2024-2025學年江蘇南京市高三上學期11月聯(lián)考數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年江蘇南京市高三上學期11月聯(lián)考數(shù)學檢測試題注意事項：1.本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱，，則的虛部為（）A. B.3 C. D.3.已知向量，，則（）A.“”是“”的充分條件 B.“”是“”的充分條件C.“”是“”的必要條件 D.“”是“”的必要條件4.從分別寫有1，2，3，4的4張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（）A. B. C. D.5.已知圓錐母線與底面所成角為，其內(nèi)切球（球與圓錐底面及側(cè)面均相切）的表面積為，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.6.已知偶函數(shù)，，是函數(shù)的圖象與軸相鄰的兩個交點，是圖象在，之間的最高點或最低點，若為直角三角形，則（）A. B. C. D.7.已知，是橢圓：的左、右焦點，是的下頂點，直線與的另一個交點為，且滿足，則的離心率為（）A. B. C. D.8.已知，是函數(shù)在定義域上的兩個極值點，若，則的值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知點，，直線.為圓：上的動點，下列選項中正確的是（）A.若圓關(guān)于對稱，則 B.與圓總有公共點C.面積的最大值為 D.面積的最小值為10.根據(jù)氣象學上的標準，從秋季進入冬季的標志為連續(xù)5天的日平均溫度均低于.現(xiàn)將連續(xù)5天的日平均氣溫的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù)）作為一組樣本，則下列樣本中一定符合入冬指標的有（）A.平均數(shù)為3，極差為2 B.中位數(shù)為7，眾數(shù)為9C.眾數(shù)為5，極差為6 D.平均數(shù)為4，方差為211.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為項數(shù)列，集合是由所有項數(shù)列構(gòu)成，現(xiàn)從集合中任意取出兩個數(shù)列，，記隨機變量，下列選項中正確的是（）A.中有16個元素B.的所有可能取值為0，1，2，，C.D.若期望，則的最小值為32三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)為______.（用數(shù)字作答）13.已知函數(shù)若函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為______14.在斜中，為銳角，且滿足，則的最小值為______.四、解答題：本大題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的首項，且滿足.（1）求數(shù)列的通項；（2）若，記數(shù)列的前項的和為，求滿足的最小整數(shù).16.如圖，在棱長為2正方體中，、分別是棱、的中點，為棱上的動點.（1）若點為中點，證明：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值.17.在直角梯形中，已知，，，，.（1）求；（2）若動點，分別在線段，上，且與面積之比為，試求的最小值.18.已知是雙曲線：的左焦點，且的離心率為2，焦距為4.過點分別作斜率存在且互相垂直的直線，.若交于，兩點，交于，兩點，，分別為與的中點，分別記與的面積為與.（1）求的方程；（2）當斜率為1時，求直線的方程；（3）求證：為定值.19.已知函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù).（i）證明：曲線圖象上任意兩個不同點處的切線均不重合.（ii）當時，若，使得成立，求實數(shù)取值范圍.高三數(shù)學答案一、選擇題：1.【正確答案】C2.【正確答案】D3.【正確答案】B4.【正確答案】B5.【正確答案】C6.【正確答案】D7.【正確答案】A8.【正確答案】A9.【正確答案】BC10.【正確答案】ABD11.【正確答案】ACD二、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.【正確答案】5613.【正確答案】14.【正確答案】三、解答題：本大題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.【正確答案】（1）（2）40【分析】（1）方法1：將化為，代入計算，即可得到結(jié)果；方法2：將原式裂項，然后計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由裂項相消法代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)公差為，方法1.，，，.方法2..，，.【小問2詳解】由（1）知，.，即，，.16.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）連接，由線面平行判定定理證明即可；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，求出平面的一個法向量，代入空間向量的線面角公式求出，再求出平面的一個法向量，代入空間向量的二面角公式求解即可；【小問1詳解】如圖所示：連接，點、分別是，的中點，，又，且，四邊形是平行四邊形，，，又平面，且平面，面.【小問2詳解】以點為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：則A2,0,0，，，，，，，設(shè)，，，設(shè)平面的一個法向量是，則，取得，因為直線與平面所成的角的正弦值為，所以，解得（負值舍去）故，則平面的一個法向量是，，設(shè)平面的一個法向量是m=x,y,z則，取得，所以，故平面與平面夾角的余弦值為.17.【正確答案】（1）6（2）4【分析】（1）作，垂足為，設(shè)，，，由，即可求解；（2）設(shè)，，由，得到，再結(jié)合三角形面積公式即可求解.【小問1詳解】作，垂足為，設(shè)，，，由于，則，，又，所以，解得（舍去），所以.【小問2詳解】設(shè)，由（1）.由題：，.又，..當且僅當時取等號.18.【正確答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）列出關(guān)于的方程，代入計算，即可得到結(jié)果；（2）分別聯(lián)立直線，直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達定理代入計算，即可得到結(jié)果；（3）分別聯(lián)立直線，直線與雙曲線方程，表示出點坐標，即可得到直線的斜率以及直線的方程，再由點到直線的距離公式分別得到到的距離以及到的距離，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由，得，又因為，所以，所以，所以.【小問2詳解】由題知：，設(shè)Ax1,y1聯(lián)立，消去可得，則，所以，則，又直線，互相垂直，則，設(shè)，則，聯(lián)立，消去可得，則，所以，則，所以.【小問3詳解】由題意可知，??的斜率不為0，設(shè)??：??，?Ax1,y1?，?B由可得，.所以，，，所以.所以，所以.同理可得：，.令，得.當，，時，直線的斜率.所以：，化簡得：，即為.所以到的距離，所以到的距離，所以.由（2）知，當時，，所以.19.【正確答案】（1）答案見解析（2）（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后，分和兩種情況分析判斷導(dǎo)數(shù)的正負，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）（i）設(shè)點和點，不妨設(shè)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求出在兩點處的切線，的方程，假設(shè)與重合，然后列方程組消去，得，化簡后構(gòu)造函數(shù)討論即可；（ii）先解決對于，不等式恒成立，令，則在上恒成立，由，解得，然后利用證明當時，在上恒成立，從而可求出，使得成立時，的取值范圍.【小問1詳解】的定義域為，由，得，①當時，，在上單調(diào)遞增；②當時，則當時，，單調(diào)遞增；則當時，，單調(diào)遞減；綜上，當時在上單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；【小問2詳解】（i）由，得，設(shè)點和點，不妨設(shè)，則曲線在點處切線方程為，即；同理曲線在點處的切線方程為；假設(shè)與重合，則，化簡得，.兩式消去，得，則，令，，由，所以在上單調(diào)遞增，所以，即無解，所以與不重合，即對于曲線在任意兩個不同點處的切線均不重合.（ii）當時，先解決對于，不等式恒成立，令，，則在上恒成立，由，解得.下面證明當時，在上恒成立.則當時，，令，則，則當時，由，，則，則在上單調(diào)遞增，所以；當時，令，則，則在上單調(diào)