正、余弦定理的綜合應用(要點歸納+夯實基礎練)

第三節(jié)正、余弦定理的綜合應用

【要點歸納】

一、實際問題中的常用述語

(1)仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角

(如圖①).

⑵方位角

從正北方向順時針轉到目標方向線的角(如圖②，8點的方位角為a).

(3)方向角

相對于某一正方向的角(如圖③).

③

①北偏東?：指從正北方向順時針旋轉a到達目標方向.

②東北方向：指北偏東45。.

③其他方向角類似.

二、測量距離問題

1.測量距離問題包括兩種情況

(1)測量一個可到達點到另一個不可到達點之間的距離.

(2)測量兩個不可到達點之間的距離.

第一種情況實際上是已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，用正弦定理即可解決

(如圖1)；對于第二種情況，首先把求不可到達的兩點4,B之間的距離轉化為應用正弦定

理求三角形邊長的問題，然后把BC,AC轉化為測量可到達的點與不可到達的點之間的距

離問題(如圖2).

2.測量底部不可到達的建筑物的高度問題.由于底部不可到達，這類問題不能直接用

解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理和余弦定理，計算出建筑物頂部到一個可到達點

之間的距離，然后轉化為解直角三角形的問題.

3.測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形

中標出有關的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結果轉化為實際

問題的解.

三、實際測量中的常見問題解決方法

求AB圖形需要測量的元素解法

底部可解直角三角形

/入CB=a,BC=ci

達AB=atana

求豎直

高度底部不1解兩個直角三角形

NACB=a,NADB=6,CD=a,「atariatanB

可達

CDBtanp—tana

用余弦定理

山兩側中NAC8=Q,AC=h,BC=a

AB=yla2-\-b2—2abcosa

用正弦定理AB=

河兩岸NACB=Q,4ABe=%CB=aasina

sin(a+4)

求水平在△ADC中，

-sina

距離

sin(a+y)'

ZADC=a,4BDC=B，ZBCD在△80。中，

河對岸

=3,ZACD=yCD=aBC=皿.

fCsin(4+3)'

在△ABC中，應用

余弦定理求AB

【夯實基礎練】

1.（2022?河南省鶴壁高中高三七模）魏晉南北朝時期，中國數(shù)學的測量學取得了長足進

展.劉徽提出重差術，應用中國傳統(tǒng)的出入相補原理，因其第一題為測量海島的高度和距離，

故題為《海島算經(jīng)》.受此題啟發(fā)，某同學依照此法測量鄭州市二七紀念塔的高度.如圖，點

D,G,尸在水平線?！鄙希珻O和￡尸是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為

“表高”測得以下數(shù)據(jù)（單位：米）：前表卻行OG=1,表高8=EF=2,后表卻行切=3,表距

?！?61.則塔高43=（）

A.60米B.61米C.62米D.63米

【解析】根據(jù)題意，ACDGS^ABG,AEFHSAABH,所以

ABAB2

---------=2,-------------=—解得AB=63故選：D.

BD+\BD+643

【答案】D

2.（2022?北京市一零一中學高三（上）統(tǒng)考（二））下列命題中，不正確的是（）

A.在△A3C中，若A>B,!i!iJsinA>sinB

B.在銳角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立

C.在中，若戶=ac,8=60°,則必是等邊三角形

D.在“IBC中，若acosA=0cos3,則△ABC必是等腰三角形

【解析】對A,因為A>B,所以a>。，又、一=所以膽=色>1,

sinAsinBsinBb

即sinA>sin3，所以A正確;

Tl兀兀

對B,因為△A3C為銳角三角形，所以A+B>一,即有一>A>一一B>0,所以

222

sinA>sinIy-B1=cosB,B正確;

2212i

對C,因為cos8="+C=」,所以（〃—c）2=0,即。=。，而B=60,所

2ac2''

以△ABC是等邊三角形，C正確；

對D,由acosA=Z?8sB可得，sin4cosA=sinBcosB,KFsin24=sin2^,所

以2A=2B或2A+28=乃，亦即4=5或A+8=工，所以△ABC是等腰三角形或者直

2

角三角形，D不正確.故選：D

【答案】D

3.（2022?浙江省Z20名校聯(lián)盟高三（下）第二次聯(lián)考）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在他的

著作《數(shù)書九章》記述了“三斜求積術”，用現(xiàn)代式子表示即為：在△ABC中，角A,8,C所

2

對的邊分別為。，4c,則&ABC的面積為S=?（岫）2_「-+；_，.根據(jù)此公式，

若bc=6,且廿+。2—〃2=4,則這個三角形的面積為.

【解析】依題意△ABC的面積為S=,R（而丫一卜/+“一一,同理可得

c2+b2-a

s=i⑻,一因為be=6,且戶+《2-〃2=4,所以

=2&,故答案為：25/2

M4|_\2）

【答案】20

4.（2022?河北省衡水中學高三六調）在銳角三角形A3c中，角A,8,C的對邊分別為

a,b,c,若力*+/=4bcsin（A+鄉(xiāng)，則tanA+tan8+tanC的最小值是.

【解析】由余弦定理，得。2+/=a2+2/?ccosA,則由/+。2=4Z?csinA+—

得a2+2bccosA=4/?csinA+^j=2bc(y/3s\nA+cosA),所以/=2>/50csinA,由

正弦定理，得0皿24=260畝36而。7E24,所以511114=2、與5拘30足。，所以

sin(B+C)=2>/3sinBsinC,sinBcosC+cosBsinC=20sinBsinC,

tan+tanC=2^3tanBtanC.因為tan4=-tan(B+C)=tan8+tanC,所以

tanBtanC-1

tanA+tanB+tanC=tan>4-tanB-tanC?則

._tanB+tanC_廠2GlanBlanC?",

tanA+tanB+tanC=-----------------tanB-tanC=--------------------tanB-tanC.令

tanBtanC-1tantanC-1

tan^tanC-l=AW,而tan?tanC-1=------+-------/n>0,則

tanAtanA

tanBtanC=/w+l,

人口廠2>/3(w+l)226(>+2〃？+1)

tanA+tanB+tanC=--------------=----------------------

mtn

=2>/3fw+-+21.2>/3(2AL--+2)=8^,當且僅當相=1時，等號成立，故

、m)Vtn

tanA+tanB+tanC的最小值為8石.故答案為：8G

【答案】8G

5.(2022?新高考全國H卷)記△ABC的內角4,B,。的對邊分別為小b,c,分別以a,

G1

b,c為邊長的三個正三角形的面積依次為S1,S?,S3,已知5「S2+S3=2^-，sinB=4.

(1)求的面積；

V2

(2)若sinAsinC=q-,求力.

【解析】⑴由題意得g=f42sg》2,sfc2,

22444

則S1—S2+S=^/-且從+且。2=迫，

1234442

即/+C2—6=2,由余弦定理得cos8='+。2一”

2ac

整理得accosB=l,則cosB>0,又sinB=-,

3

\2

12&1o5i

則cos8=11一丁，則LL/csinB亞

3J3cosB8

ba

⑵由正弦定理得則

sinBsinAsinC

3&

b2aac4.2

sin2BsinAsinCsinAsinC五4

3

則一--=—,b=—sinB=-

sinB222

【答案】⑴烏（2）：

82

6.（2022?高考全國乙卷數(shù)學（文））記△ABC的內角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已

知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)若A=28,求C；

（2）證明：2/=》2+c2

【解析】（1）由A=23,0畝。5抽（24—3）=5皿區(qū)5由（。一74）可得,

sinCsinB=sinBsin(C-A),而OcBc5,所以sinBw(O』),

即有sinC=sin（C-A）＞0.而0＜。＜兀,0＜。-A〈冗，顯然CRC—A,

5兀

所以，C+C-A=n^而A=28,A+B+C=n,所以C=—.

8

(2)由sinCsin(A—B)=sinBsin(C-A)可得,

sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),

再由正弦定理可得，accosB-becosA=becosA-abcosC,

然后根據(jù)余弦定理可知，

化簡得：2/=/+^,故原等式成立.

5兀

【答案】（1）?。唬?）證明見解析.

8

7.（2022?高考北京卷）在中，sin2C=>/3sinC.

⑴求ZC；

（2）若b=6,月.“IBC的面積為66,求AABC的周長.

【解析】（1）因為Ce（O,4）,則sinC>0,由已知可得、sinC=2sinCeosC,

可得cosC=Y3,因此，C=-.

26

（2）由三角形的面積公式可得SJBC='"sinC=3。=6石，解得。=4月.

由余弦定理可得c2=u~+b2—2,cibcosC=48+36—2x4A/3X6X=12,

2

/.c=2\/3,

所以，6c的周長為a十〃十c二60十6.

【答案】⑴；（2）6+66

6

8.（2022?重慶市育才中學高三第五次適應性考試）已知AABC中，A。為中線，AC=2,

3

cosZADC=-.

5

（1）若BC=5,求邊A8的長;

(2)當面積最大時，求cosNBAO的值.

【解析】⑴在zMOC中，sinZADC=Vl-cos2ZADC=-,CD=-,

52

CDsinZADC

由正弦定理得：sinZDAC==1,則NOAC=90%

AC

4

cosC=sinZADC=—；

5

由余弦定理得：Afi2=^C2+AC2-2BCACcosC=254-4-2x5x2x^=13,

AB=y/13;

(2)???￡>為3。中點，「.$,詆=25,孫7；設A￡>=〃z,CD=n,

由余弦定理得：nr+/--mn=4>2mn--/nn=—nin，

555

解得：45(當且僅當〃z=〃=石時取等號)，

I------------414

又sinZ.ADC-vl-cos2Z.ADC=一,「.S,水.4—x5x—=2,

5皿25

??(Sd8c)1rax=2x2=4,此時4￡>=CO=6O=右，，NBAC=90,

4亞

MI-%日.fCDsinZADC526

由止弦定理得：sinZDAC=------------=—^―=----,

AC25

cosNBAD=sinZ.DAC=

5

【答案】(1)713；(2)-^-.

9.(2022?重慶一中高三第三次月考)從以下條件中任選一個，補充在下面問題的橫線中，

并作答.①sin2B=sin(A+C)；②J^acosB二bsinA；③S=手。。且8為銳角.在

△A5C中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為S,若6=3,,

asinA+csinC=2Z?sin3.

（1）求角B；

（2）求△ABC的周長.

注：如果選多個條件分別作答，則按第一個解答記分.

【解析】（1）選條件①

,:sin2B=sin（A+C）:.2sinBcosB=sinB,又BG（0,TT）,

sin8w0cosB=—,故8=工

23

選條件②

Vy/3acosB=hsinA,由正弦定理得：^3sinAcosB=sinBsinA,XAG（0,^）?

sinA^O

?'?6cos8=sin8,即tanB=y/3,又Bw（0,4），故8二^.

選條件③

；5=.,.lacsinBu^^ac,即sin8=3,又5為銳角,

42242

故5=2.

3

71

（2）根據(jù)（1）的結果可得：B=—,VtzsinA4-csinC=2Z?sinBbLZ?=3,

3

???由正弦定理得：cr+c2-2b2-\S,①

又由余弦定理有：/?2=a2+c2-laccQsB.即32=18-2occos—=18-ac,

3

??ac=9②

由①②解得：a=c=3,故AABC的周長a+Z?+c=9.

【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析

10.（2022?重慶市第八中學高三第六次月考）如圖，扇形0MN的半徑為石，圓心角為

A為弧MN上一動點，B為半徑上一點且滿足N08A==.

3

M

(1)若08=1,求A8的長；

(2)求△ABM面積的最大值.

【解析】⑴在△0AB中，由余弦定理得，0A2=OB2+AB2-20B-AB-cosZOBA,

(i\

即3=1+AB2-2A8-一一，即A82+AB-2=0,即(AB+2)(A8—l)=0,

<2)

：.AB=\x

⑵?：NM0B=t,^0BA=—,:.ZMOB+^OBA=TC,:.OM//AB,

33

?*-S^MAB=SQB,設OB=x>AB=y,

222

則在中，由余弦定理得t0A=OB+AB-20B-AB-cos/OBA,

^3=x2+y2+xyB2.xy+xyxy1,當且僅當x=y=1時取等號，

()AR=-OBABsin^OBA=-xy-=—xy?蟲，當且僅當x=y=l時

A22244

取等號.

.*?△A6M面積的最大值為16.

4

【答案】(1)1；(2)日.

11.(2022?重慶市第八中學高三第七次調研檢測)如圖所示，遙感衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)海面上有三個

小島，小島8位于小島A北偏東75,距離60海里處，小島8北偏東15°距離30b-30海

里處有一個小島C.

F

⑴求小島A到小島。的距離；

（2）如果有游客想宜接從小島A出發(fā)到小島C,求游船航行的方向.

【解析】⑴在A4BC中，A8=60,BC=30&—30

ZABC=180-750+15=120°,根據(jù)余弦定理得:

AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC

=602+(30G-30)2-2x60x(306-30)cos120,=5400AC=30巫.

所以小島4到小島C的最短距離是30幾海里.

ACAB

（2）根據(jù)正弦定理得:

sin/ABCsinZACB

305/6=60V2

解得sinAACB=—

sin120-sin2

在八43。中，???8。<4<7,，/4。為銳角，.,./4。8=45'

ZCAB=180°-120°-45°=15°.

rtl750-15=60'得游船應該沿北偏東60’的方向航行

答:小島4到小島C的最短距離是30G海里;游船應該沿北偏東60°的方向航行.

【答案】（1）30"海里（2）游船應該沿北偏東60°的方向航行.

12.（2022?云南省昆明一中、寧夏銀川一中高三（下）聯(lián)合一模）在AABC中，內角A,B,

C所對的邊分別為a,b,c,已知：2（sin2A-sin2B-sin2C）=sinAsinC,且

asinA=4Asin3.

⑴求A的大?。?/p>

⑵求8s（A-2B）的值.

【解析】（1）根據(jù)正弦定理，由2卜山2A—sin28—sin2C）=sinAsinC,

得：〃c=2（〃2-62-02）,由asinA=4Z?sin8,得：a=2b>

1

/+。2_/--aci

所以由余弦定理得：cosA=^——―=^—=--；

2bcac2

2兀

又因為OvA<7t,所以A=—.

3

J3

（2）由（1）可得sinA=2sin3,所以sin8=—，

4

因為A為鈍角，所以3為銳角，所以8s八忘赤智

sin2^=2sinBcosB=,cos2B=l-2sin2B=-

88

所以cos（A-28）=cosAcos28+sinAsin28=-；x°+-^x—=--

【答案】(DA二勺(2)￥|H

310

13.(2022?天津市耀華中學高三第二次檢測)4ABC的內角A,B,C,的對邊分別為小

b,c,己知2Z?+c=2tzcosC且〃=逐.

(1)求角A的大小;

(2)若△ABC的周長為"+百，求△ABC的面積;

⑶若b=6求cos（2B-A）的值.

2,2

【解析】（1）因為2Z?+c=2〃8sC,所以21+c=2。?"+’——-

2ab

整理可得：b1+c2-a2=-hc,由余弦定理可得：b2+c2-a2=2Z?ccosA,

所以cosA=-,，AG(0,^),所以可得人=空

23

(2)由三角形的周長為遍+石，a=下,所以b+c=

由(1)可得。2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccosA,而cosA=，

2

=^csinA=lxlx^=^

所以可得5=6—2Z?c+bc,可得bc=l,所以S^ABC

2224

所以△ABC的面積為；

4

(3)因為b=G，a=J5,A=-TT,由正弦定理可得：sinB=-sinA=^-=^,

3aV522V5

b<a,所以B為銳角，所以COS3=」!，

2V5

?[\~\11

所以sin2B=2sin6csB=-----,cos2B=2cus28-1=2x

104x5

所以cos(23—A)=cos(2B-￥)=-g,BP-cos2B+sin2B=

所以cos（23—4）=匚蕓匡

.一、2%乖-1+3733

【答案】(1)3-(2]—(3)———

14.（2022?天津市南開中學高三二模）已知AABC的內角A,5,C的對邊分別為〃乃,c,

滿足己知ccosB+bcosC=——-——

2cosA

⑴求角A的大小;

(2)若cos5=,求sin(2B+A)的值;

4A/3

（3）若△ABC的面積為q一，a=3,求的周長.

【解析】(1)vccosB+bcosC=-------,由正弦定理得：

2cosA

?廠n?nsinA

sinCeosB+sinBcosC=------

2cosA

sinAcinA

即sin(8+C)=^-----,又???sin(8+C)=sinA，sinA二一------

2cosA2cosA

?.,sinAwO,/.cosA=—,又?.,()<Av乃，A=—：

23

(2)由題意知：sinB=>/l-cos2B=—,/.sin2B=2sinBcosB=

33

又cos2B=2cos2B-\=~-,

3

/.sin(2B+A)—sin2B+—1—sin2Bcos-十cos26sin-=)叵.~~—；

、3J336

cL1A/34x/3,16

(3)"/S=—YersinA=—be--------,be=—,

22233

由余弦定理得：a2=b2+c2-2hccosA=(h+c)2-2bc-2Z?ccosA,即

9=S+c)2-3xg,

解得：人+c=5,.?.△A5C的周長為a+Z?+c=8.

【答案】(1)5；⑵2&］退；(3)8.

36

15.(2022?黑龍江省哈三中第五次驗收)在△ABC中，角4,B,C的對邊分別是小b,

c,且2Z?CQSC=2Z+C.

(1)求角8的大??；

(2)若6=26，。為4c邊上的一點，BD=1,且______,求“15。的面積.

①8。是N6的平分線；②。為線段4c的中點.(從①，②兩個條件中任選一個，補充

在上面的橫線上并作答).

【解析】(1)由正弦定理知：2sinBcosC=2sin4+sinC

又：sinA=sin(B+C)=sinAcosC+cosBsinC

代入上式可得：2cos8sinC+sinC=0,CG(0,n)t則sinC>0

12幾

故有：cosB=--,又3日：0,兀)，則8=3-

故Z.B的大小為：—-

3

(2)若選①：

ll]BD￥?分NA8C得：S&18c=S^BD+^ABCD

EI+1.2兀1i.7T1,.n

則有：—acsin—=—xlxcsin—+—xlxasin—,a即n4=a+c

232323

Ojr

在AABC中，由余弦定理可得：h1=a2+c2-2accos—

3

又b=2百，則有:a2+c2^ac=\2,聯(lián)立|/

a~+c~+ac=i2

可得：(ac)2-〃c—12=0,解得：ac=4(ac=—3舍去)

故〃做=24。疝"=1><4*立=6

△ABC2322

若選②:

->1/->T->2I/_>\f->2__>->2

可得：BD=-BA+BCBD=-BA+BC=-BA+2BABC+BC

2141)4l

1」卜+2雙雙型+。

；,可得：a2+c2-ac=4

413)

27c

在△4VC中，由余弦定理可得：b2=a2-^-c2-2accos—,BPa2+C2+ac=12

3

,a~+c~—ac=4

聯(lián)立《，解得：ac=4

a~+c~+ac=\2

故SzM8c=g〃csin年=gx4x￡=6

【答案】（1）B=年（2）6

16.(2022?陜西省西安中學高三二模)請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線

上，并解答.

①2sin(A+C)+2sin(B+C)cos(A+B)=sin(A+B)；

②tanA+tanB+tanC->/3tanBtanC=0；

(3)5/3cosA(bcosA+acosB)-csinA=0.

已知AABC中的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,.

⑴求A；

(2)若a+2Z?=3且求AANC的面積.

【解析】選①，(l)2sin(A+C)+2sin(B+C)cos(A+B)=sin(A+8),

由誘導公式得：2sin(A+C)-2sinAcosC=sinC,即2sinCcosA=sinC,

17T

因為sinC/0,所以cosA=一,又人￡(0,4)，所以4=—；

23

(2)由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc<bc,所以(。一c)?《0,

71

從而b=c,又4=一，所以a=b=c,所以“IBC為等邊三角形，

3

iG

又因為a+2Z?=3,所以a=b=l,則ACPL二一2乂lxlxsin600=4X,

選②，(1)由誘導公式得tanA=—tan(B+C)=-tanB+tanC,

1-tanBtanC

整理即有tanA+tan5+tanC-tanAtan3tanC=0，

又已知tanA+tanB+tanC-V3tanBtanC=0,且tanAtanBtanCw0,

所以tanA=JJ,又4￡(0,")，所以A=?.

(2)同上.

選③，(1)已知GcosAScosA+〃cosB)-csin4=(),

由正弦定理可得百cosA(sinBcosA4-sinAcosB)-sinCsinA=0,

可得：＞/3cosAsin(A4-B)-sinCsinA=0,即百cosAsinC—sinCsinA=0,

因為sinCwO,所以GsinC—sinA=0,BPtanA=V3,

jr

又4￡（0,乃），所以4=y.

（2）同上.

【答案】條件選擇見解析；（1）4=巳：（2）也.

34

17.（2022?遼寧省實驗中學高三（下）3月模擬）如圖，四邊形4BC。中，AB=?,

AC=\/3，cosNA8c=-----.

3

⑴求sinNBAC的值；

(2)若N84O=90。，BD=CD,求CO的長.

【解析】(1)由余弦定理，AC2=AB2+BC?-2AB.BCcosZABC=3,

貝|」38。2+8座3=(3BC\)(BC13)=0,

BCAC

所以BC=-又sinZ.ABC--且=38,所以

33sinZBACsinZ.ABC

sinZBAC=—

27

⑵過C作CEJ_AD于E,乙BAC=e，又N8AD=90。，

D

所以AE=ACsine=1，CE2=AC2-AE2=—,

981

令BD=CD=x,則4)=&-2,故DE=AD-AE=yxJ2-g,

Rt△DEC中CD?=CE、DE2,即

X2="(戶工」了=/+1—2值工，

8199

789屈

所以x=----,即CD的長為----.

22

n/on

【答案】(l)sinZB4C=^-；(2)^-.

18.(2022?遼寧省大連巾第二十四中學等校高三聯(lián)合模擬)已知△ABC的內角A,B,C

的對邊分別為mb,c,且asinC=\/icsin?￡.

2

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若點。在邊8c上，且CD=380=3,/BAD」,求△A8C的面積.

6

【解析】⑴由已知及正弦定理得：sinAsinC=J5sinCsinOtG,又

2

B+C=7t—A,

.B+CnA

:?------=-------又sinCR0,

222

../rA_...AAr-A___A兀

；?sinA=\/3cos—,bPJ2sin—cos—=V3cos—,而（）<一<一,

222222

/.cos—^0,則sin4=正，故4=工，得A=2

222233

27r7T7E

（2）由NR4C=—，NBAD=—，則ND4C=-.

362

BDc

法一：在中,-V-sinZBm①

u7111

6

CDb

在△ADC中,

.71sin

sin—ZADC

2

VZADB+ZA￡>C=7t,AsinZBDA=sinZADC③

2RDcc2

由①②③得：——=-,又CD=3BD=3,得瓦）=1,???一:一，不妨設。=26,

CDbb3

b=3m,

在△ABC中，由余弦定理可得，42=（2w）2+（3W）2-2x2/nx3wcos-^,得

16

nV

19

所以?A8C=-/?xcsinZBXC=-x2/nx3mx—=

22219

$—C'ADsinZBADcsin—

法二：=2------------------=------6=_￡_

SAADC-bADsin^CADbsin-2h

22

???△BAD的邊87）與^ADC的邊DC上的高相等,

—^-=—,由此得：—=—?即￡=2,不妨設c=2m,b=3m?

“△ADCDC32b3b3

在^ABC中，由余弦定理可得，42=（2w）2+（3W）2-2X2/HX3WCOS—,得

m2=—16,

19

G24x/3

所以S△,8c=—Z?xcsinZ.BAC=—x2wx3/wx

22~T~19

【答案】(1)A=等24A/3

(2)-----.

19

19.(2022?江蘇省南京師范大學附屬中學高三(下)開學考試)已知在5c中,

2九

c=2bcosB,C=——

3

(1)求8的大小；

(2)在下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并求出BC邊上

的中線的長度.

①c=@；②周長為4+2石：③面積為苧.

【解析】⑴???c=2/?cosB,則由正弦定理可得sinC=2sinBcosB,

...2乃退_InfnOD，八.n

323{3)I3J3

解得8=5；

6

B

(2)若選擇①；由正弦定理結合(1)可得?=石,

bsmB

2

與c=6b矛盾,故這樣的△ABC不存在：

若選擇②：由(1)可得A=g,設AABC的外接圓半徑為R，

6

則由正弦定理可得4=b=2KsinX=R,c=2/?sin—=75/?，

63

則周長a+Z?+c=2R+6R=4+26,解得R=2,則。=2,。=26,

由余弦定理可得邊上的中線的長度為：?2國+12-2x2百xlxc吟訪;

若選擇③：由(1)可得4=2，即a=/?,則SABC=-absinC=—/,

6△2224

解得。=JL

則由余弦定理可得8C邊.上的中線的長度為：

—「」丫…a27^~~石百V21