河北省石家莊市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期期中 數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

河北省石家莊市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．設(shè)，向量，，且，，則（）A． B． C． D．3．已知直線（為常數(shù)）與圓交于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，若的最小值為2，則

A． B． C． D．4．雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是和，焦距為8，M是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的值為（

）A．1 B．4 C．1或9 D．95．已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)F的直線與該拋物線交于A、B兩點(diǎn)，A在第一象限，且，則直線AB的斜率為（

）A．1 B．C． D．無(wú)法確定6．如圖所示，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)分別在拋物線及圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且AB總是平行于軸，則的周長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與圓：相切，與雙曲線在第四象限交于一點(diǎn)，且有軸，則離心率為（

）A．3 B． C． D．28．設(shè)拋物線，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)且，則的中點(diǎn)到軸的最短距離為（

）A． B．1 C． D．2二、多選題（本大題共3小題）9．下列利用直線的方向向量、平面的法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A．兩條不重合直線的方向向量分別是，則B．平面外的直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C．兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，則D．直線l的方向向量，平面的法向量是，則10．已知直線：和直線：，下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．直線過(guò)定點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)D．當(dāng)，平行時(shí)，兩直線的距離為11．已知橢圓的左,右兩焦點(diǎn)分別是，其中，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．的周長(zhǎng)為B．若的中點(diǎn)為，則C．若，則橢圓的離心率的取值范圍是D．若時(shí)，則的面積是三、填空題（本大題共3小題）12．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)、，若橢圓上頂點(diǎn)為點(diǎn)，且為等邊三角形，則是．13．正方體的棱長(zhǎng)為，是正方體外接球的直徑，為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是.14．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為，若拋物線C上存在點(diǎn)M與點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，則．四、解答題（本大題共5小題）15．已知點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線：對(duì)稱．（1）若直線過(guò)點(diǎn)，且使得點(diǎn)到直線的距離最大，求直線的方程；（2）若直線過(guò)點(diǎn)且與直線交于點(diǎn)，的面積為2，求直線的方程．16．已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，且在圓上.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與圓C交于點(diǎn)A，B，求面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程.17．已知雙曲線的離心率，，分別為其兩條漸近線上的點(diǎn)，若滿足的點(diǎn)在雙曲線上，且的面積為8，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，．(1)證明：平面．(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．(3)求直線與平面所成角的正弦值的最大值．19．已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為B，左、右頂點(diǎn)分別為、，左焦點(diǎn)為，離心率為．過(guò)作垂直于軸的直線與交于，兩點(diǎn)，且．(1)求的方程；(2)若，是上任意兩點(diǎn)，①若點(diǎn)，點(diǎn)N位于軸下方，直線交軸于點(diǎn)G，設(shè)和的面積分別為，若，求線段的長(zhǎng)度；②若直線與坐標(biāo)軸不垂直，H為線段的中點(diǎn)，直線OH與C交于P，Q兩點(diǎn)，已知P，Q，M，N四點(diǎn)共圓，求的最大值．

答案1．【正確答案】B由斜率公式得出，進(jìn)而得出直線的傾斜角.【詳解】因?yàn)閮A斜角，所以故選：B2．【正確答案】A【詳解】解：因?yàn)椋?，，所以，則，所以.又因?yàn)椋?，所以，則，所以，所以，所以.故選：A.3．【正確答案】C【詳解】由題可得圓心為，半徑為2，則圓心到直線的距離，則弦長(zhǎng)為，則當(dāng)時(shí)，取得最小值為，解得.故選：C.4．【正確答案】D【詳解】因?yàn)?，所?所以,解得a=2,根據(jù)雙曲線定義可得, 所以,解得或,當(dāng)時(shí),不合題意,故舍去,當(dāng)時(shí),,滿足題意,綜上,,故選：D.5．【正確答案】C【詳解】結(jié)合題意：可知拋物線的準(zhǔn)線為：，如圖所示：過(guò)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足為,過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn),設(shè)，直線的傾斜角為，因?yàn)?所以，由拋物線的定義：，結(jié)合圖形易知：,所以，在直角三角形中，，所以直線AB的斜率.故選：C.6．【正確答案】D【詳解】過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的周長(zhǎng)為，由可得，故，故的周長(zhǎng)的取值范圍為，故選：D.7．【正確答案】C【詳解】圓：的圓心為，半徑，對(duì)于雙曲線，令，解得，則，設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，則，又，，，所以，所以，則，所以，即，解得或（舍去）.故選：C8．【正確答案】A【詳解】由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，，需滿足，設(shè)，，則，則由弦長(zhǎng)公式得，兩邊平方得，，因?yàn)?，代入得，，令，，則，而根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，，即的中點(diǎn)到軸的最短距離為，故選：A9．【正確答案】BC【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,由已知，則不存在，使，即與不平行，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng),由已知，則，即，則，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng),由，則，即，則，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng),由，則，即，則，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC10．【正確答案】AD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，那么直線為，直線為，此時(shí)兩直線的斜率分別為和，所以有，所以，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，那么直線為，直線為，此時(shí)兩直線重合，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，由直線：，整理可得：，故直線過(guò)定點(diǎn)，直線：，整理可得：，故直線過(guò)定點(diǎn)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，平行時(shí)，兩直線的斜率相等，即，解得：或，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，舍去；當(dāng)時(shí)，直線為，為，此時(shí)兩直線的距離，故D選項(xiàng)正確.故選：AD.11．【正確答案】ACD【詳解】由可知，，顯然直線過(guò)點(diǎn)，如下圖所示：

由橢圓定義可知的周長(zhǎng)為，所以A正確；設(shè)，中點(diǎn)，將直線和橢圓方程聯(lián)立，消去整理可得，由韋達(dá)定理可得，所以，代入直線方程解得，即，所以，可得，所以B錯(cuò)誤；根據(jù)B選項(xiàng)，由可得，可得，即點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，又點(diǎn)在橢圓上，即可得圓與橢圓有交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可知，即，所以可得離心率，即C正確；若時(shí)，由選項(xiàng)B可知聯(lián)立直線和橢圓方程可得，所以可得，所以，易知的面積，即可得的面積是，故D正確.故選ACD.12．【正確答案】3【詳解】由已知得，則，又為等邊三角形，則，即所以，解得.故答案為.13．【正確答案】【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可知，，進(jìn)而求出即可得解.【詳解】由題意等于正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，則，當(dāng)點(diǎn)與某個(gè)側(cè)面的中心重合時(shí)，最小，且，當(dāng)點(diǎn)與正方體的頂點(diǎn)重合時(shí)，最大，且，由于點(diǎn)是在正方體表面連續(xù)運(yùn)動(dòng)，所以的取值范圍是，的取值范圍是.故答案為.14．【正確答案】1【詳解】，∴，設(shè)點(diǎn)，則中點(diǎn)在直線上，則，即①，又∵，即∴②，聯(lián)立①②可得，又∵對(duì)稱點(diǎn)在上，∴，即，∴（舍去）或故115．【正確答案】（1）；（2）或.【分析】根據(jù)對(duì)稱先求出B點(diǎn)坐標(biāo)（1）過(guò)點(diǎn)B到點(diǎn)A距離最大的直線與直線AB垂直，從而求出直線方程；（2）畫出圖象，可求出點(diǎn)C到直線AB的距離，又點(diǎn)C在直線上，可設(shè)出C點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出C，又直線過(guò)點(diǎn)A，利用兩點(diǎn)A，C即可求出直線的方程.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，則，解得：，所以點(diǎn)關(guān)于直線：對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，（1）若直線過(guò)點(diǎn)，且使得點(diǎn)到直線的距離最大，則直線與過(guò)點(diǎn)的直線垂直，所以，則直線為：，即；（2）由條件可知：，的面積為2，則的高為，又點(diǎn)C在直線上，直線與直線垂直，所以點(diǎn)到直線AB的距離為，直線方程為，設(shè)，則有，即或又，解得：或，則直線為：或.

16．【正確答案】(1)；(2)，或.【詳解】（1）解：由圓關(guān)于直線對(duì)稱，即圓心在直線，滿足，即圓，又因?yàn)樵趫A上，所以，解得，所以圓的方程為.（2）解：由，可得，聯(lián)立方程組，解得，即直線過(guò)定點(diǎn)，又由由（1）圓心為，可得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，面積最大，此時(shí)為等腰直角三角形，面積最大值為，其中為圓的半徑，此時(shí)點(diǎn)C到直線l的距離，，所以可以取到，所以，解得或，故所求直線l的方程為或.17．【正確答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率得關(guān)系，從而可得關(guān)系，即可得雙曲線漸近線方程，不妨設(shè)，，確定點(diǎn)為的中點(diǎn)代入雙曲線方程可得與的關(guān)系，再由的面積即可求得的值，從而可得雙曲線的方程；（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程與交點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程后可得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，設(shè)，滿足為常數(shù)即可求得的值，并且檢驗(yàn)直線的斜率不存在時(shí)是否滿足該定值即可.【詳解】（1）由離心率，得，所以，則雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)?，分別為其兩條漸近線上的點(diǎn)，所以，不妨設(shè)，，由于，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，整理得：因?yàn)榈拿娣e為8，所以，則，故雙曲線的方程為；（2）由（1）可得，所以為當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為：，，則，所以，則恒成立，所以，假設(shè)在軸上是否存在定點(diǎn)，設(shè)，則要使得為常數(shù)，則，解得,定點(diǎn)，；又當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，代入雙曲線可得，不妨取，若，則，符合上述結(jié)論；綜上，在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)，且.【思路導(dǎo)引】解決本題的關(guān)鍵是利用交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，假設(shè)在軸上是否存在定點(diǎn)，設(shè)，驗(yàn)證所求定值時(shí)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與直線方程坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可得，要使得其為定值，則與直線斜率無(wú)關(guān)，那么在此分式結(jié)構(gòu)中就需滿足分子分母對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例，從而可得含的方程，通過(guò)解方程確定的存在，使得能確定定點(diǎn)坐標(biāo)的同時(shí)還可得到定值，并且要驗(yàn)證直線斜率不存在的情況.18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面，又平面，所以．因?yàn)?，且，平面，所以平面．?）在中，，．以為原點(diǎn)，，的方向分別為軸，軸的正方向，過(guò)點(diǎn)作垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，得，，．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則取，得，所以點(diǎn)到平面的距離．（3）取為的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接．易知平面，平面BCD，所以，則．設(shè)，則，，因?yàn)?，平面平面，平面平面，所以平面，所以為直線與平面所成的角，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以直線與平面所成角的正弦值的最