第九章壓桿穩(wěn)定簡(jiǎn)介講義資料

材料力學(xué)Thursday,January9,2025第九章壓桿穩(wěn)定1第九章壓桿穩(wěn)定本章內(nèi)容:1壓桿穩(wěn)定的概念2兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力3其他支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力4歐拉公式的適用范圍經(jīng)驗(yàn)公式5 壓桿的穩(wěn)定校核6 提高壓桿穩(wěn)定性的措施7 縱橫彎曲的概念2§9.1壓桿穩(wěn)定的概念 前面各章節(jié)討論了構(gòu)件的強(qiáng)度和剛度問題。 本章討論受壓桿件的穩(wěn)定性問題。

穩(wěn)定性問題的例子平衡形式突然改變喪失穩(wěn)定性失穩(wěn)3

平衡的穩(wěn)定性穩(wěn)定平衡

不穩(wěn)定平衡

隨遇平衡

壓桿的平衡 穩(wěn)定性當(dāng)P

Pcr

當(dāng)P

Pcr

5

壓桿的平衡 穩(wěn)定性

臨界壓力Pcr當(dāng)P

Pcr時(shí)，壓桿的直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。當(dāng)P

Pcr時(shí)，直線平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定的，受干擾后成為微彎平衡狀態(tài)。使直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定平衡狀態(tài)的最大壓力，也是在微彎平衡狀態(tài)下的最小壓力。當(dāng)P

Pcr

當(dāng)P

Pcr

6§9.2兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力 兩端鉸支桿受壓 力P作用 考察微彎平衡狀態(tài)

x處截面的彎矩

撓曲線近似微分I

為截面最小的慣性矩方程7引入記號(hào)通解為其中，A、B為積分常數(shù)，由邊界條件確定。邊界條件為:時(shí)，時(shí)，將代入通解將代入通解8邊界條件為:時(shí)，時(shí)，將代入通解將代入通解因所以應(yīng)有代入因?yàn)榕R界壓力是微彎平衡狀態(tài)下的最小壓力，所以，應(yīng)取n=1。9代入因?yàn)榕R界壓力是微彎平衡狀態(tài)下的最小壓力，所以，應(yīng)取n=1。這就是兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力公式。

歐拉公式當(dāng)取n=1

時(shí)，由則，撓曲線方程為10當(dāng)取n=1

時(shí)，由則，撓曲線方程為其中，A為桿中點(diǎn)的撓度。A的數(shù)值不確定。歐拉公式與精確解曲線

精確解曲線

理想受壓直桿 非理想受壓直桿時(shí)，11§9.3其他支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力1一端固支一端自由的壓桿2一端固支一端滑動(dòng)固支 （簡(jiǎn)稱為兩端固支）由兩端鉸支壓桿的臨界壓力公式122一端固支一端滑動(dòng)固支 （簡(jiǎn)稱為兩端固支）拐點(diǎn)處彎矩為零。拐點(diǎn)3一端固支一端鉸支由兩端鉸支壓桿的臨界壓力公式133一端固支一端鉸支4歐拉公式的普遍形式l相當(dāng)長(zhǎng)度；

長(zhǎng)度系數(shù)。拐點(diǎn)由兩端鉸支壓桿的臨界壓力公式14表9.1壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)

4歐拉公式的普遍形式l相當(dāng)長(zhǎng)度；

長(zhǎng)度系數(shù)。15例1 (書例9.2)已知:兩端固支壓桿，E,

I，l。求：臨界壓力。解：lx考察微彎平衡狀態(tài)

x

處截面的彎矩

撓曲線近似微分方程兩端的水平約束力為零vyxPPmmPM16

撓曲線近似微分方程xvyxPPmm引入記號(hào)通解為其中，A、B為積分常數(shù)，由邊界條件確定。17xvyxPPmm通解為其中，A、B為積分常數(shù)，由邊界條件確定。邊界條件為:時(shí)，時(shí)，將邊界條件代入通解又代入18通解為邊界條件為:時(shí)，時(shí)，將邊界條件代入通解又代入代入代入通解19最小非零解為代入20§9.4歐拉公式的適用范圍經(jīng)驗(yàn)公式1臨界應(yīng)力臨界壓力臨界應(yīng)力將慣性矩寫為i

慣性半徑21將慣性矩寫為i

慣性半徑

柔度

(長(zhǎng)細(xì)比)柔度是壓桿穩(wěn)定問題中的一個(gè)重要參數(shù)，它全面反映了壓桿長(zhǎng)度、約束條件、截面尺寸和形狀對(duì)臨界應(yīng)力的影響。22

柔度

(長(zhǎng)細(xì)比)柔度是壓桿穩(wěn)定問題中的一個(gè)重要參數(shù)，它全面反映了壓桿長(zhǎng)度、約束條件、截面尺寸和形狀對(duì)臨界應(yīng)力的影響。則臨界應(yīng)力為

歐拉公式2歐拉公式的適用范圍導(dǎo)出歐拉公式用了撓曲線近似微分方程要求材料滿足胡克定律232歐拉公式的適用范圍導(dǎo)出歐拉公式用了撓曲線近似微分方程要求材料滿足胡克定律即：記：則歐拉公式成立的條件為：可以看出：

1

只與材料的性質(zhì)有關(guān)。24記：則歐拉公式成立的條件為：可以看出：

1

只與材料的性質(zhì)有關(guān)。對(duì)Q235鋼：E=206GPa，

p=200Mpa

3直線經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)于

cr

p的情況，歐拉公式不成立。工程上使用經(jīng)驗(yàn)公式。直線經(jīng)驗(yàn)公式253直線經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)于

cr

p的情況，歐拉公式不成立。工程上使用經(jīng)驗(yàn)公式。直線經(jīng)驗(yàn)公式式中,a,b是與材料有關(guān)的常數(shù)(表9.2,p301)。800.19028.7松木701.454332.2鑄鐵952.568461優(yōu)質(zhì)碳鋼ss=306MPa1021.12304Q235鋼

ss=235MPal1b(MPa)a(MPa)材料26直線經(jīng)驗(yàn)公式式中，a,b

是與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)。直線經(jīng)驗(yàn)公式的適用范圍用直線經(jīng)驗(yàn)公式時(shí)，應(yīng)有記：則直線經(jīng)驗(yàn)公式的適用范圍為：當(dāng)

2

時(shí)，就發(fā)生強(qiáng)度失效，而不是失穩(wěn)。27記：則直線經(jīng)驗(yàn)公式的適用范圍為：當(dāng)

2

時(shí)，就發(fā)生強(qiáng)度失效，而不是失穩(wěn)。所以應(yīng)有:不同柔度的壓桿，需應(yīng)用不同的臨界應(yīng)力的公式?？筛鶕?jù)柔度將壓桿分為三類(1)大柔度桿(細(xì)長(zhǎng)桿)

1

的壓桿(2)中柔度桿

2

1

的壓桿4壓桿分類284壓桿分類不同柔度的壓桿，需應(yīng)用不同的臨界應(yīng)力的公式?？筛鶕?jù)柔度將壓桿分為三類(1)大柔度桿(細(xì)長(zhǎng)桿)

1

的壓桿(2)中柔度桿

2

1

的壓桿(3)小柔度桿(短粗桿)

2

的壓桿5臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力計(jì)算的小結(jié)

對(duì)

1

的大柔度壓桿，臨界應(yīng)力公式為295臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力計(jì)算的小結(jié)

對(duì)

1

的大柔度壓桿，臨界應(yīng)力公式為

1

2

的中柔度壓桿，臨界應(yīng)力公式為

2

的小柔度壓桿，臨界應(yīng)力公式為臨界應(yīng)力總圖30臨界應(yīng)力總圖大柔度桿小柔度桿中柔度桿316拋物線經(jīng)驗(yàn)公式拋物線經(jīng)驗(yàn)公式為式中，a1

,b1

是與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)。

說(shuō)明若壓桿的局部有截面被削弱的情況，則：進(jìn)行穩(wěn)定性計(jì)算時(shí)，可忽略若壓桿的局部削 弱，仍用原來(lái)截面的面積和慣性矩計(jì)算臨界 應(yīng)力；

進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，應(yīng)按削弱后的面積計(jì)算。32§9.5壓桿的穩(wěn)定校核工作安全系數(shù)穩(wěn)定安全系數(shù)穩(wěn)定校核滿足穩(wěn)定性要求時(shí)，應(yīng)有:穩(wěn)定安全系數(shù)與強(qiáng)度安全系數(shù)的取值強(qiáng)度安全系數(shù)取值1.2~2.5，有時(shí)可達(dá)3.5；穩(wěn)定安全系數(shù)取值2~5，有時(shí)可達(dá)8~10。33壓桿穩(wěn)定問題的解題步驟1穩(wěn)定校核問題

1) 計(jì)算

1，

2，；

2) 確定屬于哪一種桿(大柔度，中柔度， 小柔度)；

3) 根據(jù)桿的類型求出

cr和Pcr

;

4) 計(jì)算桿所受到的實(shí)際壓力P；

5) 校核n=Pcr/P

nst

是否成立。穩(wěn)定安全系數(shù)與強(qiáng)度安全系數(shù)的取值強(qiáng)度安全系數(shù)取值1.2~2.5，有時(shí)可達(dá)3.5；穩(wěn)定安全系數(shù)取值2~5，有時(shí)可達(dá)8~10。341穩(wěn)定校核問題

1) 計(jì)算

1，

2，；

2) 確定屬于哪一種桿(大柔度桿，中柔度桿， 小柔度桿)；

3) 根據(jù)桿的類型求出

cr

和Pcr

;

4) 計(jì)算桿所受到的實(shí)際壓力P；

5) 校核n=Pcr/P

nst

是否成立。2確定許可載荷 前3步同穩(wěn)定校核問題；

4)

P

Pcr/nst。352確定許可載荷 前3步同穩(wěn)定校核問題；

4) P

Pcr/nst。3截面設(shè)計(jì)問題

1) 計(jì)算實(shí)際壓力P

；

2) 求出Pcr：Pcr=

nst

P；

3) 先假設(shè)為大柔度桿，由歐拉公式求出I,

進(jìn)一步求出直徑d

(若為圓截面桿)

;

4) 計(jì)算

1和

；

5) 檢驗(yàn)

1

是否成立。若成立，則結(jié)束;363) 先假設(shè)為大柔度桿，由歐拉公式求出I,

進(jìn)一步求出直徑d

(若為圓截面桿)

;4) 計(jì)算

1和

；5) 檢驗(yàn)

1

是否成立。若成立，則結(jié)束;

6)

若

1不成立，則設(shè)為中柔度桿，按經(jīng) 驗(yàn)公式求出

;

7) 計(jì)算

2；

8) 檢驗(yàn)

2

是否成立。

9)

若

2

成立，則由

求出慣性半徑i

, 再求出直徑d

(若為圓截面桿)，結(jié)束。37例2 (書例.4)已知:空氣壓縮機(jī)的活塞桿由45鋼制成，ss=350

Mpa,sp=280MPa,E=210GPa。長(zhǎng)度l=703mm,直徑d=45mm。最大壓力Pmax=41.6kN。穩(wěn)定安全系數(shù)為nst=8~10。要求：試校核其穩(wěn)定性。解：1求

1

2求

活塞桿可簡(jiǎn)化為兩端鉸支桿381求

1

2求

活塞桿可簡(jiǎn)化為兩端鉸支桿

慣性半徑對(duì)圓軸

柔度

391求

1

2求

柔度

因?yàn)?，所以不是大柔度桿。3求

2

采用直線經(jīng)驗(yàn)公式。

由表14.2查得(45鋼屬優(yōu)質(zhì)碳鋼)：所以，是中柔度桿。403求

2

采用直線經(jīng)驗(yàn)公式。

所以，是中柔度桿。4求臨界應(yīng)力

采用直線經(jīng)驗(yàn)公式。

5求臨界壓力

6穩(wěn)定校核

滿足穩(wěn)定要求。

41例2 (書例9.5)已知:活塞直徑D=65mm，p=求：活塞桿直徑d。解：這是截面設(shè)計(jì)問題。臨界壓力的最大值為先假設(shè)為大柔度桿Pp1.2MPa,l=1250mm,45鋼，sp=220MPa,

E=210GPa,

nst=6?；钊麠U所受壓力用歐拉公式計(jì)算臨界壓力42解：這是截面設(shè)計(jì)問題。臨界壓力的最大值為先假設(shè)為大柔度桿Pp活塞桿所受壓力用歐拉公式計(jì)算臨界壓力活塞桿可簡(jiǎn)化為兩端鉸支桿取43活塞桿可簡(jiǎn)化為兩端鉸支桿取根據(jù)求出的d計(jì)算柔度計(jì)算

1

因?yàn)?，是大柔度桿。以上計(jì)算正確。44§9.6提高壓桿穩(wěn)定性的措施1選擇合理的截面形狀截面的慣性矩I越大，或慣性半徑i越大,就越不容易失穩(wěn)，即穩(wěn)定性越好。所以，應(yīng)選擇合理的截面形狀，使得:在截面積相等的情況下，使I

或i

較大45各縱向平面內(nèi)的約束情況相同時(shí)應(yīng)使對(duì)各形心軸的I或i接近相等。兩縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)