備戰(zhàn)2024高考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)(理)-第五章-平面向量、復(fù)數(shù)-第二節(jié)-平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)

向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝

.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組

．不共線基底λ1e1＋λ2e22．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示(2)平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則向量a，b共線的充要條件為_____________.x1y2－x2y1＝01．已知a＝(3,6)，b＝(x，y)，若a＋3b＝0，則b＝

(

)A．(1,2) B．(－1，－2)C．(－1,2) D．(1，－2)答案：B4．(2021·全國(guó)乙卷)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，則λ＝________.4．已知向量a＝(m,2)，b＝(1,1)，若|a＋b|＝|a|＋|b|，則實(shí)數(shù)m＝________.[一“點(diǎn)”就過(guò)]利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題時(shí)，首先利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，然后根據(jù)“兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等”這一原則，轉(zhuǎn)化為方程(組)進(jìn)行求解．[方法技巧](1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系．(2)用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．注意同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個(gè)基底下的分解都是唯一的．

[解析]

(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴2a＋b＝(4,2)，又c＝(m，－1)，c∥(2a＋b)，∴2m＋4＝0，解得m＝－2，故選A.[方法技巧]平面向量共線的坐標(biāo)表示問(wèn)題的解題策略(1)已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”．(2)在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)．

2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，則角C＝________.層級(jí)三/細(xì)微點(diǎn)——優(yōu)化完善(掃盲點(diǎn))1．(忽視兩向量作為基底的條件)已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，則a與b共線的條件為

(

)A．λ＝0 B．e2＝0C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0解析：當(dāng)e1∥e2時(shí)，a∥e1，又b＝2e1，所以b∥e1，又e1≠0，故a與b共線；當(dāng)λ＝0時(shí)，a＝e1，又b＝2e1，e1≠0，故a與b共線．答案：D

2．(忽視向量共線的充要條件)已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，則“m＝－3”是“a∥b”的

(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件解析：若m＝－3，則a＝(9，－9)＝9b，故a∥b；若a∥b，則－m2－(－9)×1＝0，解得m＝3或m＝－3.所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要條件．答案：A

4．(結(jié)合新定義問(wèn)題)若α，β是一組基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量γ在基底α，β下的坐標(biāo)．現(xiàn)已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐標(biāo)為(－2,2)，則a在另一組基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐標(biāo)