2025屆江蘇省南通市海門市高三第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市海門市2025屆高三第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合A＝，則A∩B的元素個(gè)數(shù)是A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】聯(lián)立，解得即和的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，，，∴集合有3個(gè)元素，故選B.2.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù)且在上遞減 B.是奇函數(shù)且在上遞增C.是偶函數(shù)且在上遞減 D.是偶函數(shù)且在上遞增【答案】D【解析】∵，∴，定義域?yàn)?，，∴是偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，在0,+∞上是單調(diào)增函數(shù).故選：D.3.若，是兩個(gè)不同的平面，直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，，由面面垂直的判定定理可知，，充分性成立，，，則或，必要性不成立，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A4.過的直線交圓O：于.M，N兩點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故為的中點(diǎn)，，由垂徑定理得.故選：C5.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，即，，兩邊平方得，即，解得.故選：B6.若正數(shù)，，滿足（為自然對數(shù)底數(shù)），則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，顯然在上單調(diào)遞增，又，，為正數(shù)，所以，即，所以，令，則在上單調(diào)遞增，又，即，所以，綜上可得.故選：D7.橢圓C：的上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)為、，若上任一點(diǎn)P到直線的距離與到x軸的距離之和為b，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，，直線的方程為，即，直線的方程為，即，設(shè)，，則到直線的方程為，則，解得，故，故.故選：B8.若函數(shù)滿足，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，，又，所以，則，故B錯(cuò)誤；由，所以，所以，又，所以，則，故D正確；由于只有，無法得知、的值，故A、C錯(cuò)誤.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，互為共軛復(fù)數(shù)，則 D.，，【答案】BCD【解析】對于A：若，則，故A錯(cuò)誤；對于B：設(shè)，因?yàn)椋?，則，故B正確；對于C：設(shè)，因?yàn)?，互為共軛?fù)數(shù)，則，所以，，即，故C正確；對于D：設(shè)，則，，所以，即，，，故D正確.故選：BCD10.若把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到曲線，則（）A. B.在上單調(diào)遞減C.圖象關(guān)于對稱 D.與有2個(gè)交點(diǎn)【答案】AC【解析】把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變得到，再把向左平移個(gè)單位長度得到，又，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以在上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋詧D象關(guān)于對稱，故C正確；令，解得，所以在上單調(diào)遞增，且，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，且，因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出與的圖象如下所示：由圖可知與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)，距離之積等于的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為伯努利雙紐線，，為該曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).已知曲線C：是一條伯努利雙紐線，點(diǎn)是曲線C上一點(diǎn)，則（）A. B.C.當(dāng)時(shí)， D.C上存在兩個(gè)點(diǎn)A，B，使得【答案】AC【解析】對A：對伯努利雙紐線，令，則，即，解得x=0或，故點(diǎn)在該曲線上，根據(jù)雙紐線定義可得：，故可得，則，或（無解，舍去），故，又，故，故A正確；對B：對伯努利雙紐線，令，則，即，也即，該方程無解，，故B錯(cuò)誤；對C：在△中，不妨設(shè)，由A可知，；由據(jù)雙紐線定義可得：；則由余弦定理可得：，即，，故可得：（舍），或，即當(dāng)時(shí)，，故C正確；對D：對方程，令x=0，則，解得，故斜率存在，設(shè)為，則直線對應(yīng)方程為；聯(lián)立與可得：，即，因?yàn)楫愑?，故，則，則，解得，同理；若，則，由范圍可知，顯然不成立，故D錯(cuò)誤；故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，對于等比數(shù)列（因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，.已知，將，，的值代入可得：.因?yàn)椋ǖ缺葦?shù)列首項(xiàng)不為），等式兩邊同時(shí)除以得.展開式子得，即，解得或.因?yàn)榈缺葦?shù)列公比，所以.所以.故答案為：.13.已知向量，向量在上的投影向量的坐標(biāo)為，則________.【答案】【解析】因?yàn)?，則，則向量在上的投影向量為，又向量在上的投影向量的坐標(biāo)為，所以，即.故答案為：14.如圖，在直角梯形中，，，E是中點(diǎn)，且，設(shè)，將沿折起向C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中A點(diǎn)記為，且與C不重合），則與平面所成角的大小為________，點(diǎn)C到平面的距離的最大值是________.【答案】；【解析】①如圖1，在梯形中，連接.由題意，則四邊形是平行四邊形，又，且，則四邊形是正方形.則，如圖2，可知，又平面，且平面，且，所以平面.由題意知，則四邊形為平行四邊形，所以，則平面，即與平面所成角的大小為；②如圖2，在平面中過點(diǎn)作，垂足為，延長交于.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，當(dāng)且僅當(dāng)平面時(shí)，取最大值.又平面，也即平面平面時(shí)等號取到.由題意，將沿折起向C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，下面分析當(dāng)旋轉(zhuǎn)至何處時(shí)，等號取到.若平面，由平面，則，又，，平面，平面，所以平面，平面，則平面平面.故當(dāng)旋轉(zhuǎn)至滿足平面平面（即二面角為直二面角）時(shí)，點(diǎn)C到平面的距離能取到最大值，最大值即為.在直角梯形中，，則，，所以.在中，.故點(diǎn)C到平面的距離的最大值是.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求A；（2）若，，求的周長.解：（1）由得，，即，故，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)锽∈0,π，所以，故，因?yàn)?，所以；?），由正弦定理得，因?yàn)?，所以，由?）知，，由余弦定理得，解得，故，所以，所以的周長為.16.如圖，在三棱錐中，為正三角形，E是的中點(diǎn)，.（1）求證：；（2）若，，二面角的大小為，求三棱錐的體積.解：（1）為正三角形，為中點(diǎn)，故⊥，因?yàn)?，，，所以≌，故，又為中點(diǎn)，故⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以；?）由（1）知，⊥，⊥，故為二面角的平面角，即，因?yàn)?，，所以，由勾股定理得，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，由（1）知，⊥平面，而平面，所以⊥，因?yàn)槠矫?，，所以⊥平面，其中，即三棱錐的高為，由勾股定理得，故，三棱錐體積為.17.已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.（1）求函數(shù)的極值；（2）若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，所以，依題意，即，所以，定義域?yàn)?,+∞，則，所以當(dāng)時(shí)f'x>0，當(dāng)時(shí)f所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，無極大值；（2）因?yàn)?，恒成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以對恒成立，令，則當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)椋O(shè)gx當(dāng)Δ=1-4m2≤0m>0，即時(shí)即hx在上單調(diào)遞減，所以，符合題意；當(dāng)Δ=1-4m2>0m>0，即，所以，由零點(diǎn)存在性定理可知存在使得gx0=0又二次函數(shù)gx=-mx則當(dāng)時(shí)gx>0，即h所以hx在上單調(diào)遞增，即存在，使得，這與當(dāng)時(shí)，恒成立矛盾，故舍去；綜上可得．18.已知雙曲線的一條漸近線為，焦距為8.（1）求的方程；（2）過點(diǎn)作直線，分別與曲線交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)D，E.①若，求直線的方程；②過點(diǎn)A，D作直線的垂線，垂足分別為M，N，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)T，Q為曲線上任一點(diǎn)，求證：.解：（1）雙曲線的漸近線為，依題意可得，解得，所以曲線；（2）①當(dāng)直線的斜率為時(shí)，即直線的方程為，此時(shí)不滿足，故舍去；當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，設(shè)直線的方程為，Ax1,y1，B由，消去整理得，所以且Δ=36m2+363m所以，，因?yàn)?，所以，所以，則，即，解得，所以，所以直線的方程為或；②因?yàn)榇怪敝本€，所以，所以直線的方程為，結(jié)合雙曲線的對稱性，令，可得，因?yàn)?，，所以，所以，即直線過點(diǎn)，同理可得直線過點(diǎn)，即，設(shè)，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)取得最小值，最小值為，所以.19.若數(shù)列滿足：對任意的，總存在i，，使得，，則稱是“S—數(shù)列”.（1）判斷數(shù)列和數(shù)列是否為“S—數(shù)列”，并說明理由；（2）求證：公差為d的等差數(shù)列是“S—數(shù)列”的充要條件為；（3）已知是單調(diào)遞增的“S—數(shù)列”，，，求使的n的最大值.解：（1）設(shè)數(shù)列，所以，，所以不是“S—數(shù)列”；當(dāng)時(shí)，，所以，所以是“S—數(shù)列”.（2）先判斷必要性，由題可知，要使是“S—數(shù)列”，則，又因?yàn)?，所以；判斷充分性；若等差?shù)列中，時(shí)，則，此時(shí)為“S—數(shù)列”，證得：公差為d的等差數(shù)列是“S—數(shù)列”的充要條件為（3）由題可知，要使最大，則需要每一項(xiàng)盡可能的小，易知，；；；由題易知，每一項(xiàng)為整數(shù)，且是一個(gè)遞增數(shù)列，因?yàn)?，所以恰好有，同理，，，，我們不難發(fā)現(xiàn)，從開始都是連續(xù)的整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，所以有當(dāng)時(shí)，，若故的最大值為.江蘇省南通市海門市2025屆高三第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合A＝，則A∩B的元素個(gè)數(shù)是A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】聯(lián)立，解得即和的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，，，∴集合有3個(gè)元素，故選B.2.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù)且在上遞減 B.是奇函數(shù)且在上遞增C.是偶函數(shù)且在上遞減 D.是偶函數(shù)且在上遞增【答案】D【解析】∵，∴，定義域?yàn)?，，∴是偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，在0,+∞上是單調(diào)增函數(shù).故選：D.3.若，是兩個(gè)不同的平面，直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，，由面面垂直的判定定理可知，，充分性成立，，，則或，必要性不成立，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A4.過的直線交圓O：于.M，N兩點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故為的中點(diǎn)，，由垂徑定理得.故選：C5.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，即，，兩邊平方得，即，解得.故選：B6.若正數(shù)，，滿足（為自然對數(shù)底數(shù)），則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，顯然在上單調(diào)遞增，又，，為正數(shù)，所以，即，所以，令，則在上單調(diào)遞增，又，即，所以，綜上可得.故選：D7.橢圓C：的上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)為、，若上任一點(diǎn)P到直線的距離與到x軸的距離之和為b，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，，直線的方程為，即，直線的方程為，即，設(shè)，，則到直線的方程為，則，解得，故，故.故選：B8.若函數(shù)滿足，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，，又，所以，則，故B錯(cuò)誤；由，所以，所以，又，所以，則，故D正確；由于只有，無法得知、的值，故A、C錯(cuò)誤.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，互為共軛復(fù)數(shù)，則 D.，，【答案】BCD【解析】對于A：若，則，故A錯(cuò)誤；對于B：設(shè)，因?yàn)椋?，則，故B正確；對于C：設(shè)，因?yàn)?，互為共軛?fù)數(shù)，則，所以，，即，故C正確；對于D：設(shè)，則，，所以，即，，，故D正確.故選：BCD10.若把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到曲線，則（）A. B.在上單調(diào)遞減C.圖象關(guān)于對稱 D.與有2個(gè)交點(diǎn)【答案】AC【解析】把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變得到，再把向左平移個(gè)單位長度得到，又，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以在上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋詧D象關(guān)于對稱，故C正確；令，解得，所以在上單調(diào)遞增，且，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，且，因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出與的圖象如下所示：由圖可知與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)，距離之積等于的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為伯努利雙紐線，，為該曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).已知曲線C：是一條伯努利雙紐線，點(diǎn)是曲線C上一點(diǎn)，則（）A. B.C.當(dāng)時(shí)， D.C上存在兩個(gè)點(diǎn)A，B，使得【答案】AC【解析】對A：對伯努利雙紐線，令，則，即，解得x=0或，故點(diǎn)在該曲線上，根據(jù)雙紐線定義可得：，故可得，則，或（無解，舍去），故，又，故，故A正確；對B：對伯努利雙紐線，令，則，即，也即，該方程無解，，故B錯(cuò)誤；對C：在△中，不妨設(shè)，由A可知，；由據(jù)雙紐線定義可得：；則由余弦定理可得：，即，，故可得：（舍），或，即當(dāng)時(shí)，，故C正確；對D：對方程，令x=0，則，解得，故斜率存在，設(shè)為，則直線對應(yīng)方程為；聯(lián)立與可得：，即，因?yàn)楫愑?，故，則，則，解得，同理；若，則，由范圍可知，顯然不成立，故D錯(cuò)誤；故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，對于等比數(shù)列（因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，.已知，將，，的值代入可得：.因?yàn)椋ǖ缺葦?shù)列首項(xiàng)不為），等式兩邊同時(shí)除以得.展開式子得，即，解得或.因?yàn)榈缺葦?shù)列公比，所以.所以.故答案為：.13.已知向量，向量在上的投影向量的坐標(biāo)為，則________.【答案】【解析】因?yàn)?，則，則向量在上的投影向量為，又向量在上的投影向量的坐標(biāo)為，所以，即.故答案為：14.如圖，在直角梯形中，，，E是中點(diǎn)，且，設(shè)，將沿折起向C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中A點(diǎn)記為，且與C不重合），則與平面所成角的大小為________，點(diǎn)C到平面的距離的最大值是________.【答案】；【解析】①如圖1，在梯形中，連接.由題意，則四邊形是平行四邊形，又，且，則四邊形是正方形.則，如圖2，可知，又平面，且平面，且，所以平面.由題意知，則四邊形為平行四邊形，所以，則平面，即與平面所成角的大小為；②如圖2，在平面中過點(diǎn)作，垂足為，延長交于.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，當(dāng)且僅當(dāng)平面時(shí)，取最大值.又平面，也即平面平面時(shí)等號取到.由題意，將沿折起向C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，下面分析當(dāng)旋轉(zhuǎn)至何處時(shí)，等號取到.若平面，由平面，則，又，，平面，平面，所以平面，平面，則平面平面.故當(dāng)旋轉(zhuǎn)至滿足平面平面（即二面角為直二面角）時(shí)，點(diǎn)C到平面的距離能取到最大值，最大值即為.在直角梯形中，，則，，所以.在中，.故點(diǎn)C到平面的距離的最大值是.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求A；（2）若，，求的周長.解：（1）由得，，即，故，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)锽∈0,π，所以，故，因?yàn)?，所以；?），由正弦定理得，因?yàn)?，所以，由?）知，，由余弦定理得，解得，故，所以，所以的周長為.16.如圖，在三棱錐中，為正三角形，E是的中點(diǎn)，.（1）求證：；（2）若，，二面角的大小為，求三棱錐的體積.解：（1）為正三角形，為中點(diǎn)，故⊥，因?yàn)椋?，，所以≌，故，又為中點(diǎn)，故⊥，因?yàn)椋矫?，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以；?）由（1）知，⊥，⊥，故為二面角的平面角，即，因?yàn)?，，所以，由勾股定理得，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，由（1）知，⊥平面，而平面，所以⊥，因?yàn)槠矫?，，所以⊥平面，其中，即三棱錐的高為，由勾股定理得，故，三棱錐體積為.17.已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.（1）求函數(shù)的極值；（2）若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)椋?，依題意，即，所以，定義域?yàn)?,+∞，則，所以當(dāng)時(shí)f'x>0，當(dāng)時(shí)f所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，無極大值；（2）因?yàn)?，恒成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以對恒成立，令，則當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)椋O(shè)gx當(dāng)Δ=1-4m2≤0m>0，即時(shí)即hx在上單調(diào)遞減，所以，符合題意；當(dāng)Δ=1-4m2>0m>0，即，所以，由零點(diǎn)存在性定