2010年高考數(shù)學(xué)試卷（理）（湖南）（解析卷）

第頁|共頁2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則A．B．C．D．2．下列命題中的假命題是A．，B．，C．，D．，3．極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程（t為參數(shù)）所表示的圖形分別是A．圓、直線B．直線、圓C．圓、圓D．直線、直線4．在中，，，則等于A．B．C．8D．165．等于A．B．C．D．6．在中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c．若，，則A．a(chǎn)＞bB．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)=bD．a(chǎn)與b的大小關(guān)系不能確定7．在某種信息傳輸過程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為A.10B.11C.12D.158．用表示兩數(shù)中的最小值.若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為A．B．2C．D．1二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分．把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上．9．已知一種材料的最佳加入量在110g到210g之間．若用0.618法安排實(shí)驗(yàn)，則第一次試點(diǎn)的加入量可以是g．10．如圖1所示，過外一點(diǎn)P作一條直線與交于A,B兩點(diǎn)．已知PA=2，點(diǎn)P到的切線長(zhǎng)PT=4，則弦AB的長(zhǎng)為．11．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則的概率為．12．圖2是求的值的程序框圖，則正整數(shù)．13．圖3中的三個(gè)直角三角形是一個(gè)體積為20的幾何體的三視圖，則．14．過拋物線的焦點(diǎn)作斜率為1的直線與該拋物線交于兩點(diǎn)，在軸上的正射影分別為．若梯形的面積為，則．15．若數(shù)列滿足：對(duì)任意的，只有有限個(gè)正整數(shù)使得成立，記這樣的的個(gè)數(shù)為，則得到一個(gè)新數(shù)列．例如，若數(shù)列是，則數(shù)列是．已知對(duì)任意的，，則，．三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最大值；（Ⅱ）求函數(shù)的零點(diǎn)的集合.17．（本小題滿分12分）圖4是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量（單位：噸）的頻率分布直方圖.（Ⅰ）求直方圖中的值.（Ⅱ）若將頻率視為概率，從這個(gè)城市隨機(jī)抽取3位居民（看作有放回的抽樣），求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.18．（本小題滿分12分）如圖5所示，在正方體中，E是棱的中點(diǎn).（Ⅰ）求直線BE的平面所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱上是否存在一點(diǎn)F，使平面？證明你的結(jié)論.19．（本小題滿分13分）為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊(duì)在某冰川上相距8km的A，B兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基地．視冰川面為平面形，以過A，B兩點(diǎn)的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（圖6）．在直線的右側(cè)，考察范圍為到點(diǎn)B的距離不超過km的區(qū)域；在直線的左側(cè)，考察范圍為到A，B兩點(diǎn)的距離之和不超過km的區(qū)域．（Ⅰ）求考察區(qū)域邊界曲線的方程；（Ⅱ）如圖6所示，設(shè)線段，是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當(dāng)冰川融化時(shí)，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng)，第一年移動(dòng)0.2km，以后每年移動(dòng)的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間．20.（本小題滿分13分）已知函數(shù)對(duì)任意的，恒有.（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，；（Ⅱ）若對(duì)滿足題設(shè)條件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值.21．（本小題滿分13分）數(shù)列中，是函數(shù)的極小值點(diǎn).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求通項(xiàng)；（Ⅱ）是否存在，使數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.2010年湖南省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1．（5分）（2010?湖南）已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，則（）A．M?N B．N?M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4}【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【分析】利用直接法求解，分別求出兩個(gè)集合的交集與并集，觀察兩個(gè)集合的包含關(guān)系即可．【解答】解：M∩N={1，2，3}∩{2，3，4}={2，3}故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的交集與子集的運(yùn)算，屬于容易題．2．（5分）（2010?湖南）下列命題中是假命題的是（）A．?x∈R，2x﹣1＞0 B．?x∈N﹡，（x﹣1）2＞0 C．?x∈R，lgx＜1 D．?x∈R，tanx=2【考點(diǎn)】四種命題的真假關(guān)系．【專題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】本題考查全稱命題和特稱命題真假的判斷，逐一判斷即可．【解答】解：B中，x=1時(shí)不成立，故選B．答案：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查邏輯語言與指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、正切函數(shù)的值域，屬容易題．3．（5分）（2010?湖南）極坐標(biāo)p=cosθ和參數(shù)方程（t為參數(shù)）所表示的圖形分別是（）A．直線、直線 B．直線、圓 C．圓、圓 D．圓、直線【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程．【專題】計(jì)算題．【分析】將極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程化為一般方程，然后進(jìn)行選擇．【解答】解：∵極坐標(biāo)p=cosθ，x=pcosθ，y=psinθ，消去θ和p，∴x2+y2=x，x2+y2=x為圓的方程；參數(shù)方程（t為參數(shù)）消去t得，x+y﹣1=0，為直線的方程，故選D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的區(qū)別和聯(lián)系，兩者要會(huì)互相轉(zhuǎn)化，根據(jù)實(shí)際情況選擇不同的方程進(jìn)行求解，這也是每年高考必考的熱點(diǎn)問題．4．（5分）（2010?湖南）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，則等于（）A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；向量的加法及其幾何意義．【專題】計(jì)算題．【分析】本題是一個(gè)求向量的數(shù)量積的問題，解題的主要依據(jù)是直角三角形中的垂直關(guān)系和一條邊的長(zhǎng)度，解題過程中有一個(gè)技巧性很強(qiáng)的地方，就是把變化為兩個(gè)向量的和，再進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算．【解答】解：∵∠C=90°，∴=0，∴=（）==42=16故選D．【點(diǎn)評(píng)】啟發(fā)學(xué)生在理解數(shù)量積的運(yùn)算特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點(diǎn)，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì)．5．（5分）（2010?湖南）dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln2【考點(diǎn)】定積分．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)題意，直接找出被積函數(shù)的原函數(shù)，直接計(jì)算在區(qū)間（2，4）上的定積分即可．【解答】解：∵（lnx）′=∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln2故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查定積分的基本運(yùn)算，關(guān)鍵是找出被積函數(shù)的原函數(shù)，本題屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）（2010?湖南）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若∠C=120°，c=a，則（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)=b D．a(chǎn)與b的大小關(guān)系不能確定【考點(diǎn)】余弦定理；不等式的基本性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】由余弦定理可知c2=a2+b2﹣2abcosC，進(jìn)而求得a﹣b=，根據(jù)＞0判斷出a＞b．【解答】解：∵∠C=120°，c=a，∴由余弦定理可知c2=a2+b2﹣2abcosC，∴a2﹣b2=ab，a﹣b=，∵a＞0，b＞0，∴a﹣b=，∴a＞b故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理，特殊角的三角函數(shù)值，不等式的性質(zhì)，比較法，屬中檔題．7．（5分）（2010?湖南）在某種信息傳輸過程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為（）A．10 B．11 C．12 D．15【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】由題意知與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息包括三類：一是與信息0110有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同，二是與信息0110有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同，三是與信息0110沒有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的，分別寫出結(jié)果相加．【解答】解：由題意知與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息包括三類：第一類：與信息0110有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C42=6（個(gè)）第二類：與信息0110有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的有C41=4個(gè)，第三類：與信息0110沒有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的有C40=1，由分類計(jì)數(shù)原理知與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置數(shù)字相同的共有6+4+1=11個(gè)，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題，這是經(jīng)常出現(xiàn)的一個(gè)問題，解題時(shí)一定要分清做這件事需要分為幾類，每一類包含幾種方法，把幾個(gè)步驟中數(shù)字相加得到結(jié)果．8．（5分）（2010?湖南）用min{a，b}表示a，b兩數(shù)中的最小值．若函數(shù)f（x）=min{|x|，|x+t|}的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，則t的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象變化．【專題】作圖題；壓軸題；新定義；數(shù)形結(jié)合法．【分析】由題設(shè)，函數(shù)是一個(gè)非常規(guī)的函數(shù)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，及直線x=，觀察圖象得出結(jié)論【解答】解：如圖，在同一個(gè)坐標(biāo)系中做出兩個(gè)函數(shù)y=|x|與y=|x+t|的圖象，函數(shù)f（x）=min{|x|，|x+t|}的圖象為兩個(gè)圖象中較低的一個(gè)，分析可得其圖象關(guān)于直線x=﹣對(duì)稱，要使函數(shù)f（x）=min{|x|，|x+t|}的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，則t的值為t=1故應(yīng)選D．【點(diǎn)評(píng)】本題的考點(diǎn)是函數(shù)的圖象與圖象的變化，通過新定義考查學(xué)生的創(chuàng)新能力，考查函數(shù)的圖象，考查考生數(shù)形結(jié)合的能力，屬中檔題．二、填空題（共7小題，每小題5分，滿分35分）9．（5分）（2010?湖南）已知一種材料的最佳加入量在110g到210g之間，若用0.618法安排試驗(yàn)，則第一次試點(diǎn)的加入量可以是171.8或148.2g．【考點(diǎn)】黃金分割法—0.618法．【專題】閱讀型．【分析】由題知試驗(yàn)范圍為[100，200]，區(qū)間長(zhǎng)度為100，故可利用0.618法：110+（210﹣110）×0.618或210﹣（210﹣110）×0.618選取試點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：根據(jù)0.618法，第一次試點(diǎn)加入量為110+（210﹣110）×0.618=171.8或210﹣（210﹣110）×0.618=148.2故答案為：171.8或148.2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查優(yōu)先法的0.618法，屬容易題，解答的關(guān)鍵是對(duì)黃金分割法﹣0.618法的了解．10．（5分）（2010?湖南）如圖所示，過⊙O外一點(diǎn)P作一條直線與⊙O交于A，B兩點(diǎn)，已知PA=2，點(diǎn)P到⊙O的切線長(zhǎng)PT=4，則弦AB的長(zhǎng)為6．【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段．【專題】計(jì)算題．【分析】首先根據(jù)題中圓的切線條件再依據(jù)切割線定理求得一個(gè)線段的等式，再根據(jù)線段的關(guān)系可求得AB的長(zhǎng)度即可．【解答】解：根據(jù)切割線定理PT2=PA?PB，PB===8，∴AB=PB﹣PA=8﹣2=6．故填：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查與圓有關(guān)的比例線段、平面幾何的切割線定理，屬容易題．11．（5分）（2010?湖南）在區(qū)間[﹣1，2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則|x|≤1的概率為．【考點(diǎn)】幾何概型．【專題】計(jì)算題．【分析】本題利用幾何概型求概率．先解絕對(duì)值不等式，再利用解得的區(qū)間長(zhǎng)度與區(qū)間[﹣1，2]的長(zhǎng)度求比值即得．【解答】解：利用幾何概型，其測(cè)度為線段的長(zhǎng)度．∵|x|≤1得﹣1≤x≤1，∴|x|≤1的概率為：P（|x|≤1）=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了幾何概型，簡(jiǎn)單地說，如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型．12．（5分）（2010?湖南）如圖是求12+22+32+…+1002的值的程序框圖，則正整數(shù)n=100．．【考點(diǎn)】設(shè)計(jì)程序框圖解決實(shí)際問題．【專題】常規(guī)題型．【分析】由已知可知：該程序的作用是求12+22+32+…+1002的值，共需要循環(huán)100次，由于循環(huán)變量的初值已知，故不難確定循環(huán)變量的終值．【解答】解：由已知可知：該程序的作用是求12+22+32+…+1002的值，共需要循環(huán)100次，最后一次執(zhí)行循環(huán)體的作用是累加1002故循環(huán)變量的終值應(yīng)為100故答案為：100【點(diǎn)評(píng)】算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新高考中的一個(gè)熱點(diǎn)，應(yīng)高度重視．程序填空也是重要的考試題型，這種題考試的重點(diǎn)有：①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出．其中前兩點(diǎn)考試的概率更大．此種題型的易忽略點(diǎn)是：不能準(zhǔn)確理解流程圖的含義而導(dǎo)致錯(cuò)誤．13．（5分）（2010?湖南）圖中的三個(gè)直角三角形是一個(gè)體積為20cm3的幾何體的三視圖，則h=4cm．【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】計(jì)算題．【分析】由三視圖可知，幾何體的底面為直角三角形，且一邊垂直于底面，再根據(jù)公式求解即可．【解答】解：根據(jù)三視圖可知，幾何體的體積為：V=又因?yàn)閂=20，所以h=4故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生的空間想象能力，以及公式的利用，是基礎(chǔ)題．14．（5分）（2010?湖南）過拋物線x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)作斜率為1的直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，A，B在x軸上的正射影分別為D，C．若梯形ABCD的面積為，則P=2．【考點(diǎn)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線的一般式方程；拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】先根據(jù)拋物線方程得出其焦點(diǎn)坐標(biāo)和過焦點(diǎn)斜率為1的直線方程，設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把直線與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x1+x2和x1x2，進(jìn)而用A，B坐標(biāo)表示出梯形的面積建立等式求得p．【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，），則過焦點(diǎn)斜率為1的直線方程為y=x+，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1），由題意可知y1＞0，y2＞0由，消去y得x2﹣2px﹣p2=0，由韋達(dá)定理得，x1+x2=2p，x1x2=﹣p2所以梯形ABCD的面積為：S=（y1+y2）（x2﹣x1）=（x1+x2+p）（x2﹣x1）=?3p=3p2所以3p2=12，又p＞0，所以p=2故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，直線的方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查考生的運(yùn)算能力，屬中檔題15．（5分）（2010?湖南）若數(shù)列{an}滿足：對(duì)任意的n∈N﹡，只有有限個(gè)正整數(shù)m使得am＜n成立，記這樣的m的個(gè)數(shù)為（an）+，則得到一個(gè)新數(shù)列{（an）+}．例如，若數(shù)列{an}是1，2，3…，n，…，則數(shù)列{（an）+}是0，1，2，…，n﹣1…已知對(duì)任意的n∈N+，an=n2，則（a5）+=2，（（an）+）+=n2．【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；壓軸題；新定義．【分析】根據(jù)題意，若am＜5，而an=n2，知m=1，2，∴（a5）+=2，由題設(shè)條件可知（（a1）+）+=1，（（a2）+）+=4，（（a3）+）+=9，（（a4）+）+=16，于是猜想：（（an）+）+=n2．【解答】解：∵am＜5，而an=n2，∴m=1，2，∴（a5）+=2．∵（a1）+=0，（a2）+=1，（a3）+=1，（a4）+=1，（a5）+=2，（a6）+=2，（a7）+=2，（a8）+=2，（a9）+=2，（a10）+=3，（a11）+=3，（a12）+=3，（a13）+=3，（a14）+=3，（a15）+=3，（a16）+=3，∴（（a1）+）+=1，（（a2）+）+=4，（（a3）+）+=9，（（a4）+）+=16，猜想：（（an）+）+=n2．答案：2，n2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題．仔細(xì)解答．三、解答題（共6小題，滿分75分）16．（12分）（2010?湖南）已知函數(shù)f（x）=sin2x﹣2sin2x．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的集合．【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值；集合的含義；函數(shù)的零點(diǎn)．【專題】計(jì)算題．【分析】（Ⅰ）先根據(jù)二倍角公式和兩角和與差的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的最值可得到答案．（Ⅱ）令f（x）=0可得到2sinxcosx=2sin2x，進(jìn)而可得到sinx=0或tanx=，即可求出對(duì)應(yīng)的x的取值集合，得到答案．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x﹣2sin2x=sin2x+cos2x﹣1=2sin（2x+）﹣1故函數(shù)f（x）的最大值等于2﹣1=1（Ⅱ）由f（x）=0得2sinxcosx=2sin2x，于是sinx=0，或cosx=sinx即tanx=由sinx=0可知x=kπ；由tanx=可知x=kπ+．故函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的集合為{x|x=kπ或x=k，k∈Z}【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二倍角公式、兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用和正弦函數(shù)的基本性質(zhì)．三角函數(shù)是高考的重點(diǎn)，每年必考，要強(qiáng)化復(fù)習(xí)．17．（12分）（2010?湖南）如圖是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量（單位：噸）的頻率分布直方圖．（Ⅰ）求直方圖中x的值．（Ⅱ）若將頻率視為概率，從這個(gè)城市隨機(jī)抽取3位居民（看作有放回的抽樣），求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【考點(diǎn)】頻率分布直方圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是頻率分布直方圖、離散型隨機(jī)變量及其分布列和數(shù)學(xué)期望．（1）根據(jù)頻率分布直方圖中，各組的頻率之和為1，我們易得到一個(gè)關(guān)于x的方程，解方程即可得到答案．（2）由頻率分布直方圖中月均用水量各組的頻率，我們易得X～B（3，0.1）．然后將數(shù)據(jù)代入后，可分別算出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，代入即可得到隨機(jī)變量X的分布列，然后代入數(shù)學(xué)期望公式，可進(jìn)而求出數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（Ⅰ）依題意及頻率分布直方圖知，0.02+0.1+x+0.37+0.39=1，解得x=0.12．（Ⅱ）由題意知，X～B（3，0.1）．因此P（X=0）=C30×0.93=0.729，P（X=1）=C31×0.1×0.92=0.243，P（X=2）=C32×0.12×0.9=0.027，P（X=3）=C33×0.13=0.001．故隨機(jī)變量X的分布列為：X0123P0.7290.2430.0270.001X的數(shù)學(xué)期望為EX=3×0.1=0.3．【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)新高考服務(wù)于新教材的原則，作為新教材的新增內(nèi)容﹣﹣頻率分布直方圖是新高考的重要考點(diǎn)，同時(shí)（2）中概隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的計(jì)算也是高考的熱點(diǎn)．對(duì)于“頻率分布直方圖學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)畫圖、看圖和用圖，對(duì)于概率要多練習(xí)使用列舉法表示滿足條件的基本事件個(gè)數(shù)．對(duì)于數(shù)學(xué)期望的計(jì)算則要熟練掌握運(yùn)算方法和步驟．18．（12分）（2010?湖南）如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)．（Ⅰ）求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結(jié)論．【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；直線與平面所成的角．【專題】計(jì)算題；證明題．【分析】（Ⅰ）先取AA1的中點(diǎn)M，連接EM，BM，根據(jù)中位線定理可知EM∥AD，而AD⊥平面ABB1A1，則EM⊥面ABB1A1，從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影，則∠EBM直線BE與平面ABB1A1所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則EM=AD=2，BE=3，于是在Rt△BEM中，求出此角的正弦值即可．（Ⅱ）在棱C1D1上存在點(diǎn)F，使B1F平面A1BE，分別取C1D1和CD的中點(diǎn)F，G，連接EG，BG，CD1，F(xiàn)G，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，根據(jù)中位線定理可知EG∥A1B，從而說明A1，B，G，E共面，則BG?面A1BE，根據(jù)FG∥C1C∥B1G，且FG=C1C=B1B，從而得到四邊形B1BGF為平行四邊形，則B1F∥BG，而B1F?平面A1BE，BG?平面A1BE，根據(jù)線面平行的判定定理可知B1F∥平面A1BE．【解答】解：（I）如圖（a），取AA1的中點(diǎn)M，連接EM，BM，因?yàn)镋是DD1的中點(diǎn)，四邊形ADD1A1為正方形，所以EM∥AD．又在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中．AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥面ABB1A1，從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM直線BE與平面ABB1A1所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則EM=AD=2，BE=，于是在Rt△BEM中，即直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值為．（Ⅱ）在棱C1D1上存在點(diǎn)F，使B1F平面A1BE，事實(shí)上，如圖（b）所示，分別取C1D1和CD的中點(diǎn)F，G，連接EG，BG，CD1，F(xiàn)G，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，因此D1C∥A1B，又E，G分別為D1D，CD的中點(diǎn)，所以EG∥D1C，從而EG∥A1B，這說明A1，B，G，E共面，所以BG?平面A1BE因四邊形C1CDD1與B1BCC1皆為正方形，F(xiàn)，G分別為C1D1和CD的中點(diǎn)，所以FG∥C1C∥B1B，且FG=C1C=B1B，因此四邊形B1BGF為平行四邊形，所以B1F∥BG，而B1F?平面A1BE，BG?平面A1BE，故B1F∥平面A1BE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面所成的角，直線與平面平行，考查考生探究能力、空間想象能力．19．（13分）（2010?湖南）為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊(duì)在某冰川上相距8km的A，B兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基地．視冰川面為平面形，以過A，B兩點(diǎn)的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（圖）．在直線x=2的右側(cè)，考察范圍為到點(diǎn)B的距離不超過km的區(qū)域；在直線x=2的左側(cè)，考察范圍為到A，B兩點(diǎn)的距離之和不超過4km的區(qū)域．（Ⅰ）求考察區(qū)域邊界曲線的方程；（Ⅱ）如圖所示，設(shè)線段P1P2，P2P3是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當(dāng)冰川融化時(shí)，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng)，第一年移動(dòng)0.2km，以后每年移動(dòng)的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間．【考點(diǎn)】軌跡方程；兩條平行直線間的距離．【專題】綜合題．【分析】（Ⅰ）設(shè)邊界曲線上點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），當(dāng)x≥2時(shí)，．當(dāng)x＜2時(shí)，．由此能得到考查區(qū)域邊界曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P1，P2的直線為l1，過點(diǎn)P2，P3的直線為l2，則直線l1，l2的方程分別為．設(shè)直線l平行于直線l1，其方程為，代入橢圓方程，消去y，得，然后由根的判別式和點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行求解．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)邊界曲線上點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），當(dāng)x≥2時(shí)，由題意知．當(dāng)x＜2時(shí)，由知，點(diǎn)P在以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓上．此時(shí)短半軸長(zhǎng)．因而其方程為．故考察區(qū)域邊界曲線（如圖）的方程為和．（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P1，P2的直線為l1，過點(diǎn)P2，P3的直線為l2，則直線l1，l2的方程分別為．設(shè)直線l平行于直線l1，其方程為，代入橢圓方程，消去y，得，由△100×3m2﹣4×16×5（m2﹣4）=0，解得m=8或m=﹣8．從圖中可以看出，當(dāng)m=8時(shí)，直線l與C2的公共點(diǎn)到直線l的距離最近，此時(shí)直線l的方程為，l與l1之間的距離為．又直線l2到C1和C2的最短距離，而d'＞3，所以考察區(qū)域邊界到冰川邊界線的最短距離為3．設(shè)冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的時(shí)間為n年，則由題設(shè)及等比數(shù)列求和公式，得，所以n≥4．故冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間為4年．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)的軌跡方程，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運(yùn)用和數(shù)形結(jié)合的合理運(yùn)用．20．（13分）（2010?湖南）已知函數(shù)f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），對(duì)任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．（Ⅰ）證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤（x+c）2；（Ⅱ）若對(duì)滿足題設(shè)條件的任意b，c，不等式f（c）﹣f（b）≤M（c2﹣b2）恒成立，求M的最小值．【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】（Ⅰ）f′（x）≤f（x）轉(zhuǎn)化為x2+（b﹣2）x+c﹣b≥0恒成立，找到b和c之間的關(guān)系，再對(duì)f（x）和（x+c）2作差整理成關(guān)于b和c的表達(dá)式即可．（Ⅱ）對(duì)c≥|b|分c＞|b|和c=|b|兩種情況分別求出對(duì)應(yīng)的M的取值范圍，再綜合求M的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）易知f′（x）=2x+b．由題設(shè)，對(duì)任意的x∈R，2x+b≤x2+bx+c，即x2+（b﹣2）x+c﹣b≥0恒成立，所以（b﹣2）2﹣4（c﹣b）≤0，從而．于是c≥1，且，因此2c﹣b=c+（c﹣b）＞0．故當(dāng)x≥0時(shí)，有（x+c）2﹣f（x）=（2c﹣b）x+c（c﹣1）≥0．即當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤（x+c）2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，c≥|b|當(dāng)c＞|b|時(shí)，有M≥==，令t=則﹣1＜t＜1，=2﹣，而函數(shù)g（t）=2﹣（﹣1＜t＜1）的值域（﹣∞，）因此，當(dāng)c＞|b|時(shí)M的取值集合為[，+∞）．當(dāng)c=|b|時(shí)，由（Ⅰ）知，b=±2，c=2．此時(shí)f（c）﹣f（b）=﹣8或0，c2﹣b2=0，從而恒成立．綜上所述，M的最小值為【點(diǎn)評(píng)】本題是對(duì)二次函數(shù)的恒成立問題和導(dǎo)函數(shù)的求法的綜合考查．二次函數(shù)的恒成立問題一般分兩類，一是大于0恒成立須滿足開口向上，且判別式小于0，二是小于0恒成立須滿足開口向下，且判別式小于0．21．（13分）（2010?湖南）數(shù)列{an}（n∈N*）中，a1=a，an+1是函數(shù)的極小值點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求通項(xiàng)an；（Ⅱ）是否存在a，使數(shù)列{an}是等比數(shù)列？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】（I）當(dāng)a=0時(shí)，a1=0，則3a1＜12．由f'n（x）=x2﹣（3an+n2）x+3n2an=（x﹣3an）（x﹣n2）=0，得x1=3an，x2=n2．由函數(shù)的單調(diào)性知fn（x）在x=n2取得極小值．所以a2=12=1．因?yàn)?a2=3＜22，則，a3=22=4，因?yàn)?a3=12＞33，則a4=3a3=3×4，又因?yàn)?a4=36＞4