第01講-基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積-(精講)(原卷版)

第01講基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 2第二部分：高考真題回歸 6第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 7高頻考點(diǎn)一：基本立體圖形 7高頻考點(diǎn)二：立體圖形的直觀圖 8高頻考點(diǎn)三：空間幾何體的表面積與體積 10角度1：表面積和側(cè)面積 10角度2：體積 10角度3：螞蟻爬行最短問題 12高頻考點(diǎn)四：空間幾何體的外接球 15角度1：補(bǔ)形法 15角度2：對(duì)棱相等型 15角度3：借助三角形外心確定球心 16高頻考點(diǎn)五：空間幾何體的內(nèi)切球 18第四部分：數(shù)學(xué)文化題 19溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背知識(shí)點(diǎn)一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1、多面體的結(jié)構(gòu)特征1.1棱柱（1）棱柱的定義定義：一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱底面(底)：兩個(gè)互相平行的面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)（2）棱柱的圖形（3）棱柱的分類及表示①按棱柱底面邊數(shù)分類:②按棱柱側(cè)棱與底面位置關(guān)系分類:③直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱表示法：用各頂點(diǎn)字母表示棱柱，如圖棱柱1.2棱錐（1）棱錐的定義定義：有一面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐底面：多邊形面?zhèn)让妫河泄岔旤c(diǎn)的各三角形面?zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)（2）棱錐的圖形（3）棱錐的分類及表示按照棱錐的底面多邊形的邊數(shù)，棱錐可分為：三棱錐、四棱錐、五棱錐……特別地，三棱錐又叫四面體，底面是正多邊形，且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐表示法：棱錐也用頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)字母表示，如圖棱錐1.3棱臺(tái)（1）棱臺(tái)的定義定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺(tái)上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)让妫撼舷碌酌嬉酝獾拿鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)（2）棱臺(tái)的圖形（3）棱臺(tái)的分類及表示由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……用各頂點(diǎn)字母表示棱柱，如棱臺(tái)2、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征2.1圓柱（1）圓柱的定義以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體圓柱的軸：旋轉(zhuǎn)軸圓柱的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面圓柱的側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面圓柱側(cè)面的母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊（2）圓柱的圖形（3）圓柱的表示圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖，圓柱2.2圓錐（1）圓錐的定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫褐苯侨切蔚男边呅D(zhuǎn)而成的曲面母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱為錐體（2）圓錐的圖形（3）圓錐的表示用表示它的軸的字母表示，如圖，圓錐2.3圓臺(tái)（1）圓臺(tái)的定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)軸：圓錐的軸底面：圓錐的底面和截面?zhèn)让妫簣A錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分臺(tái)體：棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體（2）圓臺(tái)的圖形（3）圓臺(tái)的表示用表示它的軸的字母表示，如圖，圓臺(tái)2.4球球的表面積和體積（1）球的表面積：（2）球的體積:知識(shí)點(diǎn)二：直觀圖1、空間幾何體的直觀圖的繪制方法（1）畫軸.在平面圖形中取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn),畫直觀圖時(shí)，把它們分別畫成對(duì)應(yīng)的軸與軸，兩軸交于點(diǎn),且使”(或）,它們確定的平面表示水平面；（2）畫底面.已知圖形中，平行于軸軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸、軸或軸的線段；（3）畫側(cè)棱.已知圖形中平行于軸或軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话?；?）成圖.連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.簡(jiǎn)記為：①畫軸；②畫底面；③畫側(cè)棱；④成圖.2、斜二測(cè)畫法保留了原圖形中的三個(gè)性質(zhì)①平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；②共點(diǎn)性不變，即在原圖中相交的直線仍然相交；③平行于x，z軸的長(zhǎng)度不變．知識(shí)點(diǎn)三：柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積幾何體表面積體積柱體（棱柱，圓柱）椎體（棱錐，圓錐）臺(tái)體（棱臺(tái)，圓臺(tái)）球知識(shí)點(diǎn)四：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式幾何體圓柱圓錐圓臺(tái)圖示側(cè)面積公式常用結(jié)論1.球的截面的性質(zhì)(1)球的截面是圓面,且球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面;(2)球心到截面的距離與球的半徑及截面的半徑的關(guān)系為第二部分：高考真題回歸1．（多選）（2023·全國(guó)（新高考Ⅰ卷）·統(tǒng)考高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長(zhǎng)均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體2．（2023·全國(guó)（乙卷文）·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)均在半徑為2的球面上，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，則________．3．（2023·全國(guó)（甲卷文）·統(tǒng)考高考真題）在正方體中，為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則球的半徑的取值范圍是________．4．（2023·全國(guó)（甲卷理）·統(tǒng)考高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為CD，的中點(diǎn)，則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為____________．5．（2023·全國(guó)（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為______．6．（2023·全國(guó)（新高考Ⅰ卷）·統(tǒng)考高考真題）在正四棱臺(tái)中，，則該棱臺(tái)的體積為________．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：基本立體圖形典型例題例題1．（2023春·黑龍江大慶·高一鐵人中學(xué)?？计谥校┙o出下列說法：①有兩個(gè)面平行且相似，其他各個(gè)面都是梯形的多面體是棱臺(tái)②有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；③有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱④一個(gè)圓柱形蛋糕，切三刀最多可切成7塊其中正確說法的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·山東臨沂·高一?？计谥校┫铝姓f法中，正確的是（

）A．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是圓錐B．以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)可以構(gòu)成正四棱錐C．用一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和圓臺(tái)D．用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面例題3．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)，，分別在棱，和上，且，，，則平面截長(zhǎng)方體所得的截面形狀為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形例題4．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方體中截去一部分，其中，剩下的較大的幾何體是什么？

練透核心考點(diǎn)1．（2023春·安徽·高一安徽省太和中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列敘述正確的是（

）A．用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)B．兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C．有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)D．棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)2．（2023春·廣東深圳·高一?？计谥校恼襟w的8個(gè)頂點(diǎn)上任取4個(gè)頂點(diǎn)，則這4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的幾何圖形不可能是（

）A．三個(gè)面是直角三角形的正三棱錐B．有一個(gè)面是鈍角三角形的四面體C．每個(gè)面都是等邊三角形的四面體D．每個(gè)面都是直角三角形的四面體3．（多選）（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)B．以等腰三角形底邊上的高所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐C．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面D．用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面東莞·高一東莞市東莞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱B．棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行C．如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐可能為五棱錐D．各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐為正棱錐高頻考點(diǎn)二：立體圖形的直觀圖典型例題例題1．（2023春·安徽·高一安徽省太和中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，是水平放置的的斜二測(cè)直觀圖，其中，則是（

）

A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．等腰直角三角形 D．以上選項(xiàng)都不對(duì)例題2．（2023春·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，矩形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形是（

）

A．面積為的矩形 B．面積為的矩形C．面積為的菱形 D．面積為的菱形練透核心考點(diǎn)1．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖是水平放置的三角形ABC的直觀圖，是中邊上的一點(diǎn)，且離比離近，軸，軸，那么線段AB，AD，AC中，最長(zhǎng)、最短的線段分別是（

）

A．AB，AC B．AC，AD C．AD，AC D．AB，AD2．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）用斜二測(cè)畫法畫出圖中四邊形OBCD的直觀圖．高頻考點(diǎn)三：空間幾何體的表面積與體積角度1：表面積和側(cè)面積典型例題例題1．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考三模）已知底面半徑為的圓錐，其軸截面為正三角形，若它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，則此圓柱的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）已知圓臺(tái)的上、下底面圓的半徑分別為1和2，高為1，則圓臺(tái)的表面積為（

）A． B． C． D．例題3．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谥校├忾L(zhǎng)為1的正方體紙盒展開后如圖所示，則在原正方體紙盒上，分別將四點(diǎn)兩兩相連，構(gòu)成的幾何體的表面積為__________．

例題4．（2023春·黑龍江大慶·高一鐵人中學(xué)?？计谥校┯扇A裔建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形邊長(zhǎng)的比值為，則以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積與該四棱錐的側(cè)面積之比為______.角度2：體積典型例題例題1．（2023春·湖北·高二黃石二中校聯(lián)考階段練習(xí)）圓柱的軸截面是周長(zhǎng)為12的矩形，則滿足條件的圓柱的最大體積為（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）某廣場(chǎng)內(nèi)供休閑人員休息的石凳是由一個(gè)正方體石塊截去8個(gè)相同的四面體得到的，如圖所示，若被截正方體石塊棱長(zhǎng)為，則該石凳的體積為（

）（單位）

A．180000 B．160000 C．140000 D．120000例題3．（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)，，分別在棱，，上，且，則以平面截正方體所得截面為底面，為頂點(diǎn)的棱錐的體積為___________.

例題4．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考二模）如圖；在直三棱柱中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．

(1)求證；(2)求三棱錐的體積．角度3：螞蟻爬行最短問題典型例題例題1．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為2cm，，分別是兩底面的直徑，，是母線.若一只小蟲從點(diǎn)出發(fā)，沿側(cè)面爬行到點(diǎn)處，則小蟲爬行的最短距離是（

）

A． B．2cm C． D．1cm例題2．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）有一個(gè)圓錐形鉛錘，其底面直徑為，母線長(zhǎng)為．是鉛錘底面圓周上一點(diǎn)，則關(guān)于下列命題：①鉛錘的側(cè)面積為；②一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿鉛錘側(cè)面爬行一周、最終又回到點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)度為．其中正確的判斷是（

）A．①②都正確 B．①正確、②錯(cuò)誤C．①錯(cuò)誤、②正確 D．①②都錯(cuò)誤例題3．（2023春·高一單元測(cè)試）如圖，已知圓柱的高為，底面半徑為，軸截面為矩形，在母線上有一點(diǎn)，且，在母線上取一點(diǎn)，使，則圓柱側(cè)面上、兩點(diǎn)的最短距離為________．

例題4．（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為2km，山高為，是山坡上一點(diǎn)，且.現(xiàn)要建設(shè)一條從到的環(huán)山觀光公路，這條公路從出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長(zhǎng)度最短時(shí)，下坡路段長(zhǎng)為______.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知等邊三角形SAB為圓錐的軸截面，AB為圓錐的底面直徑，O，C分別是AB，SB的中點(diǎn)，過OC且與平面SAB垂直的平面記為，若點(diǎn)S到平面的距離為，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)上下底面的半徑分別為1和2，母線長(zhǎng)為3，則圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．34．（2023春·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）將邊長(zhǎng)為1的正方形紙片繞著它的一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)弧度，則紙片掃過的區(qū)域形成的幾何體的表面積為______.5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，連接，，，，，，得到一個(gè)三棱錐.則三棱錐的體積是_________.

6．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為1的扇形，則這個(gè)圓錐的表面積與側(cè)面積的比是______.7．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)兆麟中學(xué)校考期中）如圖所示，正三棱柱，，，分別為，的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積．8．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖是一個(gè)圓錐形物體，其母線長(zhǎng)為3cm，一只小蟲子從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)P處，若該小蟲子爬行的最短路程為，求圓錐底面圓的半徑.

9．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）已知圓錐底面圓的半徑為1，高為，要想從底面圓周上一點(diǎn)出發(fā)拉一條細(xì)繩繞圓錐的側(cè)面一周再回到，求該條細(xì)繩的最短長(zhǎng)度.10．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，圓臺(tái)上、下底面半徑分別為，，母線長(zhǎng)為，從母線AB的中點(diǎn)拉一條細(xì)繩，圍繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)至下底面的點(diǎn)，求BM間細(xì)繩的最短長(zhǎng)度.

高頻考點(diǎn)四：空間幾何體的外接球角度1：補(bǔ)形法典型例題例題1．（湖南省新高考教學(xué)教研聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）很多人的童年都少不了折紙的樂趣，如今傳統(tǒng)意義上的手工折紙已經(jīng)與數(shù)學(xué)聯(lián)系在一起，并產(chǎn)生了許多需要縝密論證的折紙問題.有一張矩形紙片，，為的中點(diǎn)，將和分別沿、翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合于點(diǎn)，若，三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在矩形中，平面，則與平面所成的角是_____．四棱錐的外接球的表面積為____．角度2：對(duì)棱相等型典型例題例題1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，．若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為______．例題2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，且，，，則球的體積是（

）A． B． C． D．例題3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在三棱錐中，已知，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．角度3：借助三角形外心確定球心典型例題例題1．（2023春·四川德陽(yáng)·高二德陽(yáng)五中校考階段練習(xí)）已知三棱錐的頂點(diǎn)都在球的球面上，底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形．若三棱錐的體積的最大值為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某兒童玩具的實(shí)物圖如圖1所示，從中抽象出的幾何模型如圖2所示，由，，，四條等長(zhǎng)的線段組成，其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是能使它任意拋至水平面后，總有一條線段所在的直線豎直向上，則=（

）

A． B． C． D．例題3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，，三棱錐體積的最大值是__________；當(dāng)二面角為時(shí)，三棱錐外接球的表面積是__________.

練透核心考點(diǎn)1．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）正四面體的所有棱長(zhǎng)均為12，球O是其外接球，M，N分別是與的重心，求球O截直線MN所得的弦長(zhǎng).2．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐中，，若均在半徑為2的球面上，求的范圍_________．3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的球面上，，，，為球的球面上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的最大距離為（

）A． B． C． D．4．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）腰長(zhǎng)為的等腰的頂角為，且，將繞旋轉(zhuǎn)至的位置得到三棱錐，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)其外接球面積為（

）

A． B．C． D．5．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐的底面四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，且平面，，點(diǎn)M為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則當(dāng)三棱錐的外接球的體積最小時(shí)，的長(zhǎng)為_________．高頻考點(diǎn)五：空間幾何體的內(nèi)切球典型例題例題1．（廣西三新聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期5月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知四棱錐的各棱長(zhǎng)均為2，則其內(nèi)切球表面積為（

）A． B．C． D．例題2．（多選）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知圓臺(tái)的上底半徑為1，下底半徑為3，球與圓臺(tái)的兩個(gè)底面和側(cè)面都相切，則（

）A．圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為4 B．圓臺(tái)的高為4C．圓臺(tái)的表面積為 D．球O的表面積為例題3．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，有一個(gè)倒圓錐形容器中有部分水，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放入一個(gè)半徑為的鐵球，此時(shí)水面與球正好相切，則原來容器中水的深度為______．

練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）棱長(zhǎng)為的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球，則這樣一個(gè)小球的表面積最大為（

）A． B． C． D．2．（多選）（2023春·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓錐的母線長(zhǎng)為6，側(cè)面積為，則下列說法正確的是（

）A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的內(nèi)切球的體積為C．該圓錐的外接球的表面積為 D．該圓錐的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為3．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）將一個(gè)圓心角為、面積為的扇形卷成一個(gè)圓錐，則此圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為______.第四部分：數(shù)學(xué)文化題1．（多選）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽(yáng)馬”，四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，如圖在塹堵中，AC⊥BC，且．下列說法正確的是（

）A．四棱錐為“陽(yáng)馬”B．四面體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且球的表面積為C．四棱錐體積最大值為D．四面體為“鱉臑”2．（多選）（2023·湖南岳陽(yáng)·湖南省平江縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）勒洛三角形也被稱為定寬曲線，勒洛三角形的立體版就是如圖所示的立體圖形，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，它是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分組成的，因此它能像球一樣來回滾動(dòng).這種立體圖形稱為勒洛四面體，若圖中勒洛四面體的四個(gè)頂點(diǎn)分別為P、A、B、C，任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離為1，則下列說法正確的是（

）A．圖中所示勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間距離的最大值為1B．圖中所示勒洛四面體的內(nèi)切球的表面積為C．平面截此勒洛四面體所得截面的面積為D．圖中所示的勒洛四面體的體積是3．（2023·廣東廣州