人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊8.4.1平面【課件】

8.4.1平面預(yù)學(xué)案共學(xué)案預(yù)學(xué)案一、平面?1．平面的概念幾何中所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、平靜的水面等，這樣的一些物體中抽象出來的．類似于直線向兩端無限延伸，幾何中的平面是向四周________的．無限延展2．平面的畫法我們常用矩形的直觀圖，即____________表示平面，它的銳角通常畫成________，且橫邊長等于其鄰邊長的________倍，如圖①.如果一個平面的一部分被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，把被遮擋部分用________畫出來，如圖②.3．平面的表示法圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.平行四邊形45°2虛線【即時練習(xí)】下列說法正確的是(

)A．鏡面是一個平面B．一個平面長10m，寬5mC．一個平面的面積是另一個平面面積的2倍D．所有的平面都是無限延展的答案：D解析：鏡面可以抽象成平面，但不是平面，所以選項A不正確；平面沒有大小，所以選項B和選項C都不正確．故選D.二、平面的基本性質(zhì)?1．基本事實基本事實內(nèi)容圖形符號基本事實1過______________的三個點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本事實2如果一條直線上的________在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的________P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l不在一條直線上兩個點公共直線2.推論推論內(nèi)容圖形作用推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面確定平面的依據(jù)推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面【即時練習(xí)】

點A在直線l上，直線l在平面α內(nèi)，用符號表示，正確的是(

)A．A∈l，l∈α B．A∈l，l?αC．A?l，l?α

D．A∈l，l?α答案：D解析：點A在直線l上，則A∈l，l在平面α內(nèi)，則l?α.故選D.微點撥?(1)平面和點、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進(jìn)行度量；(2)平面無厚薄、無大小，是無限延展的．

微點撥?(1)直線可以看成無數(shù)個點組成的集合，故點與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“?”表示；(2)平面也可以看成點集，故點與平面的關(guān)系也是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“?”表示；(3)直線和平面都是點集，它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系，故用“?”或“?”表示．共學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

(1)了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法．(2)能用符號語言描述空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系．(3)掌握關(guān)于平面基本性質(zhì)的三個基本事實．【問題探究】

(1)生活中的一些物體給我們以平面的感覺，如平靜的湖面、整潔的教室桌面、美麗的大草原等，你能說出平面的一些幾何特征嗎？(2)在凹凸不平的地面上放一個三條腿的凳子和一個四條腿的凳子，哪個穩(wěn)定？若把直尺邊緣上的任何兩點放在桌面上，直尺的邊緣上的其余點和桌面有何關(guān)系？兩張紙面相交有幾條交線？提示：(1)無限延展、不計大小、不計厚薄等．(2)三條腿的凳子穩(wěn)定；直尺的邊緣上的其余點在桌面上；兩張紙面相交有一條交線．題型

1文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化例1

用符號表示下列語句，并畫出圖形：(1)點A在平面α內(nèi)但在平面β外；(2)直線a經(jīng)過平面α內(nèi)一點A，平面α外一點B；(3)直線a在平面α內(nèi)，也在平面β內(nèi)．解析：(1)因為點A在平面α內(nèi)但在平面β外，所以可以用下圖表示：(2)因為直線a經(jīng)過平面α內(nèi)一點A，α外一點B，所以可以用下圖表示：(3)因為直線a在平面α內(nèi)，也在平面β內(nèi)，所以可以用下圖表示：學(xué)霸筆記：(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著先用文字語言表示，再用符號語言表示．(2)根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別．

解析：(1)直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點A，且點A不在直線l上，如下圖所示：(2)直線l經(jīng)過平面α外一點P和平面α上一點Q，如下圖所示：

證明：方法一(納入法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．方法二(同一法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個點A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)．∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．題后師說證明點、線共面的2種常用方法

證明：因為PQ∥a，所以PQ與a確定一個平面β，所以直線a?β，點P∈β.因為P∈b，b?α，所以P∈α.又因為a?α，P?a，所以α與β重合，所以PQ?α.題型

3點共線問題例3

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M，N，E，F(xiàn)分別是棱CD，AB，DD1，AA1上的點，若MN與EF交于點Q，求證：D，A，Q三點共線．證明：MN∩EF＝Q，∴Q∈直線MN，Q∈直線EF，又∵M(jìn)∈直線CD，N∈直線AB，CD?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴M，N∈平面ABCD，∴MN?平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得Q∈平面ADD1A1.又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直線AD，即D，A，Q三點共線．題后師說證明三點共線的方法

證明：方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事實3可知：點P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q、R也在平面ABC與平面α的交線上．∴P、Q、R三點共線．方法二∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.∴Q∈平面APR，又∵Q∈α，∴Q∈PR.∴P、Q、R三點共線．題型

4線共點問題例4

如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為AB、AA1的中點．求證：CE，D1F，DA三線交于一點．

設(shè)D1F∩CE＝P，如圖．∵D1F?平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1D.又∵CE?平面ABCD，P∈CE，∴P∈平面ABCD，∴P是平面ABCD與平面AA1D1D的公共點．又∵平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三線交于一點．題后師說證明三線共點的一般步驟

證明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB與CD必交于一點，設(shè)AB交CD于M.則M∈AB，M∈CD，又∵AB?α，CD?β，∴M∈α，M∈β，又∵α∩β＝l，∴M∈l，∴AB，CD，l共點．隨堂練習(xí)1．若一直線a在平面α內(nèi)，則正確的圖形是(

)答案：A解析：選項B、C中直線a在平面α外，選項D中直線a與平面α相交，選項A中直線a在平面α內(nèi)．故選A.2．如果點A在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點B在平面α內(nèi)，則可以表示為(

)A．A?a，a?α，B∈αB．A∈a，a?α，B∈αC．A?a，a∈α，B?αD．A∈a，a∈α，B∈α答案：B解析：點A在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點B在平面α內(nèi)，表示為A∈a，a?α，B∈α.故選B.

答案：A解析：由圖知α與β交于m，n在α內(nèi)，m與n交于點A，則正確的符號語言應(yīng)是：α