湖南省邵陽市2024屆高三下學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

湖南省邵陽市2024屆高三下學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)z滿足：z(1+i)=i2024?i，其中iA．2 B．1 C．2 D．42．已知全集U=R，集合A={x|?1≤x≤2}，B={x|1≤x≤6}，如圖所示，則圖中陰影部分表示的集合是（）A．{x|?1≤x≤6} B．{x|x<?1}C．{x|x>6} D．{x|x<?1或x>6}3．“0<a<1”是“函數(shù)f(x)=ax?a（a>0且a≠1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．下列函數(shù)對于任意x1,xA．f(x)=lnx B．f(x)=x2+1 C．f(x)=5．已知曲線y=12x2+lnx+12A．0 B．12 C．1 6．甲、乙兩個工廠代加工同一種零件，甲加工的次品率為5%，乙加工的次品率為8%，加工出來的零件混放在一起．已知甲、乙工廠加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的40%，60%，任取一個零件，如果取到的零件是次品，則它是乙工廠加工的概率為（）A．320 B．13 C．387．已知雙曲線C:x2a2?y2bA．[2,+∞) B．(1,2]8．已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的定義域均為R，記g(x)=f'(x)，函數(shù)f(2x+3)的圖象關(guān)于點(?1A．g(x)不為周期函數(shù) B．f(x)的圖象不關(guān)于點(1,C．g(211)=12 二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的有（）A．若角α的終邊過點P(12,3B．若cos(α+π6C．若tanα=2，則siD．若扇形的周長為8cm，圓心角為2rad，則此扇形的半徑是4cm10．如圖所示，點E為正方體形木料ABCD?AA．三棱錐E?ABC的體積為定值B．存在點E，使CE⊥平面BDC．不存在點E，使CE∥平面BDD．經(jīng)過點E在上底面上畫一條直線l與CE垂直，若l與直線B1D111．英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：sinx=x?x33某數(shù)學(xué)興趣小組在研究該公式時，提出了如下猜想，其中正確的有（）A．sin1<cos1B．sin1≈0.C．cosD．當(dāng)x>0時，sinx>x?三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12．(2x3?13．宋朝詩人王镃在《蜻蜓》中寫到：“輕綃剪翅約秋霜，點水低飛戀野塘”，描繪了蜻蜓點水的情形，蜻蜓點水會使平靜的水面形成水波紋，截取其中一段水波紋，其形狀可近似地用函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<14．已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊，且sin2B+sin2C?sin2四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知函數(shù)f(x)=?1（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)g(x)=f(x)?k(k∈R)有且僅有三個零點，求k的取值范圍．16．如圖所示，四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AP=AB=2AD=2CD，E為棱PC上的動點．（1）求證：BC⊥AE；（2）若PE=2EC，求直線DE與平面17．如圖所示，已知點B(6,?9)，BC⊥x軸于點C，點M為線段OB上的動點（M不與端點O,B重合），MH⊥x軸于點H，ME⊥BC于點E，OE與MH相交于點Q，記動點（1）求Γ的方程；（2）點A,N是Γ上不同的兩點，N關(guān)于y軸對稱的點為N'，記直線AN'與y軸的交點為D(0,y0)，直線AN與y軸的交點為P18．某市開展“安全隨我行”活動，交警部門在某個交通路口增設(shè)電子抓拍眼，并記錄了某月該路口連續(xù)10日騎電動摩托車未佩戴頭盔的人數(shù)y與天數(shù)x的情況，對統(tǒng)計得到的樣本數(shù)據(jù)(xxyYi=1i=1i=15.58.71.930138579.75表中Yi=lny參考公式：b=i=1nxiyiα0.150.100.050.0250.0100.0050.001x2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）依據(jù)散點圖推斷，y=bx+a與y=ebx+a哪一個更適合作為未佩戴頭盔人數(shù)y與天數(shù)（2）依據(jù)（1）的結(jié)果和上表中的數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的回歸方程．（3）為了解佩戴頭盔情況與性別的關(guān)聯(lián)性，交警對該路口騎電動摩托車市民進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別佩戴頭盔合計不佩戴佩戴女性81220男性14620合計221840依據(jù)α=0.19．已知數(shù)列{an}，{bn}，函數(shù)（1）若a=?b=1，c=0，f(an)=(an（?。┣髷?shù)列{b（ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn(bn?1)(b（2）若f(x)為奇函數(shù)，f(π2)=π2+1，問：當(dāng)n≥2時，是否存在整數(shù)m，使得m≤an成立．若存在，求出m的最大值；若不存在，請說明理由．（附：sin6≈?0.

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因為z(1+i)=i2024?i=1-i，所以z=1-i2．【答案】D【解析】【解答】解：因為全集U=R，集合A={x|?1≤x≤2}，B={x|1≤x≤6}，A∪B=x|-1≤x≤6,∴CUA∪B={x|x<?1或x>6}.3．【答案】C【解析】【解答】解：當(dāng)0<a<1時，圖像為

所以“0<a<1”是“函數(shù)f(x)=ax?a（a>0且a≠1）在R上單調(diào)遞減”的充分條件.

當(dāng)函數(shù)f(x)=ax?a（a>0且a≠1）在R上單調(diào)遞減時，函數(shù)f(x)=ax（a>0且a≠1）

在R上也單調(diào)遞減，所以0<a<1，所以“0<a<1”是“函數(shù)f(x)=ax?a（a>0且a≠1）在R上單調(diào)遞減”的必要條件.

綜上可知，“0<a<1”是“函數(shù)f(x)=a4．【答案】A【解析】【解答】解：當(dāng)f(x)=lnx時，f(x1+x22)=lnx1+x22，f(x1)+f(x2)2=lnx1+5．【答案】C【解析】【解答】解：由y=12x2+lnx+12得y'=x+1x，所以y=12x2+lnx+16．【答案】D【解析】【解答】解：因為任取一個零件，如果取到的零件是次品概率為5%×40%+8%×60%，

所以它是乙工廠加工的概率為8%×60%5%×40%+8%×60%=1217.7．【答案】B【解析】【解答】解：因為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的焦點在圓O:x2+y2=4上，所以雙曲線C的焦點在x軸上且c=2，所以a2+b2=48．【答案】C【解析】【解答】解：根據(jù)題意，因為函數(shù)f(2x+3)的圖象關(guān)于點(-1，1)對稱，

則有f[2(x-1)+3]+f[2(-x-1)+3]=2，變形可得f(2x+1)+f(-2x+1)=2，

故f(x)的圖象關(guān)于點(1，1)對稱，B錯誤；

令h(x)=f(x)-12x，則f(x)=h(x)+12x，又由f(x+3)=x+f(3-x)，變形可得

f(x+3)-12(x+3)=f(3-x)-12(3-x).

則有h(x+3)=h(3-x)，變形可得h(x)=h(6-x)①，

又f(x)的圖象關(guān)于點(1，1)對稱，則f(x+1)+f(1-x)=2，

所以h(x+1)+12(x+1)+h(1-x)+12(1-x)=2，即h(x)+h(2-x)=1②，

聯(lián)立①②可得：h(6-x)+h(2-x)=1，變形可得h(x)+h(x+4)=1③，

則有h(x+4)+h(x+8)=1④，聯(lián)立可得③④可得：h(x)=h(x+8)，故h(x)為周期為8的周期函數(shù)，所以，f(985)=h(985)+9852=h1+9852=12+9852=493，故D錯誤；

所以f(x)=h(x)+12x=h(x+8)+12x=f(x+8)-12(x+8)+12x，所以f(x+8）=f(x)+4，

兩邊同時求導(dǎo)得f'(x+8）=f'(x)，即g(x+8)=g(x)，故g(x)為周期函數(shù)，故A錯誤.9．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：對于A，若角α的終邊過點P(12,32)，則tanα=3212=3，

所以角α的集合是{α|α=π3+2kπ,k∈Z}，故A正確.

對于B，若cos(α+π6)=35，則sin(α+2π3)=sin(α+π6)+π2=10．【答案】A,D【解析】【解答】解：對于A，因為平面ABCDII平面ABCD，

所以平面A1B1C1D1上任意一點到平面ABCD的距離都相等，

則可得三棱錐B-ABC的體積為定值，故A正確.

對于B，若存在點E，使CE⊥平面BDD1B1，因為在正方體中，A1C1⊥平面BDD1B1，

CE與A1C1重合或平行，而這樣的點E不存在，故B錯誤；

對于C，在正方體中，CC1∥平面BDD1B1，而CE∥平面BDD1B1當(dāng)點E與C重合時，CE為CC1，

則存在點E使得CE∥平面BDD1B1，故C錯誤：

對于D，正方體中，CC1⊥平面A1B1C1D1，，由題可得l?平面A1B1C1D1，所以l⊥CC1，

又I⊥CE，所以l⊥平面C11．【答案】B,D【解析】【解答】解：對于A，因為sinx=x?x33!+x55!?x77!+???，cosx=1?x22!+x44!?x66!+???，

所以sin1-cos1=12！-13！+12．【答案】-40【解析】【解答】解：因為(2x3?1x2)5的展開式的通項公式為Tr+1=13．【答案】sin(【解析】【解答】解：由圖可知A=1，T4=π2-π6=π3，∴T=4π3=2πω，∴ω=32，

∴fx14．【答案】2π3；【解析】【解答】解：因為sin2B+sin2C?sin2A+sinBsinC=0，所以b2+c2-a2+bc=0,∴b2+c2-a2=-bc,∴cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12，

因為A∈0,π，所以A=2π3.所以BC→=a=b215．【答案】（1）解：由f(x)=?13x令f'(x)>0，得?x所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0（2）解：令f'(x)=0，解得x=0或當(dāng)x變化時，f'(x)，x(?∞0(02(2f?0+0?f(x)單調(diào)遞減1單調(diào)遞增7單調(diào)遞減由函數(shù)g(x)=f(x)?k有且僅有三個零點，得方程f(x)=k(k∈R)有且僅有三個不等的實數(shù)根，所以函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=k有且僅有三個交點．顯然，當(dāng)x→?∞時，f(x)→+∞；當(dāng)x→+∞時，f(x)→?∞．所以由上表可知，f(x)的極小值為f(0)=1，f(x)的極大值為f(2)=7故k∈(1,【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，解不等式，即可求得單調(diào)區(qū)間.

(2)由當(dāng)x變化時，f'(x)，f(x)的變化情況，分析函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=k有且僅有三個交點，

16．【答案】（1）證明：連接AC，取AB的中點F，連接CF，則AF=1又∵AB∥CD，∴AF∥∴四邊形ADCF為平行四邊形，∴CF=AD=1∴∠ACB=90°，則AC⊥BC．又PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC．又∵AC∩PA=A，AC?平面PAC，PA?平面PAC，∴BC⊥平面PAC．又AE?平面PAC，∴BC⊥AE．（2）解：以A為坐標(biāo)原點，AD,AB,AP所在直線分別為x軸，y軸，則AP=AB=2AD=2a，依題意得D(a,0,0)，C(a,則BP=(0,?2a∵PE=2EC設(shè)平面PBC的法向量為n=(則n取y0=1，得z0=1，設(shè)直線DE與平面PBC所成角為θ，則有sinθ=|cos?DE∴直線DE與平面PBC所成角的正弦值為33【解析】【分析】（1）連接AC，取AB的中點F，連接CF，構(gòu)造四邊形ADCF為矩形，然后根據(jù)線面垂直判定和性質(zhì)，即可證明.

(2)以A為坐標(biāo)原點，AD,AB,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=CD=a．求出所需點坐標(biāo)，平面17．【答案】（1）解：設(shè)Q(x,y)，則∵直線OB的方程為y=?32x，∴M(x∴OQ=(x,∵OQ∥OE化簡得x2=?4y，其中即Γ的方程為：x2（2）解：∵拋物線x2=?4y的圖象關(guān)于y軸對稱，點N在∴點N關(guān)于y軸對稱的點N'也在拋物線x設(shè)直線AN'的方程為y=mx+yN'(x聯(lián)立方程得：y=mx+y0,∵Δ=16m2?16y0設(shè)P(0,y3)，則∵P,N,∴(x即?4my3=4my0∴P(0,∵點N',N關(guān)于y∵△PN'N∴直線AN的斜率k=y∴x由(x1?∵m2>0，∴y0則點P到直線AD的距離d=|2設(shè)t=4+y0，則1<t<故d=8?2∵y=8t?2t在(1即點P到直線AD的距離的取值范圍是(【解析】【分析】（1）設(shè)Q(x,y)，則H(x,0)，得M、E坐標(biāo)，利用OQ→∥OE→，列方程整理即可求得軌跡方程.

(2)根據(jù)對稱性得點設(shè)直線AN'的方程為y=mx+y0(m≠0)，A(x1,y1)，N'(18．【答案】（1）解：y=e（2）解：由Yi=lny依題意得b=a=所以Y=?0.3x+3.（3）解：零假設(shè)H0根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到：χ2根據(jù)小概率值α=0.10的獨立性檢驗，我們推斷【解析】【分析】(1)根據(jù)散點圖判斷即可.

(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出b^=i=110xiYi19．【答案】（1）（?。ゝ(x)=x2?x由f(a得an2?又b1=2∴b∴b