（寒假）2024-2025年高二數(shù)學(xué) 寒假鞏固講義+隨堂檢測 第11課 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值（原卷版）

第第頁第11課利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值1.函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若f′(x)>0，則f(x)為增函數(shù)，若f′(x)<0，則f(x)為減函數(shù)．2.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)令f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相應(yīng)的x的取值范圍；(4)當(dāng)f′(x)>0時，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)f′(x)<0時，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)．3.常用結(jié)論(1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的充分不必要條件．(2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒等于0)是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的充要條件．(3)對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件．4、函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．5、函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．6、常用結(jié)論1．若函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷，則f(x)在[a，b]上一定有最值．2．若函數(shù)f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)一定在區(qū)間端點處取得最值．7．若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極值點，則相應(yīng)的極值點一定是函數(shù)的最值點．考向一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例1】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2－2x＋3；(2)g(x)＝x2－2lnx.【變式1-1】函數(shù)f(x)＝eq\f(x－3,e2x)的減區(qū)間是()A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，＋∞))D.(3，＋∞)【變式1-2】已知x∈(0，π)，則函數(shù)f(x)＝excosx的增區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))【變式1-3】設(shè)f(x)＝eq\f(sinx,2＋cosx)，討論f(x)的單調(diào)性．方法總結(jié)：1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；(3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)＞0和f′(x)<0；(4)根據(jù)(3)的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，在對函數(shù)求導(dǎo)以后要對導(dǎo)函數(shù)進行整理并因式分解，方便后面求根和判斷導(dǎo)函數(shù)的符號．考向二給定區(qū)間求參數(shù)的范圍【例2】已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1.若f(x)在R上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．變式1、f(x)＝x3－ax－1若f(x)在區(qū)間(－1，1)上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．變式2、f(x)＝x3－ax－1若f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(－1，1)，求實數(shù)a的值．變式3、f(x)＝x3－ax－1若f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上不具有單調(diào)性，求實數(shù)a的取值范圍．【變式2-1】若函數(shù)f(x)＝(x2＋mx)ex在[－eq\f(1,2)，1]上存在減區(qū)間，則m的取值范圍是.方法總結(jié)：1.明晰導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義在解題中的應(yīng)用，強化方程的思想，培養(yǎng)基本運算能力．2.辨析區(qū)間上單調(diào)和區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間的本質(zhì)區(qū)別和處理策略的不同，提升參變分離和構(gòu)造函數(shù)等解決問題的方法和技巧，感悟數(shù)學(xué)解題背后的思維和內(nèi)涵．考向三函數(shù)單調(diào)區(qū)間的討論【例3】已知函數(shù)．當(dāng)時，討論的單調(diào)性；【變式3-1】已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)ax2－(a＋1)x＋lnx，a>0，試討論函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性．方法總結(jié)：對含參函數(shù)的合理分類，關(guān)鍵是找到引起分類討論的原因．2.會對函數(shù)進行準確求導(dǎo)，求導(dǎo)以后進行整理并因式分解，其中能否因式分解、每個因式系數(shù)的正負、根的大小等都是引起分類討論的原因．考向四構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性【例4】（多選）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，，則下列判斷中正確的是()A．B．C．D．【變式4-1】（多選）已知函數(shù)對于任意的都有，則下列式子成立的是（

）A．B．C．D．方法總結(jié)：(1)對于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)＋g(x)；(2)對于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)；特別地，對于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－kx.(3)對于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)g(x)；(4)對于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝eq\f(fx,gx)(g(x)≠0)；(5)對于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xf(x)；(6)對于不等式xf′(x)－f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝eq\f(fx,x)(x≠0)考向五利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【例5】已知函數(shù)，求函數(shù)的極大值與極小值．【變式5-1】已知函數(shù)f(x)＝x2－1－2alnx(a≠0)，求函數(shù)f(x)的極值．方法總結(jié)：(1)求函數(shù)極值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)；③解方程，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；④列表檢驗在的根左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負，那么在處取極大值，如果左負右正，那么在處取極小值．(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，那么在內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值．考向六利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【例6】已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)處有極小值，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【變式6-1】已知函數(shù)f(x)＝excosx－x.(1)求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，eq\f(π,2)]上的最大值和最小值．方法總結(jié)：1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值的一般步驟：(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值.(2)求函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值f(a)，f(b).(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.2.求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值隨堂檢測1.函數(shù)f(x)＝3＋xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,e))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))2.函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖像如圖，則函數(shù)y＝ax2＋eq\f(3,2)bx＋eq\f(c,3)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(－∞，－2]B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，3))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,8)，＋∞))3.當(dāng)x=1時，函數(shù)f(x)=alnx+bx取得最大值?2，則A．?1 B．?12 C．14.函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x2－3)在[2，＋∞)上的最小值為()A.eq\f(e3,6) B.e2 C.eq\f(e3,4) D.2e5（多選）已知函數(shù)f(x)=x3?x+1A．f(x)有兩個極值點 B．f(x)有三個零點C．點(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心 D．直線y=2x是曲線