2025年北師大版高一數(shù)學(xué)下冊(cè)月考試卷含答案

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請(qǐng)※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年北師大版高一數(shù)學(xué)下冊(cè)月考試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識(shí)點(diǎn)；考試時(shí)間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級(jí)：______考號(hào)：______總分欄題號(hào)一二三四五六總分得分評(píng)卷人得分一、選擇題(共7題，共14分)1、已知不同直線和不同平面給出下列命題：①②③異面④其中錯(cuò)誤的命題有（）個(gè)A.1B.2C.3D.42、設(shè)是不同的直線，是不同的平面，有以下四個(gè)命題①②③④其中正確的命題是Ａ．①④Ｂ．②③Ｃ．①③Ｄ．②④3、若集合且則集合B可能是()A.B.C.D.4、已知平面上三點(diǎn)A，B，C滿足則△ABC的形狀是（）A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形5、已知向量a鈫?=(1,鈭?2)b鈫?=(x,4)

且a鈫?//b鈫?

則|a鈫?+b鈫?|

的值是(

)

A.2

B.5

C.83

D.53

6、對(duì)某小區(qū)100

戶居民的月均用水量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖，則估計(jì)此樣本的眾數(shù)、中位數(shù)分別為(

)

A.2.252.5

B.2.252.02

C.22.5

D.2.52.25

7、某人要利用無人機(jī)測(cè)量河流的寬度，如圖，從無人機(jī)A

處測(cè)得正前方河流的兩岸BC

的俯角分別為75鈭?30鈭?

此時(shí)無人機(jī)的高是60

米，則河流的寬度BC

等于(

)

A.2403

米B.180(2鈭?1)

米C.120(3鈭?1)

米D.30(3+1)

米評(píng)卷人得分二、填空題(共6題，共12分)8、已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x2+4x，那么當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=____．9、計(jì)算sin（-120°）cos1290°=____．10、下左程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為_________________________.11、【題文】設(shè)集合A=｛2,3｝，B=｛2,3,4｝,C=｛3,4,5｝則12、函數(shù)y=2sin（2x+），x∈[-]的值域是______．13、用輾轉(zhuǎn)相除法求840與1764的最大公約數(shù)為______．評(píng)卷人得分三、證明題(共5題，共10分)14、求證：（1）周長(zhǎng)為21的平行四邊形能夠被半徑為的圓面所覆蓋．

（2）桌面上放有一絲線做成的線圈，它的周長(zhǎng)是2l，不管線圈形狀如何，都可以被個(gè)半徑為的圓紙片所覆蓋．15、如圖；已知AB是⊙O的直徑，P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求證：

（1）AD=AE

（2）PC?CE=PA?BE．16、如圖；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，E為AD的中點(diǎn)，DF⊥BE，垂足為F，CF交AD于點(diǎn)G．

求證：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．17、初中我們學(xué)過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時(shí)也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據(jù)如圖，設(shè)計(jì)一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設(shè)AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．18、AB是圓O的直徑，CD是圓O的一條弦，AB與CD相交于E，∠AEC=45°，圓O的半徑為1，求證：EC2+ED2=2．評(píng)卷人得分四、解答題(共1題，共2分)19、【題文】請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，是邊長(zhǎng)為的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，在上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)．

（1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積最大，試問應(yīng)取何值？

（2）若廣告商要求包裝盒容積最大，試問應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值．

評(píng)卷人得分五、計(jì)算題(共3題，共18分)20、在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于點(diǎn)O，若AC=5，BD=12，中位線長(zhǎng)為，△AOB的面積為S1，△COD的面積為S2，則=____．21、如果菱形有一個(gè)角是45°，且邊長(zhǎng)是2，那么這個(gè)菱形兩條對(duì)角線的乘積等于____．22、計(jì)算：（2）﹣（﹣2016）0﹣（）+（）﹣2．評(píng)卷人得分六、綜合題(共3題，共24分)23、已知平面區(qū)域上；坐標(biāo)x，y滿足|x|+|y|≤1

（1）畫出滿足條件的區(qū)域L0；并求出面積S；

（2）對(duì)區(qū)域L0作一個(gè)內(nèi)切圓M1，然后在M1內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接與此圓與L0相同形狀的圖形L1，在L1內(nèi)繼續(xù)作圓M2；經(jīng)過無數(shù)次后，求所有圓的面積的和．

（提示公式：）24、（2011?青浦區(qū)二模）如圖，已知邊長(zhǎng)為3的等邊三角形ABC紙片，點(diǎn)E在AC邊上，點(diǎn)F在AB邊上，沿著EF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D的位置，且ED⊥BC，則CE的長(zhǎng)是____．25、（1）如圖；在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中點(diǎn)；

求證：MB=MC．

（2）如圖；在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）．

①畫出△OAB向下平移3個(gè)單位后的△O1A1B1；

②畫出△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△OA2B2，并求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A2所經(jīng)過的路線長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．參考答案一、選擇題(共7題，共14分)1、C【分析】試題分析：①正確；②當(dāng)時(shí)不成立，故②錯(cuò)誤；③異面，故③錯(cuò)誤；④有可能故④錯(cuò)誤考點(diǎn)：直線與平面（平行）垂直的判定和性質(zhì)定理，平面與平面（平行）垂直的判定和性質(zhì)定理【解析】【答案】C2、C【分析】【解析】

因?yàn)槊}1中，符合平行平面的傳遞性，因此成立命題2中，兩個(gè)平面垂直，一條直線平行與其中一個(gè)平面，有可能與另一個(gè)平面斜交，因此錯(cuò)誤命題3中，一條直線垂直于一個(gè)平面，同時(shí)還平行與另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面垂直，成立命題4中，可能m在平面內(nèi)，錯(cuò)誤。選C【解析】【答案】C3、A【分析】【分析】因?yàn)榧螦表示的為大于等于零的實(shí)數(shù)集合，而則根據(jù)子集的定義可知，只要集合B的元素都是屬于集合A的，則滿足題意。選項(xiàng)A中，1,2都在非負(fù)數(shù)范圍內(nèi)，成立，選項(xiàng)B中，當(dāng)x<1不滿足條件，選項(xiàng)C中，-1,0，不屬于集合A中的運(yùn)算，故不成立。選項(xiàng)D中，負(fù)數(shù)不滿足，故錯(cuò)誤，選A.4、A【分析】【解答】設(shè)AC的中點(diǎn)為D，則因?yàn)樗约粗芯€BD也為高線，所以△ABC是等腰三角形。

【分析】熟練掌握向量加法的平行四邊形法則，并對(duì)平行四邊形法則的變形靈活應(yīng)用。5、B【分析】解：隆脽a鈫?//b鈫?隆脿鈭?2x鈭?4=0

解得x=鈭?2

．

隆脿b鈫?=(鈭?2,4)

．

隆脿a鈫?+b鈫?=(鈭?1,2)

．

則|a鈫?+b鈫?|=(鈭?1)2+22=5

．

故選：B

．

利用向量共線定理；模的計(jì)算公式即可得出．

本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線定理、模的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．【解析】B

6、B【分析】解：由頻率分布直方圖可知，數(shù)據(jù)在[2,2.5]

之間的面積最大，此時(shí)眾數(shù)集中在[2,2.5]

內(nèi)，用區(qū)間[2,2.5][2,2.5]的中點(diǎn)值來表示；隆脿

眾數(shù)為2.25

．

第一組的頻率為0.08隆脕0.5=0.04

對(duì)應(yīng)的頻數(shù)為0.04隆脕100=4

第二組的頻率為0.16隆脕0.5=0.08

對(duì)應(yīng)的頻數(shù)為0.08隆脕100=8

第三組的頻率為0.30隆脕0.5=0.15

對(duì)應(yīng)的頻數(shù)為0.15隆脕100=15

第四組的頻率為0.44隆脕0.5=0.22

對(duì)應(yīng)的頻數(shù)為0.22隆脕100=22

第五組的頻率為0.50隆脕0.5=0.25

對(duì)應(yīng)的頻數(shù)為0.25隆脕100=25

前四組的頻數(shù)之和為4+8+15+22=49

隆脿

中位數(shù)為第5

組的第一個(gè)數(shù)據(jù)以及第5

組的第二個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)；對(duì)照選項(xiàng)，中位數(shù)是2.02

比較適合；

故選：B

．

根據(jù)頻率分布直方圖；結(jié)合眾數(shù)和中位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可．

本題考查頻率分布直方圖、利用頻率分布直方圖進(jìn)行總體估計(jì)：求中位數(shù)以及眾數(shù)的定義，比較基礎(chǔ)．【解析】B

7、C【分析】解：如圖

由圖可知，隆脧DAB=15鈭?

隆脽tan15鈭?=tan(45鈭?鈭?30鈭?)=2鈭?3

．

在Rt鈻?ADB

中；又AD=60

隆脿DB=AD?tan15鈭?=60隆脕(2鈭?3)=120鈭?603

．

在Rt鈻?ADC

中，隆脧DAC=60鈭?AD=60

隆脿DC=AD?tan60鈭?=603

．

隆脿BC=DC鈭?DB=603鈭?(120鈭?603)=120(3鈭?1)(m)

．

隆脿

河流的寬度BC

等于120(3鈭?1)m

．

故選：C

．

由題意畫出圖形，由兩角差的正切求出15鈭?

的正切值；然后通過求解兩個(gè)直角三角形得到DC

和DB

的長(zhǎng)度，作差后可得答案．

本題給出實(shí)際應(yīng)用問題，求河流在BC

兩地的寬度，著重考查了三角函數(shù)的定義、正余弦定理解三角形的知識(shí)，屬于中檔題．【解析】C

二、填空題(共6題，共12分)8、略

【分析】

【解析】

設(shè)x＜0；則-x＞0；

∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x2+4x，∴f（-x）=x2-4x；

∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=-x2+4x；

故答案為：-x2+4x．

【解析】【答案】先設(shè)x＜0，則-x＞0，代入f（x）=x2+4x并進(jìn)行化簡(jiǎn)；再利用f（x）=-f（-x）進(jìn)行求解．

9、略

【分析】

∵sin（-120°）cos1290°

=sin（-120°）cos（4×360°-150°）

=sin（-120°）cos（-150°）

=-×（-）

=．

故答案為：

【解析】【答案】利用誘導(dǎo)公式與終邊相同角的公式即可求得sin（-120°）cos1290°的值．

10、略

【分析】試題分析：鑲嵌的判斷語句因?yàn)閤=5>0所以執(zhí)行y=y+3.即運(yùn)算完了的y=-17.接著輸出x-y=22;y-x=-22.故填22;-22.熟悉判斷語句的知識(shí)點(diǎn).考點(diǎn)：含鑲嵌的判斷語句應(yīng)用.【解析】【答案】22;-22.11、略

【分析】【解析】因?yàn)榧螦=｛2,3｝，B=｛2,3,4｝,C=｛3,4,5｝，所以【解析】【答案】12、略

【分析】解：∵x∈[-]，∴2x+∈[0，]．

∴當(dāng)2x+=時(shí)，2sin（2x+）取得最大值2×1=2；

當(dāng)2x+=時(shí)，2sin（2x+）取得最小值2×（-）=-．

故答案為[-2]．

求出2x+的范圍；結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出范圍．

本題考查了正弦函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題．【解析】[-2]13、略

【分析】解：用輾轉(zhuǎn)相除法求840與1764的最大公約數(shù)．

1764=840×2+84；

840=84×10+0

∴840與1764的最大公約數(shù)是84．

故答案為：84

用輾轉(zhuǎn)相除法求840與1764的最大公約數(shù)；寫出1764=840×2+84，840=84×10+0，得到兩個(gè)數(shù)字的最大公約數(shù)．

本題考查輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)，這是算法案例中的一種題目，本題解題的關(guān)鍵是解題時(shí)需要有耐心，認(rèn)真計(jì)算，不要在數(shù)字運(yùn)算上出錯(cuò)，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題【解析】84三、證明題(共5題，共10分)14、略

【分析】【分析】（1）關(guān)鍵在于圓心位置；考慮到平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，可讓覆蓋圓圓心與平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)疊合．

（2）“曲“化“直“．對(duì)比（1），應(yīng)取均分線圈的二點(diǎn)連線段中點(diǎn)作為覆蓋圓圓心．【解析】【解答】

證明：（1）如圖1；設(shè)ABCD的周長(zhǎng)為2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P為周界上任意一點(diǎn)，不妨設(shè)在AB上；

則∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周長(zhǎng)為2l的平行四邊形ABCD可被以O(shè)為圓心；半徑為的圓所覆蓋；命題得證．

（2）如圖2，在線圈上分別取點(diǎn)R，Q，使R、Q將線圈分成等長(zhǎng)兩段，每段各長(zhǎng)l．又設(shè)RQ中點(diǎn)為G，M為線圈上任意一點(diǎn)，連MR、MQ，則GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓紙片可以覆蓋住整個(gè)線圈．15、略

【分析】【分析】（1）連AC；BC；OC，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥PD，而AD⊥PC，則OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，則∠DAC=∠CAO，根據(jù)三角形相似的判定易證得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形相似的判定易證Rt△PCE∽R(shí)t△PAD，Rt△EBC∽R(shí)t△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到結(jié)論．【解析】【解答】證明：（1）連AC、BC，OC，如圖，

∵PC是⊙O的切線；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽R(shí)t△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB為⊙O的直徑；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽R(shí)t△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC?CE=PA?BE．16、略

【分析】【分析】（1）連接AF，并延長(zhǎng)交BC于N，根據(jù)相似三角形的判定定理證△BDF∽△DEF，推出，=；再證△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，證出A；F、D、C四點(diǎn)共圓即可；

（2）根據(jù)已知推出∠EFG=∠ABD，證F、N、D、G四點(diǎn)共圓，推出∠EGF=∠AND，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）證明：連接AF，并延長(zhǎng)交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

則=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四點(diǎn)共圓；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）證明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四點(diǎn)共圓；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．17、略

【分析】【分析】（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E；根據(jù)正弦的定義可以表示出CE的長(zhǎng)度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據(jù)正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉(zhuǎn)化為三角形函數(shù)，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據(jù)題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．18、略

【分析】【分析】首先作CD關(guān)于AB的對(duì)稱直線FG，由∠AEC=45°，即可證得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易證得O，C，G，E四點(diǎn)共圓，則可求得CG2=OC2+OG2=2．繼而證得EC2+ED2=2．【解析】【解答】證明：作CD關(guān)于AB的對(duì)稱直線FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四點(diǎn)共圓．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．四、解答題(共1題，共2分)19、略

【分析】【解析】

試題分析：（1）先設(shè)包裝盒的高為底面邊長(zhǎng)為寫出與的關(guān)系式，并注明的取值范圍，再利用側(cè)面積公式表示出包裝盒側(cè)面積關(guān)于的函數(shù)解析式；最后求出何時(shí)它取得最大值即可；

（2）利用體積公式表示出包裝盒容積關(guān)于的函數(shù)解析式；利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求出何時(shí)它取得的最大值即可．

設(shè)包裝盒的高為底面邊長(zhǎng)為

由已知得

（1）∵2分。

∴當(dāng)時(shí)，取得最大值3分。

（2）根據(jù)題意有5分。

∴

由得，(舍)或

∴當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)7分。

∴當(dāng)時(shí)取得極大值，也是最大值，此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為

即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為10分．

考點(diǎn)：1．函數(shù)的應(yīng)用問題；2．函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)；3．二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【解析】【答案】（1）當(dāng)時(shí)，取得最大值；（2）當(dāng)時(shí)取得極大值，也是最大值，此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為．五、計(jì)算題(共3題，共18分)20、略

【分析】【分析】作BE∥AC，從而得到平行四邊形ACEB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及中位線定理可求得DE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理可得到△DBE為直角三角形，根據(jù)面積公式可求得梯形的高，因?yàn)椤鰽OB和△COD的面積之和等于梯形的面積從而不難求解．【解析】【解答】解：作BE∥AC；

∵AB∥CE；∴CE=AB；

∵梯形中位線為6.5；

∴AB+CD=13；

∴DE=CE+CD=AB+CD=13；

∵BE=AC=5；BD=12，由勾股定理的逆定理；

得△BDE為直角三角形；即∠EBD=∠COD=90°；

設(shè)S△EBD=S

則S2：S=DO2：DB2

S1：S=OB2：BD2

∴=

∵S=12×5×=30

∴=．

故本題答案為：．21、略

【分析】【分析】利用三角函數(shù)先求出菱形的高，再根據(jù)菱形的面積等于底乘以相應(yīng)高求出面積，然后根據(jù)菱形面積的兩種求法可知兩條對(duì)角線的乘積就等于面積的2倍．【解析】【解答】解：根據(jù)題意，菱形的高=2sin45°=；

∴菱形的面積=2×=2；

∵菱形的面積=×兩對(duì)角線的乘積；

∴兩對(duì)角線的乘積=4．

故答案為4．22、解：==【分析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可．六、綜合題(共3題，共24分)23、略

【分析】【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值號(hào)，作出|x|+|y|≤