斯坦納-萊默斯定理

中學(xué)數(shù)學(xué)中的著名定理~~斯坦納-萊默斯定理【定理內(nèi)容】如果三角形中兩內(nèi)角平分線相等，則必為等腰三角形。即：若、是的內(nèi)角平分線，且，則.【背景簡(jiǎn)介】這一命題的逆命題：“等腰三角形兩底角的平分線長(zhǎng)相等”，早在二千多年前的《幾何原本》中就已作為定理，證明是很容易的。但上述命題在《幾何原本》中只字未提，直到1840年，萊默斯（C.L.Lehmus）在他給斯圖姆（C.Sturm）的信中提出請(qǐng)求給出一個(gè)純幾何證明。斯圖姆沒(méi)有解決，就向許多數(shù)學(xué)家提出這一問(wèn)題。直到1844年由瑞士幾何學(xué)家斯坦納（J.Steiner,1796-1863）首先給出證明，因而這一定理就稱為斯坦納—萊默斯定理。一百多年來(lái)，這個(gè)命題的證明吸引了許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者。繼斯坦納之后，這一定理的豐富多彩的證明陸續(xù)發(fā)表，但大多是間接證法，直接證法難度頗大?！咀C法欣賞】證法1：（斯坦納原證）如圖，假設(shè)．則，從而(1)在與中，∵，公共，，∴．（[筆者注]：依據(jù)余弦定理可得）作平行四邊形，連接．∵，∴．∵，∴．∴，即(2)(1)與(2)矛盾．∴≯．同理≯．故．【證法欣賞】證法2：（海塞證法，德國(guó)數(shù)學(xué)家（L.O.Hesse,1811-1874））作，使與分居于直線的兩側(cè)，并取，如圖。連結(jié)、，由，得≌（），∴,。令，，則∵，∴,則，在鈍角與鈍角中，，，∴≌,∴，則，則有≌,∴，即?！咀C法欣賞】證法3：（三角函數(shù)）令，，則在與中，由正弦定理得：，即，，∵，∴，∴．由三角函數(shù)的積化和差公式，整理得：分組提取公因式，，再由和差化積公式，得：∵，即，∴，∴,∴.【定理推廣】[例1]如圖，在中，于，為垂心，為上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)線交于D，延長(zhǎng)線交AB于E，且BD=CE．求證：AB=AC．證明：假設(shè)AB＞AC，則BT＞CT，BP＞CP，∠5＞∠6．在△BCE與△CBD中，因CE=BD，BC公共，∴BE＞CD．設(shè)CH⊥AB于I，BH⊥AC于K．在Rt△CIE與Rt△BKD中，∵CE=BD，由AB＞AC，知CI＜BK，∴∠8＜∠7．∴∠BEC＞∠BDC(1)作平行四邊形BDCF，連接EF，∵BE＞CD=BF，∴∠1＜∠2．∵CE=BD=CF，∴∠3=∠4．∴∠BEC＜∠BFC=∠BDC(2)(l)與(2)矛盾．∴AB≯AC．同理AC≯AB．故AB=AC．[例2]在△ABC中，點(diǎn)M，N分別在AB，AC上，AM=AN．D，E分別為NC，MB的中點(diǎn)，且BD=CE．求證：AB=AC．證明：如圖，假設(shè)AB＞AC，則BE＞CD，AE＞AD．∵∴sin∠5＞sin∠6．但0°＜∠6＜90°，0°＜∠5＜180°，∴∠5＞∠6．從而∠BEC＞∠BDC(1)作平行四邊形BDCF，連接EF．∵BE＞CD=BF，∴∠1＜∠2∵CE=BD=CF，∴∠3=∠4．∴∠BEC＜∠BFC=∠BDC．(2)(1)與(2)矛盾．∵AB≯AC．同理AC≯AB．故AB=AC．[例3]在△ABC中，點(diǎn)M，N分別在AB，AC上，BM=CN．點(diǎn)D，E分別在AN，AM上，且DE∥MN，BD=CE．求證：AB=AC．證明：如圖，假設(shè)AB＞AC，則AM＞AN．又DE∥MN，∴AE＞AD，EM＞DN，BE＞CD．又∴sin∠5＞sin∠6但0°＜∠6＜90°．0°＜∠5＜180°，∴∠5＞∠6．從而∠BEC＞∠BDC．(1)作平行四邊形BDCF，連接EF．∵BE＞CD=BF，∴∠1＜∠2．∵CE=BD=CF，∴∠3=∠4．∴∠BEC＜∠BFC=∠BDC．(2)(1)與(2)矛盾．∴AB≯AC．同理AC≯AB．故AB=AC．【練習(xí)】1．在△ABC中，D，