2015年高考數(shù)學(xué)試卷（理）（新課標(biāo)Ⅱ）（解析卷）

第頁|共頁2015年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅱ）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，則A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2} 【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【專題】5J：集合．【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故選：A．【點(diǎn)評】考查列舉法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的運(yùn)算．2．（5分）若a為實(shí)數(shù)，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，則a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【考點(diǎn)】A1：虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)．【專題】5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】首先將坐標(biāo)展開，然后利用復(fù)數(shù)相等解之．【解答】解：因?yàn)椋?+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等的條件，熟記運(yùn)算法則以及復(fù)數(shù)相等的條件是關(guān)鍵．3．（5分）根據(jù)如圖給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量（單位：萬噸）柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是（）A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢 D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) 【考點(diǎn)】B8：頻率分布直方圖．【專題】5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】A從圖中明顯看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量減少的最多，故A正確；B從2007年開始二氧化硫排放量變少，故B正確；C從圖中看出，2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少，故C正確；D2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少，與年份負(fù)相關(guān)，故D錯誤．【解答】解：A從圖中明顯看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明顯減少，且減少的最多，故A正確；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越來越多，從2007年開始二氧化硫排放量變少，故B正確；C從圖中看出，2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少，故C正確；D2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少，而不是與年份正相關(guān)，故D錯誤．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了學(xué)生識圖的能力，能夠從圖中提取出所需要的信息，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）已知等比數(shù)列{an}滿足a1=3，a1+a3+a5=21，則a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．84 【考點(diǎn)】88：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】11：計(jì)算題；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求q，然后在代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．5．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=，則f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12 【考點(diǎn)】3T：函數(shù)的值．【專題】11：計(jì)算題；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由對數(shù)恒等式，求得f（log212）=6，進(jìn)而得到所求和．【解答】解：函數(shù)f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，則有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查分段函數(shù)的求值，主要考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【專題】11：計(jì)算題；5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】由三視圖判斷，正方體被切掉的部分為三棱錐，把相關(guān)數(shù)據(jù)代入棱錐的體積公式計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)正方體的棱長為1，由三視圖判斷，正方體被切掉的部分為三棱錐，∴正方體切掉部分的體積為×1×1×1=，∴剩余部分體積為1﹣=，∴截去部分體積與剩余部分體積的比值為．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了由三視圖判斷幾何體的形狀，求幾何體的體積．7．（5分）過三點(diǎn)A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則|MN|=（）A．2 B．8 C．4 D．10 【考點(diǎn)】IR：兩點(diǎn)間的距離公式．【專題】11：計(jì)算題；5B：直線與圓．【分析】設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出D，E，F(xiàn)，令x=0，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，則，∴D=﹣2，E=4，F(xiàn)=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查圓的方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定圓的方程是關(guān)鍵．8．（5分）程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14，18，則輸出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14 【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【專題】5K：算法和程序框圖．【分析】由循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，先判斷，再執(zhí)行，分別計(jì)算出當(dāng)前的a，b的值，即可得到結(jié)論．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，則b變?yōu)?8﹣14=4，由a＞b，則a變?yōu)?4﹣4=10，由a＞b，則a變?yōu)?0﹣4=6，由a＞b，則a變?yōu)?﹣4=2，由a＜b，則b變?yōu)?﹣2=2，由a=b=2，則輸出的a=2．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查算法和程序框圖，主要考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的理解和運(yùn)用，以及賦值語句的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．9．（5分）已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB=90°，C為該球面上的動點(diǎn)，若三棱錐O﹣ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）A．36π B．64π C．144π D．256π 【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【專題】11：計(jì)算題；5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時，三棱錐O﹣ABC的體積最大，利用三棱錐O﹣ABC體積的最大值為36，求出半徑，即可求出球O的表面積．【解答】解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時，三棱錐O﹣ABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時VO﹣ABC=VC﹣AOB===36，故R=6，則球O的表面積為4πR2=144π，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查球的半徑與表面積，考查體積的計(jì)算，確定點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時，三棱錐O﹣ABC的體積最大是關(guān)鍵．10．（5分）如圖，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動，記∠BOP=x．將動點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f（x），則y=f（x）的圖象大致為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】HC：正切函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)系，利用排除法進(jìn)行求解即可．【解答】解：當(dāng)0≤x≤時，BP=tanx，AP==，此時f（x）=+tanx，0≤x≤，此時單調(diào)遞增，當(dāng)P在CD邊上運(yùn)動時，≤x≤且x≠時，如圖所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，當(dāng)x=時，PA+PB=2，當(dāng)P在AD邊上運(yùn)動時，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由對稱性可知函數(shù)f（x）關(guān)于x=對稱，且f（）＞f（），且軌跡為非線型，排除A，C，D，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，根據(jù)條件先求出0≤x≤時的解析式是解決本題的關(guān)鍵．11．（5分）已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，頂角為120°，則E的離心率為（）A． B．2 C． D． 【考點(diǎn)】KC：雙曲線的性質(zhì)．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)M在雙曲線﹣=1的左支上，由題意可得M的坐標(biāo)為（﹣2a，a），代入雙曲線方程可得a=b，再由離心率公式即可得到所求值．【解答】解：設(shè)M在雙曲線﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，則M的坐標(biāo)為（﹣2a，a），代入雙曲線方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的離心率的求法，運(yùn)用任意角的三角函數(shù)的定義求得M的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．12．（5分）設(shè)函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（﹣1）=0，當(dāng)x＞0時，xf′（x）﹣f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞） 【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】2：創(chuàng)新題型；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】由已知當(dāng)x＞0時總有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判斷函數(shù)g（x）=為減函數(shù)，由已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可證明g（x）為（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性和奇偶性，模擬g（x）的圖象，而不等式f（x）＞0等價于x?g（x）＞0，數(shù)形結(jié)合解不等式組即可．【解答】解：設(shè)g（x）=，則g（x）的導(dǎo)數(shù)為：g′（x）=，∵當(dāng)x＞0時總有xf′（x）＜f（x）成立，即當(dāng)x＞0時，g′（x）恒小于0，∴當(dāng)x＞0時，函數(shù)g（x）=為減函數(shù)，又∵g（﹣x）====g（x），∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)又∵g（﹣1）==0，∴函數(shù)g（x）的圖象性質(zhì)類似如圖：數(shù)形結(jié)合可得，不等式f（x）＞0?x?g（x）＞0?或，?0＜x＜1或x＜﹣1．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于綜合題．二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13．（5分）設(shè)向量，不平行，向量λ+與+2平行，則實(shí)數(shù)λ=．【考點(diǎn)】96：平行向量（共線）．【專題】11：計(jì)算題；34：方程思想；4O：定義法；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】利用向量平行的條件直接求解．【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+與+2平行，∴λ+=t（+2）=，∴，解得實(shí)數(shù)λ=．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)值的解法，考查平面向量平行的條件及應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．14．（5分）若x，y滿足約束條件，則z=x+y的最大值為．【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃．【專題】59：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】首先畫出平面區(qū)域，然后將目標(biāo)函數(shù)變形為直線的斜截式，求在y軸的截距最大值．【解答】解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，當(dāng)直線經(jīng)過D點(diǎn)時，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值為1+；故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了簡單線性規(guī)劃；一般步驟是：①畫出平面區(qū)域；②分析目標(biāo)函數(shù)，確定求最值的條件．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a=3．【考點(diǎn)】DA：二項(xiàng)式定理．【專題】11：計(jì)算題；5P：二項(xiàng)式定理．【分析】給展開式中的x分別賦值1，﹣1，可得兩個等式，兩式相減，再除以2得到答案．【解答】解：設(shè)f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，則a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，則a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查解決展開式的系數(shù)和問題時，一般先設(shè)出展開式，再用賦值法代入特殊值，相加或相減．16．（5分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=﹣1，an+1=Sn+1Sn，則Sn=﹣．【考點(diǎn)】8H：數(shù)列遞推式．【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】通過Sn+1﹣Sn=an+1可知Sn+1﹣Sn=Sn+1Sn，兩邊同時除以Sn+1Sn可知﹣=1，進(jìn)而可知數(shù)列{}是以首項(xiàng)、公差均為﹣1的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．【解答】解：∵an+1=Sn+1Sn，∴Sn+1﹣Sn=Sn+1Sn，∴﹣=1，又∵a1=﹣1，即=﹣1，∴數(shù)列{}是以首項(xiàng)是﹣1、公差為﹣1的等差數(shù)列，∴=﹣n，∴Sn=﹣，故答案為：﹣．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．三、解答題（共5小題，滿分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的長．【考點(diǎn)】HP：正弦定理；HT：三角形中的幾何計(jì)算．【專題】58：解三角形．【分析】（1）如圖，過A作AE⊥BC于E，由已知及面積公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，從而得解．（2）由（1）可求BD=．過D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令A(yù)C=x，則AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的長．【解答】解：（1）如圖，過A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．過D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令A(yù)C=x，則AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的長為，AC的長為1．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形面積公式，正弦定理，余弦定理等知識的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．18．（12分）某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：A地區(qū)：6273819295857464537678869566977888827689B地區(qū)：7383625191465373648293486581745654766579（1）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）；（2）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”，假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨(dú)立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率．【考點(diǎn)】BA：莖葉圖；CB：古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）根據(jù)莖葉圖的畫法，以及有關(guān)莖葉圖的知識，比較即可；（2）根據(jù)概率的互斥和對立，以及概率的運(yùn)算公式，計(jì)算即可．【解答】解：（1）兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意評分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意評分的平均值；A地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，B地區(qū)用戶滿意度評分比較分散；（2）記CA1表示事件“A地區(qū)用戶滿意度等級為滿意或非常滿意”，記CA2表示事件“A地區(qū)用戶滿意度等級為非常滿意”，記CB1表示事件“B地區(qū)用戶滿意度等級為不滿意”，記CB2表示事件“B地區(qū)用戶滿意度等級為滿意”，則CA1與CB1獨(dú)立，CA2與CB2獨(dú)立，CB1與CB2互斥，則C=CA1CB1∪CA2CB2，P（C）=P（CA1CB1）+P（CA2CB2）=P（CA1）P（CB1）+P（CA2）P（CB2），由所給的數(shù)據(jù)CA1，CA2，CB1，CB2，發(fā)生的頻率為，，，，所以P（CA1）=，P（CA2）=，P（CB1）=，P（CB2）=，所以P（C）=×+×=0.48．【點(diǎn)評】本題考查了莖葉圖，概率的互斥與對立，用頻率來估計(jì)概率，屬于中檔題．19．（12分）如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形．（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；（2）求直線AF與平面α所成角的正弦值．【考點(diǎn)】MI：直線與平面所成的角．【專題】5G：空間角；5H：空間向量及應(yīng)用．【分析】（1）容易知道所圍成正方形的邊長為10，再結(jié)合長方體各邊的長度，即可找出正方形的位置，從而畫出這個正方形；（2）分別以直線DA，DC，DD1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，考慮用空間向量解決本問，能夠確定A，H，E，F(xiàn)幾點(diǎn)的坐標(biāo)．設(shè)平面EFGH的法向量為，根據(jù)即可求出法向量，坐標(biāo)可以求出，可設(shè)直線AF與平面EFGH所成角為θ，由sinθ=即可求得直線AF與平面α所成角的正弦值．【解答】解：（1）交線圍成的正方形EFGH如圖：（2）作EM⊥AB，垂足為M，則：EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；∴，∴AH=10；以邊DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F(xiàn)（0，4，8）；∴；設(shè)為平面EFGH的法向量，則：，取z=3，則；若設(shè)直線AF和平面EFGH所成的角為θ，則：sinθ==；∴直線AF與平面α所成角的正弦值為．【點(diǎn)評】考查直角三角形邊的關(guān)系，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決線面角問題的方法，弄清直線和平面所成角與直線的方向向量和平面法向量所成角的關(guān)系，以及向量夾角余弦的坐標(biāo)公式．20．（12分）已知橢圓C：9x2+y2=m2（m＞0），直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M．（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；（2）若l過點(diǎn)（，m），延長線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率；若不能，說明理由．【考點(diǎn)】I3：直線的斜率；KH：直線與圓錐曲線的綜合．【專題】2：創(chuàng)新題型；5E：圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（1）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出對應(yīng)的直線斜率即可得到結(jié)論．（2）四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即xP=2xM，建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)直線l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），將y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，則判別式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，則x1+x2=，則xM==，yM=kxM+b=，于是直線OM的斜率kOM==，即kOM?k=﹣9，∴直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．（2）四邊形OAPB能為平行四邊形．∵直線l過點(diǎn)（，m），∴由判別式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，則k＞0，∴l(xiāng)不過原點(diǎn)且與C有兩個交點(diǎn)的充要條件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程為y=x，設(shè)P的橫坐標(biāo)為xP，由得，即xP=，將點(diǎn)（，m）的坐標(biāo)代入l的方程得b=，即l的方程為y=kx+，將y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得xM=，四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即xP=2xM，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，∵ki＞0，ki≠3，i=1，2，∴當(dāng)l的斜率為4﹣或4+時，四邊形OAPB能為平行四邊形．【點(diǎn)評】本題主要考查直線和圓錐曲線的相交問題，聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．21．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=emx+x2﹣mx．（1）證明：f（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增；（2）若對于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范圍．【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．【專題】2：創(chuàng)新題型；52：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】（1）利用f′（x）≥0說明函數(shù)為增函數(shù)，利用f′（x）≤0說明函數(shù)為減函數(shù)．注意參數(shù)m的討論；（2）由（1）知，對任意的m，f（x）在[﹣1，0]單調(diào)遞減，在[0，1]單調(diào)遞增，則恒成立問題轉(zhuǎn)化為最大值和最小值問題．從而求得m的取值范圍．【解答】解：（1）證明：f′（x）=m（emx﹣1）+2x．若m≥0，則當(dāng)x∈（﹣∞，0）時，emx﹣1≤0，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，+∞）時，emx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，則當(dāng)x∈（﹣∞，0）時，emx﹣1＞0，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，+∞）時，emx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）時單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增．（2）由（1）知，對任意的m，f（x）在[﹣1，0]單調(diào)遞減，在[0，1]單調(diào)遞增，故f（x）在x=0處取得最小值．所以對于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要條件是即設(shè)函數(shù)g（t）=et﹣t﹣e+1，則g′（t）=et﹣1．當(dāng)t＜0時，g′（t）＜0；當(dāng)t＞0時，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故當(dāng)t∈[﹣1，1]時，g（t）≤0．當(dāng)m∈[﹣1，1]時，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；當(dāng)m＞1時，由g（t）的單調(diào)性，g（m）＞0，即em﹣m＞e﹣1．當(dāng)m＜﹣1時，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．綜上，m的取值范圍是[﹣1，1]【點(diǎn)評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在求單調(diào)函數(shù)中的應(yīng)用和恒成立在求參數(shù)中的應(yīng)用．屬于難題，高考壓軸題．四、選做題.選修4-1：幾何證明選講22．（10分）如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，⊙O與△ABC的底邊BC交于M，N兩點(diǎn)，與底邊上的高AD交于點(diǎn)G，且與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．（1）證明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半徑，且AE=MN=2，求四邊形EBCF的面積．【考點(diǎn)】N4：相似三角形的判定．【專題】26：開放型；5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）通過AD是∠CAB的角平分線及圓O分別與AB、AC相切于點(diǎn)E、F，利用相似的性質(zhì)即得結(jié)論；（2）通過（1）知AD是EF的垂直平分線，連結(jié)OE、OM，則OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF計(jì)算即可．【解答】（1）證明：∵△ABC為等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分線，又∵圓O分別與AB、AC相切于點(diǎn)E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分線，又∵EF為圓O的弦，∴O在AD上，連結(jié)OE、OM，則OE⊥AE，由AG等于圓O的半徑可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC與△AEF都是等邊三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四邊形EBCF的面積為×﹣××=．【點(diǎn)評】本題考查空間中線與線之間的位置關(guān)系，考查四邊形面積的計(jì)算，注意解題方法的積累，屬于中檔題．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程23．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：（t為參數(shù)，t≠0），其中0≤α≤π，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（2）若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值．【考點(diǎn)】Q4：簡單曲線