2006級信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)試卷-A

《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》試卷第5頁共6頁姓名學(xué)號學(xué)院姓名學(xué)號學(xué)院專業(yè)座位號(密封線內(nèi)不答題)……………………密………………封………線……線………_____________________…華南理工大學(xué)期末考試《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》試卷A注意事項：1.考前請將密封線內(nèi)填寫清楚；2.所有答案請直接答在試卷上；3．考試形式：閉卷；4.本試卷共四大題，滿分100分， 考試時間120分鐘。題號一二三四總分得分評卷人選擇題：（每題2分，共20分）1．如果a≡b(modm)，c是任意整數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是()。(1)ac≡bc(modmc)，

(2)m|a-b，(3)(a,m)=(b,m)

，

(4)a=b+mt,t∈Z。2．設(shè)a,b,c0是三個整數(shù)，ca，cb，如果存在整數(shù)s,t，使得sa＋tb＝1，則()。(1)(a,b)=c，(2)c＝1，(3)c＝sa＋tb，(4)c＝1。3．模30的簡化剩余系是()。(1)－1,2,5,7,9,19,20,29，(2)－1,－7,10,13,17,25,23,29，(3)1,7,11,13,17,19,23,29，(4)3,7,11,13,17,19,23,29。4．設(shè)a,b,c是三個不全為零的整數(shù)。如果a=bq+c,其中q是整數(shù)，則有()。(1)(a,b)=(q,c)，(2)(a,b)=(b,c)，(3)(a,b)=c，(4)(a,b)=(a,c)。5．設(shè)n是正整數(shù)，則()。(1)d，(2)n，(3)nd，(4)(n)。6．下面的集合和運算是群的是()。(1)<N，＋>（運算“＋”是自然數(shù)集N上的普通加法）(2)<R，×>（R是實數(shù)集，“×”是普通乘法）(3)<Z，＋>（運算“＋”是整數(shù)集Z上的普通加法）(4)<P（S），∩>（P（S）是集合S的冪集，“∩”為集合的交）7．下面各組數(shù)中，均為模7的平方剩余的是()。(1)1,3,4，(2)1,2,4，(3)3,5,6，(4)1,2,3,4,5,6。8．下面各組數(shù)中，均為模14的原根的是()。(1)2,3,4,5，(2)3,6,8,10，(3)9,11,13，(4)3,5。9．Fermat定理：設(shè)p是一個素數(shù)，則對任意整數(shù)a有()。(1)ap＝1(modp)，(2)a(p)＝1(moda)，(3)a(p)＝a(modp)，(4)ap＝a(modp)10．設(shè)a是整數(shù)，A．a(chǎn)≡0（mod9），B．a(chǎn)≡2008（mod9）C．a(chǎn)的十進位表示的各位數(shù)字之和可被9整除D．去掉a的十進位表示中所有的數(shù)字9，所得的新數(shù)被9整除以上各條件中，成為9|a的充要條件的共有（）。(1)1個，(2)2個，(3)3個，(4)4個。二．填空題：（每題2分，共20分）1．設(shè)m是正整數(shù)，a是滿足am的整數(shù)，則一次同余式：axb(modm)有解的充分必要條件是。當(dāng)同余式axb(modm)有解時，其解數(shù)為。2．設(shè)m是正整數(shù)，則m個數(shù)0,1,2,…,m－1中叫做m的歐拉(Euler)函數(shù)，記做(m)。3．整數(shù)2t＋1和2t－1的最大公因數(shù)(2t＋1，2t－1)＝。4．設(shè)a,b是正整數(shù)，且有素因數(shù)分解，，則(a,b)＝，[a,b]＝。5．如果a對模m的指數(shù)是，則a叫做模m的原根。6．設(shè)m是一個正整數(shù)，a是滿足的整數(shù)，則存在整數(shù)a￠，1≤a￠＜m，使得aa￠≡1(modm)。7．Wilson定理：設(shè)p是一個素數(shù)，則。8．(中國剩余定理)設(shè)m1,…,mk是k個兩兩互素的正整數(shù)，則對任意的整數(shù)b1,…,bk同余式組xb1(modm1)…………xbk(modmk)有唯一解。令m＝m1…mk，m＝miMi，i＝1,…,k，則同余式組的解為：，其中。9．正整數(shù)n有標(biāo)準(zhǔn)因數(shù)分解式為，則n的歐拉函數(shù)(n)＝。10．設(shè)G和G￠是兩個群，f是G到G￠的一個映射。如果對任意的a,b∈G，都有，那么，f叫做G到G￠的一個同態(tài)。三．證明題（寫出詳細證明過程）：（共30分）1．證明：形如4k+3的素數(shù)有無窮多個。（6分）2．設(shè)a,b是兩個整數(shù)，其中b>0。則存在唯一一對整數(shù)q,r使得a=bq+r，0￡r<b。（6分）3．設(shè)p，q是兩個不同的奇素數(shù)，n＝pq，a是與pq互素的整數(shù)。整數(shù)e和d滿足(e,(n))＝1，ed1(mod(n))，1<e<(n)，1d<(n)。證明：對任意整數(shù)c，1c<n，若aec(modn)，則有cda(mod4．證明：設(shè)p和q是兩個不相等的素數(shù)，證明：。（6分）四．計算題（寫出詳細計算過程）：（