《電工與電子技術(shù)》課件第3章

3.1正弦量的三要素

3.2正弦量的相量表示方法

3.3電阻、電感及電容元件上電壓和電流關(guān)系的相量形式

3.4簡單正弦交流電路的計(jì)算

3.5交流電路的功率及功率因數(shù)

3.6RLC電路中的諧振

本章小結(jié)

習(xí)題3第3章正弦交流電路交流電的變化形式較多，其中隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的交流電稱為正弦交流電，也常稱為正弦量。如圖3-1所示的為正弦交流電流波形圖，與之相對應(yīng)的解析式為

i=Imsin(ωt+φi)

電路分析中常用的正弦量是電流、電壓和電動(dòng)勢，與正弦電流類似，正弦電壓、電動(dòng)勢的解析式分別如下：

u=Umsin(ωt+φu)

e=Emsin(ωt+φe)3.1正弦量的三要素圖3-1正弦交流電流波形

1.角頻率、周期和頻率

在一個(gè)周期內(nèi)，正弦量變化的弧度是2π，所以角頻率ω、周期T和頻率f具有如下關(guān)系:

2．相位、初相位和相位差

設(shè)兩個(gè)同頻率交流電壓分別為

u1=U1msin(ωt+φ1)

u2=U2msin(ωt+φ2)

(1)如果兩個(gè)正弦量到達(dá)某一確定狀態(tài)的先后次序相同,即Δφ12=0，則稱這兩個(gè)正弦量同相(如圖3-2(a)所示)。

(2)如果兩個(gè)正弦量到達(dá)某一確定狀態(tài)的先后次序不同，則稱先到達(dá)者為超前，后到達(dá)者為滯后(如圖3-2(b)所示，稱u1超前于u2或u2滯后于u1)。

(3)如果兩個(gè)正弦量相位差，則稱這兩個(gè)正弦量正交。此時(shí)，當(dāng)一個(gè)正弦量到達(dá)最大值時(shí)，另一個(gè)正弦量剛好是零(如圖3-2(c)所示)。

(4)如果兩個(gè)正弦量相位差Δφ12=±π，則稱這兩個(gè)正弦量反相。此時(shí)，一個(gè)正弦量的正半周和另一個(gè)正弦量的負(fù)半周剛好對應(yīng)(如圖3-2(d)所示)。圖3-2正弦交流電相位關(guān)系

(a)同相；(b)超前/滯后;(c)正交;(d)反相

例3-1

寫出圖3-3所示電壓u和電流i的相位差，并說明u和i的相位關(guān)系。

圖3-3例3-1圖

解由圖可知

φu=45°

φi=90°

據(jù)相位差定義，則

Δφui=φu－φi=45°－90°=－45°

因?yàn)棣う誹i=－45°<0,所以電壓u滯后于電流i，且滯后45°。

3.瞬時(shí)值、最大值和有效值

根據(jù)上述定義可以得出

Q直=Q交

(3-1)

Q直=I2RT(3-2)

對正弦交流電流

i=Imsinωt

(3-3)

結(jié)合式(3-1)、(3-2)、(3-3)可推導(dǎo)出有效值和最大值之間有如下關(guān)系:

同理

例3-2

已知某正弦電流在t=0時(shí)，其值為5A，且該電流的初相為30°，頻率為50Hz。求該電流的有效值和最大值，并寫出其解析式。

解該正弦電流一般表達(dá)式為

i=Imsin(ωt+φi)

當(dāng)t=0時(shí)

i(0)=Imsin30°=5A可求得

Im=10A

根據(jù)有效值和最大值關(guān)系，故其有效值

根據(jù)頻率和角頻率關(guān)系，該電流的角頻率為

ω=2πf=314rad/s

所以，其解析式為

i=10sin(314t+30°)A

一個(gè)正弦電壓可以表示為

u=Umsin(ωt+φu)

t=0時(shí)刻旋轉(zhuǎn)矢量在虛軸上的投影反映了旋轉(zhuǎn)矢量的初始位置，因此，把t=0時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)矢量稱為初始值相量，用表示。

同理，有效值相量用表示，即3.2正弦量的相量表示方法

例3-3

已知同頻率正弦電流和電壓的解析式分別為

試寫出電流和電壓有效值相量、，并畫出相量圖。

解由解析式可知

相量圖如圖3-4所示。圖3-4例3-3圖3.3.1電阻元件

1．電壓與電流關(guān)系

圖3-5(a)是一個(gè)線性電阻元件的交流電路圖，電壓和電流參考方向?yàn)殛P(guān)聯(lián)方向，電阻兩端電壓和流過的電流服從歐姆定律，即u=Ri。

3.3電阻、電感及電容元件上電壓和電流關(guān)系的相量形式圖3-5電阻元件的交流電路(a)電路圖；(b)電壓與電流的正弦波形；(c)電壓與電流的相量圖；(d)功率波形設(shè)流過電阻的電流為

根據(jù)歐姆定律可求得電阻兩端電壓為

比較上列兩式即可看出，在電阻元件的正弦交流電路中，電流和電壓是同頻同相的正弦量，電壓和電流的有效值(最大值)仍滿足歐姆定律，即

U=RI

或Um=RIm

電流和電壓的相位相同，即φu=φi，相位差Δφ=0，電壓和電流的波形如圖3-5(b)所示。

綜上所述，電壓與電流關(guān)系的相量形式為

或

此即歐姆定律的相量表示式。電壓和電流的相量如圖

3-5(c)所示。

2．功率

在任意瞬間，電壓瞬時(shí)值u與電流瞬時(shí)值i的乘積，稱為瞬時(shí)功率，用小寫字母p表示:

p=ui=UmImsin2ωt=UI(1－cos2ωt)

由上式可見，p≥0，表明電阻總是從電路中吸收功率，屬耗能元件。功率的波形如圖3-5(d)所示。

由于瞬時(shí)功率是隨時(shí)間變化的，不便于表示和比較，所以通常用平均功率來計(jì)算交流電路的功率。

平均功率是一個(gè)周期內(nèi)電路瞬時(shí)功率的平均值，用大寫字母P表示。

例3-4

在純電阻電路中，已知電阻R=44Ω，交流電壓u=311sin(314t+30°)V，試求通過該電阻的電流，并寫出電流的解析式。

解由題可知交流電壓相量為

據(jù)，可得

電流的解析式3.3.2電感元件

1.電壓與電流關(guān)系

如圖3-6(a)所示，電路中電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向。設(shè)流過電感線圈的電流i=Imsinωt，根據(jù)電磁感應(yīng)定律，線圈兩端電壓為

由上述電壓、電流解析式可看出，在電感元件的正弦交流電路中，電流和電壓是同頻正弦量，電壓和電流的有效值(最大值)滿足下列關(guān)系,即

U=ωLI

或Um=ωLIm

令XL=ωL=2πfL，則

U=XLI綜上所述，電壓與電流關(guān)系的相量形式為

或

其對應(yīng)的相量圖如圖3-6(c)所示。圖3-6電感元件的交流電路(a)電路圖；(b)電壓與電流的正弦波形；(c)電壓與電流的相量圖

2.功率

1)瞬時(shí)功率

純電感電路的瞬時(shí)功率為

2)平均功率

純電感電路的平均功率為

3)無功功率

從上述分析可知，電感元件只是實(shí)現(xiàn)電源能量的存儲與轉(zhuǎn)換，這種能量轉(zhuǎn)換的規(guī)模，我們用無功功率QL衡量。

QL=ULI=I2XL

例3-5

已知一電感L=80mH，外加電壓

。試求感抗XL，電流，并寫出電流i的解析式。

解感抗XL=ωL=314×0.08≈25Ω

由題可知，電壓相量為

據(jù)，可得

電流的解析式3.3.3電容元件

1.電壓與電流關(guān)系

如圖3-7(a)所示，電路中電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向。設(shè)電容兩端電壓為u=Umsinωt，則流過電容的電流為

由上述電壓、電流解析式可看出，在電容元件的正弦交流電路中，電流和電壓是同頻正弦量，電壓和電流的有效值(最大值)滿足下列關(guān)系，即

令，則

U=XCI或圖3-7電容元件的交流電路(a)電路圖；(b)電壓與電流的正弦波形；(c)電壓與電流的相量圖綜上所述，電壓與電流關(guān)系的相量形式為

或

2.功率

1)瞬時(shí)功率

純電容電路的瞬時(shí)功率為

2)平均功率

純電容電路的平均功率為

3)無功功率

從上述分析可知，電容元件只是實(shí)現(xiàn)電源能量的存儲與轉(zhuǎn)換，這種能量轉(zhuǎn)換的規(guī)模，我們用無功功率QC衡量。

QC=UCI=I2XC

例3-6

已知一電容C=127μF，外加正弦交流電壓

，試求：(1)容抗XC；(2)電流；(3)寫出電流瞬時(shí)值iC。

解

(1)容抗

(2)據(jù)，可得

(3)電流的解析式3.4.1相量形式的基爾霍夫定律

基爾霍夫電流定律： 瞬時(shí)值形式 ∑i=0

相量形式

基爾霍夫電壓定律： 瞬時(shí)值形式 ∑u=0

相量形式3.4簡單正弦交流電路的計(jì)算3.4.2RLC串聯(lián)電路分析

1．電壓與電流的關(guān)系

由電阻、電感、電容首尾連接構(gòu)成的電路叫做RLC串聯(lián)電路。

如圖3-8所示，電路中電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向，電路中流過各元件的電流相同，因此以電流為參考。設(shè)電路中電流為，其相量為：，則根據(jù)RLC元件的基本特性可得各元件兩端電壓相量為：

圖3-8RLC串聯(lián)電路根據(jù)基爾霍夫電壓定律(KVL)，在任一時(shí)刻總電壓為

令，以作為參考相量，作出相量圖，如圖3-9所示，可見，電壓構(gòu)成一個(gè)直角三角形，稱為電壓三角形。由電壓三角形可得，各電壓之間的大小關(guān)系為

圖3-9RLC串聯(lián)電路的相量圖

由于

令Z=R+j(XL－XC)=R+jX=|Z|∠φZ

則

其中

上式中Z稱為RLC串聯(lián)電路的復(fù)阻抗，|Z|叫做阻抗，其中X=XL－XC

叫做電抗，φZ稱為阻抗角。

可見

2.RLC串聯(lián)電路的性質(zhì)圖3-10阻抗三角形

例3-7

在RLC串聯(lián)電路中，交流電源電壓u=220

sin(314t+53.1°)V，R=30Ω，L=445mH，C=32μF。試求，阻抗Z、電流、各元件上的電壓、、

，并以作為參考相量畫出各電壓相量圖。

解

=30+j(140－100)

=50/53.1°

相量圖如圖3-11所示。

圖3-11例3-7圖

1.瞬時(shí)功率

在RLC串聯(lián)電路中，設(shè)通過負(fù)載的電流

，由于負(fù)載性質(zhì)不同，所以負(fù)載兩端電壓和電流i具有相位差，則負(fù)載兩端電壓，設(shè)i、u為關(guān)聯(lián)參考方向，那么負(fù)載取用的瞬時(shí)功率為

3.5交流電路的功率及功率因數(shù)圖3-12交流電路瞬時(shí)功率

2．有功功率(平均功率)

上述瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值稱為平均功率，也叫有功功率。

3．無功功率

用無功功率表示這種能量交換的規(guī)模，用大寫字母Q表示，無功功率的定義如下:

Q=UIsinφ

在電路中既有電感元件又有電容元件時(shí)，無功功率相互補(bǔ)償，它們在電路內(nèi)部先相互交換一部分能量后，不足部分再與電源進(jìn)行交換，則電路的無功功率為

Q=QL+QC

4．視在功率

在交流電路中，端電壓與電流的有效值乘積稱為視在功率，用S表示。即

S=UI

交流電氣設(shè)備的容量是按照預(yù)先設(shè)計(jì)的額定電壓和額定電流來確定的。用額定視在功率SN來表示,即

SN=UNIN

交流電氣設(shè)備應(yīng)在額定電壓UN條件下工作，因此電氣設(shè)備允許提供的電流為由上所述可見，有功功率P、無功功率Q、視在功率S之間存在如下關(guān)系：

顯然，S、P、Q構(gòu)成一個(gè)直角三角形，如圖3-13所示。此三角形稱為功率直角三角形。圖3-13功率三角形3.5.2功率因數(shù)的提高

1．功率因數(shù)提高的意義

前已述及，交流電路中的有功功率一般不等于電源電壓U和總電流I的乘積，還要考慮電壓電流的相位差的影響，即

P=UIcosφ=UIλ

(1)電源設(shè)備的容量不能充分利用。

設(shè)某供電變壓器的額定電壓UN=230V，額定電流IN=434.8A，額定容量

SN=UNIN=230×434.8=1000kV·A

如果負(fù)載功率因數(shù)是1，則變壓器可以輸出有功功率

P=UNINcosφ=230×434.8×1=100kW

如果負(fù)載功率因數(shù)是0.5，則變壓器可以輸出有功功率

P=UNINcosφ=230×434.8×0.5=50kW

(2)增加輸電線路上的功率損耗。

當(dāng)發(fā)電機(jī)的輸出電壓U和輸出的有功功率P一定時(shí)，發(fā)電機(jī)輸出的電流(即線路上的電流)為

可見電流I和功率因數(shù)λ成反比。若輸電線的電阻為R，則輸電線上的功率損失為

2．功率因數(shù)提高的方法

提高功率因數(shù)的簡便而有效的方法，是給電感性負(fù)載并聯(lián)適當(dāng)大小的電容器，其電路圖和相量圖如圖3-14所示。

由于是并聯(lián)，電感性負(fù)載的電壓不受電容器的影響。電感性負(fù)載的電流iL仍然等于原來的電流。但對總電流來說，卻多了一個(gè)電流分量iC,即

i=iL+iC

或者

圖3-14功率因數(shù)的提高

C的計(jì)算公式推導(dǎo)如下：

IC=ILsinφ1－Isinφ(3-4)

式中IC為電容器中的電流，IL和I分別為功率因數(shù)提高前、后時(shí)的電流。

功率因數(shù)提高前電路的有功功率：

P1=UILcosφ1

功率因數(shù)提高后電路的有功功率：

P2=UIcosφ

P1=P2=P

即

將IC、IL和I代入式(3-4)得

例3-8

已知某單相電動(dòng)機(jī)(感性負(fù)載)的額定參數(shù)是功率P=120W，工頻電壓U=220V，電流I=0.91A。試求,把電路功率因數(shù)λ提高到0.9時(shí)，應(yīng)使用一只多大的電容C與這臺電動(dòng)機(jī)并聯(lián)。

解首先求未并聯(lián)電容時(shí)負(fù)載的功率因數(shù)λ1=cosφ1。

因P=UIcosφ1，則

φ1=arccosλ1=53.2°

把電路功率因數(shù)提高到λ2=cosφ2=0.9時(shí)，φ2=arccosλ2=25.8°,則

1.諧振的定義

2．串聯(lián)諧振條件

在圖3-8所示電路中，XL=XC時(shí)，

3.6RLC電路中的諧振串聯(lián)諧振的基本條件是

XL=XC

即

當(dāng)電源頻率一定時(shí)，要使電路產(chǎn)生諧振，就要改變電路參數(shù)L或C。常用的方法是改變電容C的數(shù)值，即要求

當(dāng)電路參數(shù)一定時(shí)，則可以通過改變電源頻率的辦法，使電路達(dá)到諧振。諧振時(shí)的電源角頻率和諧振頻率為

3.串聯(lián)諧振主要特征

(1)電壓U與電流I同相，電路呈電阻性。

(2)電路阻抗達(dá)到最小:

|Z|min=R

(3)電路中電流達(dá)到最大:

(4)UL和UC出現(xiàn)新的情況：

UC或者UL與電源電壓U的比值通常用Q來表示:

式中，Q稱為電路的品質(zhì)因數(shù)或簡稱為Q值。

串聯(lián)諧振時(shí)的相量圖如圖3-15所示。圖3-15串聯(lián)諧振時(shí)的相量圖

4.串聯(lián)諧振的應(yīng)用

電路中電流的大小為

由于

此式表達(dá)出電流大小與電路工作頻率之間的關(guān)系，叫做串聯(lián)電路的電流幅頻特性。電流大小I隨頻率f變化的曲線，叫做諧振特性曲線,如圖3-16所示。圖3-16RLC串聯(lián)電路的諧振特性曲線

理論分析表明，串聯(lián)諧振電路的通頻帶為

例3-9

設(shè)在RLC串聯(lián)電路中，L=30μH，C=211pF，R=9.4Ω，外加電源電壓為u=

sin(2πft)mV。試求：

(1)該電路的固有諧振頻率f0與通頻帶B。

(2)當(dāng)電源頻率f=f0時(shí)(即電路處于諧振狀態(tài))電路中的諧振電流I0、電感L與電容C元件上的電壓UL0、UC0。

(3)如果電源頻率與諧振頻率偏差Δf=f－f0=10%f0，電路中的電流I為多少？

解

(1)

(2)

(3)當(dāng)f=f0+Δf=2.2MHz時(shí)，

僅為諧振電流I0的13.2%。(1)RLC元件的特性。本章小結(jié)(2)RLC串聯(lián)電路。(3)RLC串聯(lián)諧振電路。

(4)提高功率因數(shù)的方法。

提高感性負(fù)載(RL)功率因數(shù)的方法，是用適當(dāng)容量的電容器與感性負(fù)載并聯(lián)。對于額定電壓為U、額定功率為P、工作頻率為f的感性負(fù)載來說，將功率因數(shù)從λ1=cosφ1提高到λ2=cosφ2，所需并聯(lián)的電容為

1.已知工頻正弦電壓uab的最大值為311V，初相位為

－60°，其有效值為多少？寫出其瞬時(shí)值表達(dá)式；當(dāng)t=0.0025s時(shí)，uab的值為多少？

2．某正弦電流的頻率為20Hz，有效值為5

A，在t=0時(shí)，電流的瞬時(shí)值為5A，且此時(shí)刻電流在增加，求該電流的瞬時(shí)值表達(dá)式。

3．一電感元件L=10mH,已知=110∠0°V，在關(guān)聯(lián)參考方向下=0.01∠－90°A。求感抗和電源的頻率。習(xí)題3

4．一電容元件C=50μF，已知uC=10

sin(104t－

30°)V,在關(guān)聯(lián)參考方向下求ZC、,并畫出相量圖。

5．220V、50Hz、初相為0的電壓分別加在電阻，電感和電容負(fù)載上，此時(shí)它們的電阻值、感抗值和容抗值均為22Ω，試分別求出三個(gè)元件的電流。寫出各電流的瞬時(shí)值表達(dá)式，并以電壓為參考相量畫出相量圖。若電壓的有效值不變，頻率由50Hz變到500Hz重新回答以上問題。

6.已知i1=5sin(ωt+30°)A，i2=10sin(ωt

+60°)A，求：

(1)(2)(3)i1+i2(4)作相量圖

7.已知u1=220sinωtV，u2=220sin(ωt+120°)V,

u3=220sin(ωt－120°)V,求：

(1)

(2)

(3)u1+u2+u3

(4)作相量圖

8.已知RC串聯(lián)電路的電源頻率為，試問電阻兩端電壓相位超前電源電壓幾度？

9.為了降低風(fēng)扇的轉(zhuǎn)速，可在電源與風(fēng)扇之間串入電感，以降低風(fēng)扇電動(dòng)機(jī)的端電壓。若電源電壓為220V,頻率