立，請寫出線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．(3)拓展應(yīng)用，如圖3，在矩形ABCD中，，，EP是的中位線，將繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)為直角三角形時，直接寫B(tài)E的長．4．?dāng)?shù)學(xué)實踐活動，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式．通過活動可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動手動腦能力，拓展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗．讓我們一起動手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣．折一折：將正方形紙片折疊，使邊、都落在對角線上，展開得折痕、，連接，如圖1．轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的繞點旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊、于點、，連接，如圖2．剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線剪開，如圖4．(1)______，寫出圖中兩個等腰三角形：______（不需要添加字母）；(2)線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為______；(3)連接正方形對角線，若圖2中的的邊、分別交對角線于點、點．如圖3，求的值；(4)求證：．5．如圖，在中，，，點是邊上一動點，作于點，連接，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)如圖2所示，當(dāng)點運動的延長線上時，與交于點，其他條件不變，已知，求的值；(3)點在邊上運動的過程中，線段上存在一點，使的值最小，當(dāng)?shù)闹等〉米钚≈禃r，若的長為2，求的長．6．若一個三角形的最大內(nèi)角小于120°，則在其內(nèi)部有一點所對三角形三邊的張角均為120°，此時該點叫做這個三角形的費馬點．如圖1，當(dāng)△ABC三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點P在△ABC內(nèi)部，此時，的值最小．(1)如圖2，等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)．為了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到處，連接，此時，這樣就可以通過旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA，PB，PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出______．(2)如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上延長BP，在射線BP上取點D，E，連接AE，AD．使，，求證：．(3)如圖4，在直角三角形ABC中，，，，點P為直角三角形ABC的費馬點，連接AP，BP，CP，請直接寫出的值．7．如圖1，在中，，．點、分別在、邊上，，連接、、．點、、分別是、、的中點，連接、、．(1)與的數(shù)量關(guān)系是，與的數(shù)量關(guān)系是；(2)將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，判斷（1）中與的數(shù)量關(guān)系結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；(3)若，，在將圖1中的繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)、、三點在一條直線上時，求的長度．8．正方形中，對角線、交于點O，點E、F、G分別在邊、、上．(1)在圖①中，于點P，連接、；①判斷線段、之間的關(guān)系____________；②若，，P、Q兩點關(guān)于直線對稱，直接寫出線段的長度______；③若，當(dāng)E、F在邊、上運動時，的最小值是______；(2)在圖②中，于點P，連接，比較

與的大小關(guān)系，并說明理由．9．實踐與探究情境：在正方形ABCD中，AB＝5，點F在AC上，且，過點F作EF⊥AC，交CD于點E，連接AE，AF．(1)問題發(fā)現(xiàn)圖（1）中，線段AE與BF的數(shù)量關(guān)系是______；直線AE與直線BF的夾角的度數(shù)是______．(2)問題拓展當(dāng)△CEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請僅就圖2的情形給出證明；若不成立，說明理由．(3)問題延伸在（2）的條件下，當(dāng)點F到直線BC的距離為2時，直接寫出AE的長．10．定義：兩個頂角相等且頂角頂點重合的等腰三角形組合稱為“相似等腰組”．如圖1，等腰△ABC和等腰△ADE即為“相似等腰組”．(1)如圖2，將上述“相似等腰組”中的△ADE統(tǒng)看點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，判斷△ABD和△ACE是否全等，并說明理由；(2)如圖3，等腰△ABC和等腰△ADE是“相似等腰組”，且∠BAC＝90°，DC和BE相交于點O，判斷DC和BE的位置及大小關(guān)系，并說明理由；(3)如圖4，在等邊△ABC中，D是△ABC內(nèi)部一點，且，，，直接寫出△ABC的面積．11．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝a，將△CAD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角a得到△CBE，點A，D的對應(yīng)點分別為點B，E．(1)如圖1，若A，D，E三點在同一直線上，則∠CDE=（用含a的代數(shù)式表示）；(2)如圖2，若A，D，E三點在同一直線上，a=60°，過點C作CF⊥AE于點F，然后探究線段CF，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)圖3中，若CA＝2，CD＝2，將△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，△CAD的面積最大，最大面積是．12．定義：在一個等腰三角形底邊的高線上所有點中，到三角形三個頂點距離之和最小的點叫做這個等腰三角形的“近點”，“近點”到三個頂點距離之和叫做這個等腰三角形的“最近值”．【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD為BC邊上的高，已知AD上一點E滿足∠DEC=60°，AC=，求AE+BE+CE=___________．【嘗試應(yīng)用】(2)如圖2，等邊三角形ABC邊長為，E為高線AD上的點，將三角形AEC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到三角形AFG，連接EF，請你在此基礎(chǔ)上繼續(xù)探究等邊三角形ABC的“近點”P與D的距離，并求出等邊三角形ABC的“最近值”．【拓展提高】(3)如圖3，在菱形ABCD中，過AB的中點E作AB垂線交CD的延長線于點F，連接AC、DB，已知∠BDA=75°，AB=6，求三角形AFB“最近值”的平方．13．綜合與實踐問題：如圖1，已知點G在正方形ABCD的對角線AC上，GE⊥BC，GF⊥CD，垂足為F．證明與推斷(1)①四邊形CEGF的形狀是；②的值為；【探究與證明】(2)在圖1的基礎(chǔ)上，將正方形CEGF繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜45°），如圖2所示，試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展與運用】(3)如圖3，在（2）的條件下，正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中，AG和GE的位置關(guān)系是．14．已知是等腰三角形，，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，(1)感知：如圖①，當(dāng)落在AB邊上時，與之間的數(shù)量關(guān)系是_____（不需要證明）；(2)探究：如圖②，當(dāng)不落在AB邊上時，AB與是否相等？如果相等；如果不相等，請說明理由；(3)應(yīng)用：如圖③，若，、交于點E，則_____度．15．在正方形ABCD中，過點B作直線l，點E在直線l上，連接CE，DE，其中，過點C作于點F，交直線l于點H．（1）當(dāng)直線l在如圖①的位置時①請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系______．②請直接寫出線段BH，EH，CH之間的數(shù)量關(guān)系______．（2）當(dāng)直線l在如圖②的位置時，請寫出線段BH，EH，CH之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）已知，在直線l旋轉(zhuǎn)過程中當(dāng)時，請直接寫出EH的長．16．在等邊中，是邊上一動點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)120°，得到，連接．（1）如圖1，當(dāng)、、三點共線時，連接，若，求的長；（2）如圖2，取的中點，連接，猜想與存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接、交于點．若，請直接寫出的值．17．在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，將ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤360°）得到，其中點A，B的對應(yīng)點分別為點，．（1）如圖1，當(dāng)落在CA的延長線上時，①連接，求線段的長．②求從初始狀態(tài)到此位置時，線段AB掃過的面積．（2）如圖2，連接，，所在直線與所在直線交于點M，所在直線與交于點N，當(dāng)0°＜α≤180°時，是否存在α使得＝2MN，若存在，請求出α；若不存在，請說明理由．（3）如圖3，所在直線與所在直線交于點M，K為邊AB的中點，連接MK，請直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中，MK長度的取值范圍．18．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，點O是邊AC的中點，連接OB．點P是邊BC上的動點（不與點B、點C重