2013年高考數(shù)學(xué)試卷（理）（大綱版）（解析卷）

第頁|共頁2013年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（大綱版）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）設(shè)集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，則M中元素的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6 【考點】13：集合的確定性、互異性、無序性；1A：集合中元素個數(shù)的最值．【專題】11：計算題．【分析】利用已知條件，直接求出a+b，利用集合元素互異求出M中元素的個數(shù)即可．【解答】解：因為集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，所以a+b的值可能為：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4個．故選：B．【點評】本題考查集合中元素個數(shù)的最值，集合中元素的互異性的應(yīng)用，考查計算能力．2．（5分）=（）A．﹣8 B．8 C．﹣8i D．8i 【考點】A5：復(fù)數(shù)的運算．【分析】復(fù)數(shù)分子、分母同乘﹣8，利用1的立方虛根的性質(zhì)（），化簡即可．【解答】解：故選：A．【點評】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算，是基礎(chǔ)題．3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），則λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【考點】9T：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．【專題】5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】利用向量的運算法則、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故選：B．【點評】熟練掌握向量的運算法則、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（5分）已知函數(shù)f（x）的定義域為（﹣1，0），則函數(shù)f（2x+1）的定義域為（）A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D． 【考點】33：函數(shù)的定義域及其求法．【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】原函數(shù)的定義域，即為2x+1的范圍，解不等式組即可得解．【解答】解：∵原函數(shù)的定義域為（﹣1，0），∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣．∴則函數(shù)f（2x+1）的定義域為．故選：B．【點評】考查復(fù)合函數(shù)的定義域的求法，注意變量范圍的轉(zhuǎn)化，屬簡單題．5．（5分）函數(shù)f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函數(shù)f﹣1（x）=（）A． B． C．2x﹣1（x∈R） D．2x﹣1（x＞0） 【考點】4R：反函數(shù)．【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】把y看作常數(shù)，求出x：x=，x，y互換，得到y(tǒng)=log2（1+）的反函數(shù)．注意反函數(shù)的定義域．【解答】解：設(shè)y=log2（1+），把y看作常數(shù)，求出x：1+=2y，x=，其中y＞0，x，y互換，得到y(tǒng)=log2（1+）的反函數(shù)：y=，故選：A．【點評】本題考查對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意對數(shù)式和指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化．6．（5分）已知數(shù)列{an}滿足3an+1+an=0，a2=﹣，則{an}的前10項和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10） 【考點】89：等比數(shù)列的前n項和．【專題】11：計算題；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由已知可知，數(shù)列{an}是以﹣為公比的等比數(shù)列，結(jié)合已知可求a1，然后代入等比數(shù)列的求和公式可求【解答】解：∵3an+1+an=0∴∴數(shù)列{an}是以﹣為公比的等比數(shù)列∵∴a1=4由等比數(shù)列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故選：C．【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及求和公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展開式中x2y2的系數(shù)是（）A．5 B．8 C．12 D．18 【考點】DA：二項式定理．【專題】11：計算題．【分析】由題意知利用二項展開式的通項公式寫出展開式的通項，令x的指數(shù)為2，寫出出展開式中x2的系數(shù)，第二個因式y(tǒng)2的系數(shù)，即可得到結(jié)果．【解答】解：（x+1）3的展開式的通項為Tr+1=C3rxr令r=2得到展開式中x2的系數(shù)是C32=3，（1+y）4的展開式的通項為Tr+1=C4ryr令r=2得到展開式中y2的系數(shù)是C42=6，（1+x）3（1+y）4的展開式中x2y2的系數(shù)是：3×6=18，故選：D．【點評】本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題，本題解題的關(guān)鍵是寫出二項式的展開式，所有的這類問題都是利用通項來解決的．8．（5分）橢圓C：的左、右頂點分別為A1、A2，點P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[﹣2，﹣1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是（）A． B． C． D． 【考點】I3：直線的斜率；KH：直線與圓錐曲線的綜合．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由橢圓C：可知其左頂點A1（﹣2，0），右頂點A2（2，0）．設(shè)P（x0，y0）（x0≠±2），代入橢圓方程可得．利用斜率計算公式可得，再利用已知給出的的范圍即可解出．【解答】解：由橢圓C：可知其左頂點A1（﹣2，0），右頂點A2（2，0）．設(shè)P（x0，y0）（x0≠±2），則，得．∵=，=，∴==，∵，∴，解得．故選：B．【點評】熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率的計算公式、不等式的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．9．（5分）若函數(shù)f（x）=x2+ax+是增函數(shù)，則a的取值范圍是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，+∞） C．[0，3] D．[3，+∞） 【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】由函數(shù)在（，+∞）上是增函數(shù)，可得≥0在（，+∞）上恒成立，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)求出﹣2x在（，+∞）上的最值，可得a的取值范圍．【解答】解：∵在（，+∞）上是增函數(shù)，故≥0在（，+∞）上恒成立，即a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，令h（x）=﹣2x，則h′（x）=﹣﹣2，當(dāng)x∈（，+∞）時，h′（x）＜0，則h（x）為減函數(shù)．∴h（x）＜h（）=3∴a≥3．故選：D．【點評】本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于（）A． B． C． D． 【考點】MI：直線與平面所成的角．【專題】15：綜合題；16：壓軸題；5G：空間角；5H：空間向量及應(yīng)用．【分析】設(shè)AB=1，則AA1=2，分別以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)=（x，y，z）為平面BDC1的一個法向量，CD與平面BDC1所成角為θ，則sinθ=||，在空間坐標(biāo)系下求出向量坐標(biāo)，代入計算即可．【解答】解：設(shè)AB=1，則AA1=2，分別以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），設(shè)=（x，y，z）為平面BDC1的一個法向量，則，即，取=（2，﹣2，1），設(shè)CD與平面BDC1所成角為θ，則sinθ=||=，故選：A．【點評】本題考查直線與平面所成的角，考查空間向量的運算及應(yīng)用，準(zhǔn)確理解線面角與直線方向向量、平面法向量夾角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．11．（5分）已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，點M（﹣2，2），過點F且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若，則k=（）A． B． C． D．2 【考點】9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；K8：拋物線的性質(zhì)．【專題】11：計算題；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】斜率k存在，設(shè)直線AB為y=k（x﹣2），代入拋物線方程，利用=（x1+2，y1﹣2）?（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．【解答】解：由拋物線C：y2=8x得焦點（2，0），由題意可知：斜率k存在，設(shè)直線AB為y=k（x﹣2），代入拋物線方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=4+，x1x2=4．∴y1+y2=，y1y2=﹣16，又=0，∴=（x1+2，y1﹣2）?（x2+2，y2﹣2）==0∴k=2．故選：D．【點評】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．12．（5分）已知函數(shù)f（x）=cosxsin2x，下列結(jié)論中不正確的是（）A．y=f（x）的圖象關(guān)于（π，0）中心對稱 B． C． D．f（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù) 【考點】H1：三角函數(shù)的周期性；HW：三角函數(shù)的最值．【專題】11：計算題；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于某點中心對稱或關(guān)于某條直線對稱的公式，對A、B兩項加以驗證，可得它們都正確．根據(jù)二倍角的正弦公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡，得f（x）=2sinx（1﹣sin2x），再換元：令t=sinx，得到關(guān)于t的三次函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）的最大值為，故C不正確；根據(jù)函數(shù)周期性和奇偶性的定義加以驗證，可得D項正確．由此可得本題的答案．【解答】解：對于A，因為f（π+x）=cos（π+x）sin（2π+2x）=﹣cosxsin2x，f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin（2π﹣2x）=cosxsin2x，所以f（π+x）+f（π﹣x）=0，可得y=f（x）的圖象關(guān)于（π，0）中心對稱，故A正確；對于B，因為f（+x）=cos（+x）sin（π+2x）=﹣sinx（﹣sin2x）=sinxsin2x，f（﹣x）=cos（﹣x）sin（π﹣2x）=sinxsin2x，所以f（+x）=f（﹣x），可得y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱，故B正確；對于C，化簡得f（x）=cosxsin2x=2cos2xsinx=2sinx（1﹣sin2x），令t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1﹣t2），﹣1≤t≤1，∵g（t）=2t（1﹣t2）的導(dǎo)數(shù)g'（t）=2﹣6t2=2（1+t）（1﹣t）∴當(dāng)t∈（﹣1，﹣）時或t∈（，1）時g'（t）＜0，函數(shù)g（t）為減函數(shù)；當(dāng)t∈（﹣，）時g'（t）＞0，函數(shù)g（t）為增函數(shù)．因此函數(shù)g（t）的最大值為t=﹣1時或t=時的函數(shù)值，結(jié)合g（﹣1）=0＜g（）=，可得g（t）的最大值為．由此可得f（x）的最大值為而不是，故C不正確；對于D，因為f（﹣x）=cos（﹣x）sin（﹣2x）=﹣cosxsin2x=﹣f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．因為f（2π+x）=cos（2π+x）sin（4π+2x）=cosxsin2x=f（x），所以2π為函數(shù)的一個周期，得f（x）為周期函數(shù)．可得f（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，得D正確．綜上所述，只有C項不正確．故選：C．【點評】本題給出三角函數(shù)式，研究函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性．著重考查了三角恒等變換公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)圖象的對稱性等知識，屬于中檔題．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，則cotα=2．【考點】GG：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．【專題】56：三角函數(shù)的求值．【分析】根據(jù)α是第三象限的角，得到cosα小于0，然后由sinα的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα的值，進(jìn)而求出cotα的值．【解答】解：由α是第三象限的角，得到cosα＜0，又sinα=﹣，所以cosα=﹣=﹣則cotα==2故答案為：2【點評】此題考查學(xué)生靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求值，是一道基礎(chǔ)題．學(xué)生做題時注意α的范圍．14．（5分）6個人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有480種．（用數(shù)字作答）【考點】D9：排列、組合及簡單計數(shù)問題．【專題】11：計算題．【分析】排列好甲、乙兩人外的4人，然后把甲、乙兩人插入4個人的5個空位中即可．【解答】解：6個人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法：排列好甲、乙兩人外的4人，有中方法，然后把甲、乙兩人插入4個人的5個空位，有種方法，所以共有：=480．故答案為：480．【點評】本題考查了乘法原理，以及排列的簡單應(yīng)用，插空法解答不相鄰問題．15．（5分）記不等式組所表示的平面區(qū)域為D．若直線y=a（x+1）與D有公共點，則a的取值范圍是[，4]．【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【專題】16：壓軸題；59：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，我們要先畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，然后分析平面區(qū)域里各個角點，然后將其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）對應(yīng)的a的端點值即可．【解答】解：滿足約束條件的平面區(qū)域如圖示：因為y=a（x+1）過定點（﹣1，0）．所以當(dāng)y=a（x+1）過點B（0，4）時，得到a=4，當(dāng)y=a（x+1）過點A（1，1）時，對應(yīng)a=．又因為直線y=a（x+1）與平面區(qū)域D有公共點．所以≤a≤4．故答案為：[，4]【點評】在解決線性規(guī)劃的小題時，我們常用“角點法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域?②求出可行域各個角點的坐標(biāo)?③將坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)?④驗證，求出最優(yōu)解．16．（5分）已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓，其公共弦長等于球O的半徑，，則球O的表面積等于16π．【考點】LG：球的體積和表面積．【專題】16：壓軸題；5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】正確作出圖形，利用勾股定理，建立方程，即可求得結(jié)論．【解答】解：如圖所示，設(shè)球O的半徑為r，AB是公共弦，∠OCK是面面角根據(jù)題意得OC=，CK=在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即∴r2=4∴球O的表面積等于4πr2=16π故答案為16π【點評】本題考查球的表面積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，求{an}的通項式．【考點】85：等差數(shù)列的前n項和；88：等比數(shù)列的通項公式．【專題】11：計算題；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求a2，然后由，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式進(jìn)而可求公差d，即可求解通項公式【解答】解：設(shè)數(shù)列的公差為d由得，3∴a2=0或a2=3由題意可得，∴若a2=0，則可得d2=﹣2d2即d=0不符合題意若a2=3，則可得（6﹣d）2=（3﹣d）（12+2d）解可得d=0或d=2∴an=3或an=2n﹣1【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式及求和公式的應(yīng)用，等比數(shù)列的性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題18．（12分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的內(nèi)角對邊分別為a，b，c，滿足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．【考點】GP：兩角和與差的三角函數(shù)；HR：余弦定理．【專題】58：解三角形．【分析】（I）已知等式左邊利用多項式乘多項式法則計算，整理后得到關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosB，將關(guān)系式代入求出cosB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；（II）由（I）得到A+C的度數(shù)，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡cos（A﹣C），變形后將cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A﹣C的值，與A+C的值聯(lián)立即可求出C的度數(shù)．【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，∴a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，又B為三角形的內(nèi)角，則B=120°；（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，則C=15°或C=45°．【點評】此題考查了余弦定理，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．19．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB與△PAD都是等邊三角形．（Ⅰ）證明：PB⊥CD；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大?。究键c】LW：直線與平面垂直；M5：共線向量與共面向量．【專題】11：計算題；5G：空間角．【分析】（I）取BC的中點E，連接DE，過點P作PO⊥平面ABCD于O，連接OA、OB、OD、OE．可證出四邊形ABED是正方形，且O為正方形ABED的中心．因此OE⊥OB，結(jié)合三垂線定理，證出OE⊥PB，而OE是△BCD的中位線，可得OE∥CD，因此PB⊥CD；（II）由（I）的結(jié)論，證出CD⊥平面PBD，從而得到CD⊥PD．取PD的中點F，PC的中點G，連接FG，可得FG∥CD，所以FG⊥PD．連接AF，可得AF⊥PD，因此∠AFG為二面角A﹣PD﹣C的平面角，連接AG、EG，則EG∥PB，可得EG⊥OE．設(shè)AB=2，可求出AE、EG、AG、AF和FG的長，最后在△AFG中利用余弦定理，算出∠AFG=π﹣arccos，即得二面角A﹣PD﹣C的平面角大?。窘獯稹拷猓海↖）取BC的中點E，連接DE，可得四邊形ABED是正方形過點P作PO⊥平面ABCD，垂足為O，連接OA、OB、OD、OE∵△PAB與△PAD都是等邊三角形，∴PA=PB=PD，可得OA=OB=OD因此，O是正方形ABED的對角線的交點，可得OE⊥OB∵PO⊥平面ABCD，得直線OB是直線PB在內(nèi)的射影，∴OE⊥PB∵△BCD中，E、O分別為BC、BD的中點，∴OE∥CD，可得PB⊥CD；（II）由（I）知CD⊥PO，CD⊥PB∵PO、PB是平面PBD內(nèi)的相交直線，∴CD⊥平面PBD∵PD?平面PBD，∴CD⊥PD取PD的中點F，PC的中點G，連接FG，則FG為△PCD有中位線，∴FG∥CD，可得FG⊥PD連接AF，由△PAD是等邊三角形可得AF⊥PD，∴∠AFG為二面角A﹣PD﹣C的平面角連接AG、EG，則EG∥PB∵PB⊥OE，∴EG⊥OE，設(shè)AB=2，則AE=2，EG=PB=1，故AG==3在△AFG中，F(xiàn)G=CD=，AF=，AG=3∴cos∠AFG==﹣，得∠AFG=π﹣arccos，即二面角A﹣PD﹣C的平面角大小是π﹣arccos．【點評】本題給出特殊的四棱錐，求證直線與直線垂直并求二面角平面角的大小，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、三垂線定理和運用余弦定理求二面的大小等知識，屬于中檔題．20．（12分）甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判，設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果都相互獨立，第1局甲當(dāng)裁判．（Ⅰ）求第4局甲當(dāng)裁判的概率；（Ⅱ）X表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望．【考點】CB：古典概型及其概率計算公式；CH：離散型隨機變量的期望與方差．【專題】5I：概率與統(tǒng)計．【分析】（I）令A(yù)1表示第2局結(jié)果為甲獲勝，A2表示第3局甲參加比賽時，結(jié)果為甲負(fù)，A表示第4局甲當(dāng)裁判，分析其可能情況，每局比賽的結(jié)果相互獨立且互斥，利用獨立事件、互斥事件的概率求解即可．（II）X的所有可能值為0，1，2．分別求出X取每一個值的概率，列出分布列后求出期望值即可．【解答】解：（I）令A(yù)1表示第2局結(jié)果為甲獲勝．A2表示第3局甲參加比賽時，結(jié)果為甲負(fù)．A表示第4局甲當(dāng)裁判．則A=A1?A2，P（A）=P（A1?A2）=P（A1）P（A2）=；（Ⅱ）X的所有可能值為0，1，2．令A(yù)3表示第3局乙和丙比賽時，結(jié)果為乙勝．B1表示第1局結(jié)果為乙獲勝，B2表示第2局乙和甲比賽時，結(jié)果為乙勝，B3表示第3局乙參加比賽時，結(jié)果為乙負(fù)，則P（X=0）=P（B1B2）=P（B1）P（B2）P（）=．P（X=2）=P（B3）=P（）P（B3）=．P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）=．從而EX=0×+1×+2×=．【點評】本題考查互斥、獨立事件的概率，離散型隨機變量的分布列和期望等知識，同時考查利用概率知識解決問題的能力．21．（12分）已知雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為3，直線y=2與C的兩個交點間的距離為．（I）求a，b；（II）設(shè)過F2的直線l與C的左、右兩支分別相交于A、B兩點，且|AF1|=|BF1|，證明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比數(shù)列．【考點】K4：橢圓的性質(zhì)；KH：直線與圓錐曲線的綜合．【專題】14：證明題；15：綜合題；16：壓軸題；35：轉(zhuǎn)化思想；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（I）由題設(shè)，可由離心率為3得到參數(shù)a，b的關(guān)系，將雙曲線的方程用參數(shù)a表示出來，再由直線建立方程求出參數(shù)a即可得到雙曲線的方程；（II）由（I）的方程求出兩焦點坐標(biāo)，設(shè)出直線l的方程設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將其與雙曲線C的方程聯(lián)立，得出x1+x2=，，再利用|AF1|=|BF1|建立關(guān)于A，B坐標(biāo)的方程，得出兩點橫坐標(biāo)的關(guān)系，由此方程求出k的值，得出直線的方程，從而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可證明出結(jié)論．【解答】解：（I）由題設(shè)知=3，即=9，故b2=8a2所以C的方程為8x2﹣y2=8a2將y=2代入上式，并求得x=±，由題設(shè)知，2=，解得a2=1所以a=1，b=2（II）由（I）知，F(xiàn)1（﹣3，0），F(xiàn)2（3，0），C的方程為8x2﹣y2=8①由題意，可設(shè)l的方程為y=k（x﹣3），|k|＜2代入①并化簡得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=，，于是|AF1|==﹣（3x1