2024-2025學(xué)年河北省石家莊市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試題2（附解析）

2024-2025學(xué)年河北省石家莊市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．兩平行直線與之間的距離為（）A． B． C． D．3．如圖，在四面體中，是棱上一點，且是棱的中點，則（

）

A． B．C． D．4．已知直線的斜率為，則直線的一個方向向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．5．我國在2022年完成了天宮空間站的建設(shè)，根據(jù)開普勒第一定律，天宮空間站的運行軌道可以近似為橢圓，地球處于該橢圓的一個焦點上．已知某次變軌任務(wù)前后，天宮空間站的近地距離（天宮空間站與地球距離的最小值）不變，遠(yuǎn)地距離（天宮空間站與地球距離的最大值）擴大為變軌前的3倍，橢圓軌道的離心率擴大為變軌前的2倍，則此次變軌任務(wù)前的橢圓軌道的離心率為（

）A． B． C． D．6．已知直線的方向向量為，且過點，則點到直線的距離的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．67．設(shè)k為實數(shù)，直線與圓交點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．無法確定8．在平面直角坐標(biāo)系中，點F的坐標(biāo)為，以線段為直徑的圓與圓相切，則動點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知曲線的方程為（），則下列說法不正確的有（

）A．不存在，使得曲線表示圓B．若曲線為雙曲線，則C．若曲線表示焦點在軸上的橢圓，則D．存在實數(shù)使得曲線為等軸雙曲線10．如圖，點是邊長為2的正方體的表面上一個動點，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)點在側(cè)面上時，四棱錐的體積為定值B．存在這樣的點，使得C．當(dāng)直線與平面所成的角為時，點的軌跡長度為D．當(dāng)時，點的軌跡長度為11．（多選）泰戈爾說過一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓.已知點，直線，動點P到點F的距離是點P到直線l的距離的一半.若某直線上存在這樣的點P，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．點P的軌跡方程是B．直線是“最遠(yuǎn)距離直線”C．平面上有一點，則的最小值為5D．點P的軌跡與圓是沒有交匯的軌跡（也就是沒有交點）三、填空題12．若直線是雙曲線的一條漸近線，則.13．已知向量,若,則的值為．14．已知P為橢圓上一點，分別為圓和圓上的點．則的最小值為，最大值為．四、解答題15．已知點，直線.(1)求過點，且與直線平行的直線的方程；(2)光線通過點，經(jīng)直線反射，其反射光線通過點，求反射光線所在直線的方程.16．已知雙曲線的中心在原點，過點，且與雙曲線有相同的漸近線．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，是雙曲線上的兩點，且線段的中點為，求直線的方程．17．如圖，在四棱錐中，與交于點O，E為中點，經(jīng)過P，E，O三點的平面交直線于點F，且．(1)證明：平面；(2)當(dāng)時，求二面角的余弦值．18．公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結(jié)果：平面內(nèi)到兩定點距離之比等于已知數(shù)的動點軌跡為直線或圓，后世把這種圓稱之為阿波羅尼斯圓.已知平面直角坐標(biāo)系中且．(1)求點P的軌跡方程；(2)求過點且與點P的軌跡相切的直線方程；(3)若點的軌跡上運動，求的取值范圍．19．已知橢圓的短軸長為2，離心率，橢圓C的左頂點為A，右頂點為B，點P是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AP，BP與直線分別交于G，H兩點.(1)求橢圓C的方程；(2)求線段GH的長度的最小值；(3)在線段GH的長度取得最小值時，橢圓C上是否存在一點T，使得△TPA的面積為1，若存在求出點T的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.答案：題號12345678910答案BCDDCBCAABDACD題號11答案ABC1．B【分析】根據(jù)直線方程直接確定傾斜角.【詳解】由直線與軸垂直，即其傾斜角為.故選：B.2．C【分析】先由兩直線平行求出，再代入兩平行直線間距離公式求解即可；【詳解】由題意知，所以，則化為，所以兩平行直線與之間的距離為．故選：C．3．D【分析】根據(jù)空間向量的加減法進行計算.【詳解】由題意，得．故選：D．4．D【分析】根據(jù)給定條件，利用直線方向向量的意義求得答案.【詳解】斜率為的直線的一個方向向量為，因此直線的一個方向向量為，而ABC中向量與不共線，，所以直線的一個方向向量的坐標(biāo)為.故選：D5．C【分析】根據(jù)給定條件，列出變軌前后橢圓長半軸長和離心率的關(guān)系等式，即可求解得答案.【詳解】設(shè)變軌前橢圓的長半軸長和離心率分別為，則半焦距為，設(shè)變軌后橢圓的長半軸長為，顯然變軌后橢圓離心率為，半焦距為，依題意，，整理得，即，而，解得，此次變軌任務(wù)前的橢圓軌道的離心率為.故選：C6．B【分析】先求得點到直線的距離的表達式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最小值.【詳解】，所以點到直線的距離為，所以當(dāng)時，距離有最小值為.故選：B7．C【分析】找到直線所過定點坐標(biāo)，判斷點與圓的位置關(guān)系，即可確定交點數(shù).【詳解】由，即直線恒過，而圓可化為，所以，即點在圓內(nèi)，則直線與圓恒有2個交點.故選：C8．A【分析】根據(jù)兩圓相切的條件，結(jié)合雙曲線的定義求軌跡方程．【詳解】由已知圓半徑為，如圖，當(dāng)兩圓外切時，設(shè)的中點為，即為圓心，，即，取，連接，是中點，則，因此，當(dāng)兩圓內(nèi)切時，記點為，的中點為D，，，所以動點滿足，而，所以點軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線，，則，又，因此，雙曲線方程為，故選：A．9．ABD【分析】結(jié)合圓、雙曲線、橢圓即等軸雙曲線的方程的性質(zhì)逐項計算即可得.【詳解】對A：令，解得，此時：，此時曲線表示圓，故A錯誤；對B：若曲線為雙曲線，則，解得或，故B錯誤；對C：若曲線表示焦點在軸上的橢圓，則，解得，故C正確；對D：若曲線為等軸雙曲線，則有，此時無解，故不存在實數(shù)使得曲線為等軸雙曲線，故D錯誤.故選：ABD.10．ACD【分析】對于選項A，求出四棱錐的體積即可判斷；對于選項B，結(jié)合空間向量的線性運算即可判斷；對于選項C，分當(dāng)點在側(cè)面，側(cè)面上以及當(dāng)點在上底面上，和點在側(cè)面上三種情況分類討論即可判斷；對于選項D，分當(dāng)在底面上和點在側(cè)面上分類討論即可判斷.【詳解】對于選項A，點到側(cè)面的距離即為2，，故四棱錐的體積，所以四棱錐的體積為定值，故A選項正確；對于選項B，因為，而，因此點是的中點，所以這樣的點不在正方體的表面上，故B選項錯誤；對于選項C，①當(dāng)點在側(cè)面，側(cè)面上時（不包括正方形的邊界），過點作平面的垂線，垂足為，連，在中，由，可得；②當(dāng)點在上底面上時，過點作平面的垂線，垂足為，若，必有，又由，有，此時點的軌跡是以為圓心，2為半徑的四分之一圓，點的軌跡長度為；③當(dāng)點在側(cè)面上時，點在線段上符合題意，此時點的軌跡長為；由上知點的軌跡長度為，故C選項正確；對于選項D，①當(dāng)在底面上時，點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓與底面的交線，記圓與相交于點，與交于點，有，可得，則點的軌跡與底面的交線長為；②當(dāng)點在側(cè)面上時，，可得點的軌跡與側(cè)面的交線為以點為圓心，為半徑的四分之一圓，交線長為．由對稱性可知，點的軌跡長度為，故D選項正確．故選：ACD.方法點睛：對于立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動態(tài)角的范圍等問題，解決方法一般根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標(biāo)運算求出動點的軌跡方程.11．ABC【分析】對于A，設(shè)，根據(jù)定義建立關(guān)系可求出；對于B，聯(lián)立直線與橢圓方程，判斷方程組是否有解即可；對于C，根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為求即可；對于D，易判斷為交點.【詳解】對于A，設(shè)，因為點P到點F的距離是點P到直線l距離的一半，所以，化簡可得，故選項A正確；對于B，聯(lián)立方程組，可得，解得，故存在點，所以直線是“最遠(yuǎn)距離直線”，故選項B正確；對于C，過點P作垂直直線，垂足為B，由題意可得，，則，由圖象可知，的最小值即為點A到直線的距離5，故選項C正確；對于D，由可得，即圓心為，半徑為1，易得點P的軌跡與圓C交于點，故選項D錯誤.故選：ABC.思路點睛：關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識進行解答.12．2【分析】先根據(jù)雙曲線方程判斷焦點位置，寫出其漸近線方程，比較即得.【詳解】因雙曲線的焦點在軸上，且，故其漸近線方程為，依題意，易得.故2.13．【分析】可求出，根據(jù)即可得出，進行數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求出k的值．【詳解】；∵；∴；解得k＝﹣6．故答案為﹣6．本題考查空間向量坐標(biāo)運算，向量垂直的充要條件，熟記坐標(biāo)運算性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.14．713【分析】首先根據(jù)橢圓方程求出，由此可知兩圓的圓心分別為橢圓的左、右焦點，，進而根據(jù)橢圓的定義即可求解.【詳解】由橢圓方程知，兩圓的圓心分別為橢圓的左、右焦點，，設(shè)兩圓半徑分別為，，則，.∴，|，，|，故的最小值為；的最大值為.

故7；1315．(1)；(2).【分析】（1）由直線與直線平行可設(shè)其方程為，代入點，求可得結(jié)論；（2）求點關(guān)于直線的對稱點，利用點斜式求反射直線方程.【詳解】（1）因為直線與直線平行，直線的方程為，故可設(shè)直線的方程為，因為點在直線上，所以，所以，所以直線的方程為；（2）設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為．由題意得，解得，所以點的坐標(biāo)為，所以反射光線所在直線方程為，即．

16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)方程，求出，即可求解.（2）設(shè)兩點坐標(biāo)，代入雙曲線方程，兩式作差，結(jié)合中點坐標(biāo)公式，即可求出直線的斜率，由直線的點斜式方程，求出直線的方程，與雙曲線聯(lián)立方程，滿足，即可得到直線的方程.【詳解】（1）因為雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，所以可設(shè)其方程為，將點的坐標(biāo)代入得，則所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，因為的中點為，則，，因為，所以，即，則，所以，所以直線的方程為，即．當(dāng)直線為時，聯(lián)立方程，得，，符合題意，故直線的方程為.17．(1)證明見詳解(2)【分析】（1）建系標(biāo)點，利用向量可得，結(jié)合題意可知線面垂直；（2）根據(jù)題意結(jié)合空間向量列式可得點，進而可求平面、平面的法向量，利用空間向量求二面角.【詳解】（1）如圖所示，以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，因為，可得，則，可得，因為，可知，又因為，，平面，所以平面.（2）設(shè)，則，由題意可得：，解得，即，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，由題意可知：平面的法向量，則，由題意可知：二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.18．(1)；(2)或；(3)．【分析】（1）設(shè)，把，用坐標(biāo)表示化簡整理即可；（2）按切線斜率存在和不存在分類討論，斜率存在時設(shè)出直線方程，由圓心到切線距離等于半徑求解；（3）由得，代入圓方程后由判別式大于或等于0求解．【詳解】（1）設(shè)，∵，所以，化得得，即為點軌跡方程；（2）由（1）知點軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，切線斜率不存在時，方程為，此直線與圓相切，滿足題意，切線斜率存在時，設(shè)方程為，即，由，解得，切線方程為，即，∴切線方程為或；（3），則，代入圓方程得，即，∴，解得．19．(1)(2)8(3)存在，或【分析】（1）由離心率和，求出，得到橢圓方程；（2）設(shè)直線AP的方程為，得到，聯(lián)立直線AP和橢圓方程，得到，從而得到直線方程為，故，表達出，由基本不等式得到最小值；（3）求出，，根據(jù)三角形面積求出點T到直線AP的距離等于，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)根的判別式得到，由平行線距離公式得到，從而聯(lián)立直線與橢圓方程，求出點T的坐標(biāo).【詳解】（1）由知，又，，故，故橢圓C的方程為（2）直線AP的斜率k顯然存在，且，故可設(shè)直線AP的方程為，令得，故由可得，設(shè)，則，所以，，即，又，故直線的斜率為，直線方程為中，令得，故，，又，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以時，線段GH的長度取最小值8；（3）由（2）可知，