《電磁場(chǎng)與電磁波及其應(yīng)用》課件第四章

第四章時(shí)變電磁場(chǎng)4.1波動(dòng)方程4.2時(shí)變場(chǎng)的位函數(shù)4.3時(shí)變電磁場(chǎng)的能量與能流4.4時(shí)諧電磁場(chǎng)4.5左手媒質(zhì)4.6時(shí)變電磁場(chǎng)的應(yīng)用

4.1波動(dòng)方程

在無(wú)源空間中，電流密度和電荷密度處處為零，即ρ=0、J=0。在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中，E和H滿足麥克斯韋方程(4.1.1)(4.1.2)(4.1.3)(4.1.4)對(duì)式（4.1.2）兩邊取旋度有將式（4.1.1）代入上式，得到利用矢量恒等式和式（4.1.4），可得到此式即為無(wú)源區(qū)域中電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E滿足的波動(dòng)方程。同理可得到無(wú)源區(qū)域中磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H滿足的波動(dòng)方程為(4.1.5)(4.1.6)無(wú)源區(qū)域中的E或H可以通過(guò)求解式（4.1.5）或式（4.1.6）的波動(dòng)方程得到。在直角坐標(biāo)系中，波動(dòng)方程可以分解為三個(gè)標(biāo)量方程，每個(gè)方程中只含有一個(gè)場(chǎng)分量。例如，式(4.1.5)可以分解為(4.1.7)(4.1.9)(4.1.8)4.2時(shí)變場(chǎng)的位函數(shù)

4.2.1矢量磁位和標(biāo)量電位

由于磁場(chǎng)的散度恒等于零，即·B=0，因此可將磁場(chǎng)表示為一個(gè)矢量函數(shù)的旋度，即

B=×A(4.2.1)

式中的矢量函數(shù)A稱為電磁場(chǎng)的矢量磁位，單位是T·m（特斯拉·米）。將式（4.2.1）代入方程即可見，(4.2.2)式中的標(biāo)量函數(shù)j稱為電磁場(chǎng)的標(biāo)量電位，單位是V（伏）。由式（4.2.2）可將電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E用矢量磁位A和標(biāo)量電位j

表示為(4.2.3)實(shí)際上，設(shè)j為任意標(biāo)量函數(shù)，令(4.2.4)則有由于j為任意標(biāo)量函數(shù)，所以由式（4.2.4）定義的A′和j′有無(wú)窮多組。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因在于確定一個(gè)矢量需要同時(shí)規(guī)定該矢量場(chǎng)的散度和旋度，而式（4.2.1）只規(guī)定了矢量磁位A的旋度，沒有規(guī)定它的散度。4.2.2達(dá)朗貝爾方程

利用矢量恒等式可得到(4.2.5)可得到(4.2.6)式（4.2.5）和式（4.2.6）是關(guān)于A和j的一組耦合微分方程，可通過(guò)適當(dāng)?shù)匾?guī)定矢量磁位A的散度來(lái)加以簡(jiǎn)化。由式（4.2.5）可以看出，如果令(4.2.7)則式（4.2.5）可以簡(jiǎn)化為這時(shí)式（4.2.6）簡(jiǎn)化為(4.2.8)(4.2.9)式（4.2.7）稱為洛倫茲條件，式（4.2.8）和式（4.2.9）就是在洛倫茲條件下，矢量磁位A和標(biāo)量電位j所滿足的微分方程，稱其為達(dá)朗貝爾方程。4.3時(shí)變電磁場(chǎng)的能量與能流

4.3.1能量密度

電場(chǎng)和磁場(chǎng)都具有能量，在線性、各向同性的媒質(zhì)中，電場(chǎng)能量密度we與磁場(chǎng)能量密度wm分別為(4.3.1)(4.3.2)在時(shí)變電場(chǎng)中，電磁場(chǎng)能量密度w等于電場(chǎng)能量密度we與磁場(chǎng)能量密度wm之和，即(4.3.3)當(dāng)場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)，空間各點(diǎn)的電磁場(chǎng)能量密度也要隨時(shí)間變化，從而引起電磁場(chǎng)能量流動(dòng)。4.3.2能流密度

坡印廷定理可由麥克斯韋方程組推導(dǎo)而得。假設(shè)閉合面S包圍的體積V中無(wú)外加源，媒質(zhì)是線性和各向同性的，且參數(shù)不隨時(shí)間變化。將以上兩式相減，得到在線性、各向同性媒質(zhì)中，當(dāng)參數(shù)不隨時(shí)間變化時(shí)，于是得到再利用矢量恒等式可得到(4.3.4)在體積V上，對(duì)式（4.3.4）兩端積分，并應(yīng)用散度定理即可得到(4.3.５)由于E和H也是相互垂直的，因此S、

E、H三者是相互垂直的，且構(gòu)成右旋關(guān)系，如圖4.3-1所示。圖4.3-1能流密度矢量與電場(chǎng)及磁場(chǎng)的方向關(guān)系例4.3.1同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體半徑為b，其間均勻充填理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間電壓為U，導(dǎo)體中流過(guò)的電流為I。（1）在導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計(jì)算同軸線中傳輸?shù)墓β剩唬?）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率σ為有限值時(shí)，計(jì)算通過(guò)內(nèi)導(dǎo)體表面進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率。解（1）在內(nèi)、外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)只存在于內(nèi)、外導(dǎo)體之間的理想導(dǎo)體介質(zhì)中，內(nèi)、外導(dǎo)體表面無(wú)切向分量，只有電場(chǎng)的徑向分量。利用高斯定律和安培環(huán)路定理，容易求得內(nèi)外導(dǎo)體環(huán)路之間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別為內(nèi)、外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量為電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿z軸方向流動(dòng)，即由電源流向負(fù)載，如圖4.3-2所示。圖4.3-2同軸線中電、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（理想導(dǎo)體情況）穿過(guò)任意橫截面的功率為與電路中的分析結(jié)果相吻合。可見，同軸線傳輸?shù)墓β适峭ㄟ^(guò)內(nèi)外導(dǎo)體間的電磁場(chǎng)傳遞到負(fù)載，而不是經(jīng)過(guò)導(dǎo)體內(nèi)部傳遞的。（2）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率σ為有限值時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方向的電場(chǎng)據(jù)邊界條件，在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場(chǎng)的切向分量連續(xù)，即E內(nèi)z=E外z。因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)電場(chǎng)為磁場(chǎng)仍為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為由此可見內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如圖4.3-3所示。圖4.3-3同軸線中電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率為式中是單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見，進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)體中的功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。4.4時(shí)諧電磁場(chǎng)

4.4.1復(fù)數(shù)表示

對(duì)時(shí)諧電磁場(chǎng)采用復(fù)數(shù)方法表示可使問題的分析得以簡(jiǎn)化。設(shè)u(r,t)是一個(gè)以角頻率ω隨時(shí)間呈時(shí)諧變化的標(biāo)量函數(shù)，其瞬時(shí)表示為

u(r,t)=um(r)cos［ωt+f(r)］(4.4.1)

式中:um(r)為振幅，它僅為空間坐標(biāo)的函數(shù)；ω為角頻率；f(r)是與時(shí)間無(wú)關(guān)的初相位。利用復(fù)數(shù)取實(shí)部表示方法，可將式（4.5.1）寫成式中(4.4.2)稱為復(fù)振幅，或稱為u(r,t)的復(fù)數(shù)形式。為了區(qū)別復(fù)數(shù)形式與實(shí)數(shù)形式，這里用打“·”的符號(hào)表示復(fù)數(shù)形式。任意時(shí)諧矢量函數(shù)F(r,t)可分解為三個(gè)分量Fi(r,t)(i=x,y,z)，每一個(gè)分量都是時(shí)諧標(biāo)量函數(shù)，即它們用復(fù)數(shù)可以表示為于是(4.4.3)其中(4.4.4)稱為時(shí)諧矢量函數(shù)F(r,t)的復(fù)矢量。例4.4.1將下列場(chǎng)矢量的瞬時(shí)值形式寫為復(fù)數(shù)形式。解（1）由于根據(jù)式（4.4.3），可知電場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)矢量為

（2）因?yàn)樗岳?.4.2已知電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量其中Exm和kz為實(shí)常數(shù)。寫出電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量。

解根據(jù)式（4.4.3），可得電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量對(duì)于一般的時(shí)變電磁場(chǎng)，麥克斯韋方程組為在時(shí)諧電磁場(chǎng)中，對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)可用復(fù)數(shù)形式表示為利用此運(yùn)算規(guī)律，可將麥克斯韋方程組寫成由于以上表示式對(duì)于任何時(shí)刻t均成立，故實(shí)部符號(hào)可以消去，于是得到這就是時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)矢量所滿足的麥克斯韋方程，也稱為麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式。用復(fù)數(shù)形式時(shí)不再打“·”符號(hào)，并略去下標(biāo)m，故將麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式寫成(4.4.9)(4.4.10)(4.4.11)(4.4.12)4.4.2復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率

在時(shí)諧電磁場(chǎng)中，對(duì)于介電常數(shù)為ε、電導(dǎo)率為σ的導(dǎo)電媒質(zhì)，式（4.4.9）可寫為式中(4.4.13)(4.4.14)類似地，對(duì)于存在電極化損耗的電介質(zhì)，表征其電極化特性的介電常數(shù)是一個(gè)復(fù)數(shù)

εc=ε′－jε″(4.4.15)

稱為復(fù)介電常數(shù)或復(fù)電容率。其中ε″表征電介質(zhì)中的電極化損耗，是大于零的正數(shù)。

在高頻時(shí)諧場(chǎng)中，ε′和ε″都是頻率的函數(shù)。

當(dāng)媒質(zhì)同時(shí)存在電極化損耗和歐姆損耗時(shí)，其等效復(fù)介電常數(shù)可寫為在工程上，通常用損耗角正切tanδε來(lái)表征電介質(zhì)的損耗特性，其定義為對(duì)于導(dǎo)電媒質(zhì)，其損耗角正切為(4.4.17)(4.4.18)與電介質(zhì)的情形類似，對(duì)于存在磁化損耗的磁介質(zhì)，表征其磁化特性的磁導(dǎo)率也是一個(gè)復(fù)數(shù)

μc=μ′－jμ″(4.4.19)

稱為復(fù)磁導(dǎo)率。其中，μ″表征磁介質(zhì)中的磁化損耗，是大于零的正數(shù)。磁介質(zhì)損耗角正切tanδμ定義為

(4.4.20)例4.4.3海水的電導(dǎo)率σ=4S/m，相對(duì)電容率εr=81。

求海水在頻率f=1kHz時(shí)的等效復(fù)電容率εc。

解當(dāng)f=1kHz時(shí)當(dāng)f=1GHz時(shí)4.4.3平均能量密度和平均能流密度矢量

前面討論的坡印廷矢量是瞬時(shí)值矢量，表示瞬時(shí)能流密度。在時(shí)諧電磁場(chǎng)中，一個(gè)周期內(nèi)的平均能流密度矢量Sav（即平均坡印廷矢量）更有意義。式中T=2π/ω為時(shí)諧電磁場(chǎng)的時(shí)間周期。

Sav也可以直接由場(chǎng)矢量的復(fù)數(shù)形式來(lái)計(jì)算。對(duì)于時(shí)諧電磁場(chǎng)，坡印廷矢量可寫為代入式（4.4.21），可得到(4.4.22)其中“*”表示取共軛復(fù)數(shù)。類似地，可以得到電場(chǎng)能量密度和磁場(chǎng)能量密度的時(shí)間平均值分別為(4.4.23)(4.4.24)

由麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)形式的坡印廷定理。設(shè)介質(zhì)的介電常數(shù)εc和磁導(dǎo)率μc都是復(fù)數(shù)。由恒等式和對(duì)體積V積分，并應(yīng)用散度定理，最后得到例4.4.4在無(wú)源（ρ=0、J=0）的自由空間中，已知電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量

E(z)=eyE0e－jkzV/m

式中k和E0為常數(shù)。求：

（1）磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量H(z)；

(2)瞬時(shí)坡印廷矢量S；

（3）平均坡印廷矢量Sav。解（1）由×E=－jωμ0H，得（2）電場(chǎng)、磁場(chǎng)的瞬時(shí)值為所以，瞬時(shí)坡印廷矢量S為（3）平均坡印廷矢量

4.5左手媒質(zhì)

根據(jù)εr和μr的符號(hào)，可將媒質(zhì)分為四類，如圖4.5-1

所示。圖4.5-1相對(duì)介電常數(shù)εr和相對(duì)磁導(dǎo)率μr的象限圖自然界中的絕大多數(shù)媒質(zhì)位于第Ⅰ象限，其εr和μr均大于0，折射率n為正。當(dāng)然，媒質(zhì)的介電常數(shù)ε和磁導(dǎo)率μ會(huì)隨著電磁波頻率的變化而變化，它們對(duì)頻率的依賴關(guān)系分別稱為介電色散和磁導(dǎo)率色散。當(dāng)頻率接近于零時(shí)，媒質(zhì)的εr和μr趨近于某個(gè)正值；當(dāng)頻率趨近于無(wú)窮大時(shí)，媒質(zhì)的極化來(lái)不及對(duì)外場(chǎng)響應(yīng)，結(jié)果使得εr和μr同時(shí)趨近于1；當(dāng)頻率介于兩者之間時(shí)，εr和μr可能取任意值，包括正值或負(fù)值。如金屬在低于等離子體諧振頻率時(shí)εr為負(fù)，形成電負(fù)媒質(zhì)，位于第Ⅱ象限；而鐵氧體在其鐵磁諧振頻率附近μr為負(fù)，形成磁負(fù)媒質(zhì)，位于第Ⅳ象限。電負(fù)媒質(zhì)和磁負(fù)媒質(zhì)的折射率n為虛數(shù)，這些媒質(zhì)內(nèi)傳播的電磁波為倏逝波。第Ⅲ象限中的媒質(zhì)，εr<0，μr<0，其折射率n為負(fù)，如同第Ⅰ象限內(nèi)的媒質(zhì)一樣電磁波能在其中傳播，但會(huì)表現(xiàn)出奇異的電磁學(xué)行為。

1．左手媒質(zhì)的電磁特性

電磁波在無(wú)源、均勻、各向同性媒質(zhì)中傳播時(shí)，電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H滿足的麥克斯韋方程和介質(zhì)本構(gòu)關(guān)系為(4.5.1a)(4.5.1b)(4.5.2a)(4.5.2b)對(duì)于平面單色波來(lái)講，每個(gè)場(chǎng)分量均有相位因子

ej(ωt－kz)，則(4.5.3)(4.5.4)由式（4.5.3）和式（4.5.4）可以看出，當(dāng)εr和μr同時(shí)

大于零時(shí)，電磁波的波矢k、電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H三者構(gòu)成右手螺旋關(guān)系；而當(dāng)εr和μr同時(shí)小于零時(shí)，三矢量構(gòu)成左手螺旋關(guān)系。圖4.5-2給出了平面電磁波在左手媒質(zhì)和右手媒質(zhì)中傳播的示意圖。由于電磁波能流的方向取決于坡印廷矢量S的方向，而S=E×H，所以E、H和S滿足右手螺旋關(guān)系。圖4.5-2平面電磁波傳播示意圖

1）負(fù)折射效應(yīng)

當(dāng)單色平面波入射到兩介質(zhì)界面時(shí)就會(huì)發(fā)生反射和折射現(xiàn)象。由麥克斯韋方程組及在介質(zhì)界面上電磁波矢量滿足的連續(xù)性邊界條件，即電磁波的電場(chǎng)矢量、磁場(chǎng)矢量在界面切線方向連續(xù)，而電位移矢量D=εE，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=μH，在界面法線方向連續(xù)，可以得到如下關(guān)系式，即斯涅爾折射定律也可寫成(4.5.5)(4.5.6)表達(dá)式中的角標(biāo)i表示入射電磁波，角標(biāo)t表示折射電磁波，角標(biāo)r表示反射電磁波。對(duì)于右手媒質(zhì)（ε>0，μ>0），反射波和折射波位于界面法線兩側(cè)，且反射角等于入射角；入射波和折射波分別位于界面法線兩側(cè)，且折射角與入射角滿足斯涅爾定律。該現(xiàn)象稱為“正折射”，如圖4.5-3所示。圖4.5-3兩種不同右手媒質(zhì)分界面處的折射示意圖當(dāng)傳統(tǒng)的右手媒質(zhì)（n2>0）被左手媒質(zhì)（n2<0）替代后，由于其折射率變?yōu)樨?fù)值，為了滿足電磁場(chǎng)在分界面處的連續(xù)性，其折射方向（折射角）將發(fā)生偏移，和電磁波的入射方向位于法線的同側(cè)，這與傳統(tǒng)的斯涅爾折射效應(yīng)不同，稱之為逆斯涅爾折射效應(yīng)，也稱為“負(fù)折射”，如圖4.5-4所示。圖4.5-4右手媒質(zhì)和左手媒質(zhì)分界面處的斯涅爾折射示意圖

2）逆Doppler效應(yīng)

在右手媒質(zhì)中，波源和觀察者如果發(fā)生相對(duì)移動(dòng)，會(huì)產(chǎn)生Doppler效應(yīng)。假定波源發(fā)射的電磁波的頻率為ω，當(dāng)觀測(cè)者以速度v向波源移動(dòng)時(shí)，觀測(cè)者所接收到的頻率將升高；而如果觀測(cè)者以速度v遠(yuǎn)離波源時(shí)，觀測(cè)者所接收到的頻率將降低。如圖4.5-5所示。圖4.5-5Doppler效應(yīng)示意圖

3）逆Cerenkov輻射

普通媒質(zhì)中，次波干涉后形成的波前，即等相位面是一個(gè)錐面。電磁波能量沿此錐面的法線方向輻射出去，是向前輻射的，形成一個(gè)向后的錐角，即能量輻射的方向與粒子運(yùn)動(dòng)方向夾角θ,θ由下式確定：當(dāng)帶電粒子在左手媒質(zhì)中運(yùn)動(dòng)的速度超過(guò)介質(zhì)中的光速c/n時(shí)，由于相速度和群速度的方向相反，能量的傳播方向與相速相反，因而輻射將背向粒子的運(yùn)動(dòng)方向發(fā)出，輻射方向形成一個(gè)向前的錐角，如圖4.5-6所示。圖4.5-6Cerenkov輻射示意圖

4）逆Goos-Hanchen位移

引起Goos-Hanchen位移的原因是電磁波并非由界面直接反射，而是在深入介質(zhì)2的同時(shí)逐漸被反射，其平均反射面位于趨膚深度處。若介質(zhì)2為左手媒質(zhì)，則該位移沿入射電磁波傳播的反方向，稱為“逆Goos-Hanchen位移”，如圖4.5-7所示。圖4.5-7Goos-Hanchen位移

2．左手媒質(zhì)的研究進(jìn)展

左手媒質(zhì)的發(fā)現(xiàn)被《Science》雜志評(píng)為2003年科學(xué)十大進(jìn)展之一。此后，左手媒質(zhì)成為物理學(xué)界和電磁學(xué)界研究的熱點(diǎn)，國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)界關(guān)于此問題的理論、實(shí)驗(yàn)和應(yīng)用研究十分活躍、深入。

3.復(fù)合左右手傳輸線

復(fù)合左右手傳輸線（CompositeRight/Left－HandedTransmissionLine,CRLHTL）是在右手傳輸線與左手傳輸線的基礎(chǔ)上提出的，圖4.5-8給出了三類傳輸線在理想情況下的線元等效電路模型。圖4.5-8三類理想傳輸線的等效電路模型

CRLH傳輸線具有雙曲-線性色散關(guān)系，如圖4.5-9所示，其中實(shí)線表示的是平衡情況下CRLH傳輸線的色散曲線，此時(shí)其左手通帶和右手通帶是連接在一起的，二者中間有一個(gè)相位常數(shù)β為零的頻點(diǎn)；虛線代表的是非平衡情況下CRLH傳輸線的色散曲線，此時(shí)其左手通帶和右手通帶之間存在一個(gè)不支持傳播模的“禁帶”。圖4.5-9平衡和非平衡的CRLH傳輸線的色散關(guān)系4.6時(shí)變電磁場(chǎng)的應(yīng)用

1．電磁感應(yīng)現(xiàn)象及其應(yīng)用

1）電感器和變壓器

（1）自感。

（2）互感。

2）電機(jī)

電磁感應(yīng)原理最重要的應(yīng)用之一是電機(jī)。圖