2024-2025學年內(nèi)蒙古烏蘭浩特高二上學期期中考試數(shù)學檢測試卷（附解析）

2024-2025學年內(nèi)蒙古烏蘭浩特高二上學期期中考試數(shù)學檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若直線與直線垂直，則（）A． B． C． D．2．已知，，，若，則（

）A．-2 B．2 C．-4 D．43．已知方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．圓：與圓：的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切5．已知點，若過定點的直線與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．在四面體中，點E滿足，F(xiàn)為BE的中點，且則實數(shù)λ=（

）A． B． C． D．7．某市舉辦青少年機器人大賽，組委會設(shè)計了一個正方形場地（邊長為8米）如圖所示，，，分別是，，的中點，在場地中設(shè)置了一個半徑為米的圓，圓與直線相切于點.比賽中，機器人從點出發(fā)，經(jīng)過線段上一點，然后再到達圓，則機器人走過的最短路程是（）A．米 B．米 C．米 D．米8．已知離心率為的橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的短軸長為，直線過點且與橢圓交于、兩點，若，則直線的方程為（A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．若直線與直線平行，則的值可以是（

）A．0 B．2 C． D．410．已知點是橢圓上關(guān)于原點對稱且不與的頂點重合的兩點，分別是的左?右焦點，為原點，則（

）A．的離心率為B．C．的值可以為3D．若的面積為，則11．已知點及圓，點是圓上的動點，則（

）A．過原點與點的直線被圓截得的弦長為B．過點作圓的切線，則切線方程為C．當點到直線的距離最大時，過點與平行的一條直線的方程為D．過點作圓的兩條切線，切點分別為，則直線的方程為三、填空題（本大題共3小題）12．已知橢圓的左，右頂點分別為A，，上頂點為，則直線，的斜率之積為．13．圓：與圓：相交于、兩點，則．14．在棱長為2的正方體中，點，分別是底面、側(cè)面的中心，點分別是棱，所在直線上的動點，且，當取得最小值時，點到平面的距離為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知，，.(1)求直線的方程及的面積；(2)求的外接圓的方程.16．如圖所示的幾何體是圓錐的一部分，其中是圓錐的高，是圓錐底面的一條直徑，，，是的中點．(1)求直線與所成角的余弦值；(2)求直線與平面所成角的正弦值．17．已知橢圓的左、右焦點分別為，且經(jīng)過點.(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓上的點滿足，求點的坐標.18．如圖，三棱柱的所有棱長均相等為的中點．

(1)證明：AB⊥平面CDC1；(2)設(shè)·，求二面角的正弦值．19．給定橢圓:，我們稱橢圓為橢圓的“伴隨橢圓”.已知，分別是橢圓的左、右頂點，為橢圓的上頂點，等腰的面積為，且頂角的余弦值為(1)橢圓的方程；(2)是橢圓上一點（非頂點），直線與橢圓的“伴隨橢圓”交于，兩點，直線與橢圓的“伴隨橢圓”交于，兩點，證明:為定值．

答案1．【正確答案】D【詳解】因為直線與直線垂直,所以直線的斜率為0,所以.故選：D.2．【正確答案】A【詳解】由題意，，因為，所以，解得，，所以.故選：A.3．【正確答案】B【詳解】由題意可得，解得.故選：B.4．【正確答案】D【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法求得正確答案.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑，圓的圓心坐標為，半徑，因為，所以圓與圓內(nèi)切.故選：D5．【正確答案】A【詳解】直線過定點，且直線與線段相交，由圖象知，或，則紏率的取值范圍是.故選：A6．【正確答案】D【分析】由空間向量線性和基本定理運算可解.【詳解】由F為BE的中點，得又因為所以，由得即所以故選D.

7．【正確答案】A【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立平面直角坐標系，則，設(shè)直線的方程為，將代入得，故直線方程為，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，故，連接，與交于點，與圓交于點，則，所以即為機器人走過的最短路程，其中，故.故選：A8．【正確答案】B【詳解】由題意可得，解得，所以，橢圓方程為，因為，則點在橢圓內(nèi)，設(shè)點Ax1,y1、因為直線過點且與橢圓交于、兩點，若，則為的中點，所以，，，若直線軸時，則線段的中點在軸上，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，因為，這兩個等式作差可得，即，可得，因此，直線的方程為，即.故選：B.9．【正確答案】AB【詳解】因為兩直線平行，由斜率相等得，所以或，解得或0或，當時兩直線重合，舍去.故選.10．【正確答案】AD【詳解】對于A，橢圓中，，離心率為，A正確；對于B，由對稱性可得，所以，B錯誤；對于C，設(shè)且，則，故，所以C錯誤；對于D，不妨設(shè)在第一象限，Ax0,y0，則，得，則則，故，故D正確.故選：AD.11．【正確答案】ACD【詳解】圓的標準方程為，圓的半徑.對于，如圖，直線的方程為0，過點作于點，則點到直線的距離為，故直線被圓截得的弦長為故A正確；對于B，如圖，圓的過點的切線斜率存在時，設(shè)其方程為，即，由，解得，此時切線方程為，另一條切線是斜率不存在的直線故B錯誤；對于C，如圖，當點到直線的距離最大時，過點與平行的一條直線，即為與直線距離為2的圓的切線.因直線的斜率為2，可設(shè)該切線方程為，又直線的直線方程為，則可得解得故C正確；對于D，如圖，連接,易得過點的切線所在直線方程為，故，又由圓的對稱性可知,因,則,故直線的方程為，即，故D正確.故選：ACD.12．【正確答案】【詳解】由題意知，，，所以，即直線，的斜率之積為．13．【正確答案】4【詳解】由圓：與圓：，兩圓相減得公共弦AB所在直線方程為：，有圓：，可得圓心，半徑，所以圓心到直線AB的距離，所以.故4.14．【正確答案】【詳解】如圖所示,建立空間直角坐標系，

則,設(shè),則，因為,所以,即，所以,又,則，當時,取得最小值，此時,即，所以,設(shè)平面的一個法向量為，則即,令,解得,所以,則點到平面的距離為故答案為.15．【正確答案】(1)；9(2)【詳解】（1）直線的方程為，即，因為，點到直線的距離為，所以的面積為.（2）設(shè)的外接圓的方程為，由題意，解得，所以的外接圓的方程為.16．【正確答案】(1)(2)．【分析】（1）以O(shè)為原點，建立空間直角坐標系，設(shè)直線與所成的角為，計算，,通過計算即可；（2）由（1）得，設(shè)直線與平面所成的角為，計算平面法向量，則通過計算即可.【詳解】（1）以為原點，的方向分別作為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，．設(shè)直線與所成的角為，則，即直線與所成角的余弦值是．（2）由（1）知，，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則取，得，所以平面的一個法向量．設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．17．【正確答案】(1)(2)或或或.【詳解】（1）橢圓的左、右焦點分別為，半焦距.又橢圓經(jīng)過點，，故橢圓的方程為.（2）設(shè)點，因為，則，即，聯(lián)立，解得.當時，，當時，，點的坐標為或或或18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：由，得由余弦定理，得因為為的中點，所以又所以又平面所以平面（2）由（1）知，平面又平面所以又所以則四邊形為正方形．由得又所以則所以四棱錐為正四棱錐．連接則設(shè)連接易證平面以為原點OB，OB1，OC所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則所以設(shè)平面的法向量為由取解得所以設(shè)平面的法向量